實(shí)變函數(shù)題庫集

1、實(shí)變函數(shù)試題庫及參考答案本科、題1 設(shè)A,B為集合，貝U ABUB_AUB（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）2設(shè)A是B的子集，貝UA_B（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）3如果E中聚點(diǎn)都屬于E，則稱E是閉集4.有限個(gè)開集的交是開集5設(shè)Ei、E2是可測集，則m HUE?_mE!mE?（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）n*6 設(shè)E ?是可數(shù)集，則m E=07設(shè)f x是定義在可測集E上的實(shí)函數(shù)，如果a ?1,E x f x a是可測集，則稱f x在E上可測8 可測函數(shù)列的上極限也是可測函數(shù)9設(shè)fnx f x,gnx g x，貝V仁X gnx f X g x10 設(shè)f x在E上L可積，貝y f x在E上可積11設(shè)

2、代B為集合，則B A UA A（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）12設(shè)A 2k 1 k 1,2丄，則A=a（其中a表示自然數(shù)集N的基數(shù)）13 設(shè)E ?n，如果E中沒有不屬于E，則稱E是閉集14 任意個(gè)開集的并是開集15.設(shè)E1、E2是可測集，且E1E2，則mE1mE216. 設(shè)E中只有孤立點(diǎn)，貝Um*E=017設(shè)f x是定義在可測集E上的實(shí)函數(shù)，如果a ?1,E x f x a是可測，則稱f x在E上可測18 可測函數(shù)列的下極限也是可測函數(shù)19設(shè)fnx f x,gnx g x，貝卩fnx gnx f X g X20設(shè)nx是E上的單調(diào)增收斂于f x的非負(fù)簡單函數(shù)列，貝yf x dxlimnx dxE

3、n E21 設(shè)A, B為集合，則A B UB B22設(shè)A為有理數(shù)集，則A=a（其中a表示自然數(shù)集N的基數(shù)）23設(shè)E ?n，如果E中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開集24 有限個(gè)閉集的交是閉集25設(shè)E ?n，則m*E0 26設(shè)E是？n中的區(qū)間，貝Um E=E的體積27設(shè)f x是定義在可測集E上的實(shí)函數(shù)，如果a ?1,E x f x a是可測集，則稱f x在E上可測28 可測函數(shù)列的極限也是可測函數(shù)29.設(shè)fnx f x，gnx g x a.e.，貝yfnX g x30設(shè)fnx是E上的非負(fù)可測函數(shù)列，且單調(diào)增收斂于f x，由勒維定理，有f x dxlim fnx dxEn En31 設(shè)A, B為集合，

4、則B AI B U A=AU B32設(shè)A為無理數(shù)集，則A=c(其中c表示自然數(shù)集0,1的基數(shù))33設(shè)E?n，如果E中沒有不是內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)，則稱E是開集34. 任意個(gè)閉集的交是閉集nn*c35.設(shè)E?，稱E是可測集，如果T ?,m T mTIE mTIE36設(shè)E是外測度為零的集合，且F E,則m*F=037設(shè)f x是定義在可測集E上的實(shí)函數(shù)，如果a ?1,E xa f x b是可測，(a b)則稱f x在E上 可測38.可測函數(shù)列的上確界也是可測函數(shù)39設(shè)fnXf x,gnx g xa.e.，貝yfnx；g.x f x g x40設(shè)fnxf x，那么由黎斯定理，fnx有子列fnkx，使fnkxf x

5、 a.e.于E41設(shè)代B為兩個(gè)集合，則A B_ AI Bc.(等于)42. 設(shè)E R，如果E滿足E E(其中E表示E的導(dǎo)集),則E是閉.43. 若開區(qū)間(，)為直線上開集G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間，則(，)滿(i)(a,b) G(ii)a G,b G44. 設(shè)A為無限集.則A的基數(shù)A_a(其中a表示自然數(shù)集N的基數(shù)) 答案：45.設(shè)E1,E2為可測集，mE2，則口(巳E2)_mE1mE?.答案：46. 設(shè)f(x)是定義在可測集E上的實(shí)函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)a，都有Ex f(x) a是可測集E上的可測函數(shù).47. 設(shè)X。是E(R)的內(nèi)點(diǎn)，則m*E_0. 答案48. 設(shè)fn(x)為可測集E上的可測函數(shù)列，且fn

