固體物理(2011)第3章 晶格的熱振動 2 一維單原子鏈

1、晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波 先計(jì)算原子之間的相互作用力先計(jì)算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動方程，最后求解方程 一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個原子質(zhì)量每個原子質(zhì)量m，平衡時原子間距，平衡時原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個原子離開個原子離開平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的相對位移個原子間的相對位移nn1第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的距離個原子間的距離nna1位移前位移前位移后位移后平衡位置時，兩個原子間的互作

2、用勢能平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能)(av)(av發(fā)生相對位移發(fā)生相對位移 后，相互作用勢能后，相互作用勢能nn 1itemshigherdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常數(shù)常數(shù))(av簡諧近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項(xiàng)振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項(xiàng)dvfd adrvd)(22 相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力0)( adrdv 平衡條件平衡條件 譬如：Lennard-Jones 勢！ 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個原子的運(yùn)動方程個原子

3、的運(yùn)動方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個原子運(yùn)動方程類似每一個原子運(yùn)動方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程解和振動頻率方程解和振動頻率 )2(1122nnnndtdm設(shè)方程組的設(shè)方程組的)(naqtinAenaq 第第n個原子振動位相因子個原子振動位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem代入得到代入得到224sin ()2aqm naqtqinAetq )(, )2sin(4aqmq qq 一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動頻譜一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動頻譜格波的意義格波的意義連續(xù)介質(zhì)波

4、連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為 的振動的振動格波解格波解 格波的波形圖格波的波形圖 簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波 naqtqinAetq )(, 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振動軸向右振動 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動軸向左振動,.2, 1 ,0, 1,2.,)2(1122ndtdmnnnn)(naqtinAe224sin ()2aqm類似的數(shù)值計(jì)算問題：類

5、似的數(shù)值計(jì)算問題：格波波長格波波長 naqtqinAetq )(, 2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度 qqvp 不同原子間位相差不同原子間位相差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqnaqaqn ) 1()(cos),(0 uxtAtxy波矢的取值波矢的取值和和布里淵區(qū)布里淵區(qū)naqtqinAe)(格波格波相鄰原子位相差相鄰原子位相差aqaq2 原子的振動狀態(tài)相同原子的振動狀態(tài)相同aaq2421相鄰原子位相差相鄰原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差當(dāng)當(dāng) q1 = 2 / na + q2會出現(xiàn)什么

6、情況？會出現(xiàn)什么情況？aqqaa 兩種波矢的格波中，兩種波矢的格波中，原子的物理振動完全相同原子的物理振動完全相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差 恰好是恰好是晶格的第一布里淵區(qū)晶格的第一布里淵區(qū) 只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問只需研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題題 其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容 )2sin(4aqmq 從能譜來看也具有第一布里淵區(qū)的周期性：從能譜來看也具有第一布里淵區(qū)的周期性：q1 = 2 / na + q2 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價(jià)的，每個一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價(jià)的，每

7、個原子的振動形式都一樣原子的振動形式都一樣 而實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭而實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述的原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述 N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)特點(diǎn) 處理問題時要考慮處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性到環(huán)鏈的循環(huán)性 N很大，原子運(yùn)動很大，原子運(yùn)動近似為直線運(yùn)動近似為直線運(yùn)動設(shè)第設(shè)第n個原子的位移個原子的位移n再增加再增加N個原子之后，個原子之后，第第N + n個原子的位移個原子的位移nN則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeA

8、e 要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0 , 32, 22, 12NNNNNNhhNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqaN=even ？22NhN22*LNaNh N個整數(shù)值，波矢個整數(shù)值，波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)個狀態(tài)波矢密度：單位波矢密度：單位 q 空間的波矢數(shù)空間的波矢數(shù)hNaq2波矢波矢獨(dú)立波矢數(shù)獨(dú)立波矢數(shù) = N （原胞數(shù)）（原胞數(shù)）波矢密度：波矢密度：3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2:62 , 1 , 0 , 1:41 , 0:2hNhNhN格波的色散關(guān)系格波的色散關(guān)系)2(s

