2020年山東高考數(shù)學復習：8.4直線、平面垂直的判定與性質

1、8.4直線、平面垂直的判定與性質挖命題【考情探究】考點內容解讀5 年考情預測熱度考題示例考向關聯(lián)考點1.直線與 平面垂直 的判定與 性質1線面垂直的證明；2線面垂直的性質應用2018 課標n文,19線面垂直點到平面的距離2018 北京,16線面垂直二面角的余弦值2016 課標n,19線面垂直二面角的正弦值2.平面與 平面垂直 的判定與 性質1面面垂直的證明；2面面垂直的性質應用2018 課標I,18面面垂直線面角的正弦值2017 課標I,18面面垂直二面角的余弦值2016 課標I,18面面垂直二面角的余弦值2017 山東,18面面垂直線面平行的判定分析解讀1.掌握直線與平面垂直的判定定理和性質

2、定理.2.會運用直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理解決簡單的應用問題與證明問題3 掌握轉化的思想方法 4 高考中常以解答題的形式呈現(xiàn)，考查線線、線面、面面垂直的轉化思想，分值約為 12 分,屬中檔題.破考點【考點集訓】考點一直線與平面垂直的判定與性質1. （人教 A 必 2,二,2-3-1,2,變式）如果 PA、PB PC 兩兩垂直，那么點 P 在平面 ABC 內的投影一定是 ABC 的（ ）A.重心B.內心C.外心D.垂心答案 D2. （2018 廣東茂名模擬,19） 如圖，在三棱錐 P-ABC 中,PA 丄 AC,PC 丄 BC,M 為 PB 的中點，D 為 AB 的中點，且厶

3、 AMB為正三角形.所以- SABCDMD=SAMCD h,即XX=一X Xh.所以 h=_.故點 B 到平面 DCM 勺距離為一.考點二平面與平面垂直的判定與性質1.（2017 福建泉州二模,16）如圖，一張 A4 紙的長、寬分別為 2_a,2a,A,B,C,D 分別是其四條邊的中點其沿圖中虛線折起，使得 P,P2,P3,P4四點重合為一點 P,從而得到一個多面體.下列關于該多面體的命題確的是_ .（寫岀所有正確命題的序號）求證:BC 丄平面 PAC;若 PA=2BC 三棱錐 P-ABC 的體積為 1,求點 B 到平面 DCM 勺距離. 解析 證明：在正 AM 沖,D 是 AB 的中點，所以

4、 MDLAB.因為 M 是 PB 的中點，D 是 AB 的中點，所以 MD/ PA,故 PAXAB.又 PAAC,ABHAC=A,AB,AC?平面 ABC,所以 PAX平面 ABC.因為 BC?平面 ABC,所以 PAL BC.又 PCLBC,PAnPC=P,PA,PC?平面 PAC,所以 BC 丄平面 PAC.(2)設 AB=x,則 PB=2x,PA=2MD=x,BC= 一,AC=_x.三棱錐 P-ABC 的體積 Vd SAABC PA=x3=1,得 x=2. 所以 AB=MB=2,BC=,AC=1,MD=_.所以SBC=-SAABC=_X -XX1 = 一.由(1)知 MD/ PA,PAL

5、平面 ABC 所以 MDL DC.在 RtAABC 中 ,CD=AB=1,所以 SMC=XMD CD=-X X仁.設點 B 到平面 DCM 勺距離為 h.因為VM-BCD=VJ-MCD.現(xiàn)將,正pff* 1cjr、豪H.*I* / 屮J*t- /J1IlhfnD11該多面體是三棱錐;2平面 BAD 丄平面 BCD;3平面 BAC 丄平面 ACD;4該多面體外接球的表面積為 5na2.答案2.(2017 河南部分重點中學聯(lián)考，19)如圖，已知 AB 是。O 的直徑，點 C 是。O 上的動點,PA 垂直于平面 ABC.證明：平面 PACL 平面 PBC;(2)設 PA= 一,AC=1,求三棱錐 A