6、(x)f(x)，x E，則由_黎斯定理可知得 存在fn(x)的子列a.efnk(x)，使得fnk(x) f (x) (x E).49.設(shè)f(x)為可測集E(Rn)上的可測函數(shù) 貝U f (x)在E上的L積分值不一定存在且| f(x)|在E上不一定L可積.50.若f(x)是a，b上的絕對連續(xù)函數(shù)，則f (x)是a，b上的有界變差函數(shù)51 設(shè)A, B為集合，則AU B_(B A)UA答案=52設(shè)E Rn，如果E滿足E0E(其中E0表示E的內(nèi)部)，貝U E是開集53設(shè)G為直線上的開集，若開區(qū)間(a,b)滿足(a,b) G且a G,b G，則(a,b)必為G的構(gòu)成區(qū)間54設(shè)A x|x 2n,n為自然數(shù)

7、，則A的基數(shù)=a(其中a表示自然數(shù)集N的基數(shù))55設(shè)A, B為可測集，B A且mB，則mA mB_m(A B)答案=56設(shè)f (x)是可測集E上的可測函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)a,b(a b)，都有Ex a f(x) b是可測集57若E( R)是可數(shù)集，則mE_O答案=a.e58 設(shè)fn(x)為可測集E上的可測函數(shù)列，f (x)為E上的可測函數(shù)，如果fn(x) f (x)(X E),則fn(x) f (x)x E不一定成立59設(shè)f (x)為可測集E( Rn)上的非負(fù)可測函數(shù)，則f (x)在E上的L積分值一定存在60若f (x)是a,b上的有界變差函數(shù)，則f (x)必可表示成兩個(gè)遞增函數(shù)的差(或遞減函數(shù)

8、的差)多項(xiàng)選擇題(每題至少有兩個(gè)以上的正確答案)1設(shè)E 0,1 中無理數(shù)，則(ACD )A E是不可數(shù)集B E是閉集C E中沒有內(nèi)點(diǎn)D mE 12設(shè)E ?n是無限集，則(AB )A E可以和自身的某個(gè)真子集對等BE a(a為自然數(shù)集的基數(shù))C EDm*E 03設(shè)f X是E上的可測函數(shù)，則(ABD )A函數(shù)f x在E上可測B f x在E的可測子集上可測C f x是有界的D f x是簡單函數(shù)的極限4.設(shè)f x是a,b上的有界函數(shù)，且黎曼可積，則( ABC )A f x在a,b上可測B f x在a,b上L可積C當(dāng)E是不可測集時(shí),Ex可以是可測函數(shù)C f x在a,b上幾乎處處連續(xù)D f x在a,b上幾

9、乎處處等于某個(gè)連續(xù)函數(shù)m E可以等于0 Bm E 0C E可能是可數(shù)集D E不可能是可數(shù)集函數(shù)f x在E上可測f x是非負(fù)簡單函數(shù)列的極限f x是有界的f x在E的可測子集上可測8.設(shè)fx是a,b上的連續(xù)函數(shù)，則（ABD )Af x在a,b上可測Bf x在a,bb上L可積，且Rf x dxLf x dxaba,bCf x在a,b上L可積，但Rf x dxLf x dxaa,bDf x在a,b上有界貝 9( ABDE是可測集B E的任何子集是可測集C E是可數(shù)集D E不一定是可數(shù)集n,Ex1 x E，則(AB)E0 x Ec當(dāng)E是可測集時(shí)，Ex是可測函數(shù)Ex是可測函數(shù)時(shí)，E是可測集5. 設(shè)E ?

