2017年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版)解析

1、第1頁(共 20 頁)2017年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一 填空題(本大題滿分 5656 分)本大題共有 1212 題，考生必須在答題紙相應(yīng)編 號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，第 1 16 6 題每個空格填對得 4 4 分，第 7 71212 題每個空 格填對得 5 5 分，否則一律得零分.1.設(shè)集合M=X|X2=X，N=x|lgxW 0，貝 U M n N.2.已知 a，b R，i 是虛數(shù)單位.若 a+i=2- bi，貝 U( a+bi)2=_.3._ 已知函數(shù) f (X)=ax- 1 的圖象經(jīng)過(1,1 )點，貝 U f-1(3) _ .4._不等式X|X-1| 0 的解集為.5.已知向量；=

2、(sinx，cosx)，g = (sinx，sinx)，則函數(shù) f (X)=；?l 的最小正周期為_.6.里約奧運會游泳小組賽采用抽簽方法決定運動員比賽的泳道.在由2 名中國 運動員和 6 名外國運動員組成的小組中，2 名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概 率為7.按如圖所示的程序框圖運算：若輸入X=17,則輸出的X值是a 2 I8._ 設(shè)（1+X）n=a0+a1x+a2X2+a3X3+anxn，若 =-?，貝 U n=_a%L?9.已知圓錐底面半徑與球的半徑都是 1cm，如果圓錐的體積與球的體積恰好也 相等，那么這個圓錐的側(cè)面積是cm2.10. 設(shè) P(X，y)是曲線 C:捂| + 誓=1 上的

3、點，F(xiàn)1(- 4, 0)，冃(4，0)，則| PF|+| PFd 的最大值=_ .11. 已知函數(shù) f (X)= ，若 F (X)=f (X)-kx 在其定| 2求 - &i3義域內(nèi)有 3 個零點，則實數(shù) k_.12. 已知數(shù)列an滿足 a1=1, 02=3，若 | an+1- a =2n(n N*)，且 %-1是遞增 數(shù)第 2 頁（共 20 頁）列、a2n是遞減數(shù)列，貝U 1.二=_ .n a2n第3頁(共 20 頁)二、選擇題（本大題滿分 2020 分）本大題共有 4 4 題，每題有且只有一個正確答案， 考生必須在答題紙相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5 5 分，否則一律

4、得零分13.已知 a，b R,貝U“aO 是“ + 2”的（）a bA.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14. 如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD- AiBiCiDi中，點 P 在截面 AiDB 上，則線段 AP 的最小值等于（）的互不相等的矩陣共有（A . 2 個 B. 6 個 C. 8 個 D . i0 個i6 .解不等式（）x- x+ . 0 時，可構(gòu)造函數(shù) f （x） = （ . ）x- x，由 f （x）在x R 是減函數(shù)，及 f （x） f （i ），可得 xvi.用類似的方法可求得不等式arcsin+arcsinx+x6+x30 的解集為

5、（）A. (0, 1 B . (- 1, 1) C . (- 1, 1D . (- 1, 0)三.解答題（本大題滿分 7474 分）本大題共有 5 5 題，解答下列各題必須在答題紙 相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17 .如圖，在正四棱錐 P- ABCD 中, PA=AB=a E 是棱 PC 的中點.（1） 求證：PCXBD；A.-C一 D .i5.若矩陣allal2Ia21a22滿足: aii，ai2，a2i， 022 0， i，且a12a22=0， 則這樣第 2 頁（共 20 頁）（2） 求直線 BE 與 PA 所成角的余弦值.EEa*2 118 已知函數(shù) F (x)二 -,(a 為實

6、數(shù)).2s+1(1)根據(jù) a 的不同取值，討論函數(shù) y=f (x)的奇偶性，并說明理由；(2) 若對任意的 x 1,都有 Kf (x) 3,求 a 的取值范圍.19. 上海市松江區(qū)天馬山上的 護珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱世界第一斜塔”興趣小組同學(xué)實施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高：如圖，記 0 點為塔基、P 點為塔尖、點 P 在地面上的射影為點 H.在塔身 0P 射影所在 直線上選點 A,使仰角 kZHAP=45,過 0 點與 0A 成 120的地面上選 B 點， 使 仰角/ HPB=45 (點 A、B、O 都在同一水平面上)，此時測得ZOAB=27 , A 與 B 之間距離為

7、 33.6 米.試求：(1) 塔高(即線段 PH 的長，精確到 0.1 米)；(2) 塔身的傾斜度(即 PO 與 PH 的夾角，精確到 0.1).20. 已知雙曲線 C: =1 經(jīng)過點(2, 3),兩條漸近線的夾角為 60,直線 a bl 交雙曲線于 A、B 兩點.(1) 求雙曲線 C 的方程；(2)若 I 過原點，P 為雙曲線上異于 A, B 的一點，且直線 PA PB 的斜率 kPA,kPB均存在，求證：kpA?kPB為定值；(3)若 I 過雙曲線的右焦點 R,是否存在 x 軸上的點 M (m, 0),使得直線 I 繞點 Fi無論第5頁(共 20 頁)怎樣轉(zhuǎn)動，都有丫 ：？=0 成立？若存

