五年級(jí)奧數(shù)倒推法

1、 有些數(shù)學(xué)問題，如果按照一般方法，順著題意一步一步求有些數(shù)學(xué)問題，如果按照一般方法，順著題意一步一步求解，根本無從下手或計(jì)算過程比較煩瑣。在這種情況下，我解，根本無從下手或計(jì)算過程比較煩瑣。在這種情況下，我們可以試著從最后的結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與減、乘與除之間的們可以試著從最后的結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后往前步步逆推，從而推算出原數(shù)。這種思考互逆關(guān)系，從后往前步步逆推，從而推算出原數(shù)。這種思考問題的方法叫做問題的方法叫做“倒推法倒推法”。例例1 李老師說：李老師說：“把我的年齡數(shù)加上把我的年齡數(shù)加上4，除以，除以2，減去，減去8，再乘再乘6，正好是，正好是72。”同學(xué)們，你能

2、推算出李老師今年多大同學(xué)們，你能推算出李老師今年多大嗎？嗎？ 思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 利用利用“倒推法倒推法”，從最后一個(gè)條件，從最后一個(gè)條件“正好是正好是72”向前逐步向前逐步推算：推算：“再乘再乘6，正好是，正好是72”，乘，乘6之前的數(shù)是之前的數(shù)是726 =12；“減減去去8，差是，差是12”，減去，減去8之前的數(shù)是之前的數(shù)是12+8 =20；“除以除以2，商是，商是20”，除以除以2之前的數(shù)是之前的數(shù)是20 x2 =40；“加上加上4，和是，和是40”，加上，加上4之前的之前的數(shù)是數(shù)是40 -4 =36（歲）。（歲）。 (726+8)2 -4 =36（歲）（歲） 答：李老師今年答：李老師今年

3、36歲。歲。 為了保證解題正確，我們可以把為了保證解題正確，我們可以把36這個(gè)數(shù)按原題的敘述這個(gè)數(shù)按原題的敘述順序進(jìn)行計(jì)算，看最后的結(jié)果是否等于順序進(jìn)行計(jì)算，看最后的結(jié)果是否等于72。如果等于。如果等于72，那么解題結(jié)果就是正確的，驗(yàn)算如下：那么解題結(jié)果就是正確的，驗(yàn)算如下：(36+4)286 =72 1小明的爺爺今年的年齡加上小明的爺爺今年的年齡加上16后，縮小后，縮小3倍，再減去倍，再減去18之后，擴(kuò)大之后，擴(kuò)大10倍，恰好是倍，恰好是100歲，小明爺爺今年多少歲，小明爺爺今年多少歲？歲？ 2。小聰問小明：。小聰問小明：“你今年幾歲？你今年幾歲？”小明回答說：小明回答說：“用我用我的年齡數(shù)

4、減去的年齡數(shù)減去8，乘以，乘以7，加上，加上6，除以，除以5，正好等于，正好等于4，請(qǐng)，請(qǐng)你算一算，我今年幾歲？你算一算，我今年幾歲？”例例2 捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多4米，第二次用去余米，第二次用去余下的一半多下的一半多8米，第三次用去米，第三次用去33米，最后還剩下米，最后還剩下7米，這捆電米，這捆電線原來有多少米？線原來有多少米？從線段圖上可以看出：從線段圖上可以看出：33 +7= 40（米）（米）第二次用去后的電線長(zhǎng)第二次用去后的電線長(zhǎng) 40 +8 =48（米）（米）第一次用去后余下的一半第一次用去后余下的一半 48 x2 =96（米）（米）第一次用

