中考數(shù)學(xué)黃金知識點系列專題22矩形菱形正方形【含解析】

1、1專題 22 矩形菱形正方形聚焦考點溫習(xí)理解一、 矩形1、 矩形的概念有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、 矩形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)矩形的四個角都是直角(3)矩形的對角線相等(4)矩形是軸對稱圖形3、 矩形的判定(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形(2)定理1:有三個角是直角的四邊形是矩形(3)定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形4、 矩形的面積S矩形=長乂寬=ab二、 菱形1、 菱形的概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、 菱形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)菱形的四條邊相等(3)菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角(4)菱形是軸

2、對稱圖形3、 菱形的判定(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)定理1:四邊都相等的四邊形是菱形(3)定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形24、菱形的面積S菱形=底邊長x高=兩條對角線乘積的一半三、正方形1、 正方形的概念有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、 正方形的性質(zhì)（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的

3、小等腰直角三角形（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3、 正方形的判定（1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。先證它是菱形，再證有一個角是直角。（2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）4、 正方形的面積、2b2設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，S正方形=a2名師點睛典例分類考點典例一、矩形的性質(zhì)與判定【例1】（2016廣東廣州第18題）如圖6,矩形ABC矽對角線AC BD相交于點O,若AB= AO,的度數(shù).求/ABD3【答案】/ABD=6

4、0【解析】試題分析：很據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得：AO=EO,則帕B為等邊三角形，進而得到ZABD=60P.試題解折：1四邊形AECD為矩形/.AO=BO又*；AB=AO；.AB=AO=BOABD為等邊三角形ZABD=603考點：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定及性質(zhì)【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【舉一反三】1. .（2016湖南岳陽第18題）已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE=CF【答案】詳見解析【解析】試題分析：由四邊形ABCD為矩形，得到四個角為直角， 再由EF與FD垂直，利用平角定

5、義得到一對角互余, 利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到BEFACFD利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證.34試題解析:證明：T四邊形ABCD是矩形,AZB=ZC=90；TEF丄DF#Z.ZEFD=90flAZEFB+ZCFDDO ,/ZEFB+ZBEFSO、;,ZBEFZCFPftABEF和CFD中,ZBEF=ZCFD“ BE=CF ,ZB=ZC/.ABEFACEDAB（1） 實踐與操作：作/BAD的平分線交BC于點E,在AD上截取AF=AB連接EF;（要求：尺規(guī)作圖，保留 作圖痕跡，不寫作法）（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.【答案】（1）詳見解析；（2）四

6、邊形ABEF是菱形，理由詳見解析.【解析】試題分析：（1）由角平分線的作法容易得出結(jié)果，在妙上載取.滬捷，連接EFj；畫出團形即可；在 ZkABD 和 ZkCBD 中,ABCB丿厶 4BD = CBDfBD = BD/.AABDACBD CSAS),.ZADB=ZCDB5=ZPNI= ,ZADC-$)*二四邊形 N1PND1 拒形，ZADB-ZCDB,；T/ADB-45*;,PM=NID7二四邊形是正方形.考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定正方形是特殊的

7、矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性質(zhì)證明一個四邊形是正方形，可以先判定為矩形，再證鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或先判定為菱形，再證有一個角是直角或?qū)蔷€相等【舉一反三】1.(2016山東淄博第8題)如圖，正方形ABCD勺邊長為10，AG=CH=8 BG=DH=6連接GH則線段GH的長為()10【答案】B.【解析】試題分析：如圖，延長BG交CH于點E,在ABG和CDH中，ABHXKb AG=CH=8J4AABGACDH (SSS), AG*+BG:=AB:/.Z1=Z5 Z2=Z6, ZAGE=ZCHD=90 J又ZZ3=9OC, Z4+Z5=9O 匸Z亦Z2=Z4=Z6?在ABG和ZkE

8、CE中Z1=Z3, AB=BC, Z2=Z4,/.AAKABCE(ASA), .BE=AG=8, CE=EG=6 ZBEC= ZAGB=90 /.GE=BE - BG=8-S=2?同理可得HE=2,在ETAGHE中G融2圧，故答案選乩考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；勾股定理考點典例四、特殊平行四邊形綜合題【例4】如圖，在RtABC中，/ACB= 90,過點C的直線MNAB, D為AB邊上一點，過點D作DE!BC交直線MN于E,垂足為F,連接CD BE.(1)求證：CE=AD8.A.D. 10-5匚廠C .當(dāng)D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由;BECD是正方

