復(fù)變函數(shù)與積分變換考試大綱

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換考試大綱、需掌握內(nèi)容（一）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（二） 解析函數(shù)理解解析函數(shù)的定義，掌握函數(shù)解析的充要條件，會判斷一個函數(shù)是否解析了解指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)，的定義，及它們的解（三）復(fù)變函數(shù)的積分1. 理解柯西基本定理，掌握積分與路徑無關(guān)的條件2. 理解復(fù)合閉路定理（四）級數(shù)1 復(fù)數(shù)項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂、發(fā)散。2.理解復(fù)變函數(shù)展開式成泰勒級數(shù)的條件，熟悉幾種初等函數(shù)（，1- Z1，ez，sin z，cosz）的泰勒展開式1 z3.理解洛朗級數(shù)的概念及其收斂域，能熟練地把一些較簡單的函數(shù)在不 同的圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)（五）留數(shù)1.了解孤立奇點及其分類，掌握其判斷方

2、法2.掌握留數(shù)定理（八）傅里葉變換:20122012第一學(xué)期1.理解復(fù)數(shù)的各種表示法2.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及乘方、開方運(yùn)算3.理解區(qū)域的有關(guān)概念1.2.析性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)1. 知道周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)及其復(fù)數(shù)形式2.理解傅里葉變換及其逆變換的概念，掌握某些函數(shù)的傅里葉變換3.熟悉單位沖激函數(shù)、單位階躍函數(shù)、矩形脈沖函數(shù)等常見函數(shù)的變換4.掌握傅里葉變換的性質(zhì)5.掌握卷積定理（九）拉普拉斯變換1. 理解拉式變換的概念2. 掌握求拉式變換的方法3.掌握拉式變換的性質(zhì)4.掌握卷積、卷積定理，能熟練應(yīng)用拉式變換求解微分方程二、期末考核知識點一、1.初等函數(shù)的計算（如指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的計算）2.

3、用 C R 條件判斷函數(shù)的解析性3.柯西積分定理4.復(fù)級數(shù)的收斂性，絕對收斂性5.函數(shù)的泰勒級數(shù)，并說出收斂半徑6.函數(shù)的洛朗展式7.孤立奇點的分類1.區(qū)域2.復(fù)數(shù)的模3.復(fù)數(shù)的主輻角4.復(fù)方程的根5.解析函數(shù)的判斷6.復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)7.初等函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的性質(zhì)8.判斷極點的階數(shù)9.計算極點的留數(shù)的法則10 傅里葉級數(shù)的性質(zhì)三、計算復(fù)積分用留數(shù)定理四、解答1.已知實部或虛部，構(gòu)造解析函數(shù)2.把函數(shù)展成洛朗級數(shù)3 .熟悉單位沖激函數(shù)、單位階躍函數(shù)、矩形脈沖函數(shù)等常見函數(shù)的變換4.函數(shù)的傅里葉變換5.函數(shù)的拉普拉斯變換三、期末考核模擬試題一 填空題（本大題共 12 個空，每空 2 分

4、，共 24 分。將答案寫在答題紙上）1.復(fù)數(shù) z =心一1）的模為_ ，輻角為_.1 -i2.argz:且1：|z|：3所表示的平面點集是區(qū)域嗎？是單連43通域還是多連通域？ _.3、 函數(shù) f（z） =2xy -ix2何處可導(dǎo)？ _ ，何處解析？ _ .5將函數(shù)f z二sin2z展開為z的幕級數(shù)： _26.函數(shù)心=步有什么弧立奇點 ，z 是何種類型的奇點 z7積分：|zudz的值為&已知f (t) = 口吐),f2(t )=tu (t ),則它們的卷積f1t f2t -二.單項選擇題（本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分。將答案寫在答題紙 上）1、復(fù)數(shù)T-3i的主輻角為（

