2020高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：12.3直接證明與間接證明及數(shù)學(xué)歸納法

1、112.3 直接證明與間接證明及數(shù)學(xué)歸納法考點梳理考點梳理1.直接證明（1）綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的 _ ，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論 _，這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或 _法.（2）_ 分析法：一般地，從要證明的 _出發(fā)，逐步尋求使它成立的 _ ，直至最后，把要證明的 _ 歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證 明方法叫做分析法.分析法又叫逆推證法或法.（3）綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方式.2.間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題_（即在原命題的條件下

2、，結(jié)論_ ）,經(jīng)過_ ，最后得出 _.這個矛盾 可以是與已知條件矛盾， 或與假設(shè)矛盾，或與定義、 公理、定理、事實等矛盾.因此說明假設(shè)_,從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證 法.反證法是間接證明的一種基本方法.3.數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟一般地，證明一個與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng) n取第一個值 no（nN N*）時命題成立.（2）_（歸納遞推）假設(shè)（k no, k N N*）時命題成立，證明當(dāng) _ 時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從no開始的所有_ 都成立.4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與 _有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，證明時

3、，它的兩個步驟（歸納奠基與歸納遞 推）缺一不可.自查自糾：1.（1）推理論證成立由因?qū)Ч?）結(jié)論充分條件結(jié)論執(zhí)果索因2.不成立不成立正確的推理 矛盾錯誤3.(2)n = k n= k+ 1 正整數(shù) n4.正整數(shù)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 要證明.3 + .72.5,以下方法中最合理的 是（）A.分析法 B .綜合法C .反證法 D .數(shù)學(xué)歸納法解：執(zhí)果索因”最佳，即分析法.故選 A.A.1）時，第一步應(yīng)驗證不等式（）C.1+ 2+33D.1+2+ +41 ,所以 n 取的第一個數(shù)為112,左端分母最大的項為 歹二！=3 故選 B.B.（2018 遼寧期末）用反證法證明“若x +yw0,貝 U xw0

4、或 yw0”時，應(yīng)假設(shè)_.解：用反證法證明“若 x+ yw0,貝 U xw0 或yw0”時，應(yīng)假設(shè)結(jié)論反面成立，即x0 且 y0.故填 x x 0 0 且 y y 0.0.（2018 河南八市高二測評）用數(shù)學(xué)歸納法 證明設(shè) a,b R R，且b, a + b= 2,則必有(.孑+b2_.a2+b2A.1wabw2B.ab122 2a+bC.ab 212 2a+bD. 21ab解:1包用數(shù)學(xué)歸納法證明12n- 1A. 1 + *2B. 1 + 2+32a2+ b2 1)”時,232 I由 n = k 不等式成立，推證 n = k+ 1 時，不等式左邊 應(yīng)增加的項數(shù)是_.解：不等式左邊的特點：分母

5、逐漸增加1，末31 1項為2n1.由 n= k，末項為 2二 7，至 U n= k+ 1，末 項為朋=4k,所以不等式左邊應(yīng)增加的2 12 1 + 2k項數(shù)為 2k.故填 2 2k k. .證明：要證 a+ 2 + .b+ *0, b0,若 a+ b ab= 0,求證：a+ 2b 3 + 2 2;(2) 當(dāng) a 1 時，求證：2 a a 1 a+ 1 0.證明：(1)因為 a+ b ab = 0, a 0, b 0，所11a 2b所以 a + 2b = (a + 2b)( +)= 3 + 二+一3 + a bba2 2,當(dāng)且僅當(dāng)a= 2b 即卩 a = . 2b 時，等號成立， 所以 a+2b

6、 3+ 2 2.(2)要證 2 ,a .a 1 a + 1 0,只需證 2 ia ./ a 1 + a + 1, 只需證(2 岑 a)2(;a 1 + a +1)2, 只需證 4a2a+ 2 a2 1,只需證a ,a21, 由于 a 1，只要證 a2a2 1，即證 0 1, 這顯然成立，所以 2 a a 1 a + 1 0 成立.點撥：用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié) 論，即“由因?qū)Ч?；逆向思維是用分析法證題的 主要思想，即“執(zhí)果索因”， 要保證分析過程的每 一步都是可逆的.證明較復(fù)雜的問題時，常用兩頭 湊的方法，即用分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分) 的中間結(jié)論，再用綜合法證明這個

