第八章第2講兩直線的位置關(guān)系

1、第 2 講兩直線的位置關(guān)系1.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線 l1，l2，斜率分別為 k1，k2平行k1k2k1與 k2都不存在垂直k1k21k1與 k2一個為零、另一個不存在2.兩條直線的交點3三種距離點點距點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2點線距點 P0(x0，y0)到直線 l：AxByC0 的距離d|Ax0By0C|A2B2線線距兩條平行線 AxByC10 與 AxByC20 間的距離d|C1C2|A2B2做一做1兩條直線 l1：2xy10 和 l2：x2y40 的交點為()A(25，

2、95)B(25，95)C(25，95)D(25，95)答案：B2(2015天津模擬)若直線 y2x 與 kxy10 垂直，則實數(shù) k_答案：121辨明三個易誤點(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮(2)求點到直線的距離時，若給出的直線不是一般式，則應(yīng)化為一般式(3)在運用兩平行直線間的距離公式 d|C1C2|A2B2時，一定要注意將兩方程中 x，y 的系數(shù)化為相同的形式2與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法與直線 AxByC0(A2B20)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：(1)垂直：BxAym0(mR)；(2)

3、平行：AxByn0(nR，且 nC)做一做3點(1，1)到直線 x2y5 的距離為()A.55B.8 55C.3 55D.2 55答案：D4若直線 l 過點(1，2)且與直線 2x3y40 垂直，則直線 l 的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80答案：A考點一_兩條直線平行與垂直_(1)“a2”是“直線(a2a)xy0 和直線 2xy10 互相平行”的()A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件(2)(2015河北保定調(diào)研)與直線 x4y40 垂直，且與拋物線 y2x2相切的直線方程為_解析(1)當 a2 時，兩直線平行；但兩直線平行時，a

4、2 或者 a1.故“a2”是“直線(a2a)xy0 和直線 2xy10 互相平行”的充分不必要條件(2)所求直線與直線 x4y40 垂直，故所求直線斜率為 4.由題意知：y4x4，x1，從而 y2，即切點為(1，2)，故所求直線方程為 y24(x1)，即 4xy20.答案(1)C(2)4xy20規(guī)律方法兩直線平行、垂直的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.提醒當直線斜率不確定時，要注意斜率不存在的情況(2)已知兩直線的一般方程兩直線方程 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 中系數(shù) A1，B1，C1

5、，A2，B2，C2與垂直、平行的關(guān)系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10 且 A1C2A2C10l1l2.1.已知直線 l1：ax2y60 和 l2：x(a1)ya210.(1)試判斷 l1與 l2是否平行；(2)當 l1l2時，求 a 的值解：(1)法一：當 a1 時，直線 l1的方程為 x2y60，直線 l2的方程為 x0，l1不平行于 l2；當 a0 時，直線 l1的方程為 y3，直線 l2的方程為 xy10，l1不平行于 l2；當 a1 且 a0 時，兩直線的方程可化為 l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)，由 l1l2a211a，3（a1） ，解得 a1.綜上可知，

6、a1 時，l1l2，否則 l1與 l2不平行法二：由 A1B2A2B10，得 a(a1)120；由 A1C2A2C10，得 a(a21)160，因此 l1l2a（a1）120，a（a21）160，a2a20a（a21）6a1，故當 a1 時，l1l2，否則 l1與 l2不平行(2)法一：當 a1 時，直線 l1的方程為 x2y60，直線 l2的方程為 x0，l1與 l2不垂直，故 a1 不成立當 a0 時，直線 l1的方程為 y3，直線 l2的方程為 xy10，l1不垂直于 l2.當 a1 且 a0 時，直線 l1的方程為 ya2x3，直線 l2的方程為 y11ax(a1)，由(a2)11a1

7、a23.法二：由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.考點二_兩條直線的交點_求經(jīng)過兩直線 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交點 P，且與直線 l3：3x4y50 垂直的直線 l 的方程解法一：由方程組x2y40 xy20，得x0y2，即 P(0，2)ll3，kl43，直線 l 的方程為 y243x，即 4x3y60.法二：直線 l 過直線 l1和 l2的交點，可設(shè)直線 l 的方程為 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l 與 l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直線 l 的方程為 12x9y180，即 4x3y60.規(guī)律方法(1)兩直線交點的求法：求兩直線的

