高等數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)ppt課件

1、 高等數(shù)學(xué)練習(xí)題高等數(shù)學(xué)練習(xí)題解解.cos. 1660ydxxxdy求二重積分660cosydxxxdyxdyxxdx060cos600cosdxyxxx60cosxdx.21DdyxfD其中積分區(qū)域化為二次積分重積分將二,),( 2.4)21) 12222所圍成和（是由兩圓周（yxyxoyxcos2cos4DDddfdyxf)sin,cos(),(22cos4cos2)sin,cos(dfd解解xyxxyx422222利用“先二后一計算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz3. 試計算橢球體試計算橢球體1222222czb

2、yax的體積 V.解法解法1xyzabczDz解法解法2利用三重積分換元法. 令cos,sinsin,cossinrczrbyrax那么),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 ro oxyz2 4 .求三重積分求三重積分dvzyxI)(22.2222圍成及平面是由曲面其中zyxzo oxyz2解解)(2122yxz2z),(yx.2)(21, 4| ),(2222zyxyxzyx.221, 20 ,20| ),(2zrrzrdvzyxI)(22dzrdrdzr224sincosDrzdz

3、drdr222252sincos15256)cos1 (cos22022d15256)22143221(2.15324:22 yxD2222zyxz422yx 5.計算,d22syxL其中L為圓周.22xayx 解解 參數(shù)方程計算參數(shù)方程計算,:L)20( txaoy)cos1 (2txatyasin2t那么tyxsdd22 tad2syxLd22saxLddtaaa2cost1220dtta212cos2022duua022cosduua2022cos2.22a 第二型曲線積分的計算 1. 直接計算法 2. 利用格林公式化為二重積分計算格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一階延續(xù)偏

4、導(dǎo)數(shù)，L+ 那么DLdxdyyPxQQdyPdx)( 3.利用積分與途徑無關(guān)的條件，選擇便于積分的途徑 D：單連域， P、Q在D 上具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且)(上在DyPxQ;QdyPdx 1L0與路徑無關(guān)積分; 0QdyPdx 2Dc0任意.Qdy Pdx 30分是某一二元函數(shù)的全微6. 計算計算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時針方向以原點為中心,CoyxABL解法解法1 令令,22xyQyxP那么xQ這闡明積分與途徑無關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑的上半圓周.解法解法2 ,BA它與L所圍區(qū)域為D,CoyxABLDyxdd0y

5、xyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)332aBALyxyxyxId)(d)(22那么添加輔助線段DyaLxo計算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax(sin2 )d(cos2)dxxLIeyyxeyyBA2a沿逆時針方向.ABABL7.yxDdd22yPxQdxedxexax0)20cos(0sin0第二型曲面積分的計算第二型曲面積分的計算yxDyxyxzzS ),( , ),(:曲面曲面上側(cè)上側(cè),下側(cè)下側(cè)SyxRxzQzyPdddddd)(,(,()(,(,(yDxzyxzyxQzyxzyxPxy.),(,(

6、dxdyyxzyxR上側(cè)正下側(cè)負曲面曲面zyDzyzyxxS ),( , ),(:前側(cè)前側(cè),后側(cè)后側(cè)SyxRxzQzyPIdddddd)(,),(),),(yDxzyzyxQzyzyxPyzdydzxzyzyxRz)(,),(前側(cè)正后側(cè)負前側(cè)正后側(cè)負)xzDxzxzyyS ),( , ),(:右側(cè)右側(cè),左側(cè)左側(cè)曲面曲面),(,()(),(,(zzxyxQyzzxyxPIzxDx.)(),(,(dzdxyzxzyxRzyxDyxyxzzS ),( , ),(: SyxzyxRdd),(yxDyxR),(),(yxzyxdd光滑曲面光滑曲面上側(cè)正下側(cè)負(前側(cè)正后側(cè)負前側(cè)正后側(cè)負)zyDzyzyxx