7、中間結(jié)論，從而 使原命題得證.1因為 a0, b0, 1 = a + b 2 ab,所以 ab be(其中e 是自然對數(shù) 的底數(shù))，求證:ba ab.證明：因為 abe,所以 ba0, ab0.所以 要證 ba ab,只需證 alnb blna，只需證罟皿b a In x,1 lnx令f(X)=：(xe)，則 f(x)= 廠,當(dāng) xe 時，f (x)v0，函數(shù) f(x)在(e, + g)上單調(diào)遞減.所以當(dāng) abe 時，有 f(b)f(a)，即罟罟.故原不等式成立.類型二間接證明1(1)設(shè) a, b, c 都是正數(shù)，則 a+-, b+ b1 11 c+1三個數(shù)()caA 都大于 2B .都小于

8、2C 至少有一個大于 2D .至少有一個不小于 2解：假設(shè) a + b + -, c+ 均小于 2,則 a+2b c ab1 1 1+b+1+c+；V6.因為a，b,c 都是正數(shù)，則a+計典例解析典例解析只需證 a +1 1 1+ 2 =ab+(a+ b) + 4 三1,類型一直接證明只需證 ab0, b0, a + b = 1.11,111b+c+c+a=(a+；)+(b+b)+(c+；)4,又 a+ b = 1，故只需證1,1 1只需證a+尹b+2求42、Jbb + 2、JcC = 6(當(dāng)且僅當(dāng) a= b = c= 1 時等號成立)，這與假設(shè)矛盾故三個數(shù)至少有一個不小 于 2故選 D.D.

9、(2)(2017 湖南模擬)設(shè)函數(shù) f(x) = |2x- a|, g(x) =x+2.(I)當(dāng) a = 1 時，求不等式 f(x)+ f( x)wg(x)的 解集；(n)求證：f(b), f( b), f(1)中至少有一個不小解:(I)當(dāng) a= 1 時，不等式即 |2x 1|+ |2x + 1| x+ 2,貝 U2無解；4x x+ 2,11或22解得 0wx1;2 2，12或2解得 x0, y0, z0, a = x 2 筋 +-n, b3=y 2 z+n,c= z2 x+n求證：a, b, c 中至少有一個大于 0.證明：假設(shè) a, b , c 都不大于 0,即 aw0 , bw0 ,c

10、0 , (.y1)2 0 , (z 1)2 0 ,n30,所以 a+ b+ c0,與 a+ b + cw0 矛盾.所以假設(shè)錯誤，原命題正確，即a , b , c 中至少有一個大于 0.-1V1a 21113由+得，一1 a1，與1 a右邊，所以不等式成立.假設(shè) n= k (k2，且 k N N*)時不等式成立,1+31+14：1=4，左邊v右邊，即不等式成立2X1+13假設(shè) n = k(k N N*)時，不等式成立,則當(dāng) n= k + 1 時,1+丄1+1_2k 1 .2 ( k+ 1) 1fek+ 1 2k+ 2 = 2k+ 24k2+ 8k+ 422k+ 1 2 2k+ 12；2k+ 1U

11、4k2+ 8k + 32 2k+ 12( k+ 1)+ 12 .所以當(dāng) n= k+ 1 時，不等式也成立.由知，對于一切大于 1 的自然數(shù) n,不等 式都成立.2k+ 3 .2k + 12 2k + 1 111 1即 1+尹孑+4+RV則當(dāng) n= k+ 1 時,1(k+1)2,4k2k+ 11 1+k2+(k + 1)問題可通過證明盤+4 ( k + 1)2 (k+ 1)+ 1來實現(xiàn)4k2k+ 14k2V2k+11(k+ 1)214 (k+ 1)2 eV(k+ 1)2 (k+ 1)+ 14k+ 42k + 3,那么，當(dāng) n= k+ 1 時,1k+ 2丄+ +加亠+k+32k 2k+ 112k+

