河海大學(xué)工程力學(xué),第八章

1、HOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY10-1 概概 述述 工程上有一些直桿，在外力作用下，其變形是橫截面繞工程上有一些直桿，在外力作用下，其變形是橫截面繞著桿軸線轉(zhuǎn)動，這種變形稱為著桿軸線轉(zhuǎn)動，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)。以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿。以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為件稱為軸（軸（shaft）。HOHAI UNIVERSITY外力特點：外力特點：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于外力是一平衡力偶系，作用在垂直于桿軸線的平面內(nèi)。桿軸線的平面內(nèi)。變形特點：變形特點：所有橫截面繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動，任意所有橫截面繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動，任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對角位移，稱為兩橫截面之間

2、產(chǎn)生相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角，用，用j j表表示；縱向線也隨之轉(zhuǎn)過一角度示；縱向線也隨之轉(zhuǎn)過一角度g g。MMHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY8-2 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖HOHAI UNIVERSITY1 1. 扭矩用扭矩用Mx表示，單位：表示，單位：Nm, kNm。2 2. 符號規(guī)定：按右手螺旋法則，以拇指代表橫截面符號規(guī)定：按右手螺旋法則，以拇指代表橫截面外法線方向，與其余外法線方向，與其余4

3、指轉(zhuǎn)向相同的扭矩為正，反指轉(zhuǎn)向相同的扭矩為正，反之為負(fù)。之為負(fù)。HOHAI UNIVERSITY3 3. 計算方法：截面法計算方法：截面法 扭矩圖扭矩圖 以平行于桿軸線的坐標(biāo)為以平行于桿軸線的坐標(biāo)為x坐標(biāo)，表示橫截面的位置；坐標(biāo)，表示橫截面的位置；以垂直于桿軸線的坐標(biāo)為以垂直于桿軸線的坐標(biāo)為Mx坐標(biāo)，表示各橫截面扭矩坐標(biāo)，表示各橫截面扭矩Mx的大小，畫出的圖形稱為扭矩圖。的大小，畫出的圖形稱為扭矩圖。HOHAI UNIVERSITY例例 畫出如圖所示圓軸的扭矩圖。畫出如圖所示圓軸的扭矩圖。T3TTT123321ABCDHOHAI UNIVERSITY例例 畫出如圖所示圓軸的扭矩圖。畫出如圖所示

4、圓軸的扭矩圖。10Nm 90Nm500Nm/m0.1m0.1m0.2mHOHAI UNIVERSITY10-3 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一、橫截面上的切應(yīng)力一、橫截面上的切應(yīng)力OMxrHOHAI UNIVERSITYTT周線周線縱線縱線周線周線縱線縱線1 1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系（1 1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均未改變，繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動。）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均未改變，繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動。（2 2）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度g g。abcddxabcddxHOHAI UNIVERSITYTT周線周線縱線縱線abc

5、ddx（1 1）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均未改變，繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動。）變形后所有圓周線的大小、形狀和間距均未改變，繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動。（2 2）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度）所有的縱線都轉(zhuǎn)過了同一角度g g。HOHAI UNIVERSITY平面假設(shè)：平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，并如同剛片一樣僅繞桿軸線做橫截面變形后仍為平面，并如同剛片一樣僅繞桿軸線做相對轉(zhuǎn)動，其上任一半徑始終保持為直線。相對轉(zhuǎn)動，其上任一半徑始終保持為直線。HOHAI UNIVERSITYdxcrabOdOcddj jg gg g f ecddc周線周線縱線縱線abcddxfegHOHAI UNIVERSITY dj

6、 jdxg g tang g = = =eedxg g = =dj jdx = = dj jdxdxcrabOdOcddj jg gfeg g f egHOHAI UNIVERSITY2 2. 物理物理關(guān)系關(guān)系切應(yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的切應(yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，從而切應(yīng)力也垂直平面內(nèi)，從而切應(yīng)力也垂直于半徑。于半徑。根據(jù)實驗得到，在彈性范圍內(nèi)根據(jù)實驗得到，在彈性范圍內(nèi)=G剪切胡克定律剪切胡克定律gG為切變模量為切變模量cddcHOHAI UNIVERSITY橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律Mxo =G3 3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系oMxdArdAMx= dAAMx= G2