7、S ),( , ),(:光滑曲面光滑曲面 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(前側(cè)前側(cè)后側(cè)后側(cè)單值單值單值單值小結(jié)小結(jié):光滑曲面光滑曲面 xzDxzxzyyS ),( , ),(:右側(cè)右側(cè)左側(cè)左側(cè) xzDSxzzxzyxQxzzyxQdd),(,(dd),(右側(cè)正左側(cè)負右側(cè)正左側(cè)負) 8. 求求 其中其中S為上半球面為上半球面 .zxdxdyyzdzdxIS222yxRz 的上側(cè)的上側(cè).解解 這里P=0，Q=yz，R=zx,zxfx,zyfy于是于是1)()(RfQfPyxzxzyyz.2222yxRxydxdyyxRxyIRyxD222:2222)(drrdrRrrR

8、rD0,20:2222)cossin(drrRrddrrdRR22202003202cossin202202sin4sindd,44留意：留意：.414RIRrDdrdr0,20:23sin(drdrRrRrD0,20:222cos. 0cos20dSyxzSdxdyyx2222z,e. 9為錐面其中計算1z及平面.2所圍成的立體外表外側(cè)及z1s2s3s 123SSS原式解解41222222yxyxdxdyyxe12222yxdxdyyxe422222yxdxdyyxexyz2120rdrredr1020rdrred20220rdrred.22e的解滿足初始條件求微分方程1| 1dxdy .1

9、0022xyxyyx ),1)(1 (dxdy 2xy原方程化為解dxx)1 (y1dy , 2得分離變量 ,得積分 ,21-xarctgy2Cx ,4C 1|y0 x代入求得以 故所求之解為試求且經(jīng)過點處的斜率等于一曲線在點),01(,),(.11yxyx該曲線的方程 .12 xex解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 那么有如下關(guān)系式那么有如下關(guān)系式:yxxydd10 xyxxyd2Cx 2(C為恣意常數(shù))由 得內(nèi)與路徑在右半平面設(shè)曲線積分)0()(2)( 11.2xdyxxxfdxxyfL).(, 1) 1 ()(,xffxf求可導(dǎo)且其中無關(guān)有依題意列方程解之由

10、恰當條件解,Q xyP,)(2yf(x)2yxxxxf2x,-(x)f2x2f(x)f(x) 即. 1)(21)(xfxdxxdf)1(ef(x) 212x1-dxeCdxxdx)(eln21ln21-dxeCxx)(e21ln21-dxxCx)32(x2321-xC .32x21-xC代入初始條件f(1)=1,得所以,31C.3132)(xxxf按段光滑的閉平面上任意為設(shè)曲線積分LxoyLdydxxfxyxf, 0)(2)( 12. 曲線，f(x)在).(, 1)0(, 1)0(,),(xfff求且上二次可微 解 由題設(shè)沿閉回路的第二型曲線積分等于零和與道路無關(guān)的定理，知被積函數(shù)必滿足恰當條

11、件，這里(x),f -y)Q(x, ),(2),(2xfxyyxP)1(,yP得二階方程由xQ).()(22xfxf x 1留意：題設(shè)f(x)是x的函數(shù)，這里不一定有y=f(x)這是不顯含f(x)的二階方程，得則令,dxdp(x)f ,)( pxf,22xpdxdp,22xdxpdp,112Cxp所以得代入, 1, 1)0(1Cf,112xp.11)(2xxf再積分，得. 1arctan)(xxf,arctan)(2Cxxf代入f(0)=1,得C2=1,所求函數(shù)13.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程特征方程, 052234特征根:i21, 04,321因此原方程通解為xCC

12、y21)2sin2cos(43xCxCex14.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程特征方程:, 045特征根 :1, 054321原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx試求且經(jīng)過點處的斜率等于一曲線在點),01(,),(.15yxyx該曲線的方程 . 12xeyx解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 那么有如下關(guān)系式那么有如下關(guān)系式:yxxydd10 xy由 得,ddxyxy,)(, 1)(xxQxpCdxQeeypdxpdxCdxxeedxdxCdxxeexx)(Cexeexxx1xCex由 得 C = 2, 因此所求曲線方程為 ,(x) 16. 且滿足連續(xù)設(shè)函數(shù)xxxdttxdtttex00)()()( 解解)()()()(0 xxdttxxexxx(1) ,)(0 xxdtte再求導(dǎo)，得再求導(dǎo)，得.)()(xexx 初始條件為初始條件為(2) 1.(0) , 1)0( 特征方程與特征根為:, 012,2, 1i.sincos)( 21xCxCx故設(shè)不是特征根中自由項由于,1,)() 1 (xexf,)(*)(* ,)(*xxaexxaex ,