第二章 視圖模型變換2---投影變換

1、12.4 投影變換三維圖形的基本問題 平面幾何投影 投影變換 三維圖形的顯示流程圖 2三維圖形的基本問題1. 在二維屏幕上如何顯示三維物體？在二維屏幕上如何顯示三維物體？顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法-投影三維顯示設(shè)備正在研制中2. 如何表示三維物體？如何表示三維物體？二維形體的表示-直線段,折線,曲線段,多邊形區(qū)域二維形體的輸入-簡單（圖形顯示設(shè)備與形體的維數(shù)一致）三維圖形的基本問題三維形體的表示-空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片三維形體的輸入、運(yùn)算、有效性保證-困難解決方法-各種用于形體表示的理論、模型、方法3. 如何反映遮擋關(guān)系？如何反映遮擋關(guān)系？物體之間或

2、物體的不同部分之間存在相互遮擋關(guān)系遮擋關(guān)系是空間位置關(guān)系的重要組成部分解決方法-消除隱藏面與隱藏線三維圖形的基本問題 4. 如何產(chǎn)生真實(shí)感圖形如何產(chǎn)生真實(shí)感圖形?何謂真實(shí)感圖形 逼真的 示意的人們觀察現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生的真實(shí)感來源于 空間位置關(guān)系-近大遠(yuǎn)小的透視關(guān)系和遮擋關(guān)系 光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法-建立光照明模型、開發(fā)真實(shí)感圖形繪制方法三維圖形的基本問題三維圖形的基本研究內(nèi)容1. 投影2. 三維形體的表示3. 消除隱藏面與隱藏線4. 建立光照明模型、開發(fā)真實(shí)感圖形繪制方法6投影變換 投影變換:把三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。平面幾何投影投影分類投影中心與投影平面

3、之間的距離為無限投影中心與投影平面之間的距離為無限 投影中心與投影平面之間的距離為有限投影中心與投影平面之間的距離為有限 根據(jù)投影方向與投影平面的夾角根據(jù)投影平面與坐標(biāo)軸的夾角平面幾何投影透視投影透視投影 平行投影平行投影 平面幾何投影-平行投影 平行投影 投影中心與投影平面之間的距離為無限因此，只需給出投影方向即可是透視投影的極限狀態(tài)平面幾何投影-平行投影 根據(jù)投影線方向與投影平面的夾角，平行投影分為兩類：正平行投影與斜平行投影 正平行投影包括：正投影（三視圖）和正軸側(cè)投影三視圖：三個(gè)投影面和坐標(biāo)軸相互垂直。正軸側(cè)：投影面和坐標(biāo)軸呈一定的關(guān)系。平面幾何投影-平行投影 三視圖：正視圖、側(cè)視圖和

4、俯視圖 12正平行投影-三視圖 把三維空間的圖形在三個(gè)方向上所看到的棱線分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。再經(jīng)過適當(dāng)變換放置到同一平面上。 zyxa2c2b2a1b1c113正平行投影-三視圖 變換矩陣(其中(a,b)為u、v坐標(biāo)下的值)正視圖1000100000000111zxtbtazyxwvuuzyyxozyyxoovtztztxtxtyty(a,b)14正平行投影-三視圖 俯視圖： 1000000010000111yxtbtazyxwvuuzyyxozyyxoovtztztxtxtyty(a,b)15正平行投影-三視圖 側(cè)視圖1000100001000011zytbtazyxwvuuzyyxoz

5、yyxoovtztztxtxtyty(a,b)16正軸測投影 當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，產(chǎn)生的正投影稱為正軸測投影。 正軸測投影分類： 正等測：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿三個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。17正軸測投影 正二測：投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿兩個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。18正軸測投影 正三測：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不相等。沿三個(gè)軸線具有各不相同的變形系數(shù)。19正軸測投影正軸測投影的形成過程如下：將空間一立體繞繞y軸旋轉(zhuǎn)y角然后再繞x軸旋轉(zhuǎn)x最后向z=0平面做正投影由于這種投影的投影平面不與

