計算傳熱學第2節(jié)-第1章 有限體積法基本概念及二維導熱方程離散練習,布置第一次大作業(yè)

1、1上節(jié)回顧p上節(jié)回顧p“計算傳熱學”中的“計算”指的是“數(shù)值計算”，又叫“數(shù)值仿真”、“數(shù)值模擬”，是一種將物理方程轉化為代數(shù)方程組并利用計算機求解代數(shù)方程組的計算機技術（有限體積法、有限元法、有限差分法）p“數(shù)值計算”用代數(shù)方程組有限位數(shù)迭代解近似物理解p“計算傳熱學”是利用數(shù)值計算的方法研究熱傳遞規(guī)律的科學p計算傳熱學的發(fā)展簡史p計算傳熱學主要物理方程為能量守恒方程p計算傳熱學主要變量為溫度和焓21 有限體積法p從萬有引力定律開始221rMMGF3該式描述了兩個可以看作質點的物體之間的萬有引力。如果質點的前提不存在，即物體自身尺寸和物體之間的距離相當，如何計算它們之間的萬有引力呢？1 有限

2、體積法p從萬有引力定律開始221rMMGF切土豆土豆塊（質點）A土豆質點與B土豆質點間的力A土豆質點受到的合力A土豆受到的合力（即A、B土豆間的萬有引力）數(shù)值計算的基本思想：復雜的研究對象若干個子對象將基本物理定律應用到子對象獲得物理現(xiàn)象細節(jié)總的參數(shù)4asdf Sun Jining 2008 BUAA第第1章章 有限體積法有限體積法(FVM)Finite Volume Method計算傳熱學51 有限體積法p流動與傳熱的控制方程p有限體積方法的基本思想p小結與討論61 有限體積法p流動與傳熱的控制方程p有限體積方法的基本思想p小結與討論7流動與傳熱的控制方程pJ為因變量 的流量密度，或稱通量，

3、其三個方向分量為Jx, Jy, Jzp通過面積dydz，控制微元流出的凈流量p通過面積dxdz，控制微元流出的凈流量p通過面積dxdy，控制微元流出的凈流量p單位體積流出的凈流量p讓 為密度，可得連續(xù)方程p單位時間內控制微元中流體質量的增加=同一時間間隔內流入該控制微元的凈質量(/)(/)xxxxJJx dx dydzJ dydzJx dxdydz (/)yJy dxdydz(/)zJz dxdydz/xyzJxJyJz J0uvwtxyzJV8p讓 為動量，可得動量守恒方程(以不可壓縮流體為例)p控制微元內流體動量的增加率=作用在微元體上的各種力之和p讓 為能量，可得能量量守恒方程p理想流體

4、和固體， ,將耗散函數(shù)歸納到源項中( )p補充狀態(tài)方程(理想氣體)()uuuuvuwputxyzx ()vvuvvvwpvtxyzy ()wwuwvwwpwtxyzz ()hhhuhvhwTpStxyz VphC TThSS()()TpTTTStC VpRT9p湍流輸運方程(k方程)p控制方程通用形式()()St V()()kkkkkPt V10p控制方程的守恒型與非守恒型p守恒型方程p非守恒型方程()()St V()()()()()ttttt VVVVVV()()St VV11p在任意有限大小的容積V對能量方程積分p該體積內單位時間內能量的增加，等于通過該容積的表面由于流體的流動而進入該容積

5、的能量，由于傳導進入該容積的能量以及內熱源的生成熱()()TpVVVTT dVT dVS dVtC V()()TpVVVTT ndSTndSS dVtC V12p初始條件與邊界條件p固體邊界p速度：無滑移無穿透邊界條件p壓力:邊界層內法向梯度為0p溫度：等溫壁與絕熱壁p等溫壁p絕熱壁p密度:邊界層內法向梯度為0p其他邊界p對稱p遠場p進口/出口/0,0uu/0pn /0Tn 0TT/0n 13141 有限體積法p流動與傳熱的控制方程p有限體積方法的基本思想p小結與討論151 有限體積法p能量守恒方程為例TLxzyIUTR，c，161 有限體積法xzy，c，eqwqIU171 有限體積法zwqe

