青島版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《正多邊形與圓》

1、?正多邊形與圓?第1課時(shí)教案 探究版一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1了解正多邊形和圓的有關(guān)概念，了解正多邊形和圓的關(guān)系.2理解并掌握正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念以及它們之間的關(guān)系， 并能應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.過程與方法結(jié)合生活中的正多邊形， 發(fā)現(xiàn)正多邊形與圓的關(guān)系，然后學(xué)會(huì)運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，解決正多邊形的問題.情感、態(tài)度經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)來源于生活，又效勞于生活，體會(huì)事物之 間是相互聯(lián)系、相互作用的.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索正多邊形與圓的關(guān)系， 弄清正多邊形的中心、 半徑、邊心距、中心角的概念.難點(diǎn)：掌握正多邊形的半徑、中心角、邊心距和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.三、教學(xué)

2、過程設(shè)計(jì)一復(fù)習(xí)引入前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多邊形和正多邊形的概念，知道了正多邊形的各角相等，各邊也相等，知道了多邊形的外角和等于360° n邊形的內(nèi)角和等于n-2180。，也研究了等邊三角形正三角形、正方形正四邊形的判定和性質(zhì)，那么正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？這 節(jié)課我們就來探究這個(gè)問題.設(shè)計(jì)意圖：通過簡(jiǎn)單回憶前面所學(xué)的知識(shí)引入本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.二探究新知觀察與思考觀察下列圖中的正多邊形，思考下面的問題：正三角形正方形正五邊形正六邊形(1) 它們都是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，分別畫出每個(gè)圖形所有的對(duì)稱軸，并說出這些對(duì)稱軸是怎樣的直線.師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考、討論并完成此題，教師訂正.答：

3、它們都是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸如下列圖所示.正方形正三角形的對(duì)稱軸是三邊的垂直平分線;正方形的對(duì)稱軸是邊的垂直平分線和對(duì)角線所在的直線；正五邊形的對(duì)稱軸是邊的垂直平分線；正六邊形的對(duì)稱軸是邊的垂直平分線和相 隔兩個(gè)頂點(diǎn)的兩頂點(diǎn)所確定的直線.(2) 正三角形有幾條對(duì)稱軸？正四邊形、正五邊形、正六邊形呢？由此你能猜想正n 邊形有幾條對(duì)稱軸嗎？師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考、討論并完成此題，教師訂正.答：正三角形有 3條對(duì)稱軸；正四邊形、正五邊形、正六邊形分別有4條、5條、6條對(duì)稱軸；正n邊形有n條對(duì)稱軸.(3) 通過畫圖，你發(fā)現(xiàn)正多邊形的各條對(duì)稱軸有怎樣的特征？由此你能推出正多邊形 的什么性質(zhì)？師

4、生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生答復(fù)，教師補(bǔ)充完善.答:正多邊形的各條對(duì)稱軸相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，至U各邊的距離也相等.正多邊形的性質(zhì)：正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形有n條對(duì)稱軸；正多邊形的各條對(duì)稱軸相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，到各邊的距離也相等.(4) 利用尺規(guī)作出一個(gè)正三角形的外接圓和內(nèi)切圓，你發(fā)現(xiàn)正三角形的外接圓的圓心與內(nèi)切圓的圓心有什么特征？師生活動(dòng)：教師出示問題，讓學(xué)生先畫圖，然后再把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說出來.答：如下列圖所示，是同心圓，且圓心是各對(duì)稱軸的交點(diǎn).該點(diǎn)到正三角形的各頂點(diǎn)的距 離相等，至U三邊的距離也相等.(5) 畫出一個(gè)正方形，你能