6、立體的軸線垂直，同時(shí)可見到物體的多個(gè)面，因而可產(chǎn)生立體效果。經(jīng)過正軸測投影變換后，物體線間的平行性不變，但角度有變化。 20正軸測投影正軸測投影變換矩陣的一般形式： 100000000010000110000cossin00sincos0000110000cos0sin00100sin0cosxxxxyyyyzxyTRRT100000cossinsin00cos000sinsincosyxyxyxyT21正二測和正等測下面主要討論正二測和正等測的投影變換矩陣，即確定變換矩陣中的x角和y角。如何度量沿三個(gè)軸線方向的變形系數(shù)呢？10cossinsin110010cos0101010sinsinco

7、s1001yxyxyxy正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影22正二測和正等測正二側(cè)投影需滿足：假定Z軸上的單位矢量經(jīng)變換后長度變?yōu)?/2；即取Z軸的變形系數(shù)恒為1/2：可得：x=20。42, y =19。28。 變換矩陣為xxyy2222cossinsincos4/1sincossin222xyy100000000327. 0935. 0133. 00378. 00926. 023正二測和正等測正等側(cè)投影需滿足：求得：正等測圖的變換矩陣為xyxy2222coscossinsinxxyy2222cossinsincos4535yx0707004080070700408000081600001.24斜

8、平行投影 投影線與投影平面不垂直 斜等測投影投影平面與一坐標(biāo)軸垂直投影線與投影平面成45角與投影平面垂直的線投影后長度不變 斜二測投影投影平面與一坐標(biāo)軸垂直投影線與該軸夾角成 arcctg(1/2)角該軸軸向變形系數(shù)為 。即與投影平面垂直的線投影后長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?5斜平行投影 斜等測投影和斜二測投影26斜平行投影求法 1 已知投影方向矢量為（xp,yp,zp） 設(shè)形體被投影到XOY平面上 形體上的一點(diǎn)(x,y,z)在xoy平面上投影后(xs,ys) 投影方向矢量為(xp,yp,zp) 投影線的參數(shù)方程為：tzzztyyytxxxpspspsyzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,

9、zp )27斜平行投影求法 因?yàn)?所以若令 pisssszztzZzyx00的平面上在ippsippszzyyyzzxxxppypppxpzySzxSyzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,zp )28斜平行投影求法 則矩陣式為：1000010010000111ypxpsssSSzyxzyx29斜平行投影求法 2設(shè)（xe,ye,ze）為任一點(diǎn)，（xs,ys）為（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 設(shè)立方體上一點(diǎn) P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P (lcos,lsin,0),投影方向?yàn)镻P,PP與投影面的夾角為, 為投影與x軸的夾角，則投影方向矢量為(lcos,ls

10、in,-1) zcycxcPP(0,0,1)l30斜平行投影求法 現(xiàn)考慮任一點(diǎn)（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） 投影方向與投影線PP平行 所以 0sincos1ssesesezlyylxxzzsincoslzyylzxxeeseeszcycxcPP(0,0,1)l31斜平行投影求法 矩陣形式為： 斜等側(cè)中：l=1,=45 斜二側(cè)中：l=1/2, =arctg=63.4 正平行投影：l=0, =90100001sincos0010000111llzyxzyxeeessszcycxcPP(0,0,1)l32透視的基本知識 透視投影是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察

11、外界的景物時(shí)，常會看到一些明顯的透視現(xiàn)象。 如：我們站在筆直的大街上，向遠(yuǎn)處看去，會感到街上具有相同高度的路燈柱子，顯得近處的高，遠(yuǎn)處的矮，越遠(yuǎn)越矮。這些路燈柱子，即使它們之間的距離相等，但是視覺產(chǎn)生的效果則是近處的間隔顯得大，遠(yuǎn)處的間隔顯得小，越遠(yuǎn)越密。觀察道路的寬度，也會感到越遠(yuǎn)越窄，最后匯聚于一點(diǎn)。這些現(xiàn)象，稱之為透視現(xiàn)象。 產(chǎn)生透視的原因，可用下圖來說明：33透視的基本知識 圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點(diǎn)E去看，發(fā)現(xiàn) AEABEBCEC 若在視點(diǎn)E與物體間設(shè)置一個(gè)透明的畫面P,讓P通過AA，則在畫面上看到的各電線桿的投影aabbcc aa即E