10、n，如果E至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則（BD ）6.設(shè)E ?n是無限集，則（AB ）E含有可數(shù)子集B E不一定有聚點(diǎn)CE含有內(nèi)點(diǎn)D E是無界的7.設(shè)f x是E上的可測函數(shù)，則（BD )9.設(shè)D x是狄利克萊函數(shù)，即0,10,1中有理數(shù)，則（BCD ）中無理數(shù)x幾乎處處等于1幾乎處處等于0 x是非負(fù)可測函數(shù)是L可積函數(shù)10.設(shè)11.D當(dāng)Ex是不是可測函數(shù)時(shí)，E不一定是可測集12.設(shè)f x是a,b上的連續(xù)函數(shù)，則（BD ）A f x在a, b上有界B f x在a, b上可測C f x在a, b上L可積D f x在a,b上不一定L可積13 設(shè)f x在可測集E上L可積，則（AC ）A f x，f x都是E上的非

11、負(fù)可積函數(shù)B f x和f x有一個(gè)在E上的非負(fù)可積C f x在E上L可積D f x在E上不一定L可積14.設(shè)E ?n是可測集，則（AD）A Ec是可測集B mEC E的子集是可測集D E的可數(shù)子集是可測集15設(shè)fnx f x，則（CD ）A fnx幾乎處處收斂于f xB fnx一致收斂于f xC fnx有子列fnx，使fnx f x a.e.于ED fnx可能幾乎處處收斂于f x16. 設(shè)f x是a,b上有界函數(shù)，且L可積，則（BD ）Af x在a,b上黎曼可積Bf x在a,b上可測Cf x在a,b上幾乎處處連續(xù)Df x在a,b上不一定連續(xù)17. 設(shè)E 0,1中的無理點(diǎn)，則（CD）（A）E是可

12、數(shù)集 （B）E是閉集 （C）E中的每個(gè)點(diǎn)均是聚點(diǎn)（D）mE 0D當(dāng)Ex是不是可測函數(shù)時(shí)，E不一定是可測集18. 若E（R）至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則（BD）(A)mE可以等于0(B)m E 0( C)E可能是可數(shù)集(D)E不可能是可數(shù)集(B)E是閉集(D)E中的每一點(diǎn)均為E的內(nèi)點(diǎn)(A)E是可測集(C) E 一定是可數(shù)集(B)mE 0(D)E一定不是可數(shù)集fn(x)f(x),(x E)，則下列哪些結(jié)果不一定成立(ABCD(A)Ef (x)dx存在(B)f (x)在E上L-可積a.e(C)fn(x)f (x) (x E)(D)limfn(x)dxf (x)dxnEE24.若可測集E上的可測函數(shù)f (x)在

13、E上有L積分值，則( AD )(A)f (x)L(E)與f(x)L(E)至少有一個(gè)成立(B)f (x)L(E)且f(x)L(E)(C)| f (x)|在E上也有L-積分值(D)| f(x)|L(E)、單項(xiàng)選擇1.下列集合關(guān)系成立的是(A)AB A I ABA B I ACA B UB ADB A U A B2. 若ERn是開集， 則(B)AEE B E0ECEED E E22若E( R)的外測度為0，則( AB )23 .設(shè)mE，fn(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，如果19.a,b是可測集，E的特征函數(shù)E(x)是(ABC )20.21.(A)(B)a

14、,b上的符號(hào)函a,b上的可測函(C) E 上的連續(xù)函數(shù)(D)a,b上的連續(xù)函數(shù)設(shè)f(x)是a,b上的單調(diào)函數(shù)，則(ACD)(A)(C)f (x)是a, bf (x)在a,b上幾乎處處收斂0,1中的有理點(diǎn)，則( AC(B)f (x)是a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)(D)f(x)在a,b上幾乎處處可導(dǎo)(A)E是可數(shù)集4.設(shè)fnx是E上一列非負(fù)可測函數(shù), 則（ B)Elim fnE ndxlimnx dxdxlimnx dxElim fnE ndxlimnx dx血Efnn匚dxEJmfn匚n5.F列集合關(guān)系成立的是（UAUAcIAcUA6.Rn是閉集，則E07.A9.設(shè)E為無理數(shù)集，E為閉集B下列集合關(guān)系