6、q，c，IUxzy內能增加的原因：1.各個表面?zhèn)鳠?.內部熱源在一定時間內，立方體內的內能增加量(UP)各表面?zhèn)鳠崃?QT)熱源產生的熱量(ST)xy181 有限體積法xyzwqeq，c，IUxzy內能增加量(UP)U UP Pt1t1=(cT)Pt1 ，t1時刻，立方體內的體平均內能密度U UP Pt2t2=(cT)Pt2 ，t2時刻，立方體內的體平均內能密度UP =UPt2xyz-UPt1xyz =(UPt2-UPt1)xyz =(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz191 有限體積法xyz，c，IUxzy各表面?zhèn)鳠崃?QT)傅立葉定律：q=-(T/n)q qw w=(-(T/x)w，從t

7、1時刻到t2時刻時間段內，在yz左側面(西面w)流向立方體內部的面時平均熱流密度q qe e=(T/x)e，從t1時刻到t2時刻時間段內，在yz右側面(東面e)流向立方體內部的面時平均熱流密度假設其余4面絕熱QT=qwyzt+qeyzt =(qw+qe)yzt =(-(T/x)w+(T/x)e)yzt =(T/x)e-(T/x)w)yzt wqeq201 有限體積法xyz，c，IUxzy熱源產生的熱量(ST)SP，從t1時刻到t2時刻時間段內，立方體空間內發(fā)熱電阻的體時平均發(fā)熱功率ST=SPxyzt wqeq211 有限體積法xyz，c，IUxzy在一定時間內，立方體內的內能增加量(UP)各表

8、面?zhèn)鳠崃?QT)熱源產生的熱量(ST)即UP=QT+STUP=(cT)Pt2-(cT)Pt1xyzQT=(T/x)e-(T/x)w)yztST= SP xyzt 即(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+ SPxyzt (cT)Pt2-(cT)Pt1 )/t=(T/x)e-(T/x)w)/x + SP (cT)/t=(T/x)/x + Swqeq221 有限體積法p能量守恒方程xyz，c，IUxzy(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz =(T/x)e-(T/x)w)yzt + SP xyzt非穩(wěn)態(tài)項擴散項源項wqeq23將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域1

9、有限體積法p有限體積方法的基本思想xzyt2時刻t1時刻24將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想xzyt2時刻t1時刻體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 體時平均量 25將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)

10、體時平均量 xzyt2時刻t1時刻26將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzyt2時刻t1時刻27將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時

11、間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)每時間步未知數(shù)總數(shù)：n+(n-1)+n=3n-1獨立方程總數(shù)：nxzyt2時刻t1時刻28將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzy每時間步未知數(shù)總數(shù)：n+(n-1)+n=3n-1獨立方程總數(shù)：nt2時刻t1時刻現(xiàn)在到了決定有限體積法成敗關鍵時刻！該如何解決未知數(shù)個數(shù)大于獨立方程總數(shù)的難題？29

12、將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzy每時間步未知數(shù)總數(shù)：n+(n-1)+n=3n-1獨立方程總數(shù)：n以幾何中心點的值為核心量：每時間步立方體幾何中心點的溫度值Tp，密度p，導熱系數(shù)p，源項SPn個未知數(shù)n個體平均量、n-1個面時平均量、n個體時平均量均通過中心點的量Tp，p，p，SP插值獲得t2時刻t1時刻30將整個求解域劃分為n個立方

13、體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzy每時間步未知數(shù)總數(shù)：n+(n-1)+n=3n-1獨立方程總數(shù)：n以幾何中心點的值為核心量：每時間步立方體幾何中心點的溫度值Tp，密度p，導熱系數(shù)p，源項SPn個未知數(shù)n個體平均量、n-1個面時平均量、n個體時平均量均通過中心點的量Tp，p，p，SP插值獲得t2時刻t1時刻這種插值處理方法解決了獨立方程數(shù)目不夠的問題！31將整個

14、求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzyt2時刻t1時刻體平均量假設、c、T在空間上階梯型分布，立方體內的各處值相等，則密度、比熱、溫度的體平均量等于中心點密度、比熱、溫度UP=(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz PcP(TPt2-TPt1)xyzPEWxPewTxPEWew32將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量

15、守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzyt2時刻t1時刻面時平均量假設在空間上分段線性分布，在時間上階梯分布，則溫度梯度的面時平均量等于上一時間步兩側中心點的溫度差分QT=(T/x)e-(T/x)w)yzt(T/x)et1-(T/x)wt1)yzt(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw) yztxePEWxwewTxPEWewxPTtt2t1t333將整個求解域劃分為n個立方體