12、A,EA與畫面P的交點(diǎn)的連線; bb即為EB，EB與畫面P的交點(diǎn)的連線。 cc 即為EC，EC與畫面P的交點(diǎn)的連線。 近大遠(yuǎn)小34透視的基本知識 若連a,b,c及a,b,c各點(diǎn)，它們的連線匯聚于一點(diǎn)。 然而，實(shí)際上，A,B,C與A，B，C的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間不平行于畫面空間不平行于畫面(投影面）的一切平行線的透視投影投影面）的一切平行線的透視投影，即a,b,c與a,b,c的連線，必交于一點(diǎn)必交于一點(diǎn)，這點(diǎn)我們稱之為滅點(diǎn)。35平面幾何投影-透視投影透視投影 投影中心與投影平面之間的距離為有限 滅點(diǎn)：不平行于投影平面的平行線，經(jīng)過透視投影之后收斂于一點(diǎn)，稱為滅點(diǎn). 主滅點(diǎn):平行于

13、坐標(biāo)軸的平行線產(chǎn)生的滅點(diǎn)。一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視 特點(diǎn)：產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強(qiáng)，看起來更加真實(shí)。 36透視投影 主滅點(diǎn)數(shù)是和投影平面切割坐標(biāo)軸的數(shù)量相對應(yīng)的,即由坐標(biāo)軸與投影平面交點(diǎn)的數(shù)量來決定的。 如投影平面僅切割z軸，則z軸是投影平面的法線，因而只在z軸上有一個(gè)滅點(diǎn)，平行于x軸或y軸的直線也平行于投影平面，因而沒有滅點(diǎn)。yxzo37一點(diǎn)透視（平行透視） 人眼從正面去觀察一個(gè)立方體，當(dāng)z軸與投影平面垂直時(shí)，另兩根軸ox,oy軸平行于投影平面。這時(shí)的立方體透視圖只有一個(gè)滅點(diǎn)，即與畫面垂直的那組平行線的透視投影交于一點(diǎn)。38二點(diǎn)透視（成角透視） 人眼觀看的立方體是繞y軸

14、旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度之后，再進(jìn)行透視投影。三坐標(biāo)軸中oy軸與投影平面平行，而其它兩軸與畫面傾斜，這時(shí)除平行于oy軸的那組平行線外，其它兩組平行線的透視投影分別在投影平面的左右兩側(cè)，作出的立方體透視圖產(chǎn)生兩個(gè)滅點(diǎn)。39三點(diǎn)透視（斜透視） 此時(shí)，投影平面與三坐標(biāo)軸均不平行。 這時(shí)的三組平行線均產(chǎn)生滅點(diǎn)。40透視舉例41一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 1) 一點(diǎn)透視 設(shè)z軸上有一觀察點(diǎn)（即視點(diǎn)）V(0,0,h) 從V點(diǎn)出發(fā)將物體上的點(diǎn)P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P (x,y,0) 由相似三角形可知： hzhyyxx42一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 令:011zhzyyhzxxHzZHyYHxXhzH143一點(diǎn)透

15、視投影的變換矩陣 這是變換矩陣為 的齊次坐標(biāo)變換 它可以看作是先作變換 1000100000100001hMrzrzMzyxZYX11 透視變換1000110000100001hMr44一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 再做變換 的合成。平面的正投影變換向01000000000100001ZMz45一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 在透視變換Mr下有：hzzzhzyyhzxx11146一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 當(dāng)z時(shí)，x 0,y 0,z -h (0,0,-h)為該透視的一個(gè)滅點(diǎn)。 同樣，視點(diǎn)在(h,0,0)的透視變換，滅點(diǎn)在(-h,0,0) 變換矩陣為1000010000101001hMrx47一點(diǎn)透視投影的變換矩