8、交點坐標， 就是解由兩直線方程組成的方程組， 以方程組的解為坐標的點即為交點(2)常見的三大直線系方程：與直線 AxByC0 平行的直線系方程是 AxBym0(mR 且 mC)與直線 AxByC0 垂直的直線系方程是 BxAym0(mR)過直線 l1：A1xB1yC10 與 l2：A2xB2yC20 的交點的直線系方程為 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.2.已知直線 l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk120，分別求滿足下列條件的 k 的值：(1)l1，l2，l3相交于一點；(2)l1，l2，l3圍成三角形解：(1)直線 l1，l2的方程聯(lián)立得xy1

9、02x3y80，解得x1y2，即直線 l1，l2的交點為 P(1，2)又點 P 在直線 l3上，所以12kk120，解得 k12.(2)由(1)知 k12.當直線 l3與 l1，l2均相交時，有2k30k10，解得 k32且 k1，綜上可得 k12，且 k32，且 k1.考點三_距離公式(高頻考點)_距離公式包括兩點間的距離、 點到直線的距離和兩平行線間的距離 在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題高考中對距離公式的考查主要有以下三個命題角度：(1)求距離；(2)已知距離求參數(shù)值；(3)已知距離求點的坐標(1)已知點 P(4，a)到直線 4x3y10 的距離不大于 3，則 a 的取

10、值范圍是_(2)若兩平行直線3x2y10， 6xayc0之間的距離為2 1313， 則c的值是_解析(1)由題意得，點 P 到直線的距離為|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得，0a10，所以 a 的取值范圍是0，10(2)依題意知，63a2c1，解得 a4，c2，即直線 6xayc0 可化為 3x2yc20，又兩平行線之間的距離為2 1313，所以|c21|32（2）22 1313，因此 c2 或6.答案(1)0，10(2)2 或6規(guī)律方法距離的求法：(1)點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式(2)兩平行直線

11、間的距離利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；利用兩平行線間的距離公式3.(1)平行于直線 3x4y20， 且與它的距離是 1 的直線方程為_(2)已知 A(4，3)，B(2，1)和直線 l：4x3y20，在坐標平面內(nèi)求一點 P，使|PA|PB|，且點 P 到直線 l 的距離為 2.解析：(1)設(shè)所求直線方程為 3x4yc0(c2)，則 d|2c|32421，c3 或 c7，即所求直線方程為 3x4y30 或 3x4y70.答案：3x4y30 或 3x4y70(2)解：設(shè)點 P 的坐標為(a，b)A(4，3)，B(2，1)，線段 AB 的中點 M 的坐標

12、為(3，2)而 AB 的斜率 kAB31421，線段 AB 的垂直平分線方程為y2x3，即 xy50.點 P(a，b)在直線 xy50 上，ab50.又點 P(a，b)到直線 l：4x3y20 的距離為 2，|4a3b2|52，即 4a3b210，由聯(lián)立可得a1b4或a277，b87.所求點 P 的坐標為(1，4)或(277，87)考點四_對稱問題_已知直線 l：2x3y10，點 A(1，2)求：(1)點 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 A的坐標；(2)直線 m：3x2y60 關(guān)于直線 l 的對稱直線 m的方程解(1)設(shè) A(x，y)，由已知y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y

13、413.A3313，413 .(2)在直線 m 上取一點，如 M(2，0)，則 M(2，0)關(guān)于直線 l 的對稱點 M必在直線 m上設(shè) M(a，b)，則2a223b0210，b0a2231.解得 M613，3013 .設(shè)直線 m 與直線 l 的交點為 N，則由2x3y10，3x2y60.得 N(4，3)又m經(jīng)過點 N(4，3)，由兩點式得直線 m的方程為 9x46y1020.在本例條件下，求直線 l 關(guān)于點 A(1，2)對稱直線 l的方程解：直線 l 與 l平行，設(shè) l的方程為 2x3yc0，因為點到兩直線距離相等則|2231|22（3）2|223c|22（3）2，解得 c1(舍去)，c9，直

14、線 l的方程為 2x3y90.規(guī)律方法(1)關(guān)于中心對稱問題的處理方法：若點 M(x1，y1)及 N(x，y)關(guān)于 P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得x2ax1，y2by1.直線關(guān)于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用兩直線平行，由點斜式得到所求直線方程(2)關(guān)于軸對稱問題的處理方法：點關(guān)于直線的對稱若兩點 P1(x1，y1)與 P2(x2，y2)關(guān)于直線 l：AxByC0 對稱，則線段 P1P2的中點在 l上，而且連接 P1P2的直線垂直于 l，由方程組A（x1x22）B（y1y22