6、-PBC 的高.解析證明：TAB 是。O 的直徑，點 C 是。0 上的動點，:丄ACB=90 ,即 BC 丄 AC.又/ PA 垂直于平面 ABC，BC?平面 ABC，: PABC./PAHAC=A：.BCL 平面 PAC.又 BC?平面 PBC，:平面 PACL 平面 PBC.如圖，過點 A 作 PC 的垂線，垂足為 D，由平面 PAC 丄平面 PBC,平面 PACT平面 PBC=PC，易得 AD 的長即為三棱錐 A-PBC 的高.在 Rt APC 中，PA=，AC=1，: PC=2,由 ADXPC=PAXAC,AD= :三棱錐 A-PBC 的高為一.煉技法【方法集訓】方法1直線與平面垂直的

7、判定方法1.（2018 廣東東莞模擬，18）如圖 1,矩形 ABCD 中 ,AB=12,AD=6,E、F 分別為 CD AB 邊上的點，且 DE=3,BF=4,將厶 BCE 沿 BE 折起至 PBE 的位置（如圖 2 所示）,連接 AP、PF,其中 PF=2 （1）求證:PF 丄平面 ABED;求點 A 到平面 PBE 的距離.解析證明：由翻折不變性可知 PB=BC=6,PE=CE=9, 在厶 PBF 中,PF2+BF=20+16=36=PB,所以 PF 丄 BF.在題圖 1 中,利用勾股定理，得 EF=-=-在厶PEF中,EF2+PF?=61+20=81=PE,.PF 丄 EF.又TBF P

8、EF=F,BF?平面 ABED,EF?平面 ABED, PF 丄平面 ABED.由(1)知 PF 丄平面 ABED,PF 為三棱錐 P-ABE 的高.設點 A 到平面 PBE 的距離為 h,VA-PBE=VP-ABE, -SAPBE h=SAABE PF,即-x X6x9xh= XX12X6X2,h=,即點 A 到平面 PBE 的距離為一.圖1圖22.(2017 山西五校聯(lián)考，19)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，平面 PAEL平面ABCD,AB=AP=3,AD=PB=2,為線段 AB 上一點,且 AE：EB=7：2,點 F、G M 分別為線段 PA、PD (1)求證

9、:PE 丄平面 ABCD;若平面 EFG 與直線 CD 交于點 N,求二面角 P-MN-A 的余弦值.BC 的中點.解析證明：在等腰 APB 中,cos / ABP=-,則由余弦定理可得 PE=-+22-2X_X3X2XPE=一. PE2+BE2=4=PB,.PEL AB.T平面 PAB 丄平面 ABCD 平面 PABH 平面 ABCD=AB,PEL 平面 ABCD.連接 EN,由已知可得 EN/ AD,所以 EN 丄 AB.由(1)可知 PE! EN.以 E 為坐標原點，直線 EP、EB EN 分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則P ,M -,N(0,0,2),從而

10、= - ,=-.設平面 PMN 的法向量為 n=(x,y,z),則 n =0,n =0,即-x+-y+z=0,y+z=0,令 y=3,可得 n= .由(1)知平面 AMN 的一個法向量為=,.cos=-,由圖可知二面角 P-MN-A 的平面角為銳角，故二面角 P-MN-A 的余弦值為.方法2平面與平面垂直的證明方法1.（2018 安徽淮北一中模擬，18）如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面是矩形，PA 丄平面 ABCD,E,F 分別是 AB,PD的中點，且 PA=AD.(1)求證:AF /平面 PCE;求證：平面 PCEL 平面 PCD.VF為 PD 的中點,FGCDP 的中位線，.FG/ CD

