固體物理(2011)第3章 晶格的熱振動(dòng) 2 一維單原子鏈

1、晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式 格波格波 先計(jì)算原子之間的相互作用力先計(jì)算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程 一維無(wú)限原子鏈一維無(wú)限原子鏈 每個(gè)原子質(zhì)量每個(gè)原子質(zhì)量m，平衡時(shí)原子間距，平衡時(shí)原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個(gè)原子離開個(gè)原子離開平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)原子間的相對(duì)位移個(gè)原子間的相對(duì)位移nn1第第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)原子間的距離個(gè)原子間的距離nna1位移前位移前位移后位移后平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作

2、用勢(shì)能平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能)(av)(av發(fā)生相對(duì)位移發(fā)生相對(duì)位移 后，相互作用勢(shì)能后，相互作用勢(shì)能nn 1itemshigherdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常數(shù)常數(shù))(av簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似 振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)dvfd adrvd)(22 相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力0)( adrdv 平衡條件平衡條件 譬如：Lennard-Jones 勢(shì)！ 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力個(gè)原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子

3、的運(yùn)動(dòng)方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程解和振動(dòng)頻率方程解和振動(dòng)頻率 )2(1122nnnndtdm設(shè)方程組的設(shè)方程組的)(naqtinAenaq 第第n個(gè)原子振動(dòng)位相因子個(gè)原子振動(dòng)位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem代入得到代入得到224sin ()2aqm naqtqinAetq )(, )2sin(4aqmq qq 一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動(dòng)頻譜一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動(dòng)頻譜格波的意義格波的意義連續(xù)介質(zhì)波

4、連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為 的振動(dòng)的振動(dòng)格波解格波解 格波的波形圖格波的波形圖 簡(jiǎn)諧近似下，格波是簡(jiǎn)諧平面波簡(jiǎn)諧近似下，格波是簡(jiǎn)諧平面波 naqtqinAetq )(, 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振動(dòng)軸向右振動(dòng) 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動(dòng)軸向左振動(dòng),.2, 1 ,0, 1,2.,)2(1122ndtdmnnnn)(naqtinAe224sin ()2aqm類似的數(shù)值計(jì)算問題：類

5、似的數(shù)值計(jì)算問題：格波波長(zhǎng)格波波長(zhǎng) naqtqinAetq )(, 2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度 qqvp 不同原子間位相差不同原子間位相差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqnaqaqn ) 1()(cos),(0 uxtAtxy波矢的取值波矢的取值和和布里淵區(qū)布里淵區(qū)naqtqinAe)(格波格波相鄰原子位相差相鄰原子位相差aqaq2 原子的振動(dòng)狀態(tài)相同原子的振動(dòng)狀態(tài)相同aaq2421相鄰原子位相差相鄰原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差當(dāng)當(dāng) q1 = 2 / na + q2會(huì)出現(xiàn)什么

6、情況？會(huì)出現(xiàn)什么情況？aqqaa 兩種波矢的格波中，兩種波矢的格波中，原子的物理振動(dòng)完全相同原子的物理振動(dòng)完全相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差 恰好是恰好是晶格的第一布里淵區(qū)晶格的第一布里淵區(qū) 只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問題題 其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容 )2sin(4aqmq 從能譜來(lái)看也具有第一布里淵區(qū)的周期性：從能譜來(lái)看也具有第一布里淵區(qū)的周期性：q1 = 2 / na + q2 一維單原子晶格看作無(wú)限長(zhǎng)，所有原子是等價(jià)的，每個(gè)一維單原子晶格看作無(wú)限長(zhǎng)，所有原子是等價(jià)的，每

7、個(gè)原子的振動(dòng)形式都一樣原子的振動(dòng)形式都一樣 而實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無(wú)窮長(zhǎng)，鏈兩頭而實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無(wú)窮長(zhǎng)，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述 N個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)特點(diǎn) 處理問題時(shí)要考慮處理問題時(shí)要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性到環(huán)鏈的循環(huán)性 N很大，原子運(yùn)動(dòng)很大，原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)設(shè)第設(shè)第n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移n再增加再增加N個(gè)原子之后，個(gè)原子之后，第第N + n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移nN則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeA

8、e 要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0 , 32, 22, 12NNNNNNhhNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqaN=even ？22NhN22*LNaNh N個(gè)整數(shù)值，波矢?jìng)€(gè)整數(shù)值，波矢q 取取N個(gè)不同的分立值個(gè)不同的分立值 第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)波矢密度：?jiǎn)挝徊ㄊ该芏龋簡(jiǎn)挝?q 空間的波矢數(shù)空間的波矢數(shù)hNaq2波矢波矢獨(dú)立波矢數(shù)獨(dú)立波矢數(shù) = N （原胞數(shù)）（原胞數(shù)）波矢密度：波矢密度：3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2:62 , 1 , 0 , 1:41 , 0:2hNhNhN格波的色散關(guān)系格波的色散關(guān)系)2(s