5、說出它的外接圓和內(nèi)切圓的位置嗎？你發(fā)現(xiàn)正方形的外接圓與內(nèi)切圓有什么特征？師生活動(dòng)：教師出示問題，讓學(xué)生先畫圖，然后再答復(fù)下列問題.答：正方形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓，圓心是各對(duì)稱軸的交點(diǎn).該點(diǎn)到正方形的各頂點(diǎn)的距離相等，至U四條邊的距離也相等.(6) 由(4) ( 5)你猜想正多邊形都有外接圓和內(nèi)切圓嗎？如果有，它們的外接圓與內(nèi) 切圓有什么特征？師生活動(dòng)：教師出示問題，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論.答:任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓， 圓心是各對(duì)稱軸的交點(diǎn).外接教師講解：如下列圖，正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心, 圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做

6、正多邊形的邊心距.(a)(b)正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓可以看出，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等.的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形的每個(gè)中心角都等于n(7) 你能分別說出上圖中正方形與正六邊形的中心、半徑、邊心距和中心角的度數(shù)嗎？ 師生活動(dòng)：教師出示問題，讓學(xué)生完成此題.答：上圖中正方形的中心為點(diǎn) 0,半徑為OA，邊心距為0P,中心角的度數(shù)是 90°正 六邊形的中心為點(diǎn) 0,半徑為0A，邊心距為 0P，中心角的度數(shù)是 60°(8) 正n邊形的n條半徑把正n邊形分成了 n個(gè)怎樣的圖形？相應(yīng)的邊心距把其中每 一個(gè)圖形又分成了兩個(gè)怎樣的圖形？師生活動(dòng)：教師出示問題，

7、讓學(xué)生先畫圖，再答復(fù)下列問題.答:正n邊形的n條半徑把正n邊形分成了 n個(gè)全等的等腰三角形， 相應(yīng)的邊心距把其 中每一個(gè)等腰三角形又分成了兩個(gè)全等的直角三角形.(9) 如果正三角形的邊長(zhǎng)為 a，那么它的外接圓的半徑 r和內(nèi)切圓的半徑 d分別是多 少？它們之間滿足什么關(guān)系？ 一般地， 如果正n邊形的邊長(zhǎng)為an,半徑為rn,邊心距為dn, 這三個(gè)量之間有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：教師出示問題，讓學(xué)生先根據(jù)題意畫出圖形，然后引導(dǎo)學(xué)生完成此題.答：它的外接圓的半徑e-ia ,內(nèi)切圓的半徑d=a ,它們之間滿足36f 2 果正n邊形的邊長(zhǎng)為an,半徑為rn,邊心距為dn,那么這三個(gè)量之間的關(guān)系為 dn 色 二

8、J .12丿(10) 以正n邊形的中心0為旋轉(zhuǎn)中心，將正n邊形旋轉(zhuǎn)360，你能得到什么結(jié)論？n師生活動(dòng)：教師出示問題，讓學(xué)生思考、討論后答復(fù)下列問題.答：以正n邊形的中心0為旋轉(zhuǎn)中心，將正 n邊形旋轉(zhuǎn) 色0后與原來的圖形重合.n(11) 正n邊形是中心對(duì)稱圖形嗎？師生活動(dòng)：教師出示問題，學(xué)生思考、討論并答復(fù)下列問題，教師訂正.答：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正 n邊形是中心對(duì)稱圖形，它的中心0是對(duì)稱中心當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正n邊形不是中心對(duì)稱圖形.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、推理論證能力及歸納概括能力.(三) 例題精講例1 一個(gè)正六邊形花壇的半徑為 R,求花壇的邊長(zhǎng) a,周長(zhǎng)p和面積S.師生活動(dòng)：教師出例如題，

9、讓學(xué)生完成此題，教師針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題講評(píng).解：如下列圖所示，ABCDEF為正六邊形連接 OA, OB ,作0G丄AB ,垂足為點(diǎn)G,那么OA=OB = R, AB=a.C在等腰三角形AOB中，1 1 360 °/ GOB=丄 / AOB=丄=302 26' a=2GB=2Rsin 30 =R.J3 p=6R.T OG= Rcos 30 = R,1 332-S6 S aob= 6 R R R .2 2 2設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.例2如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC4, OG丄BC,垂足為 G,求這個(gè)正六邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距.師生活