16、陣 視點(diǎn)在(0,h,0)的透視變換，滅點(diǎn)在(0,-h,0) 變換矩陣為1000010010100001hMry均稱為一點(diǎn)透視變換。、rzryrxMMM48一點(diǎn)透視投影的變換矩陣 在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用1000100010001rqpM49一點(diǎn)透視投影的變換矩陣當(dāng)p、q、r中有一個(gè)不為0時(shí)的變換。假定q!=0,p=r=0.對空間上任一點(diǎn)(x,y,z)進(jìn)行透視變換結(jié)果如下：對該結(jié)果進(jìn)行規(guī)范化處理后，便得：1qy zy 1 0 0 00 1 0 0q 0 1 00 0 0 11 zy xx1 1qyz 1qyy 1qyx50一點(diǎn)透視變換的幾何意義當(dāng)y=0時(shí)： x = x y

17、= 0 z = z 即處于y=0平面上的點(diǎn)，經(jīng)過透視變換后沒有變化。當(dāng)y=時(shí) x = 0 y = 1/q z = 0 即當(dāng)y-所有點(diǎn)的變換結(jié)果都集中到Y(jié)軸的1/q處，也即所有平行于Y軸的直線，變換后都將沿伸相交于該點(diǎn)。該點(diǎn)即為滅點(diǎn)。51二點(diǎn)透視投影的變換矩陣 ) 二點(diǎn)透視 在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用當(dāng)p、q、r中有兩個(gè)不為0時(shí)的透視變換稱為二點(diǎn)透視變換。假定p!=0, r!=0, q=0; 將空間上一點(diǎn)(x,y,z)進(jìn)行變換，可得如下結(jié)果：1000100010001rqpM52二點(diǎn)透視投影的變換矩陣由上式可看出：當(dāng)x-時(shí)，在X軸上1/p處有一個(gè)滅點(diǎn)；當(dāng)z-時(shí)，在Z軸上1/r

18、處有一個(gè)滅點(diǎn)；)1/()1/()1/(1rzpx zy x 1 0 0 0r 1 0 00 0 1 0p 0 0 11 zy x rzpxzzrzpxyyrzpxxx經(jīng)齊次化處理后得：53三點(diǎn)透視投影的變換矩陣 ) 三點(diǎn)透視 類似，若p,q,r都不為0，則可得到有三個(gè)滅點(diǎn)的三點(diǎn)透視。)1/()1/()1/(1rzpx zy x 1 0 0 0r 1 0 0q 0 1 0p 0 0 11 zy x rzqypxzzrzqypxyyrzqypxxxqy經(jīng)齊次化處理后得：54三點(diǎn)透視投影的變換矩陣由上式可看出：當(dāng)x-時(shí)，在X軸上1/p處有一個(gè)滅點(diǎn)；當(dāng)y-時(shí)，在Y軸上1/q處有一個(gè)滅點(diǎn);當(dāng)z-時(shí)，在Z

19、軸上1/r處有一個(gè)滅點(diǎn)；55透視投影的技巧 一點(diǎn)透視圖的生成 在生成一點(diǎn)透視圖時(shí)，為了避免將物體安置在坐標(biāo)系原點(diǎn)，而產(chǎn)生下圖所示的透視效果，通常在透視變換前，先將立體作一平移變換。56透視投影的技巧其變換過程如下：1）先作平移變換；2）再作透視變換；3）最后將結(jié)果投影到投影面。 由于往XOZ平面上投影，故一點(diǎn)透視變換的滅點(diǎn)選在Y軸上。以下是其變換公式。57透視投影的技巧 1qdy dz 0dx 0 1 0 0q 0 0 00 0 0 1 1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0q 0 1 00 0 0 11 dzdy dx 0 1 0 00 0 1 0