7、dAAdj jdxAdj jdxG2dAdj jdx=GHOHAI UNIVERSITYA2dAAdj jdxG2dAMxdj jdxGdj jdxMxG =Mx =maxMxr=MxrGHOHAI UNIVERSITY二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算1. 1. 實心圓截面實心圓截面 dA2dA d 432 d 316dA=2dA2dA= 22d0d/2dorHOHAI UNIVERSITY2. 2. 空心圓截面空心圓截面 Ddod D 432 D 432 d 432 D 316HOHAI UNIVERSITY例例 直徑直徑d =100mm的實心圓軸，兩端受力偶

8、矩的實心圓軸，兩端受力偶矩T=10kNm作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，求橫截面上的最大切應(yīng)力。若改用內(nèi)、外作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，求橫截面上的最大切應(yīng)力。若改用內(nèi)、外直徑比值為直徑比值為0.5的空心圓軸，且橫截面面積不變，問最大的空心圓軸，且橫截面面積不變，問最大切應(yīng)力是多少？切應(yīng)力是多少？解：解： 各橫截面上扭矩均為各橫截面上扭矩均為Mx=T=10kN m （1 1）實心圓截面）實心圓截面dTTD/2TTD343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dWHOHAI UNIVERSITYMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMxdTT34393

9、3Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW（1 1）實心園截面）實心園截面HOHAI UNIVERSITY（2 2）空心園截面）空心園截面D/2TTD)1 (441222=Ddmm115=D34439343Pm108 . 2)5 . 0(1 16m10)115(14. 3)1 (16=DWMPa7 .35N/m107 .35m108 . 2mN101026343Pmaxmax=WMxMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMx實心園截面：實心園截面：空心園截面：空心園截面：由面積相等，且內(nèi)、外直徑比由面積相等，且內(nèi)、外直徑比

10、 =0.5 =0.5HOHAI UNIVERSITY例例 兩空心圓軸，兩空心圓軸，橫截面面積相等，橫截面面積相等，內(nèi)、外直徑比值分別內(nèi)、外直徑比值分別為為0.6和和0.8，在相同扭矩作用下，在相同扭矩作用下，問哪一個的最大切應(yīng)力問哪一個的最大切應(yīng)力大？大？0.6D1TTD10.8D2TTD2HOHAI UNIVERSITYG1G2d2dG2 G1MxHOHAI UNIVERSITY(b)dxdydz三、切應(yīng)力互等定理三、切應(yīng)力互等定理xdx(a)oo( dydz)dx =( dxdz)dy = HOHAI UNIVERSITY扭轉(zhuǎn)圓軸縱截面上切應(yīng)力？扭轉(zhuǎn)圓軸縱截面上切應(yīng)力？切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)

11、力互等定理：在任何受力桿在任何受力桿件中，過件中，過一點一點相互相互垂直垂直的兩個截面上，的兩個截面上，垂直于兩截面交線的切應(yīng)力大小相等，垂直于兩截面交線的切應(yīng)力大小相等，并共同指向或背離這兩面的交線。并共同指向或背離這兩面的交線。這是材料力學(xué)中普遍適用的一個定理這是材料力學(xué)中普遍適用的一個定理dxdydzoo = HOHAI UNIVERSITY10-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形、扭轉(zhuǎn)超靜定問題圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形、扭轉(zhuǎn)超靜定問題dj jdxMxGdj jdxj j = =dj jMxdxGMxGMxlGj j = =HOHAI UNIVERSITY 例例 圖示鋼制實心圓截面?zhèn)鲃虞S。已知：圖示鋼制實心圓

12、截面?zhèn)鲃虞S。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。軸。軸的直徑的直徑d=50mm，鋼的切變模量，鋼的切變模量G=80GPa。試求截面。試求截面C相對于相對于B的扭轉(zhuǎn)角。的扭轉(zhuǎn)角。 解解: : AB、AC兩軸段的扭矩分別兩軸段的扭矩分別Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2T1T3dBAClAClABHOHAI UNIVERSITYT2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACP2GIlMACxAC=jrad0033. 005. 03210805 . 032049=Mx1=0.5kNm

13、Mx2 =0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mmHOHAI UNIVERSITYT2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002. 0=ABACBCjjj4905032108030500.=HOHAI UNIVERSITY二、扭轉(zhuǎn)超靜定問題二、扭轉(zhuǎn)超靜定問題 桿在扭轉(zhuǎn)時，如支座反力僅用靜力平衡方程不能求出，桿在扭轉(zhuǎn)時，如支座反力僅用靜力平衡方程不能求出，這類問題稱為這類問題稱為扭轉(zhuǎn)超靜定問題。扭轉(zhuǎn)超靜定問

