2020年浙江高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)8.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)

1、8.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5 年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)垂直的判定和性質(zhì)1. 理解直線與平面垂直、平面與 平面垂直的判定定理.2. 理解直線與平面垂直、平面與 平面垂直的性質(zhì)定理，并能夠證 明.3. 理解直線與平面所成的角、二面角的概念.4. 能夠證明空間垂直位置關(guān)系的簡單命題.2018 浙江,19線面垂直的判定和性質(zhì)、直線與平面所成的角解三角形求正弦值2017 浙江，19直線與平面所成的角直線與平面平行的判定與性質(zhì)2016 浙江，5,18，文 18線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角解三角形求余弦值2015 浙江,17,文 1

2、8線面垂直的判定和性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角解三角形求正弦值、余弦值2014 浙江文,20線面垂直的判定和性質(zhì)、直線與平面所成的角解三角形求角和正切值分析解讀1.直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，線面間的角與距離的計(jì)算是高考的重點(diǎn)，特別是以多面體為載體的線面位置關(guān)系的論證，更是高考的熱點(diǎn)，試題以中等難度為主.2. 高考常考的題型有：判斷并證明兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，直線與平面的垂直關(guān)系，直線與直線的垂直 關(guān)系.線面、面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，求直線與平面、平面與平面所成角等綜合問題.多以棱柱、棱錐 為背景.3. 預(yù)計(jì) 2020 年高考試題中，垂直關(guān)系仍然是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn).考查仍會(huì)

3、集中在垂直關(guān)系的判定和垂直的性質(zhì)的應(yīng)用上，其解決的方法主要是傳統(tǒng)法和向量法，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)高度重視破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)垂直的判定和性質(zhì)1. （2017 浙江名校（諸暨中學(xué)）交流卷四，3）設(shè) a,b,c 是三條不同的直線,a ,B是兩個(gè)不同的平面，則使 a 丄 b成立的一個(gè)充分條件是（）A.a 丄 c,b 丄 cB.a丄B,a ?a,b ?BC.a 丄a,b 丄aD.a 丄a,b /a答案 D2. （2018 浙江諸暨高三上學(xué)期期末，19,15 分）如圖，在空間幾何體中，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形,AB / EF,AF=EF=BE=1,DF=_（1）求證:BF 丄平面 ADF;求直線

4、BF 與平面 DCEF 所成角的正弦值.解析證明：在等腰梯形 ABEF 中,AB=2,EF=AF=BE=? / FAB=,（1 分）故 BF=,則BU+ARAB,可得 AF 丄 BF.（3 分）在厶 DFB 中 ,由 BF2+DF=BD,可得 BF 丄 DF.（5 分）因?yàn)?AFQDF=F，所以 BF 丄平面 ADF.（7 分）作 FO 丄 AB 交 AB 于 O,如圖，以 O 為原點(diǎn)，OF,OB,OG 所在直線分別為 x,y,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,（9則 F ,B -，E ,C -，二=(0,1,0),=- ,設(shè)平面 DCEF 的法向量為 n=(x,y,z),由可取 n= ,

5、(12 分)設(shè)直線 BF 與平面 DCEF 所成角為9,又,所以 sin9=|cos|=-=,即直線 BF 與平面 DCEF 所成角的正弦值為.(15 分)3.(2016 課標(biāo)全國1,18,12 分)如圖，在以 A,B,C,D,E,F 為頂點(diǎn)的五面體中，面 ABEF 為正方形,AF=2FD, / AFD=90。且二面角 D-AF-E 與二面角 C-BE-F 都是 60 .(1) 證明：平面 ABEFL 平面 EFDC;(2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值.解析證明：由已知可得 AF 丄 DF,AF 丄 FE,AFHEF=F,所以 AF 丄平面 EFDC.(2 分)又 AF?平面 ABEF,

6、故平面 ABEFL 平面 EFDC.(3 分)過 D 作 DGL EF,垂足為 G,由(1)知 DGL 平面 ABEF.以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?x 軸正方向|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.(6 分)由(1)知/ DFE 為二面角 D-AF-E 的平面角，故/ DFE=60。則|DF|=2,|DG|=:可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,_).由已知得,AB / EF,所以 AB/平面 EFDC.(8 分)又平面 ABCD?平面 EFDC=CD 故 AB/ CD,CD/ EF.由 BE/AF,可得 BE 丄平面 EFDC 所以/ C