15、成立的是（C ）E是不可測集B ）則（mED mE 0IAcAcUAAcUAc10.設(shè)Rn,P為康托集,11設(shè)A P是可數(shù)集13下列集合關(guān)系成立的是（則(BB mPP是不可數(shù)集D P是開集B則BcAcB則AcBcB則AIB則AU B14.設(shè)ERn，則E015設(shè)Ex,0A mEmEC E是R2中閉集E是R2中完備集16.設(shè)f x,g x是E上的可測函數(shù)，則（B ）21 下列集合關(guān)系成立的是(A )(A)E0(C) E 23.設(shè)Q的有理數(shù)集，則(f (x)為E上的可測函數(shù)，若f (x)dxE四、判斷題AE xf x g x不疋疋可測集BE xf x g x是可測集CE xf x g x是不可測集D

16、E xf x g x不疋疋可測集17下列集合關(guān)系成立的是(A)(A)(A B)U BAU B(B)(A B)U B A(C)(B A) U AA(D)B A A18.若ERn是開集，則(B )(A)E的導(dǎo)集E(B)E的開核E(C)E E(D)E的導(dǎo)集E19.設(shè)P的康托集，則(C)(A)P為可數(shù)集(B)P為開集(C)mP 0(D)mP 1設(shè)20、E是R1中的可測集，(x)是E上的簡單函數(shù)，則(A)mQ 0(B)Q為閉集(C)mQ 0(D)Q為不可測集(A)在E上，f (x)不一定恒為零(B)在E上，f (x)(C)在E上，f (x)0(D)在E上，f (x)(A)(x)是E上的連續(xù)函數(shù)(B)(x

17、)是E上的單調(diào)函數(shù)(C)(x)在E上一定不L可積(D)(x)是E上的可(A)AI(BUC) (AI B)U(AI C)(B)(A B)I A(C)(BA)I A(D)AUBAI B22.若ERn是閉集，則(B)(D)24.設(shè)E是Rn中的可測集,X可數(shù)個(gè)閉集的并是閉集. 可數(shù)個(gè)可測集的并是可測集 相等的集合是對等的.可數(shù)個(gè)可測函數(shù)的和使可測函數(shù) 對等的集合是相等的.可數(shù)個(gè)開集的交是開集 可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù) 對等的集合有相同的基數(shù)可列個(gè)閉集的并集仍為閉集 任何無限集均含有一個(gè)可列子集26.設(shè)f x為可測集E上的可測函數(shù)，則f x dx一定存在.E五、簡答題1. 簡述無限集中有基數(shù)最小的集合，

18、但沒有最大的集合答：因?yàn)槿魏螣o限集均含有可數(shù)集，所以可數(shù)集是無限集中基數(shù)最小的，但無限集沒有基數(shù)最大的，這是由于任何集 合A,A的幕集2A的基數(shù)大于A的基數(shù).2. 簡述點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系答：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，邊界點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)，點(diǎn)集的邊界點(diǎn)或?yàn)楣铝Ⅻc(diǎn)或?yàn)榫埸c(diǎn)3. 簡單函數(shù)、可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？答：連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)可表示成簡單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的極限19. 設(shè)E為可測集，則一定存在G集G，使E G，且E 0.20. 設(shè)E為零測集，f x為E上的實(shí)函數(shù)，貝U f x不心曰定是E上的可測函數(shù)（21. 設(shè)f x為可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，則22.

19、23.可列個(gè)開集的交集仍為開集任何無限集均是可列集(X(X)24. 設(shè)E為可測集，則一定存在F集F，使F E，且mE0.25. 設(shè)E為零測集，則f x為E上的可測函數(shù)的充要條件是：實(shí)數(shù)a都有E x f(x) a是可測集1.2.3.4. 稱f x ,g x在E上幾乎處處相等是指使f xg x的x全體是可測集.5. 可數(shù)個(gè)F集的交是F集.6.7.8. 稱f x ,g x在E上幾乎處處相等是指使g x的x全體是零測集.9. 可數(shù)個(gè)G集的并是G集.10.11.零測集上的函數(shù)是可測函數(shù)對等的集合不一定相等.12. 稱f x ,g x在E上幾乎處處相等是指使的x全體是零測集.13.14.15.16. 稱f