14、題。其求解方法與拉壓超靜定問題類似。其求解方法與拉壓超靜定問題類似。ABCTabTATBHOHAI UNIVERSITYABCTabTATB變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件A、B兩固定端兩固定端, , CA與與CB的的 數(shù)值相等。數(shù)值相等。PP1GIaTGIaMAxCA=jPP2GIbTGIbMBxCB=j故故BATabT =從而從而TTTBA=平衡方程平衡方程TbabTA=TbaaTB=HOHAI UNIVERSITY10-5 扭轉(zhuǎn)時材料的力學(xué)性質(zhì)扭轉(zhuǎn)時材料的力學(xué)性質(zhì)可得屈服切應(yīng)力可得屈服切應(yīng)力s由低碳鋼薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗可以測得由低碳鋼薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗可以測得T- j j 曲線曲線TMrrx=00)

15、2(202 rT=jg0rl =jglr0=故可得故可得 - -曲線曲線r0HOHAI UNIVERSITY=G剪切胡克定律剪切胡克定律E、G、v的關(guān)系的關(guān)系)1 (2=EGp剪切比例極限剪切比例極限s剪切屈服極限剪切屈服極限HOHAI UNIVERSITY可得切應(yīng)力強度極限可得切應(yīng)力強度極限bHOHAI UNIVERSITYHOHAI UNIVERSITY10-6 扭轉(zhuǎn)圓桿的強度計算和剛度計算扭轉(zhuǎn)圓桿的強度計算和剛度計算一、強度計算一、強度計算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的強度條件為等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的強度條件為式中式中Mxmax 是危險截面上的扭矩。是危險截面上的扭矩。PWMxmaxmax= 利用上述公式，

16、可進(jìn)行三方面的強度計算：利用上述公式，可進(jìn)行三方面的強度計算：校核強度校核強度、設(shè)計設(shè)計截面截面和和求容許外力偶矩求容許外力偶矩。maxMxmaxWP MxmaxWP Mxmax WPHOHAI UNIVERSITY =unu 極限切應(yīng)力極限切應(yīng)力對于脆性材料對于脆性材料u=b對于塑性材料對于塑性材料u=s =（0.5-0.60.5-0.6） 塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料 =（0.8-1.00.8-1.0） 容許切應(yīng)力容許切應(yīng)力HOHAI UNIVERSITYMxmaxGIp max等直圓桿扭轉(zhuǎn)的剛度條件為等直圓桿扭轉(zhuǎn)的剛度條件為精密機器：精密機器： 一般傳動軸：一般傳動軸：鉆桿：鉆桿：

17、=(0.150.3)=(0.150.3)o o / /m =(0.32.0)=(0.32.0)o o / /m =(2.04.0)=(2.04.0)o o / /mHOHAI UNIVERSITY例例 直徑為直徑為50mm的實心傳動軸。電動機通過的實心傳動軸。電動機通過A輪輸入功率，由輪輸入功率，由B、C和和D輪輸出。已知輪輸出。已知A、B、C和和D輪所受力偶矩分別為輪所受力偶矩分別為TA= =3.18kNm，TB=1.43kNm，TC= =0.80kNm，TD=0.95kNm, =75MPa。（1 1）作軸的扭矩圖）作軸的扭矩圖,(2,(2）校核軸的切應(yīng)力強度。）校核軸的切應(yīng)力強度。d解：解

18、： （1 1）軸的扭矩圖）軸的扭矩圖Mx1.43(kNm)0.951.75-+-HOHAI UNIVERSITYd（2 2）校核軸的切應(yīng)力強度）校核軸的切應(yīng)力強度AC段截面扭矩絕對值最大段截面扭矩絕對值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-軸的最大切應(yīng)力軸的最大切應(yīng)力MPa3 .71N/m103 .71m1605. 0mN1075. 126333Pmaxmax=WMxkNm =75MPa故該軸滿足切應(yīng)力強度要求。故該軸滿足切應(yīng)力強度要求。HOHAI UNIVERSITY例例 一傳動軸如圖一傳動軸如圖3-14a所示。設(shè)材料的容許切應(yīng)力所示。設(shè)材料的容許切應(yīng)力=40MPa，切變彈性模量，切變彈性模量G=810MPa，桿的容許單位長度扭，桿的容許單位長度扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角= =0.20/m。試求軸所需的直徑。試求軸所需的直徑。解：（解：（1 1）軸的扭矩圖）軸的扭矩圖Mx(kNm)3.57+HOHAI UNIVERSITYMx(kNm)3.57+3663pmm101750Pa1040mN107=.maxxMWmaxmax=pWMxmm96mm10175016163363=.PWd