7、EF 為二面角 C-BE-F 的平面角，/ CEF=60 從而可得 C(-2,0,一), 所以=(1,0,一)，=(0,4,0),=(-3,-4,一)，=(-4,0,0).(10 分)設(shè) n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量，則即所以可取 n=(3,0,-_).設(shè) m 是平面 ABC 的法向量，貝 U同理可取 m=(0,4).貝 U cos=故二面角 E-BC-A 的余弦值為-.(12分)評(píng)析 本題考查了立體幾何部分有關(guān)垂直的證明，以及二面角的求解和利用空間向量求解立體幾何問題 .解決立體幾何問題時(shí)要注意 “發(fā)現(xiàn)”垂線所在的位置.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1線面垂直判定的方法1.（2018

8、浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考（4 月）,19,15 分）如圖，四邊形 ABEF 是正方形，AB/ CD,AD=AB=BGD.若平面 ABEFL 平面 ABCD 求證:DB 丄平面 EBC;若 DF 丄 BC,求直線 BD 與平面 ADF 所成角的正弦值解析 證明：T四邊形 ABEF 是正方形，二 EB JAB,又T平面 ABEFL 平面 ABCD 且平面 ABEFQ平面 ABCD=AB,/EBL 平面 ABCD/-EBL BD,（2 分）VAD=AB=BC=CD,不妨設(shè) AD=AB=BC=1,DC=2W BD= 一,/BDL BC.（4 分）vEBnBC=B/.DBL 平面 EBC.（6 分）解法

9、一：如圖,過點(diǎn) F 作 FH 丄平面 ABCD 垂足為 H,連接 AH 并延長，交 CD 于點(diǎn) G.過點(diǎn) H 作 HI 丄 AD 交 AD 于點(diǎn) I,連接 FI,作 HOLFI 交 FI 于點(diǎn) O,VFHL 平面 ABCD/-FHL BC,TDFLBC,.BCL 平面 FDH,BCL DH,即點(diǎn) H 在 BD 上,（9 分）VFHL AD,HI 丄 AD,FHH HI=H,/ADL 平面 FIH,.ADL HO,VHOL FI,FIQAD=I,HOL 平面 AFD/.點(diǎn) H 到平面 AFD 的距離為 HO,（11 分） 由已知可得 DG=,HG=HI,HO,而 BD=3DH,f；點(diǎn) B 到平面

10、 AFD 的距離為一.（13 分）設(shè)直線 BD 與平面 AFD 所成的角為9,則 sin9.（15 分）解法二：以 A 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AD=AB=BCDC=1,則A（0,0,0）,B（0,1,0）,C 二 _ ,D 二-_.（8 分）設(shè) F（x,y,z）,由題意可得將坐標(biāo)代入得_-_解得即 F - ,（11 分）設(shè)平面 AFD 的法向量為 n=（a,b,c）,則即 _令 a= 一,則 b= 一,c=-1,即 n=（ 一，一,-1）,（13 分）設(shè)直線 BD 與平面 AFD 所成的角為9,易知 =- ,故 sin9=|cos|=- =,直線 BD 與平面 ADF 所成

11、角的正弦值為 .（15 分）2.（2018 浙江蕭山九中 12 月月考,19）如圖，在三棱柱 ABC-DFE 中,點(diǎn) P,G 分別是 AD,EF 的中點(diǎn)，已知 ADL 平 面ABC,AD=EF=3,DE=DF=2.（1）求證:DG 丄平面 BCEF;求 PE 與平面 BCEF 所成角的正弦值.解析 證明：由題意知,AD 丄平面 DEF, / ADDG,BF 丄 DG,（2 分）TDE=DF,G 是 EF 的中點(diǎn),.EF 丄 DG,（4 分）又 BFQEF=F, / DG0 面 BCEF.（7 分）取 BC 的中點(diǎn) H,連接 HG 取 HG 的中點(diǎn) 0,連接 0P,0E,易知 P0/DG,所以

12、P0L 平面 BCEF,所以/ 0EP 是 PE 與平面 BCEF 所成的角,（10 分）由已知得，PE=-,0P=_, 所以 sin / 0EPL=,（14分）故 PE 與平面 BCEF 所成角的正弦值為一.（15分）方法2面面垂直判定的方法1.（2018 浙江杭州第二次高考教學(xué)質(zhì)量檢測（4 月）,19）如圖,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,/A=12C ,M 為線段 BC 的中點(diǎn)，D 為線段 BC 上一點(diǎn)，且 BD=BA 沿直線人。將厶 ADC 翻折至 ADC,使 AC丄 BD.（1）證明：平面 AMC丄平面 ABD;求直線 CD 與平面 ABD 所成的角的正弦值.解析證明：由題意知