20、 x ,g x在E上幾乎處處相等是指使的x全體的測度大于17.18.4.a,b上單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？ 答：單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成兩個(gè)單調(diào)增函數(shù)之差 .5.簡述集合對等的基本性質(zhì) .答：A: A;若A: B，貝U B: A;若A: B，且B:C，貝U A: C.6.簡述點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)和孤立點(diǎn)之間關(guān)系 . 答：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)不是孤立點(diǎn)，邊界點(diǎn)由點(diǎn)集的孤立點(diǎn)和聚點(diǎn)組成.7.可測集與開集、G集有什么關(guān)系？答：設(shè)E是可測集， 貝0， 開集G，使G E，使m G E，或G集G，使G E，且m G E0.8.a,b上單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)有什

21、么關(guān)系？答：絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)，反之不然;有界變差函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù).9.簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理 .答：若A: B B，又B: AA，貝U A: B10. 簡述R1中開集的結(jié)構(gòu) .答：設(shè)G為R1中開集，則G可表示成R1中至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并.11. 可測集與閉集、F集有什么關(guān)系？答：設(shè)E是可測集，則0,閉集F E，使m EF或F集FE，使m EF .12. 為什么說絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微？ 答：因?yàn)榻^對連續(xù)函數(shù)是有界變差，由若當(dāng)分解定理，它可表示成兩個(gè)單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限 的導(dǎo)數(shù)，所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微 .13.

22、 簡述連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù)的理由 .答:連續(xù)集是無限集，因而包含可數(shù)子集，又連續(xù)集是不可數(shù)集，所以連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù).14. 簡述Rn中開集的結(jié)構(gòu) .答：Rn中開集可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的半開半閉區(qū)間的并15. 可測函數(shù)列幾乎處處收斂、依測度收斂和近一致收斂的關(guān)系？答：設(shè)fnx , f x是可測集E上的一列可測函數(shù)，那當(dāng)mE時(shí)，fnx f x , a.e于E，必有fnx f x.反之不成立，但不論mE還是mE，fnx存在子列fnkx，使fnx f x ,a.e于E.當(dāng)mE時(shí)，fnx f x ,a.e于E，由Egoroff定理可得fnx近一致收斂于f x，反之，無需條件mE，結(jié)

23、論也成立 .16. 為什么說有界變差函數(shù)幾乎處處可微？ 答：由若當(dāng)分解定理，有界變差函數(shù)可表示成兩個(gè)單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處可微，所以有界變差函數(shù)幾 乎處處可微 .17. 簡述無窮多個(gè)開集的交集是否必為開集？2x1 1答：不一定，如I 1丄，1丄1,1n 1n n18.可測集E上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有什么關(guān)系？答：簡單函數(shù)必是可測函數(shù)但可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù)，可測函數(shù)一定可表示成簡單函數(shù)列的極限形式19.a,b上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有什么關(guān)系？答：單調(diào)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成單調(diào)函數(shù)之差20.簡述無窮多個(gè)閉集的并集是否必為閉集？1

24、 1答：不一定 如U 1, 11,1n 1n n21.可測集E上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？答：E上連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)但E上的可測函數(shù)不一定時(shí)連續(xù)函數(shù)，E上可測函數(shù)在E上是“基本上”22.a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？答：絕對連續(xù)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為絕對連續(xù)函數(shù)六、計(jì)算題2xx E，其中E為0,1中有理數(shù)集，求11.設(shè)f X3x:x dxx 0,1E0,1解：因?yàn)閙E0，所以f xx3, a.e于0,1， 于是f x dxx3dx，0,10,1而x3在0,1上連續(xù)，從而黎曼可積，故由黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系,因此lim fnx dx 0.n0,1