5、去后的電線長(zhǎng)度第一次用去后的電線長(zhǎng)度 96 +4 =100（米）（米）全長(zhǎng)的一半全長(zhǎng)的一半 100 x2 =200（米）（米）原電線的長(zhǎng)度原電線的長(zhǎng)度 (33 +7 +8) 2 +4 2 =200（米）（米） 答：這捆電線原來有答：這捆電線原來有200米。米。 思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 采用采用“倒推法倒推法”，從，從“最后還剩下最后還剩下7米米”人手向人手向前逐步推算。為了進(jìn)一步理清各數(shù)量之間的關(guān)系，還可以前逐步推算。為了進(jìn)一步理清各數(shù)量之間的關(guān)系，還可以根據(jù)題意畫線根據(jù)題意畫線 例3 一班、二班、三班共有學(xué)生129人，如果從一班調(diào)2人去二班，從二班調(diào)3人去三班，這時(shí)三個(gè)班的人數(shù)相等。原來三個(gè)班各有

6、多少人？ 思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 利用利用“倒推法倒推法”，從最后一個(gè)條件，從最后一個(gè)條件“三個(gè)班的人數(shù)相等三個(gè)班的人數(shù)相等”人手，由人手，由“一班、二班、三班共有學(xué)生一班、二班、三班共有學(xué)生129人人”，兩次調(diào)整后，三個(gè)班的總?cè)藬?shù)仍是，兩次調(diào)整后，三個(gè)班的總?cè)藬?shù)仍是129人，求出這時(shí)每個(gè)班的人數(shù)是人，求出這時(shí)每個(gè)班的人數(shù)是1293 =43（人）；再往前推算，根搌（人）；再往前推算，根搌“從二班從二班調(diào)調(diào)3人去三班人去三班”后兩班人數(shù)都是后兩班人數(shù)都是43人，求出這次調(diào)整前，二班應(yīng)是人，求出這次調(diào)整前，二班應(yīng)是43 +3 =46（人），三班應(yīng)是（人），三班應(yīng)是43 -3 =40（人）；再根據(jù)（人）；

7、再根據(jù)“從一班調(diào)從一班調(diào)2人去二班人去二班”后二班是后二班是46人，求出這次調(diào)整前，二班是人，求出這次調(diào)整前，二班是46 -2 =44（人），一班是（人），一班是43 +2=45（人）。（人）。 為了清楚地表示出各班人數(shù)的變化，我們也可以根據(jù)題意列出表格：為了清楚地表示出各班人數(shù)的變化，我們也可以根據(jù)題意列出表格： 1293 =43（人）（人）現(xiàn)在的人數(shù)現(xiàn)在的人數(shù) 43 -3 =40（人）（人）三班的人數(shù)三班的人數(shù) 43 +3 -2 =44（人）（人）二班的人數(shù)二班的人數(shù) 43 +2= 45（人）（人）一班的人數(shù)一班的人數(shù) 答：原來一班有答：原來一班有45人，二班有人，二班有44人，三班人，三

8、班有有40人。人。例例4 李明和王剛各有畫片若干張，如果李明拿出和王剛同李明和王剛各有畫片若干張，如果李明拿出和王剛同樣多的畫片送給王剛，王剛再拿出和李明同樣多的畫片給李樣多的畫片送給王剛，王剛再拿出和李明同樣多的畫片給李明，這時(shí)兩人都有明，這時(shí)兩人都有36張。李明和王剛原來各有畫片多少?gòu)?？張。李明和王剛原來各有畫片多少?gòu)垼?思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 利用利用“倒推法倒推法”，從，從“這時(shí)兩人都有這時(shí)兩人都有36張張”這這個(gè)結(jié)果出發(fā)，在個(gè)結(jié)果出發(fā)，在“王剛再拿出和李明同樣多的畫片給李明王剛再拿出和李明同樣多的畫片給李明”之前，李明應(yīng)有畫片之前，李明應(yīng)有畫片362 =18（張），王剛應(yīng)有畫片（張），王剛

9、應(yīng)有畫片36 +18 =54（張）；在（張）；在“李明拿出和王剛同樣多的畫片送給李明拿出和王剛同樣多的畫片送給王剛王剛”之前，王剛應(yīng)有畫片之前，王剛應(yīng)有畫片542= =27（張），李明應(yīng)有（張），李明應(yīng)有畫片畫片18 +27 =45（張）。（張）。1甲、乙兩桶中各有油若干千克，如果從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙甲、乙兩桶中各有油若干千克，如果從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝爸械钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄?，這時(shí)兩桶油恰好都是桶，再?gòu)囊彝爸械钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄埃@時(shí)兩桶油恰好都是24千克。千克。原來甲、乙兩桶各有油多少千克？原來甲、乙兩桶各有油多少千克？2兄妹二人共有零花