15、）C0，y2y1x2x1 （AB）1，可得到點 P1關(guān)于 l 對稱的點 P2的坐標(x2， y2)(其中B0，x1x2)直線關(guān)于直線的對稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決， 有兩種情況： 一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行4.直線 x2y30 與直線 ax4yb0 關(guān)于點 A(1，0)對稱，則 b_解析：法一：由題知，點 A 不在直線 x2y30 上，兩直線平行，12a4，a2.又點 A 到兩直線距離相等，|13|5|2b|2 5，|b2|4，b6 或 b2.點 A 不在直線 x2y30 上，兩直線不能重合，b2.法二：在直線 x2y30 上任取兩點 P1(1，1)、P

16、2(3，0)，則 P1、P2關(guān)于點 A 的對稱點 P1、P2都在直線 ax4yb0 上易知 P1(1，1)、P2(1，0)，a4b0，ab0，b2.答案：2交匯創(chuàng)新直線和不等式的交匯(2014高考四川卷)設(shè) mR，過定點 A 的動直線 xmy0 和過定點 B 的動直線 mxym30 交于點 P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_解析直線 xmy0 與 mxym30 分別過定點 A，B，A(0，0)，B(1，3)當點 P 與點 A(或 B)重合時，|PA|PB|為零；當點 P 與點 A，B 均不重合時，P 為直線 xmy0 與 mxym30 的交點，且易知此兩直線垂直，APB 為直角三角形，

17、|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|PB|PA|2|PB|221025，當且僅當|PA|PB|時，上式等號成立答案5名師點評1.本題是直線與不等式的交匯，把直線問題和基本不等式進行結(jié)合，體現(xiàn)了當今數(shù)學命題的新動向，其解題思路是利用圖形找出關(guān)系式|AP|2|BP|2|AB|2，再利用基本不等式求解2直線方程還可以與集合、向量、概率等知識交匯1.(2015湖北八市聯(lián)考)已知 M（x，y）|y3x23，N(x，y)|ax2ya0，且 MN，則 a()A6 或2B6C2 或6D2解析：選 A.集合 M 表示去掉一點 A(2，3)的直線 3xy30，集合 N 表示恒過定點B(1，0)的直線 ax

18、2ya0，因為 MN，所以兩直線要么平行，要么直線 ax2ya0 與直線 3xy30 相交于點 A(2，3)因此a23 或 2a6a0，即 a6 或 a2.2將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為 a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為 b，設(shè)兩條直線 l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率為 P1，相交的概率為 P2，則復(fù)數(shù) P1P2i 所對應(yīng)的點 P 與直線 l2：x2y2 的位置關(guān)系是()AP 在直線 l2上BP 在直線 l2的左下方CP 在直線 l2的右上方D無法確定解析： 選 B.易知當且僅當ab12時兩條直線相交， 而ab12的情況有三種： a1， b2(此時兩條直線重合)，a2，b4(

19、此時兩條直線平行)，a3，b6(此時兩條直線平行)，而投擲兩次的所有情況有 36 種，所以兩條直線相交的概率 P213361112，兩條直線平行的概率 P1236118，則 P1P2i 所對應(yīng)的點 P 為(118，1112)，易判斷點(118，1112)在直線 l2：x2y2 的左下方1若直線 l1：ax2y60 與直線 l2：x(a1)ya210 垂直，則實數(shù) a()A.23B1C2D1 或 2解析：選 A.由 a1(a1)20，a23.2直線 l1的斜率為 2，l1l2，直線 l2過點(1，1)且與 y 軸交于點 P，則 P 點坐標為()A(3，0)B(3，0)C(0，3)D(0，3)解析

20、：選 D.l1l2，且 l1的斜率為 2，l2的斜率為 2.又 l2過點(1，1)，l2的方程為 y12(x1)，整理即得：y2x3，令 x0，得 y3，P 點坐標為(0，3)3(2015廣州模擬)直線 x2y10 關(guān)于直線 x1 對稱的直線方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30解析：選 D.由題意得直線 x2y10 與直線 x1 的交點坐標為(1，1)又直線 x2y10 上的點(1，0)關(guān)于直線 x1 的對稱點為(3，0)，所以由直線方程的兩點式，得y010 x313，即 x2y30.4已知過點 A(2，m)和點 B(m，4)的直線為 l1，直線 2xy10 為 l2，直