25、3 .13 .x dxRx dx00,1因此fx dx10,14.4XTl2.設(shè)rn為0,1中全體有理數(shù),fnX1 x甘2丄rn0 X 0,1甘2丄，求limfnx dx.n0,1解：顯然fnx在0,1上可測，另外由fnx定義知,fnx0,a.e于0,1 n 1所以fnx dx0,10dx 00,1連續(xù)的函數(shù)2x解：因?yàn)閙P 0，所以f xx2,a.e于0,13.設(shè)f Xsin xx Px 0,1 PP為康托集，求x dx.0,1解：因?yàn)閒nx在0,1上連續(xù)，所以可測n 1,2丄于是f x dxx2dx0,1 0,12而X在0,1上連續(xù)，所以02而cosx在0,上連續(xù)，所以黎曼可積，由牛頓萊布

26、尼公式2cosxdx0,1Rcosxdx0sin x |o1因此fx dx16.設(shè)fnxnxcos nx0,1， 求limfnx dxn0,1122，入x2dx0,11x2dx|0因此0,1x dx4.設(shè)fnxnxsin nx0,1，求limfnx dx.n0,1解：因?yàn)閒nx在0,1上連續(xù)，所以可測n 1,2丄又fnxnxsin nxnx nx 1行壬2nx 2,x 0, ,n ,而limL 0，所以lim fnx 0.n1 n2x2nlimfnx dxlimfnx dx0dx 00,10,10,13xxE5.設(shè)fx，E為0,中有理數(shù)集，求1:x dxcosxx0,E22%因此由有界控制收斂

27、定理解：因?yàn)閙E 0，所以x cosx,a.e于0,1于是f x dx cosxdx又fnnxcos nxnx1 n x因此由有界控制收斂定理而limn0，所以limn0,1dx0,1limn7.設(shè)f X.3sin x解：因?yàn)閙P所以fnx1 n xlim fnxnx dx0,1nx 12nx 2,x0.0dx 00,1P為康托集,x,a.e于0,1而x在0,1上連續(xù)，所以12x211xdx RX dx b -0,102 2因此f x dx】.0,12lnx nx8.求lim- e cos xdxn0,nnln x n解：令fnx0,nxn顯然fnx在0,上可測，且ln x n-e cos x

28、dxfn0,nn0,In x nx因?yàn)閒nxe cosxn于是f x dx xdx0,1 0,1xe cosxx dx0,1 ,n0,11,2,Lx dx.In x n,x 0, ,n 1,2丄n、In x n不難驗(yàn)證gnx，當(dāng)n足夠大時(shí)，是單調(diào)遞減非負(fù)函數(shù)，且nlim gnx 0，所以nlimn0,ln x n dx nlimn0,gnx dxHm gnx0,0dx 00,由勒貝格控制收斂定理limfnx dx 0n0, ln x nx故lim -e cosxdx 0.nn0,n119.設(shè)D x1 x 為 0,1 上的有理點(diǎn)0 x 為 0,1 上的無理點(diǎn)，求D x dx.0,1證明記Ei是0

29、,1中有理數(shù)集，E2是0,1中無理數(shù)集，則0,1E1U E2,E1I E2,mE10,mE21,且E2，所以D x dx 1mE10mE20,10.10求nim0ln x nx-e cosxdx.n證明易知limnln x nxe cosx 0 n對任意0,nxcosxIn x nf(y)In xy 3時(shí),f(n)Inlnlimnlimn再由limnln x n0y 0,則ln x yf (y)丄lnx y2y,f(y) 0.是單調(diào)減函數(shù)且非負(fù)（n 3）；limn0，由Levi單調(diào)收斂定理得- dxn0 nimln x n dx n00dx 0，ln x nL(E),Lebsgue控制收斂定理

30、得ln x nxe cosxdx0nln x limnnnxe cosxdx0dx2x11.設(shè)f X3x x 0,1，其中P為康托集，求0,1dx.解：因?yàn)镻為康托集，故mP 0,m 0,1 P 1x 0,1 , n 1七、證明題證明 設(shè)rn為全體有理數(shù)所成之集，則g(x)UEx|f(x) rnI Ex|g(x)儒n 1所以f xx320,1 PxP所以0,1x dx23x mP x m0,1 P12.求fnnxE0,1， 求limndx.解：易知:令fnxnxlimn1 n xnx2 2,gx0,1nx1 n2x2223n x nxnx2-2巧1 n x21nxnxn2所以0又因?yàn)間 x在0