10、錢兄妹二人共有零花錢48元。如果哥哥拿出和妹妹同樣多的錢給妹妹，妹妹再元。如果哥哥拿出和妹妹同樣多的錢給妹妹，妹妹再拿出和哥哥同樣多的錢給哥哥，這時(shí)哥哥昀零花錢是妹妹的拿出和哥哥同樣多的錢給哥哥，這時(shí)哥哥昀零花錢是妹妹的3倍。哥哥和妹妹原倍。哥哥和妹妹原來各有多少零花錢？來各有多少零花錢？例例5 甲、乙、丙各有紀(jì)念郵票若干枚，開始時(shí)甲把自己的郵甲、乙、丙各有紀(jì)念郵票若干枚，開始時(shí)甲把自己的郵票各拿一部分給了乙、丙，使乙、丙的郵票數(shù)各增加了一倍，票各拿一部分給了乙、丙，使乙、丙的郵票數(shù)各增加了一倍，后來乙也把自己的郵票各拿了一部分給了甲、丙，使甲、丙后來乙也把自己的郵票各拿了一部分給了甲、丙，使

11、甲、丙的郵票數(shù)各增加了一倍，最后，丙也照此辦法，使甲、乙的的郵票數(shù)各增加了一倍，最后，丙也照此辦法，使甲、乙的郵票數(shù)各增加了一倍，這時(shí)三人的郵票數(shù)都是郵票數(shù)各增加了一倍，這時(shí)三人的郵票數(shù)都是16枚，原來甲、枚，原來甲、乙、丙各有郵票多少枚？乙、丙各有郵票多少枚？ 思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 利用利用“倒推法倒推法”，我們可以從，我們可以從“三人最后郵票三人最后郵票數(shù)都是數(shù)都是16枚枚”這個(gè)結(jié)果出發(fā)，求出每一次變化之前的郵票數(shù)，這個(gè)結(jié)果出發(fā)，求出每一次變化之前的郵票數(shù)，逐步推出原有郵票數(shù)。列表如下：逐步推出原有郵票數(shù)。列表如下： 1書架共有三層，各有若干本書。先從第一層上取出一些書放入第二、書架共有三層，

12、各有若干本書。先從第一層上取出一些書放入第二、三層，使第二、三層書的本數(shù)各增加了一倍；再?gòu)牡诙由先〕鲆恍湃龑?，使第二、三層書的本?shù)各增加了一倍；再?gòu)牡诙由先〕鲆恍湃氲谝弧⑷龑?，使第一、三層書的本?shù)各增加了一倍；最后從第三層上取入第一、三層，使第一、三層書的本數(shù)各增加了一倍；最后從第三層上取出一些書放入第一、二層，使第一、二層書的本數(shù)各增加了一倍，這時(shí)三出一些書放入第一、二層，使第一、二層書的本數(shù)各增加了一倍，這時(shí)三層上各有層上各有48本書，原來三層各有多少本書？本書，原來三層各有多少本書？ 2兩只小猴分兩只小猴分28個(gè)桃子。甲猴眼疾手快，搶先拿了，乙猴見甲猴拿得個(gè)桃子。甲猴眼疾手快，搶先拿了，乙猴見甲猴拿得太多，就搶去了一半，甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半，乙猴不肯，甲太多，就搶去了一半，甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半，乙猴不肯，甲猴還給乙猴猴還給乙猴5個(gè)，這時(shí)兩只猴拿的桃子同樣多。甲猴最初準(zhǔn)備拿多少個(gè)桃個(gè)，這時(shí)兩只猴拿的桃子同樣多。甲猴最初