21、線 xny10 為 l3.若 l1l2，l2l3，則實數(shù) mn 的值為()A10B2C0D8解析：選 A.l1l2，kAB4mm22.解得 m8.又l2l3，1n(2)1，解得 n2，mn10.5若向量 a(k2，1)與向量 b(b，1)共線，則直線 ykxb 必經(jīng)過定點()A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(1，2)解析：選 A.因為向量 a(k2，1)與向量 b(b，1)共線，則 k2b，即 b2k，于是直線方程化為 ykxk2，即 y2k(x1)，故直線必過定點(1，2)6(2015昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知 A、B 兩點分別在兩條互相垂直的直線 2xy0 和 xay0 上，且線段

22、 AB 的中點為 P(0，10a)，則線段 AB 的長為_解析：依題意，a2，P(0，5)，設(shè) A(x，2x)、B(2y，y)，故x2y02xy10，則 A(4，8)、B(4，2)，|AB| （44）2（82）210.答案：107 已知直線l1與l2： xy10平行， 且l1與l2的距離是 2， 則直線l1的方程為_解析：因為 l1與 l2：xy10 平行，所以可設(shè) l1的方程為 xyb0(b1)又因為 l1與 l2的距離是 2，所以|b1|1212 2，解得 b1 或 b3，即 l1的方程為 xy10 或 xy30.答案：xy10 或 xy308設(shè)直線 l 經(jīng)過點 A(1，1)，則當點 B(

23、2，1)與直線 l 的距離最遠時，直線 l 的方程為_解析：設(shè)點 B(2，1)到直線 l 的距離為 d，當 d|AB|時取得最大值，此時直線 l 垂直于直線 AB，kl1kAB32，直線 l 的方程為 y132(x1)，即 3x2y50.答案：3x2y509已知兩直線 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的 a，b 的值(1)l1l2，且直線 l1過點(3，1)；(2)l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直線 l1過點(3，1)，3ab40.故 a2，b2.(2)直線 l2的斜率存在，l1l2，直線 l1的斜率存在k1k2，

24、即ab1a.又坐標原點到這兩條直線的距離相等，l1，l2在 y 軸上的截距互為相反數(shù)，即4bb.故 a2，b2 或 a23，b2.10已知直線 l：3xy30，求：(1)點 P(4，5)關(guān)于直線 l 的對稱點；(2)直線 xy20 關(guān)于直線 l 對稱的直線方程解：設(shè) P(x，y)關(guān)于直線 l：3xy30 的對稱點為 P(x，y)kPPkl1，即yyxx31.又 PP的中點在直線 3xy30 上，3xx2yy230.由得x4x3y95y3x4y35.(1)把 x4，y5 代入，得 x2，y7，P(4，5)關(guān)于直線 l 的對稱點 P的坐標為(2，7)(2)用分別代換 xy20 中的 x， y， 得

25、關(guān)于直線 l 對稱的直線方程為4x3y953x4y3520，化簡得 7xy220.1若動點 A，B 分別在直線 l1：xy70 和 l2：xy50 上移動，則 AB 的中點 M到原點的距離的最小值為()A3 2B2 2C3 3D4 2解析：選 A.依題意知，AB 的中點 M 的集合為與直線 l1：xy70 和 l2：xy50距離相等的直線，則 M 到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離設(shè)點 M 所在直線的方程為 l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m7|2|m5|2|m7|m5|m6，即 l：xy60，根據(jù)點到直線的距離公式，得中點 M 到原點的距離的最小值為|6|23 2.2(2015

26、洛陽統(tǒng)考)已知點 P(x0，y0)是直線 l：AxByC0 外一點，則方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示()A過點 P 且與 l 垂直的直線B過點 P 且與 l 平行的直線C不過點 P 且與 l 垂直的直線D不過點 P 且與 l 平行的直線解析：選 D.因為點 P(x0，y0)不在直線 AxByC0 上，所以 Ax0By0C0，所以直線 AxByC(Ax0By0C)0 不經(jīng)過點 P，排除 A、B；又直線 AxByC(Ax0By0C)0 與直線 l：AxByC0 平行，排除 C，故選 D.3已知點 A(1，3)關(guān)于直線 ykxb 對稱的點是 B(2，1)，則直線 ykxb 在 x 軸上的截距是_解析：由題意得線段 AB 的中點(12，2