13、 AML BD,又 AC丄 BD,所以 BD 丄平面 AMC,因?yàn)?BD?平面 ABD,所以平面 AMCL平面 ABD.(7 分)在平面 ACM 中,過 C作 CF 丄 AM 交 AM 于點(diǎn) F,連接 FD.由知,CF 丄平面 ABD 所以/ CDF 為直線 CD 與平面 ABD 所成的角.設(shè) AM=1,則 AB=AC=2,BM=,MD=2-一,DC=DC=2 -2,AD=_-在 Rt CMD 中,皿02=。02-皿&=(2_-2)2-(2-_)2=9-4 .設(shè) AF=x，在 Rt CFA 中,AC2-AF2=MC2-MF2,即 4-X2=(9-4_)-(1-x)2,解得 x=2_-2

14、,即 AF=2_-2.所以 CF=2 故直線 CD 與平面 ABD 所成的角的正弦值等于一 =（15 分）2.（2017 浙江名校（紹興一中）交流卷一，19）如圖，三棱錐 P-ABC 中,PC 丄平面 ABC,AB=PC=2,AC=4/PBC三, 點(diǎn) E 在 BC 上,且 BE二EC.（1）求證：平面 PAB 丄平面 PBC;求 AE 與平面 PAB 所成角的正弦值.解析 證明：因?yàn)?PC 丄平面 ABC 所以 PCX AB,PC 丄 BC.（2 分）又因?yàn)樵谌切?PBC 中,PC=2, / PBC=,所以 BC=2 一,（4 分）而 AB=2,AC=4,所以 AC=AB+BC,所以 AB

15、丄 BC.（6 分）又 ABPC,PCnBC=C 所以 AB 丄平面 PBC,又 AB?平面 PAB 所以平面 PABX平面 PBC.（8 分）設(shè) AE 與平面 PAB 所成的角為9.因?yàn)?BE=EC 所以點(diǎn) E 到平面 PAB 的距離 dw_dc（dc表示點(diǎn) C 到平面 PAB的距離）.（11 分）過 C 作 CF 丄 PB 于點(diǎn) F,由知 CF 丄平面 PAB，易得 dc=CF= 一,所以.（13 分） 又 AE= =- 一,所以 sin9=.（15 分）過專題【五年高考】A組自主命題浙江卷題組 考點(diǎn) 垂直的判定和性質(zhì)1.（2014 浙江文,6,5 分） 設(shè) m,n是兩條不同的直線，a,B

16、是兩個(gè)不同的平面（）A. 若mln,n /a,貝 Um aB. 若m/ B,a,貝 Um aC. 若mlB ,nXB ,n 丄a,貝 Uml aD. 若mln,nX B,B la,貝 U ml a答案 C2.（2016 浙江文，18,15 分）如圖，在三棱臺(tái) ABC-DEF 中,平面 BCFEL 平面ABC,/ACB=90 ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.求證:BF 丄平面 ACFD;求直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值.解析（1）證明：延長 AD,BE,CF 相交于一點(diǎn) K,如圖所示.因?yàn)槠矫?BCFEL 平面 ABC 且 ACL BC,所以 AC 丄平面 BCK，因此

17、 BF 丄 AC.又因?yàn)?EF/ BC,BE=EF=FC=1,BC=2 所以ABCK 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點(diǎn)，則 BFLCK.所以 BF 丄平面 ACFD.因?yàn)?BF 丄平面 ACK 所以/ BDF 是直線 BD 與平面 ACFD 所成的角.在 Rt BFD 中 ,BF= ,DF=-,得 cos / BDFJ,所以，直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值為一.評(píng)析 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.3.（2015 浙江,17,15 分）如圖,在三棱柱 ABC-ABG 中,/ BAC=90 ,AB=AC=2,A “=

18、4, 在底面 ABC 的射影為 BC 的中點(diǎn)，D 是 BG 的中點(diǎn).（1） 證明 AD 丄平面 ABC;（2） 求二面角 A-BD-B1的平面角的余弦值.解析（1）證明：設(shè) E 為 BC 的中點(diǎn)，由題意得 A1E丄平面 ABC 所以 AE 丄 AE.因?yàn)?AB=AC 所以 AELBC.故 AEL平面 ABC.由 D,E 分別為BQ,BC 的中點(diǎn)，得 DE/ BB 且 DE=BB,從而 DE/ AA 且 DE=AA,所以四邊形 AAED 為平行四邊形故 AID/AE.又因?yàn)?AE 丄平面 AIBC，所以AD丄平面 AIBC.解法一：作 AF 丄 BD 且 AiFQBD=F,連接 BIF.由 AE