5、）（）A.arctan3;B.arctan3二; C.arctan3-二.4.z3ezsin zdz=2.i的輻角主值為（)兀JI(A)0(B)1(C)e2(D)空i3、級數(shù) v (-1)n-()心nA.絕對收斂；B.條件收斂；C.發(fā)散.4.ez在復(fù)平面上（）（A）無可導(dǎo)點（B）有可導(dǎo)點，但不解析（C）有可導(dǎo)點，且在可導(dǎo)點集上解析（D）處處解析5.當(dāng)z= 口 時，z100z75z50的值等于（ ）1 i（A）i（ B）- i（ C）1三計算題（本大題共 2 小題，每小題 7 分，共 14 分）z1. ：e2ndz，設(shè) C 為正向圓周|Z-i|=2。Cz1ez1dz, C 為正向圓周|z|= 。

6、1 -z2四解答題(本大題共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分)1驗證vx,y =2x2-2y2x是一調(diào)和函數(shù)，并構(gòu)造解析函數(shù)f z 二 u iv滿足條件f i 一2i.(D)- 1(類型題)設(shè) a、b 是實數(shù)，函數(shù) f(z)=axy (bx2y2)i 在復(fù)平面解析求出 a、b 的值，并求f (z).12 把函數(shù)f Z二干在復(fù)平面上展開為Z - i的洛朗級數(shù)z+13.求函數(shù) f(t)=i 和函數(shù)f2(t)=ejw0t的傅里葉變換4.求函數(shù) f(t)=i 和函數(shù)f2(t)拉普拉斯變換5.求函數(shù)f (t) =e0tu(2t)的傅里葉變換五、綜合題(12 分)用 Laplace 變換求解常微分

7、方程：y：3yJ3yJy=-1V(o)= y(o)=i, y(o)=2填空題二.選擇題1.C2.A3.B三計算題1.2二i12.1占 dz|zp1 -z四.解答題Vy- -4y=Ux,u- -4xy c(y)， -Vx- -(4x 1) = Uy, -(4x 1) - -4x c (y)c ( y) = _1, c( y) = _y c . u(x, y) = _4xy _ y c由于f (i) = -2i，得c =1， f (z) = (-4xy - y 1) i(2x2- 2y2x)(類型題)解：；f (z)是復(fù)平面上的解析函數(shù)，則 u(x, y axy, v(x, y) = bx2y2在

8、平面上滿足 CR 方程，即：Ux=Vy, Uy _-Vx故ay =2y ax = -2bx對-x, y成立，= a =2,b = -1, f(z) =2xy (y2-x2)if (z)二 uxi vx= 2y i (2x)二 zi (x i y)二-2iz2.f (z)在復(fù)平面內(nèi)有兩個孤立奇點z - if (z)在0 z _i I：2與2：| z - i I：-內(nèi)解析答案:1.2-、2, -5 二/122.是，多連通3. z=0，處處不解析4. 05.sin2z(2z)2(2z)4z二.空2!4!6!-川(-1)n呼-川2n!6.z二0為可去奇點，z二1為三級極點7.4.D5.B1.VxX=4

9、, Vyy=一4,VxXVyy,故v(x, y)為調(diào)和函數(shù)。1當(dāng)0：z|z i |：2時，f(z) z i-0)2五.綜合題解：在方程兩邊取拉氏變換，并用初始條件得3 2 2S 丫(S) - S y(0) - Sy (0) - y (0) -3(S 丫(S) - Sy(O) - y(0)1 3(SY(S) - y(0) -Y(SH-(S3-3S23S -1)Y(S)h -三2(S2-3S 3) (S -3)132(2S -5S24S _1) S(2S - 1)(S -1)2S即Y(S)2S一11S(S1) S S1故 y(t)二 L Y(S)二 1另外，復(fù)變的大作業(yè)仃周的周四交。題目任選其一1、 結(jié)合本專業(yè)，舉例闡述“復(fù)變函數(shù)與積分變換”的作用2、 舉例闡述“復(fù)變函數(shù)與積分變換”的作用3、 談?wù)勀銓W(xué)完復(fù)“變函數(shù)與積分變換”后的體會1 12i z-i齊越碼(