16、區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)xzyt2時刻t1時刻體時平均量在空間上一般為已知函數(shù)，假設在時間上階梯分布，則發(fā)熱功率的體時平均量等于上一時間步的發(fā)熱功率體平均量ST=SPxyzt SPt1xyztPEWxexwewxP34將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)

17、yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)每個立方體的有限體積方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt135將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t

18、2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)每個立方體的有限體積方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e(TEt1-TPt1)/x

19、e-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt1這種插值處理方法雖然解決了獨立方程數(shù)目不夠的問題，但同時也帶來了數(shù)值誤差！36將整個求解域劃分為n個立方體區(qū)域，從t1到t2時刻，每立方體能量守恒方程：(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt+SPxyzt1 有限體積法p有限體積方法的基本思想體平均量 每時間步n個未知數(shù)面時平均量 每時間步n-1個未知數(shù)體時平均量 每時間步n個未知數(shù)每個立方體的有限體積方程：UPPcP(TPt2-TPt1)xyzQT(e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yztSTSPt1xyztPcP(TPt2-T

20、Pt1)xyz (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)yzt+ SPt1xyztPcP(TPt2-TPt1)/t (e(TEt1-TPt1)/xe-w(TPt1-TWt1)/xw)x+ SPt1這種插值處理方法雖然解決了獨立方程數(shù)目不夠的問題，但同時也帶來了數(shù)值誤差！當t、x趨于無限小時，1）能量守恒方程將從宏觀形式變成微分形式2）插值誤差將趨于03）有限體積方程將等價于能量守恒方程4）有限體積方程的解將等價于能量守恒方程的解371 有限體積法p能量守恒方程p有限體積方法的基本思想p小結與討論38p有限體積法:將所計算的區(qū)域劃分成一系列控制體積，每個體積都有一個節(jié)點

21、代表。通過將守恒型的控制方程對控制體積做積分從而導出離散方程。391 有限體積法p小結與討論p相對于理論預測方法中的將求解空間區(qū)域劃分為無窮多個無限小體積微分單元體的微分形式能量方程，數(shù)值仿真方法求解的方程是將求解區(qū)域劃分為有限多個有限小體積單元體的宏觀形式能量方程p因此，“有限體積”指的是“有限小單元體”p同時我們還要注意到一點，微分能量方程將求解時間段劃分為無窮多個無限小時間段，宏觀能量方程將求解時間段劃分為有限數(shù)量有限小時間段p因此，“有限體積”的廣義理解是“有限小單元體有限小時間段”，或是四維時空坐標系的“有限小單元體”401 有限體積法p小結與討論p“有限小體積”的宏觀能量方程中存在

22、多于方程個數(shù)的未知平均量，所以需要選定等于方程個數(shù)的求解變量TP，其余未知平均量均用TP插值獲得，從而獲得可用于數(shù)值求解的有限體積方程p在有限小體積趨于無限小，有限小時間段趨于無限小時，有限體積方程將趨于宏觀能量方程，同時宏觀能量方程將趨于微分能量方程p因此我們說，有限體積法可以求解微分方程411 有限體積法p小結與討論p有限體積法的特點1：通過守恒關系建立得出離散方程，不依賴于微分得到方程組；p有限體積法的特點2：物理概念清晰，強調控制體內物理量的守恒 421 有限體積法p小結與討論p將微分方程描述的連續(xù)時間和空間劃分為一個個有限小體積和有限小時間段，是獲得有限體積方程的前提，這個過程的術語

23、叫做“離散”，相應的有限小體積稱為“網(wǎng)格”，相應的有限小時間段稱為“時間步長”431 有限體積法p小結與討論p“離散誤差”是指用TP等幾何中心量插值獲得其余未知平均量時產生的誤差p用更小的單元體可以減小“離散誤差”。但單元體體積小到一定程度后，“離散誤差”不再隨之顯著減小，此時的解稱為“網(wǎng)格無關解”p用更合適的插值公式可以減小“離散誤差”。插值公式的術語是“差分格式”。p一般認為比較精確的數(shù)值解是采用高精度差分格式時獲得的“網(wǎng)格無關解”441 有限體積法p小結與討論功能要求物理解物理方程理論解代數(shù)方程數(shù)值解幾何結構簡化結構空間離散網(wǎng)格試驗環(huán)境定解條件解析求解開始試驗迭代求解幾何簡化物理簡化環(huán)境