9、形？請說明你的理由.11【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BECD是菱形，（3）當(dāng)/A=45時，四邊形BECD是正方形理由見解析【解析】試題分析：(1)先求出四邊形 ADEC 是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推岀即可 7(2)求出四邊形 BECD 是平行四邊形”求出 CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可；(3)求出 ZCDB 詁 0。，再根據(jù)正方形的判定推出即可試題解析土證明： DE1BC,/.ZDFB=90ft,VZACB-90* ,二厶 CB=ZDFE,.AC/DE,丁 MN AB,艮卩 CEAD,二四邊形 ADEC 是平行四邊形，/.CE=AD;解：四邊形 BECD 罡菱形理由是：T

10、D 為 AB 中點，；.AD=BD,TCE=AD,BD=CE,TBD“CEj二四邊形 BECD 是平行四邊形VZACB=9O , D 為 AB 中點，ACIBD,四邊形 BECD 是菱形；(3)當(dāng)/A=45。時，四邊形BECD是正方形，理由是：12解：?ZA=45fr,二厶BC=ZA=4外，AC=BiCTD対BA中點,二CD丄AB,/.ZCDB-900,丁四邊冊BE CD是菱形二四邊形BECD是正方形，即當(dāng)ZA=45 時，四邊形BECD是正方形考點：正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.【點睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用, 主

11、要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力.【舉一反三】（2016廣東廣州第16題）如圖5，正方形ABC啲邊長為1,AC BD是對角線，將DCB繞點D順時針旋HG交AB于點E,連接DE交AC于點F，連接FG,則下列結(jié)論:【答案】【解析】試題分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得HD=BD=2 HA= . 2 -1轉(zhuǎn)450得到DGH四邊形AEG是菱形/DFG=112.5厶AEDAGEDBC+FG=1.5（填寫所有正確結(jié)論的序號）其中正確的結(jié)論是_13-ZH=45 ZHAE=4&/.AHAE直角三角形AE-j2 1 HE- 2 j2；EB=1-(V2-1) =2-/2 y；ZEGB=90 ZEBG=45二AEGB為

12、等腫三角形EG 4-1TE4EG且耽丄DAEG1DG二ED平分ZADG；.ZEDC=22.5買ZDCA=45flZCDG=45fl,ZCDF=ZCFD=67i5,i/*CF=CD=1又4ZEAC=ZBHG=45 ,.AF/EG又*AF=AE=EG=:.四邊形AEGF是菱形，MAAEDAGEDZ. ZFGD=ZABD=45 , ZDFG=1SOC-ZFCD-ZFBG =112.5S、考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；菱形的判定課時作業(yè)能力提升一、選擇題1. （2016河北第6題）關(guān)于ABC啲敘述，正確的是（）A.若ABL BC則ABCD是菱形B.若ACL BD,則ABCD是正方形口口C.

13、若AC=BD貝UABCD是矩形D.若AB=AD）貝UABCD是正方形【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)矩形的判定可得AC項應(yīng)是矩形；根據(jù)菱形的判定可得B D項應(yīng)是菱形，故答案選C.考點：矩形、菱形的判定2.（2016黑龍江大慶第3題）下列說法正確的是（嚴血_1BC+FG=1+=14A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.矩形的對角線互相垂直C.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形D.四邊相等的四邊形是菱形【答案】D.【解析】試題分析：選項山對角線互相垂直的四邊形可能是箏形，故此選項錯誤；選項氏矩形的對角線不互相垂 直，故此選項錯誤；選項 S 組對邊平行的四邊形也可能是梯形，故此選項錯誤；選項四邊相等的

14、四 邊形是菱形，此選項正確-故選乩考點：1菱形的判定；2矩形的性質(zhì)；3平行四邊形的判定.3.（2016年福建龍巖第8題）如圖，在周長為12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為（）CA.1 B.2 C.3 D.4【答案】C.【解析】試題分析：作F點關(guān)于BD的對稱點F,則PF=PF，連接EF交BD于點P.此時，EP+FP的值最小，值 為EF.四邊形ABCD為菱形，AB=BC=CD=DA=3AB/ CD, / AF=2, AE=1,.DF=AE=1二四邊形AEF D是平行四邊形，EF=AD=3EP+FP的最小值為3.故選：C.考點：1軸對稱；2菱形.