9、in422aqm )2sin(2aqmq 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性色散關(guān)系曲線具有周期性 q空間的周期空間的周期2a頻率極小值頻率極小值0min頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m 一維單原子晶格看作成低通濾波器一維單原子晶格看作成低通濾波器其實(shí)，這也是能帶！ 書上沒這么說(shuō)？是因?yàn)榻?jīng)典物理時(shí)，書上沒這么說(shuō)？是因?yàn)榻?jīng)典物理時(shí)， 不是能量不是能量 能帶是一個(gè)量子概念，這里的情形量子化后是玻色場(chǎng)能帶是一個(gè)量子概念，這里的情

10、形量子化后是玻色場(chǎng)NN/2N/2 )2sin(20aqqm0格波格波 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限情況情況 ), 0(aq0q當(dāng)當(dāng) )2sin(2aqmq /am q 一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù) 介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致2)2sin(qaqaq c相鄰原子之間的作用力相鄰原子之間的作用力-f 格波傳播速度格波傳播速度)(aaf/cam/am q/acm a連續(xù)介質(zhì)彈性波的速度連續(xù)介質(zhì)彈性波的速度/ElasticVK 連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度,KaK 長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長(zhǎng)波極限下，一維單

11、原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) /cq長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限情況情況 K 伸長(zhǎng)模量伸長(zhǎng)模量格波格波 短波極限短波極限情況情況)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)短波極限下短波極限下qaaq22 相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)的位相相反相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)的位相相反長(zhǎng)波極限下長(zhǎng)波極限下 ，相鄰兩個(gè)原子之間的位相差，相鄰兩個(gè)原子之間的位相差(0)q 長(zhǎng)波極限下長(zhǎng)波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下qaaq220q 相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)位相差相鄰兩個(gè)

12、原子振動(dòng)位相差2q 原子位移和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)系原子位移和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)系 第第q個(gè)格波引起第個(gè)格波引起第n個(gè)原子位移個(gè)原子位移 )(naqtiqnqeAq 第第n個(gè)原子總的位移個(gè)原子總的位移 qnaqtiqqnnqeAq)( qinaqqneQNm1tiqqqeANmQ令令原子坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的變換原子坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的變換qqnqnQam(1/)inaqnqqmN eQ(1/)inaqnqaN eNjjijiiQam31動(dòng)能和勢(shì)能的形式動(dòng)能和勢(shì)能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N項(xiàng)獨(dú)立的模式，具有正交性項(xiàng)獨(dú)立的模式，具有正交性動(dòng)能的正則坐標(biāo)表示動(dòng)能的正則坐標(biāo)表示nnmT221qqqQQT2

13、1勢(shì)能的正則坐標(biāo)表示勢(shì)能的正則坐標(biāo)表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQNm1原子位移原子位移 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) 正交性正交性涉及求和符號(hào)的推導(dǎo)一定不要怕煩！勢(shì)能勢(shì)能qinaqqneQNm1qaqniqneQNm)1(11nnnU21)(2122qiaqiaqqqeeQQmUqqqqqqaqQQmaqQQm22sin2 )cos(1FT！能量守恒2212()sin22qqqqqqaqHTUQ QQ Qm我們尋找一個(gè)獨(dú)立的模式2/sin()2aqmtiqqeQtQ)(2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 回想：力學(xué)GSP當(dāng)時(shí)為啥不說(shuō)FT

14、？ )cos(1*qqqaqQQmU將將 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122221qqqQU哈密頓量哈密頓量2221()2qqqqHTUQQ 系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)tiqqqeANmQ系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU022)()(21qqbqaT實(shí)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)實(shí)數(shù)形式的簡(jiǎn)正坐標(biāo)令令0222)()(21qqqbqaU哈密頓量哈密頓量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q能量本征值能量本征值聲子聲子 晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子一個(gè)格波是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子，能量為一個(gè)格波是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子，能量為q當(dāng)這種振動(dòng)模處于當(dāng)這種振動(dòng)模處于 時(shí)，說(shuō)明有時(shí)，說(shuō)明有 個(gè)聲子個(gè)聲子qqn)21(qn2()exp()( )2qqqnqnQH本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù) 一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子方程，波函數(shù)是以簡(jiǎn)正一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子方程，波函數(shù)是以簡(jiǎn)正坐標(biāo)為宗量的諧