橢圓的幾何性質(zhì)(第一節(jié)課用)

1、課本P41例3P42練習(xí)4一一. 求點的軌跡方程求點的軌跡方程復(fù)習(xí)練習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí) 如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為如圖，已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2，從這，從這個圓上任意一點個圓上任意一點P向向x軸作垂線段軸作垂線段PP中點中點M的軌跡。的軌跡。 解：設(shè)M(x,y), P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（ ,)Pxy22由于在x +y =4上,2200所以x +y =4.00,2xxyy2200把代入x +y =4中,得x22+4y =4,4x22即:+y =1,所以所以M點的軌跡是一個橢圓。點的軌跡是一個橢圓。復(fù)習(xí)練習(xí)復(fù)習(xí)練習(xí)P為橢圓為橢圓 + =1上一點上一點,F1

2、、F2是其左、右焦點是其左、右焦點（1）若）若|PF1|=3,則則|PF2|=_252x162y（2）過左焦點）過左焦點F1任作一條弦任作一條弦AB， 則則ABF2的周長為的周長為_（3）若點）若點P在橢圓上運動在橢圓上運動, 則則|PF1|PF2|的最大值為的最大值為_yx0F2F1PBAP72025二、橢圓二、橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax1、范圍：、范圍：, 122 ax得：得：122 by -axa, -byb 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab2、橢圓的頂點、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令

3、令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。*頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*長軸長軸、短軸短軸： 線段線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上!3.橢橢圓的對圓的對稱性稱性YXOP（x，y）P1

4、（-x，y）P2（-x，-y）3、橢圓的對稱性、橢圓的對稱性22221(0)，xyabab在之中 把把(X)換成換成(-X),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(Y)換成換成(-Y),方程不變方程不變,說明橢圓關(guān)于說明橢圓關(guān)于( )軸對稱；軸對稱； 把把(X)換成換成(-X), (Y)換成換成(-Y),方程還是不變方程還是不變,說明橢圓關(guān)說明橢圓關(guān)于于( )對稱；對稱；中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。oxy 所以，坐標(biāo)軸是所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。是橢圓的對稱中心。Y X 原點

5、原點 123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、橢圓的離心率橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而從而 b就越小，橢圓就就越小，橢圓就越扁越扁因為因為 a c 0，所以所以

6、0e babceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例例1 1、已知橢圓方程為、已知橢圓方程為16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400，則，則它的長軸長是它的長軸長是： ；短軸長是短軸長是： ；焦距是焦距是： ；離心率等于離心率等于： ；焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是： ；頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是： ； 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80解題步驟：解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求、

7、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：1162522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置. 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) a=6, e= , (1) a=6, e= , 焦點在焦點在x x軸上軸上(2) (2) 離心率離心率 e=0.8, e=0.8, 焦距為焦距為8 8(3) (3) 長軸是短軸的長軸是短軸的2 2倍倍, , 且過點且過點P(2,-6)P(2,-6)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時, 應(yīng)應(yīng): 先定位先定位(焦點焦點), 再定量（再定量（a、b）當(dāng)焦點位置不確定時，要討論，此時有兩個解！當(dāng)焦點位置不確定時，要討論

8、，此時有兩個解！31(4)在在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為且焦距為61323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222xx或191822yx 練習(xí)練習(xí)2 2：過適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：過適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）經(jīng)過點）經(jīng)過點 、 ；（2 2）長軸長等于）長軸長等于 , ,離心率等于離心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由題意，）由題意， , ,又又長軸在長軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3a 2b x22194

9、xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx例例3.3.已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點P P（3 3，0 0），），求橢圓的方程。求橢圓的方程。1981192222xyyx或 例例4 如圖如圖.一種電影放映燈泡的放射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓一種電影放映燈泡的放射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分的一

10、部分.過過對稱軸的截口對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一燈絲位于橢圓的一個焦點個焦點F1上上,片門位于另一個焦點片門位于另一個焦點F2上上.由橢圓一個焦由橢圓一個焦點點F1發(fā)出的光線發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點焦點F2,已知已知 求截口求截口BAC所在橢圓的方程所在橢圓的方程.121122.8,4.5,BCFFFBCM FFCM，xyoF1F2ABC例題例題3 3離心率離心率 e e(1).若橢圓若橢圓 + =1的離心率為的離心率為 0.5，則：，則：k=_82kx92y(2).若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成

11、等差數(shù)列，若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列， 則其離心率則其離心率e=_445或53例例5 5 點點M M（x, ,y) )與定點與定點F F（4 4，0 0）的距離和它到定直線）的距離和它到定直線l: 的距離的比為的距離的比為 ，求點，求點M M的軌跡的軌跡. .254x 45例例5、 解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè)d是點是點M到直線到直線L的距離，根據(jù)題意，所求軌的距離，根據(jù)題意，所求軌跡的集合是：跡的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyabab 這是一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點這是一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以

12、點M的的軌跡是長軸、短軸分別是軌跡是長軸、短軸分別是2a、2b的橢圓。的橢圓。點點M（x,y）與定點）與定點F（c,0）的距離）的距離 和它到定直線和它到定直線的距離比是常數(shù)的距離比是常數(shù)2:al xc(0).caca求求M點的軌跡。點的軌跡。|M FcPMda平方，化簡得平方，化簡得 ：222,:acb令可化得橢圓的準(zhǔn)線與離心率橢圓的準(zhǔn)線與離心率離心率離心率：橢圓的準(zhǔn)線橢圓的準(zhǔn)線 ：2axc2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLLFF離心率的范圍離心率的范圍：01e相對應(yīng)焦點相對應(yīng)焦點F（c,0），準(zhǔn)線是：），準(zhǔn)線是：相對應(yīng)焦點相對應(yīng)焦點F（- c,0），準(zhǔn)線是：），準(zhǔn)線是：2axc2axc 6F F為橢圓為橢圓 的右焦點的右焦點, P, P為橢圓上一為橢圓上一動點動點, , 求求|PF|PF|的最大值和最小值的最大值和最小值12222byax1. 1.基本量基本量: : a