31、,1上Lebesgue可積，所以由控制收斂定理，得limn&xE1 n x0dxE1 證明集合等式：(A B)U BAU B證明c(A B)UB (AI B ) U Bc(AI B )U(AI B)U BAI (BU B )U B AU B2設(shè)E是0,1中的無理數(shù)集，則E是可測集，且mE 1證明 設(shè)F是0,1中的有理數(shù)集，則F是可數(shù)集，*p從而mF 0,因此F是可測集，從而F可測，E 0,1 F 0,1 I Fc，故E是可測集由于EI F，所以1m0,1 m(EUF) mE mF 0mF，故mF 13設(shè)f (x),g(x)是E上的可測函數(shù)，則Ex|f(x) g(x)是可測集Ex| f(

32、x) g(x)UEx| f(x) rnn 1因?yàn)閒 (x),g(x)是E上的可測函數(shù)，所以Ex| f (x) rn,Ex|g(x)制是可測集，n 1,2丄，于是由可測所以f(x)在E上可測的充要條件是對每個(gè)n 1,2丄，f (x)在每個(gè)En上可測集性質(zhì)知Ex| f (x)g(x)是可測集因?yàn)閒(x)在E上可測，所以|f(x)|在E上非負(fù)可測，由非負(fù)可測函數(shù)積分性質(zhì),Ex|f(x) | aadxEx|f(x)|a| f (x)dxE| f ( x) | dxEx|f(x)| aadx 9 mEx|f(x)| a，所以m(AUA) m A (A I A)UA mA (A I A) mA mA m(

33、A I A2) mA,m(A(I A2) mA(mA2m(A(U A2)0n 1,2, L)，且EUEn，則f (x)在E上n 1可測的充要條件是f (x)在每個(gè)En上可測證明對任何實(shí)數(shù)a，因?yàn)?.設(shè)f (x)是E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)a 0，有mEx|f(x)| a1；E|f(x)dx證明5.設(shè)limnmEx | f(x)|f (x)是E上的L可積函數(shù),f (x)dx 0En證明因?yàn)閘im mEnn0，所以對連續(xù)性,0,0,當(dāng)e于是當(dāng)n N時(shí),mEn6.證明集合等式:(A B)證明A (A B)7.設(shè)證明1a；E|f(x)dxEn是E的一列可測子集，且lim mE,0，則0, NE, m

34、e因此|EIAl BAI (AI Bc)cAI(AI Ac)U(AIA,A2是0,1的可測子集，且mA因?yàn)锳 0,1, A20,1，所以另一方面,1，當(dāng)n N時(shí)，mEn，又f (x)在E上L時(shí)| f (x)dx|ef (x)dx|，即lim f (x)dx 0nEn可積，所以由積分的絕(AcU(Bc)c)B) AI BmA21，則AI(AcUB)m(A I A2)0AUA20,1，于是m(A1U A2)m0,1 1A u A?A (Al A2)UA2，所以&設(shè)f (x)是定義在可測集E Rn上的實(shí)函數(shù)，En為E的可測子集所以f(x)在E上可測的充要條件是對每個(gè)n 1,2丄，f (x)在

35、每個(gè)En上可測Ex| f(x) aUEnx| f (x) aU(EnI Ex| f(x) a)9.設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)a 0，有mEx| f (x) a eaEef(x)dxaf (x)f (x)e dxe dx e dxExf(x) aE x|f (x) aE/ ,aa而Ex|f(x) aedx e mEx| f(x) a，fn(x) gn(x) f(x) g(x)證明對任何正數(shù)0,由于|( fn(x) gn(x)( f (x)g(x)|fn(x) f(X)|(x) g(x) |所以Ex|(fn(x) gn(x) (f(x)g(x)|Ex I fn(x) f(x)| -U