19、=EB= 一，/ AIEA=/ AEB=90 ,得 AB=AA=4.由 AD=BD,AIB=BB,得厶 AIDB 與厶 BIDB 全等.由 AF 丄 BD,得 BiF 丄 BD,因此/ AIFBI為二面角 A-BD-Bi的平面角.由AID= 一,AiB=4, / DAB=90 ,得 BD=3 一,AiF=BF=, 由余弦定理得 cos / AIFB=-.解法二：以 CB 的中點(diǎn) E 為原點(diǎn)，分別以射線 EA,EB 為 x,y 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz,如圖所示.設(shè)平面ABD 的法向量為 m=(xi,yi,z J,平面 BiBD 的法向量為 n=(x2,y2,z2).由即 _可

20、取 m=(0.一,1).由即 _可取 n=(_,1).于是 |cos|=由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角 Ai-BD-Bi的平面角的余弦值為-.評(píng)析 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.4.(214 浙江,2,15 分)如圖，在四棱錐 A-BCDE 中,平面 ABCL 平面BCDE,/CDE/BED=9 ,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 一.(1)證明:DE 丄平面 ACD;因此 =(，),=(-).由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：Ai(，),=(, ,).求二面角 B-AD-E 的大小.解析證明：在直角梯形 BCDE 中,由

21、 DE=BE=1,CD=2 得 BD=BC= 由 AC= ,AB=2,得AB=AC+BC,即 AC丄 BC,又平面 ABC 丄平面 BCDE 從而 ACL 平面 BCDE,所以 AC 丄 DE.又 DE DC,從而 DEL 平面 ACD.解法一：作 BF 丄 AD 與 AD 交于點(diǎn) F,過點(diǎn) F 作 FG/ DE 與 AE 交于點(diǎn) G,連接 BG,由知 DE AD,_KU FG 丄 AD,所以/ BFG 是二面角 B-AD-E 的平面角.在直角梯形 BCDE 中,由 CD2=BC2+BD?,得 BD 丄 BC,又平面 ABCL平面 BCDE 得 BD 丄平面 ABC 從而 BD 丄 AB.由

22、ACL平面 BCDE 得 ACLCD.在 Rt ACD 中 ,由 DC=2,AC= 一,得 AD= 一在 Rt AED 中 ,由 ED=1,AD= 一,得 AE= 一 在 Rt ABD 中 ,由 BD=：AB=2,AD=_,得 BF一，所以 AF=_,即 AF=AD,從而 GF=.在厶 ABEAABG 中,利用余弦定理分別可得 cos / BAE,BG二.在厶 BFG 中,cos / BFG=所以/ BFG=,即二面角 B-AD-E 的大小是解法二：以 D 為原點(diǎn)，分別以射線 DE,DC 為 x 軸,y 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,如圖所示.由題意及 知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：D(0,0

23、,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,一),B(1,1,0).設(shè)平面 ADE 的法向量為 m=g,y1,z1),平面 ABD 的法向量為 n=(x2,y2,z2),可算得 =(0,-2,-一)，=(1,-2,- ),=(1,1,0),解析（1）證明：由已知可得，/ BAC=90 ,BAAQ又 BA 丄 AD,所以 AB 丄平面 ACD.又 AB?平面 ABC,所以平面 ACDL 平面 ABC.（2）由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3：又 BP=DQ=DA 所以 BP=2作 QEXAC,垂足為 E,則 QE -DC.由已知及（1）可得 DC 丄平面 ABC, 所以 QE

24、L 平面 ABC,QE=1.因此，三棱錐 Q-ABP 的體積為于是 |cos|=-可取 m=(0,1,-一).可取n=(1,-1,_).由題圖可知，所求二面角的平面角是銳角，故二面角 B-AD-E 的大小是-.評(píng)析 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和空間向量的應(yīng)用能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.B組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組考點(diǎn) 垂直的判定和性質(zhì)1.（2017 課標(biāo)全國山文,10,5 分）在正方體 ABCD-ABQD 中,E 為棱 CD 的中點(diǎn)，則（A.AiE 丄 DG B.AiE 丄 BDC.AiE 丄 BC D.AiE 丄 AC答案 C2.（2018 課標(biāo)全國I文,18,12 分）如圖，在平行四邊形 ABCM 中 ,AB=AC=3,ZACM=9 .折起，使點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) D 的位置，且 AB 丄 DA.（1）證明：平面 ACDL 平面 ABC;,同時(shí)考查空間想象以 AC 為折痕將 ACMQE SABF=_x1x _X3X2_sin 45 =1.規(guī)律總結(jié)證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟：(1) 審清題意：分析條件，挖掘題目中平行與垂直的關(guān)系；(2) 明確方向：確定問題的方向，選擇證明平行或垂直的