15、4.（2016貴州遵義第8題）如圖，在?ABC中，對角線AC與BD交于點O,若增加一個條件，使?ABC成15試題分析，A,根據(jù)菱形的定義可得，當(dāng)AB=AD時切是菱形；B. 根振對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 6 卩可判斷，跡 a 是菱形亍C. 對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形，命題錯誤,DZ5JC=Z4C 時、：口磁 B中：.C3=ZDAC, .BAOCB.ABACf：是菱形.故選匚考點：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì).5.（2016貴州銅仁第10題）如圖，正方形ABCDK AB=6，點E在邊CD,且CE=2DE將厶ADE沿AE對折至AFE延長EF交邊BC于點G連結(jié)AG CF.下列結(jié)

16、論：ABAAFGBGGCEGDEBGAG/ CF;SG=3.6.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.2B. 3C. 4D. 5【答案】D.【解析】試題分析：正方形ABCD勺邊長為6,CE=2DE二DE=2,EC=4,v把厶ADE沿AE折疊使ADE落在厶AFE的位置， AF=AD=6,EF=ED=2, /AFE=/D=90, /FAZDAE在RtABG和RtAFG中，/AB=AF, AG=AG1RtABRtAFG( HL), GB=GFZBAGZFAGGAEZFAEV FAGZBAD=45,所以正確；2A.AB=AD【答案】C.【解析】B.ACBDC. AC=BDD.ZBA(=/DAC為菱形，下列給出的

17、條件不正確的是（DB G C16設(shè)BG=x，貝U GF=x,C=BC- BG=6x，在RtCGE中,GE=x+2,EG=4,CG=6x,vCG2CEGE2, (6 -x)2+42=(x+2)2，解得x=3,.BG=3,C(=6-3=3,.BG=CG所以正確；/ EF=ED GB=GF二GE=GF+EF=BGDE所以正確；/ GF=GCGFC/GCF又:RtAB RtAFGAGB/AGF而/BGFZGFC/GCFAGBZAGI=ZGFC/GCFAGB/GCF二CF/ AG所以正確；EH EF過F作FHL DC / BCL DH二FH/ GCEFMAEGC -=,EF=DE=2,GF=3,/. E

18、G=5, /EFHGC EGEH EF 2112EGC相似比為：=，二 &FGC=SGCESAFEC=x3x4X4X( x3)=3.6,所以GC EG 5225正確.故正確的有，故選D.考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).6.（2016浙江臺州第9題）小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了（ ）A.1次B.2次C. 3次D. 4次【答案】B.【解析】試題分析：小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了2次，理由如下:小紅把原絲巾5?損1坎（共2層九如果原絲巾對折后完全重合，即表明它是矩形；沿對角線對折

19、1次，若兩個三角形重合表明一組鄰邊相等，因此是正方形？故選考點：翻折變換（折疊問題）7.（2016福建莆田第5題）菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.對邊相等B.對角相等C.對角線互相平分D.對角線互相垂直【答案】D.【解析】17試題分析：T菱形具有的性質(zhì)：對邊相尊，對角相等，對角線互相平分，對角線互相垂直: 平行四邊形具有的性質(zhì)；對邊相等，對角相等，對角線互相平知 二菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)罡：對角線互相垂直.故選D.考點：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).8.（2016廣西河池第11題）如圖，將ABC沿BC方向平移得到DCE連接AD下列條件能夠判定四邊形ACED菱形的是（

20、）A.AB=BCB.AC=BCC.ZB=60D./ACB=60【答案】B.【解析】 試題分析：將ABC沿BC方向平移得到DCE-AB/CD四邊形ABCC為平行四邊形，當(dāng)AC=BC寸,平行四邊形ACED是菱形故選B.考點：菱形的判定；平移的性質(zhì).二、填空題1.（2016海南省第18題）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，且直線AC是對稱軸，AB/CD則下列結(jié)論：ACLBDAD/ BC四邊形ABCD是菱形；厶ABDACDB其中正確的是 _（只填寫序號）【答案】【解析】18試題分析：T直線肚為四邊形ABCD的對稱軸,/.AC丄BD“ AB-AD, BC=CD, /.Z1=Z2；/AB/CD, .Z1=

21、Z4?./2=Z4?；.AD=CD, J.AE=BC=CD=AD,四邊形ABCD為菱形二AABDACDB?故S)都正確.考點：1菱形的性質(zhì)和判定；2軸對稱；3平行線的性質(zhì).2. .（2016內(nèi)蒙古包頭第17題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,過點A作AELBD,垂足為點E,若/EAC=ZCAD則/BAE=_度.BC【答案】22.5 .【解析】試題分析：已知四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)可得AC=BD OA=OC OB=OD即可得OA=OfrOC由等腰三角形的性質(zhì)可得/OACMODA/OABMOBA即可得/AOEMOACOCA=2OAC再由/EAC=ZCAD可得/EAOM