11、,FG=CD./四邊形 ABCD 為矩形,E 為 AB 的中點，/AE/ CD,AE=CD/-FG=AE,FG AE,四邊形 AEGF 是平行四邊形，.AF/ EG.又 EG?平面 PCE,AF?平面 PCE, / AF 平面 PCE.(2)VPA=AD/.AFPD,VPAL 平面 ABCD/-PAL CD.又TCD 山 D,APQAD=A, / CD0 面 PAD, / CDAF.又vCDPPD=D, / A 平面 PDC.由(1)得 EG/ AF, / EG1面 PDC.又 EG?平面 PCE, /平面 PCEL 平面 PCD.2.(2018 四川瀘州模擬,19)如圖,在四棱錐 S-ABC

12、D 中,底面 ABCD 是梯形,AB / DC,/ ABC=90 ,AD=SD,BC=CD=側面 SADL 底面 ABCD.(1)求證：平面 SBDL 平面 SAD;若/SDA=120 ,且三棱錐 S-BCD 的體積為一，求側面SAB 的面積.證明解析 (1)證明：在梯形 ABCD 中,AB/ DC,/ ABC=90 ,BC=GDB,設 BC=a,貝 U CD=a,AB=2a,在直角三角形 BCD 中, / BCD=90?？傻?BD=一日，/ CBD=45 , / ABD=45在厶 ABD 中,AD=- =_a,所以AD+BDB2,所以 BD 丄 AD,由平面 SAD 丄底面 ABC 岡得 B

13、D 丄平面 SAD.又 BD?平面 SBD 所以平面 SBDL 平面 SAD.(2) /SDA=120 ,且三棱錐 S-BCD 的體積為在厶 SAD 中,由 AD=SD=a,可得 SA=2SDsin 60 = 一 a,作 SH 丄 AD,貝 U SH=SDsin 60 =a,. _ _ 2_由 SH 丄平面 BCD,可得VS-BCDX 一aX _Xa=,解得 a=1,由 BD 丄平面 SAD,可得 BDL SD,故 SB=2.又 AB=2,所以 SB=AB 在等腰三角形 SBA 中，邊 SA 上的高為-=一，則厶 SAB 的面積為-XSAX =一.3.（2017 河南百校聯(lián)盟 4 月聯(lián)考,19

14、）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是直角梯形,AB / DC,ADLDC,PD丄平面 ABCD,E F、M 分別是棱 PD PC 和 BC 上的點，且一一=-,N 是 PA 上一點，AD=PD.（1）求當一為何值時，平面 NEF 丄平面 MEF;在的條件下，若 AB=DC=2,PD=3,求平面 BCN 與平面 MEF 所成銳二面角的余弦值解析（1）在 AD 上取一點 G,使得一亠連接 EG,MG,V_.EG/ PA,MG/ CD,VPDL 平面 ABCD/-PDL CD,又VAD!CD,ADH PD=D, / CD0面 PAD,V_=_, .EF/ DC/-EFX平面 PA

15、D.若平面 NEF 丄平面 MEF 則/ NEG=90 ,在 Rt PAD 中 ,AD=PD, PA=PD,PNPD,.當一=2 時，平面 NEFL 平面 MEF.(2)以 D 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則 A(3,0,0),B(3,2,0),C(0,4,0),P(0,0,3),N(1,0,2),=(2,2,-2),=(3,-2,0),設平面 BCN 的法向量為 n=(x,y,z),則.即_令 y=3,則 x=2,z=5,n=(2,3,5).VEF/ AB,FM/ PB,則易知平面 MEF/平面 PAB,易知平面 PAB 的一個法向量為 m=(1,0,1),平面 ME

16、F 的一個法向量為 m=(1,0,1),|cos|=- ,即平面 BCN 與平面 MEF 所成銳二面角的余弦值為 .思路分析(1)在 AD 上取一點 G,使 GA=2DG 利用比例關系得出平行，由已知條件證明 CDL 平面 PAD,從而得 EF 丄平面 PAD,若平面 NEFL 平面 MEF 則/NEG=90 ,從而得出一的值.(2)建立空間直角坐標系，分別求出平 面 BCN 與平面MEF 的法向量，從而求銳二面角的余弦值.名師點睛立體幾何中的探索性題目主要有兩類：一是利用空間線面關系的判定與性質進行推理探究；二是對空間角、距離和體積等的研究.過專題【五年高考】A組山東省卷、課標卷題組考點一直