12、 2.只需證只需證4k2k+ 16名師點睛名師點睛71綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ?從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在尋求它的必要條件綜合法的解題步驟 用符號表示是：P(已知)？Qi? Q2? Q3? ? Qn? Q(結(jié)論)2分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，它是 從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理的實質(zhì)是尋求使結(jié)論成立的充分條件分析法的解題步驟用符號表示是：B(結(jié)論)？Bi?B2?Bn?A(已知)3分析法與綜合法的綜合應(yīng)用分析法和綜合法是兩種思路相反的推理證明方 法，二者各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然， 容易找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，

13、敘 述較繁，且表述易錯；綜合法條理清晰，宜于表述， 缺點是探路艱難，易生枝節(jié)在證明數(shù)學(xué)問題的過程中分析法和綜合法往往是相互結(jié)合的，先用分析 法探索證明途徑，然后再用綜合法表述4用反證法證明命題的一般步驟(1)分清命題的條件和結(jié)論(2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)(3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出與 已知條件，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、 事實等矛盾的結(jié)果(4)斷定產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)不真，于是原結(jié) 論成立，從而間接地證明命題為真5可用反證法證明的數(shù)學(xué)命題類型(1)結(jié)論是否定形式的命題(2)結(jié)論是以至多、至少、唯一等語句給出的命題(3)結(jié)論的反面是較明顯或較易證明的命題(4)用直接

14、法較難證明或需要分成多種情形進7 用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可證第二步的關(guān)鍵是合理運用歸納假設(shè)，以“ n=k 時命題成立”為條 件，證明“當(dāng) n= k+ 1 時命題成立”這里，易出 現(xiàn)的錯誤是：不使用“ n= k 時命題成立”這一條件， 而直接將 n=k+ 1代入命題，便斷言此時命題成 立注意：沒有運用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納 法.在 n= k 到 n= k+ 1 的證明過程中尋找由n= k到 n= k+ 1 的變化規(guī)律是難點，突破的關(guān)鍵是分析 清楚p(k)與 p(k+ 1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、 放、縮等手段，從 p(k+ 1)中分離出 p(k

15、)8證明不等式的方法多種多樣，故在用數(shù)學(xué) 歸納法證明不等式的過程中，比較法、放縮法、分 析法等要靈活運用課時作業(yè)課時作業(yè)1(2018 煙臺期中)分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的()A.充分條件B.必要條件C 充要條件D.既不充分又不必要條件解：分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它 成立的充分條件故選 A.A.2(2018 上杭月考)用反證法證明“？x R R ,2x 0 ”，應(yīng)假設(shè)為()A? xR R,2xo0 B? xgR R,2xV0C?xR R,2xW0 D.?xgR R,2xW0 解：“？x R R,2x 0” 的否定為 “？x R R , 2xoW0”故選 D.D.3.(2

16、018 南陽期末)用反證法證明某命題時， 對結(jié)論：“自然數(shù) a, b, c 中恰有一個偶數(shù)”正確原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論 詞反設(shè)詞至少有一個沒有一個? x 成立? x0不成立至多有一個至少有兩個? x 不成立? X0成立至少有 n 個至多有 n 1 個p 或 q綈 p 且綈q至多有 n個至少有 n +1 個p 且 q綈 p 或綈 q行分類討論的命題6常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞的假設(shè)為()A . a, b, c 中至少有兩個偶數(shù)B . a, b, c 中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C . a, b, c 都是奇數(shù)D . a, b, c 都是偶數(shù)解：結(jié)論：“自然數(shù) a, b, c 中恰有一個偶數(shù)” 的否定

17、是 “a, b, c 中至少有兩個偶數(shù)或都是奇 數(shù)”.故選 B.B.4.(2018 長安一中高二期末)用數(shù)學(xué)歸納法證n2n4+ n則當(dāng) n= k+ 1 時左端應(yīng)在 n= k 的基礎(chǔ)上加上A . k2+ 1B. (k+ 1)289C.(k+ 1)4+( k+ 1)a b+ b c a b+ b c+a bb cb c a b+a b b cD . (k2+ 1) + (k2+ 2) + (k2+ 3) + + (k+ 1)2解：當(dāng) n = k 時，等式左端為 1 + 2 + k2,當(dāng) n= k+ 1 時，等式左端為 1 + 2 + + k2+ (k2+ 1) + (k2=4，當(dāng)且僅當(dāng) bc=ab