22、AOE因AE! BD可得/AEO=90,所以/AOE=45,所以/OABMOBA=67.5, 即/BAE/OAB-/OAE=22.5.BC考點：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).3.（2016湖北隨州第16題）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC BD相交于點O.有直角/MPN使直角頂點P與點O重合，直角邊PM PN分別與OA OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)/MPN旋轉(zhuǎn)角為0（0090）,PMPN分別交ABBC于E、F兩點，連接EF交OB于點G則下列結(jié)論中正確的是 _19(1)EF= OE(2)S四邊形 OEB：S正方形ABC=1：4; (3)BE+BFboA; (4)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BEF與厶C

23、OF3的面積之和最大時，AE肓;(5)OG?BD=AECF.【解析】試題分析:丁四邊形AECD是正方形, 二館二QC, Z0BE二ZOCQ45。, 2503=90丿/.ZB0F+ZCOF9O ,*；ZE0F90丿/, ZB0F+ZO0E=90 *:.ZBOE=Z(X)F在BOE和ZkCOF中，rZB0E=ZC0F* OB=OC ,LZ0BE=Z0CF/.ABOEACOF (ASA)故正確;/S四邊形 OEB：S正方形 ABC=1：4；故正確；(3)BE+BF=BF+CF=BC=2OA故正確; 過點0作0H1BC,BC=1?/.OH=1BC=1，22設(shè)AE=x,則BE=CF1 -X/BFx 四邊

24、形OEB=SABO+SABOE=SBOE+SCO=SBOC=S正方形 ABCD【答案】(1), (2), (3), (5).(2)20.S_S3,+S:?=1BE-BFM-1CF0H=1X(1-X)+1(1K)X ! = - 1 J - 1十霽(5)77爭11 yj 32士aMuteaM1BCfAB I； CD?AD/iBCf證岀Z=ZAECF由曲血證明 UP 咤ZU0即可得出結(jié)論；2）證明月町A.4EQ是等膿直角三角形，得出葩器 H0 亠求出P&忑爲(wèi),得出E*PE+PQ=3 忑,由等腰宜角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出A0=AE=3fAB=AE-BE=2fDO=BP=,得岀AD=AmDO

25、=4,即可求出拒形ABCD的面積-試題解析：1）證明；：四邊形啟百仞是拒形,. Z-J=ZOZOZ4DC=90 ,AB=CD?AD=3C?A3 II CDrADllBCr二存 ZF,BE=DF,/.-J=C；在和厶圧0中，丁/0也初CKAE,ZF=Zc,二（衛(wèi)mQ、（2）解：W4DIIBC, .ZPBE=EF=沁 8EP、4AEQ 是等腰直角三角形?,BE=BP=1, AQAE,.PZ=j2 5P=f.AO=AEf定二D*P=1,二討D=063+l=4，二矩形肪CD的面積三坊衛(wèi)D=】X 4h考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).2.（2016浙江臺州第19題）如圖，點P在矩形ABCD勺對角

26、線AC上，且不與點A C重合，過點P分別作邊AB AD的平行線，交兩組對邊于點E, F和G H.（1）求證：PHZACFP（2）證明四邊形PEDH和四邊形PFBGTE是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系.D-C【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，面積相等.【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出對邊平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等的角，結(jié)合全等三角形的判定定理AAS即可得出厶PH3ACFP（2）由矩形的性質(zhì)找出/D=ZB=90,再結(jié)合對邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBGTE是矩形,通過角的正切值，在直角三角形中表示出直角邊的關(guān)系，利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等.24試題解析：(1) 1四邊形腫 3 為矩形,.ABl/CDrADttBC.PFilABr:.PFHCD, ：CPFPCH.rPH/l.4Df.PHilBC, ；Z_PCF=Z.CPH.在PHQ和CFP中，TZCPFMPCH, PC=CP?ZPCF=ZCPHr.APHCACFP(-4SL4).(2) T四邊形掘CD為矩形：乙 EZR 妙.又:EFUAB II CD,二四邊形PEDH和四邊形/V迪G都是矩形.EFllABf,ZCPF=ZCAB.在R4GP中, pg伽 Z3.在RiCFP中”Z.CFP= , CPFtan/LCPF.S 小口訂倉 DDEKCF Eh