17、線與平面垂直的判定與性質1.（2017 課標山,10,5 分）在正方體 ABCD-ABCD 中,E 為棱 CD 的中點，則（）A.AEIDCB.AIBDCAE 丄 BCD.AEIAC答案 C2.（2018 課標U文,19,12 分）如圖，在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2 一,PA=PB=PC=AC=4,創(chuàng) AC 的中點.（1）證明:PO 丄平面 ABC;若點 M 在棱 BC 上,且 MC=2MBt 點 C 到平面 POM 勺距離.解析 證明：因為 AP=CP=AC=4,偽 AC 的中點，所以 OPLAC，且 OP=2 一連接 OB,因為 AB=BC=-AC,所以AABC 為等腰直角三角

18、形，且 OB 丄 AC,OB=AC=2.由 oP+OB=PB 知,op 丄 OB.由 OP 丄 OB,OPL AC 知 PO 丄平面 ABC.作 CHLOM 垂足為 H.又由（1）可得 OPLCH,所以 CH!平面 POM.故 CH 的長為點 C 到平面 POM 勺距離.由題設可知 OC=AC=2,CM=BC=,ZACB=45 .所以 OMCH=所以點 C 到平面 POM 勺距離為 一3.(2016 課標U,19,12 分)如圖,菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O,AB=5,AC=6,點 E,F 分別在 AD,CD上,AE=CF=,EF 交 BD 于點 H.將厶 DEF 沿

19、EF 折到 DEF 的位置，OD= 一.證明:DH 丄平面 ABCD;求二面角 B-DA-C 的正弦值.解析證明：由已知得 AC 丄 BD,AD=CD.又由 AE=CF 得一=,故 AC/ EF.因此 EFXHD,從而 EF 丄 DH.由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= -=4.由 EF / AC得一=一=-.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 DH2+OH=32+12=10=DO2,故 DH 丄 OH.又 DH 丄 EF,而 OHH EF=H 所以 DH 丄平面 ABCD.如圖，以 H 為坐標原點，的方向為 x 軸正方向，建立空間直角坐標系 H-xyz.則H(0,0,0),A(-3,

20、-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).設 m=(X1,y1,Z1)是平面 ABD的法向量，所以可取 m=(4,3,-5).設 n=(x2,y2,z2)是平面 ACD的法向量，所以可取 n=(0,-3,1).于是 cos二sin=_因此二面角 B-DA-C 的正弦值是思路分析(1)利用已知條件及翻折的性質得出DH 丄 EF,利用勾股定理逆定理得出DH 丄 OH,從而得出結論；(2)在第(1)問的基礎上建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，從而求出兩個半平面的法向量，利用向量的夾角公式求其余弦值，從而求岀正弦值，最后轉化為

21、二面角的正弦值.評析本題主要考查翻折問題，線面垂直的證明以及用空間向量法求解二面角的基本知識和基本方法，考查學生的運算求解能力以及空間想象能力，求解各點的坐標是利用向量法解決空間問題的關鍵.考點二 平面與平面垂直的判定與性質1.(2018 課標1,18,12 分)如圖，四邊形 ABCD正方形,E,F 分別為 AD,BC 的中點，以 DF 為折痕把 DFC 折起,使點 C 到達點 P 的位置，且 PF 丄 BF.(1)證明：平面 PEF 丄平面 ABFD;求 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值.解析由已知可得 BF 丄 EF, 又已知 BF 丄 PF,且 PF、EF?平面 PEF,PFHEF=F,所以 BF 丄平面 PEF, 又 BF?平面 ABFD 所以平面 PEF 丄平面 ABFD.(2)作 PHL EF,垂足為 H.由(1)得,PH 丄平面 ABFD.由(1)可得,DE 丄 PE.又 DP=2,DE=1,所以