18、 時等號成立.因為+ 2) + (k2+ 3) + + (k+ 1)2故選 D.D.5 .（2018 濟寧微山一中高二期中）若 P= a + a+ 5, Q= .a+ 2 + a + 3（a 0）,則 P, Q 的大小 關(guān)系是（）C. PvQD .由 a 的取值確定解：因為 P= ：.,$ + 爲(wèi):a + 5, Q= a + 2+g+3 (a 0)，所以 P2= 2a + 5 + 2 a2+ 5a, Q2= 2a+ 5 + 2 .a2+ 5a+ 6，因為 a2+ 5ava2+ 5a + 6，所以a2+ 5ava2+ 5a+ 6，所以 P2vQ2，所以 PvQ. 故選C.C.6.（2018 龍崗

19、區(qū)期末）分析法又稱執(zhí)果索因 法，若用分析法證明： 設(shè) abc,且 a+ b+ c= 0, 求證b2ac0 B. a c0C. (a b)(a c)0 D . (a b)(a c)0 解： b2ac ,3a? b2 ac3a2? (a + c)22 2 2 2 2ac3a ? a + 2ac + c ac 3a 0? 一 2a + ac +2 2 2c 0? (a c)(2a + c)0? (a c)(a b)0.故選 C.C.7.設(shè) a, b 是兩個實數(shù)，給出下列條件：a + b1 ; a+ b= 2;a+ b2;a2+ b22 ；ab1.其中能推出：“ a, b 中至少有一個大于 1”的 條

20、件是_.(填序號)1 2解：若 a= 2, b = 3,貝 U a+ b1，但 a1 , b2，故推不出；若 a= 2, b= 3，則 ab1，故推不出；對于， 若 a + b2，則 a, b 中至少有一個大于 1，反證法： 假設(shè) a 1 且 b 1，貝 U a+ b2 矛盾，因 此假設(shè)不成立，故 a, b 中至少有一個大于 1故填. .18.（2016 濱州高二期中）若 a bc,則使七a b1k+ -恒成立的最大的正整數(shù) k 為b c a c解：因為 abc,所以 a b0, b c0, aa c a cc 0 ,且 a c = a b + b c. +=a b bckwc+a一恒成立，所

21、以 k 的最大值為 4.故填 4.4.a b b c9.（2017 駐馬店期末）設(shè)非等腰厶 ABC 的內(nèi)角A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 A, B, C 成等差數(shù)列，用分析法證明:證明：因為 ABC0, c b豐0.1 , 1七+bbab cb ab+c非等腰三角形，所以a 要證 +,a b c b a b + c只需證只需證只需證一ab）,只需證只需證只需證a + c 2b3(a b)( c b) = a b+ c，(a + c 2b)(a b + c) = 3(a b)( c b),(a + c b)2 b(a + c b) = 3(ac + b2 bcb2= a2+ c

22、2 ac,coSB = h 1nB=nA+C因為 A, B, C 成等差數(shù)列，所以B=專nBn專，所以 B = 3 顯然成立.故結(jié)論成立.n*10證明：1 (x+ 3) (n N N )能被 x+ 2 整除.證明：(1)當(dāng) n = 1 時，1 (x+ 3) = (x+ 2)，能被 x + 2 整除；(2)假設(shè) n = k(k N N )時命題成立，即 1 (x+ 3)k能被 x + 2 整除，則可設(shè) 1 (x+ 3)k= (x+ 2)f(x)(其中 f(x)為 k 1 次多項式).當(dāng) n= k+ 1 時，1 (x+ 3)k+1= 1 (x+ 3)(x+ 3)kk=(X + 3)1 (x+ 3) (x+ 2) = (x + 3)(x+ 2)f(x) (x +2) = (x+ 2)(x+ 3)f(x) 1能被 x+ 2 整除，所以， 當(dāng) n =k+ 1 時，命題仍然成立.由(1)(2)可知，對于？n N N*命題成立.x x 211.已知