36、Ex|gn(x) g(x)| -于是mEx|(fn(x) gn(x) (f (x)g(x) |證明 因?yàn)閒(x)在E上可測，所以ef(x)是非負(fù)可測函數(shù)，于是由非負(fù)可測函數(shù)積分性質(zhì)，所以mEx| f (x) aeaef(x)dxE10設(shè)f (x)是E上的可積函數(shù),En為E的一列可測子集，mE，如果lim mEnmEn則limnEf(x)dxEnEf (x)dx證明因f (x)在E上L可積,由積分的絕對連續(xù)性知，對任意對任何A E，當(dāng)mAmEAf (x)dx |,由于lim mEnmEn，故對上述的0，存在ko，且有mEnm(E En)|Ef(x)dxEnf(x)dx| |E Ef(x)dx|E

37、 Enlim f (x)dxn EnEf(x)dx11.證明集合等式：(AUB)C (A C)U(B C)證明(AUB) C (AU B)I Cc(AI Cc)U(BI Cc)(AC)U(B C)12 設(shè)ERn是零測集，則E的任何子集F是可測集，且mF證明設(shè)F E,m E 0，由外測度的單調(diào)性和非負(fù)性,m F mE 0,所以m F 0,于是由卡氏條件易知F是可測集13 .設(shè)fn(x), gn(x), f (x), g(x)是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，且fn(X)f (x),gn(x)g(x)9.設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)a 0，有mEx| f (x) a eaEef(x)dxm

38、Ex I fn(x) f(x)| - mEx|gn(x) g(x)| -0(n)故fn(X)gn(X)f(X)g(X)14設(shè)f (x),g(x)是E上L可積函數(shù)，則. f2(x) g2(x)在E上也是L可積的證明 因f(x), g(x)是E上L可積，所以| f(x)|,|g(x)|在E上L可積，從而|f(x)|g(x)|L可積，又，f2(x)g2(x), (| f(x) Hlg(x) |)2| f(x)|g(x) |故 .f2(x) g2(x)在E上L可積15設(shè)f (x)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，如果ef (x)dx 0，則f (x) 0ae于E證明 反證，令A(yù) Ex| f (x) 0，則由

39、f(x)的可測性知，A是可測集下證mA 0，若不然，則mA 01由于A Ex| f (x)0UEx| f (x)-，所以存在N 1,使n 1n1mEx| f(x)-Nd0于是Ef(x)dx1f (x)dxEx|f(x)丄N1111dxmEx | f (x)Ex|f(x)RNNNN 0因此f (x)dxE0,矛盾，故f(x)0a.e于E16證明等式：A (BUC) (A B)l (A C)證明cccccA (BUC) AI (BUC) AI (B I C ) (AI B )I (AI C ) (A B) I (A C)17設(shè)ERn是有界集，則m E證明 因?yàn)镋是有界集，所以存在開區(qū)間I，使E I

40、由外測度的單調(diào)性，m*Em*I,而m*l |I |118.R上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)f(x)是可測函數(shù)證明 因?yàn)閒(x)連續(xù)，所以對任何實(shí)數(shù)a,x| f (x) a是開集，而開集為可測集，因此f(x)是可測函數(shù)19設(shè)mE，函數(shù)f (x)在E上有界可測，則f(x)在E上L可積，從而a,b上的連續(xù)函數(shù)是L可積的 證明 因?yàn)閒(x)在E上有界可測，所以存在M 0,使| f (x)| M,x E,| f(x)|是非負(fù)可測函數(shù)，由非負(fù)可測 函數(shù)的積分單調(diào)性，J f(x)|dxEMdx M mE故|f(x)|在E上L可積，從而f (x)在E上L可積因?yàn)閍,b上的連續(xù)函數(shù)是有界可測函數(shù)，所以L可積的證明 對任何常數(shù)0,mEx|fn(x)|fn(x)|dx1所以mEx| fn(x)| Ex|fng |fn(x)|dX1E| fn(x)|dx 0(n)因此fn(x)021.證明集合等式：AUB C ACUBC.證明AU B C AU B I CcAI CcU BI CcACU