10、動(dòng)：教師出例如題，學(xué)生思考、討論，教師分析、引導(dǎo)，師生共同完成解題過程.解：如圖，連接OD .六邊形ABCDEF為正六邊形,360 o / COD= =60 °6 COD為等邊三角形.1 1 CD=OC=4 .在 Rt COG 中，OC=4, CG= BC= X4=22 2 OG= OC2 _CG2 = 42 22 =2 3 .正六邊形 ABCDEF的中心角為60°邊長(zhǎng)為4,邊心距為 2 3 .設(shè)計(jì)意圖：教師通過引導(dǎo)學(xué)生將半徑、中心角、邊心距等數(shù)量，在一個(gè)直角三角形中 聯(lián)系起來，將多邊形化歸為三角形，表達(dá)了化歸思想.四挑戰(zhàn)自我如圖，正六邊形 ABCDEF的邊長(zhǎng)為5，求對(duì)角線

11、 AD、AC的長(zhǎng).參考答案解：由正六邊形的性質(zhì)可得/ABC=Z BCD =120° , AB=BC.在厶 ABC 中，/ CAB= / ACB=30° . / ACD= / BCD- / ACB=120°-30°=90° ,即厶 ACD 是直角三角形. AD是正六邊形 ABCDEF外接圓的直徑. 正六邊形的邊長(zhǎng)與外接圓的半徑相等， AD=10 .在 Rt ACD 中，AC= . AD2 CD2 = 102 -52 =5 3 .設(shè)計(jì)意圖：通過本環(huán)節(jié)讓教師查看學(xué)生對(duì)剛剛學(xué)過的知識(shí)的掌握情況.五課堂練習(xí)1.下面的命題是真命題嗎？如果不是，請(qǐng)舉出一個(gè)反

12、例.1正多邊形的對(duì)稱軸是經(jīng)過正多邊形的頂點(diǎn)和中心的直線；(2) 邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形;(3) 既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的多邊形是正多邊形；(4) 有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓的多邊形是正多邊形.2完成下表中正多邊形的計(jì)算，并把計(jì)算結(jié)果填入表內(nèi):邊數(shù)n內(nèi)角a中心角a半徑Rn邊長(zhǎng)an邊心距rn周長(zhǎng)Pn面積Sn32品4612師生活動(dòng)：教師找?guī)酌麑W(xué)生板演，講解出現(xiàn)的問題.參考答案1 解：(1)假命題；反例：過正方形對(duì)邊中點(diǎn)的直線也是正方形的對(duì)稱軸.(2) 真命題.(3) 假命題；反例：等邊三角形只是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.(4) 假命題；反例：直角三角形既有外

13、接圓也有內(nèi)切圓，但不是正三角形.2解：邊數(shù)n內(nèi)角a中心角a半徑Rn邊長(zhǎng)an邊心距rn周長(zhǎng)Pn面積Sn360 °120 °22翻16/33応490 °90 °逅21846120 °60 °22126“設(shè)計(jì)意圖：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生穩(wěn)固所學(xué)知識(shí).(六) 課堂小結(jié)1.正多邊形的概念各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.2正多邊形的性質(zhì)(1) 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正 n邊形有n條對(duì)稱軸；(2) 正多邊形的各條對(duì)稱軸相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，到 各邊的距離也相等；(3) 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切

14、圓，這兩個(gè)圓是同心圓，圓心是各對(duì)稱軸的交點(diǎn).3. 與正多邊形有關(guān)的概念1正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心；2正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；3正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距；4正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形的每個(gè) 中心角都等于36匕.n師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容.四、課堂檢測(cè)設(shè)計(jì)1. P是正六邊形 ABCDEF的外接圓上的一點(diǎn)，那么/ APB的度數(shù)為.A. 60 °B. 120 °C. 30 °D . 30?；?150 &