24、簡化近似近似時間離散理論誤差離散誤差迭代誤差數(shù)值誤差舍入誤差451 有限體積法p小結與討論p出現(xiàn)的術語：p“計算傳熱學”“數(shù)值計算”“數(shù)值模擬”“數(shù)值仿真”p“物理解”“理論解”“物理方程”“定解條件”“有限體積法”“有限元法”“有限差分法”“數(shù)值解”“空間離散”“網(wǎng)格”“時間離散”“代數(shù)方程組”“矩陣”“迭代”“收斂”p“理論誤差”“離散誤差”“迭代誤差”“舍入誤差”“數(shù)值誤差”“代數(shù)方程組有限位數(shù)迭代解”“能量守恒方程”p“體平均”“面時平均”“體時平均”p“傅立葉定律”“非穩(wěn)態(tài)項”“擴散項”“源項”p“時間步長”“網(wǎng)格無關解”p“切土豆”46asdf Sun Jining 2008 BU

25、AA有限體積法有限體積法(FVM) 結束結束Finite Volume Method計算傳熱學471 有限體積法p二維穩(wěn)態(tài)導熱方程離散48q=0(絕熱)T=31 有限體積法p二維導熱問題T=5xzyy=0.4mx=0.6mT=4=10W/mks=50W/m3491 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzy內能增加的原因：1.各個表面?zhèn)鳠?.內部熱源在一定時間內，立方體內的內能增加量(UP)各表面?zhèn)鳠崃?QT)熱源產生的熱量(ST)nqsq501 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzynqsq內能增加量(UP)UP =UPt2xyz-UPt1xyz =(UPt2-U

26、Pt1)xyz =(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz511 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzynqsq各表面?zhèn)鳠崃?QT)q qe e=(T/x)eq qw w=(-(T/x)wq qn n=(T/y)nq qs s=(-(T/y)s其余2面絕熱QT=qeyzt+qwyzt+qnxzt+qsxzt =(qe+qw)yzt+(qn+qs)xzt =(T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt521 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzynqsq熱源產生的熱量(ST)SP，從t1時刻到t2時刻時間段內，立方體空間內發(fā)熱電阻的體時平

27、均發(fā)熱功率ST=SPxyzt 531 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzynqsq在一定時間內，立方體內的內能增加量(UP)各表面?zhèn)鳠崃?QT)熱源產生的熱量(ST)即UP=QT+STUP=(cT)Pt2-(cT)Pt1xyzQT=(T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xztST= SP xyzt 即(cT)Pt2-(cT)Pt1 xyz=(T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt+ SPxyzt 541 有限體積法p能量守恒方程xyzwqeq，c，IUxzynqsq(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz =(T/x)

28、e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt+ SP xyzt非穩(wěn)態(tài)項擴散項源項551 有限體積法p二維穩(wěn)態(tài)導熱有限體積方程xzy+ SP xyzt(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz= (T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt非穩(wěn)態(tài)項（體平均量） 擴散項（面時平均量） 源項（體時平均量） 非穩(wěn)態(tài)項(cT)Pt2-(cT)Pt1)xyz穩(wěn)態(tài)時，該項為0擴散項(T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt面時平均量變?yōu)槊嫫骄吭错桽Pxyzt體時平均量變?yōu)轶w平均量xPWENSyewsn561 有限體積法p二維穩(wěn)態(tài)導熱有

29、限體積方程xzyxPWENSyewsn+ SP xyz 0 = (T/x)e-(T/x)w)yz +(T/y)n-(T/y)s)xz非穩(wěn)態(tài)項（體平均量） 擴散項（面平均量） 源項（體平均量） 擴散項(T/x)e-(T/x)w)yzt +(T/y)n-(T/y)s)xzt面時平均量變?yōu)槊嫫骄吭错桽Pxyzt體時平均量變?yōu)轶w平均量571 有限體積法p二維穩(wěn)態(tài)導熱有限體積方程xzyxPWENSyewsn+ SP xyz 0 = (T/x)e-(T/x)w)yz +(T/y)n-(T/y)s)xz非穩(wěn)態(tài)項（體平均量） 擴散項（面平均量） 源項（體平均量） 擴散項(T/x)e-(T/x)w)yz +(T/y)n-(T/y)s)xz假設分段線性分布QT=(T/x)e-