9、in422aqm )2sin(2aqmq 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性色散關(guān)系曲線具有周期性 q空間的周期空間的周期2a頻率極小值頻率極小值0min頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m 一維單原子晶格看作成低通濾波器一維單原子晶格看作成低通濾波器其實(shí)，這也是能帶！ 書上沒這么說？是因?yàn)榻?jīng)典物理時，書上沒這么說？是因?yàn)榻?jīng)典物理時， 不是能量不是能量 能帶是一個量子概念，這里的情形量子化后是玻色場能帶是一個量子概念，這里的情

10、形量子化后是玻色場NN/2N/2 )2sin(20aqqm0格波格波 長波極限長波極限情況情況 ), 0(aq0q當(dāng)當(dāng) )2sin(2aqmq /am q 一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù) 介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致2)2sin(qaqaq c相鄰原子之間的作用力相鄰原子之間的作用力-f 格波傳播速度格波傳播速度)(aaf/cam/am q/acm a連續(xù)介質(zhì)彈性波的速度連續(xù)介質(zhì)彈性波的速度/ElasticVK 連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度,KaK 長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長波極限下，一維單

11、原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) /cq長波極限長波極限情況情況 K 伸長模量伸長模量格波格波 短波極限短波極限情況情況)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)短波極限下短波極限下qaaq22 相鄰兩個原子振動的位相相反相鄰兩個原子振動的位相相反長波極限下長波極限下 ，相鄰兩個原子之間的位相差，相鄰兩個原子之間的位相差(0)q 長波極限下長波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下qaaq220q 相鄰兩個原子振動位相差相鄰兩個

12、原子振動位相差2q 原子位移和簡正坐標(biāo)的關(guān)系原子位移和簡正坐標(biāo)的關(guān)系 第第q個格波引起第個格波引起第n個原子位移個原子位移 )(naqtiqnqeAq 第第n個原子總的位移個原子總的位移 qnaqtiqqnnqeAq)( qinaqqneQNm1tiqqqeANmQ令令原子坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)的變換原子坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)的變換qqnqnQam(1/)inaqnqqmN eQ(1/)inaqnqaN eNjjijiiQam31動能和勢能的形式動能和勢能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N項(xiàng)獨(dú)立的模式，具有正交性項(xiàng)獨(dú)立的模式，具有正交性動能的正則坐標(biāo)表示動能的正則坐標(biāo)表示nnmT221qqqQQT2

13、1勢能的正則坐標(biāo)表示勢能的正則坐標(biāo)表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQNm1原子位移原子位移 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) 正交性正交性涉及求和符號的推導(dǎo)一定不要怕煩！勢能勢能qinaqqneQNm1qaqniqneQNm)1(11nnnU21)(2122qiaqiaqqqeeQQmUqqqqqqaqQQmaqQQm22sin2 )cos(1FT！能量守恒2212()sin22qqqqqqaqHTUQ QQ Qm我們尋找一個獨(dú)立的模式2/sin()2aqmtiqqeQtQ)(2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 回想：力學(xué)GSP當(dāng)時為啥不說FT

14、？ )cos(1*qqqaqQQmU將將 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122221qqqQU哈密頓量哈密頓量2221()2qqqqHTUQQ 系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)tiqqqeANmQ系統(tǒng)勢能系統(tǒng)勢能)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU022)()(21qqbqaT實(shí)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)實(shí)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)令令0222)()(21qqqbqaU哈密頓量哈密頓量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q能量本征值能量本征值聲子聲子 晶格振動的能量量子；或格波的能量量子晶格振動的能量量子；或格波的能量量子一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為q當(dāng)這種振動模處于當(dāng)這種振動模處于 時，說明有時，說明有 個聲子個聲子qqn)21(qn2()exp()( )2qqqnqnQH本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù) 一個簡正坐標(biāo)對應(yīng)一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡正一個簡正坐標(biāo)對應(yīng)一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡正坐標(biāo)為宗量的諧