8、在，求出 M 的坐標；若不存在， 請說明理由.21 如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它前一項的差都大于 2，則稱這個數(shù)列 為“I型數(shù)列”(1) 若數(shù)列為“H型數(shù)列”且 ai=l - 3， &=丄，氏=4，求實數(shù) m 的取值范 圍；(2) 是否存在首項為 1 的等差數(shù)列an為“H型數(shù)列”且其前 n 項和 Sn 滿足 S.vn2+n(n N*) ?若存在，請求出an的通項公式；若不存在，請說明理由.(3) 已知等比數(shù)列an的每一項均為正整數(shù)，且an為“H型數(shù)列” bn=an,cn=，當(dāng)數(shù)列bn不是“I型數(shù)列”時，試判斷數(shù)列Cn是否為“H型數(shù)(n+1) 2n列”并說明理由.2017 年上

9、海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題滿分 5656 分)本大題共有 1212 題，考生必須在答題紙相應(yīng)編 號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，第 1 16 6 題每個空格填對得 4 4 分，第 7 71212 題每個空 格填對得 5 5 分，否則一律得零分.1 .設(shè)集合 M=x| x2=x，N=x| Igxw0，貝UMnN 1.【考點】交集及其運算.【分析】先求出集合 M 和 N，由此能求出 MnN.【解答】解：集合 M=x|x2=x=0, 1，N=x| lgx0 x| 0vx0 的解集為(0, 1)U(1, +呵 .【考點】絕對值不等式的解法.【分析】通過討論 x 的范圍，去掉

10、絕對值號，求出不等式的解集即可.【解答】解： x| x- 1| 0, x0,| x-1|0,故 x-10 或 x-1v0,解得：x 1 或 0vxv1, 故不等式的解集是(0,1)U(1,+x),故答案為：(0,1)U(1,+x).第7頁(共 20 頁)5.已知向量；=(sinx, cosx), t = (sinx, sinx),則函數(shù) f (x) =；? 的最小正周期為n.【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】由平面向量的坐標運算可得 f (x),再由輔助角公式化積，利用周期公 式求得周期.【解答】 解：= (sinx, cosx), = (sinx, sinx),2 f (x) = ?i-

11、=sinx-sinxcosx=:.=-一云門二十m 丄=:-TT.故答案為：n6.里約奧運會游泳小組賽采用抽簽方法決定運動員比賽的泳道.在由2 名中國運動員和 6名外國運動員組成的小組中， 2名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概 率為一一.【考點】古典概型及其概率計算公式.【分析】先求出基本事件總數(shù) n= :,再求出 2 名中國運動員恰好抽在相鄰泳道 的概率為m=：，由此能求出 2 名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概率.【解答】解：里約奧運會游泳小組賽采用抽簽方法決定運動員比賽的泳道. 在由 2 名中國運動員和 6 名外國運動員組成的小組中，基本事件總數(shù) n= :, 2 名中國運動員恰好抽在相鄰泳道

12、的概率為 m= ,第8頁（共 20 頁）故答案為：7按如圖所示的程序框圖運算：若輸入 x=17,則輸出的 x 值是 143【考點】程序框圖.【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的 x, k 的值，當(dāng) x=143 時滿 足條件 x 115,退出循環(huán)，輸出 x 的值為 143,即可得解.【解答】解：模擬程序的運行，可得x=17, k=0執(zhí)行循環(huán)體，x=35, k=1不滿足條件 x 115,執(zhí)行循環(huán)體，x=71, k=2不滿足條件 x 115,執(zhí)行循環(huán)體，x=143, k=3 滿足條件 x 115,退出循環(huán)，輸出 x 的值為 143.故答案為：143.自-I8.設(shè)（1+x）n=ao+a1x+

13、a2x2+a3X3+anXn，若 =.-,貝 U n= 11.巧【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).【分析】利用二項式定理展開可得：（1+x ）n=：+：n nnx3+ =a+a1x+a2/+a3x3+anxn，比較系數(shù)即可得出.【解答】解： ： （1+x）n=： ；.+：x3+=a+a1x+a2x4 5又空=2亙=2乂占 3，嚴 3，3X2X1則 n=11. 2 名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概率為I開始輸入.屯0n(n 1)2-一，n-2=9，第9頁（共 20 頁）6+a3X3+anXn,故答案為：11.第10頁（共 20 頁）9.已知圓錐底面半徑與球的半徑都是 1cm， 如果圓錐的體積與球的體積恰

14、好也 相等，那么這個圓錐的側(cè)面積是_ncm2.【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.【分析】由已知求出圓錐的母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式，可得答案.【解答】解：由題意可知球的體積為： 士-x 13二cm3，圓錐的體積為：.x nx12xh 二=hcm3，因為圓錐的體積恰好也與球的體積相等，所以 二.h，所以 h=4cm，圓錐的母線：1=cm.故圓錐的側(cè)面積 S=nrl=ncnfi,故答案為：n10. 設(shè) P （x, y）是曲線 C：樓+幷=1上的點，F(xiàn)i（- 4, 0），F(xiàn)2（4，0），則|PFi|+| PFd 的最大值=10 .【考點】曲線與方程.【分析】先將曲線方程化簡，再根據(jù)圖形的對稱性可

15、知|PF|+| PE|的最大值為10.【解答】解：曲線 C 可化為：甲+ =1,它表示頂點分別為（土 5，0），（0, 3）的平行四邊形，根據(jù)圖形的對稱性可知|PF|+| PFd 的最大值為 10,當(dāng)且僅當(dāng)點 P 為（0，土 3） 時取最大值，故答案為 10.11.已知函數(shù) f （x）=，若 F(x) =f第 9 頁(共 20 頁)義域內(nèi)有 3 個零點，則實數(shù) k(0，空_.J【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷.【分析】問題轉(zhuǎn)化為 f (x)和 y=kx 有 3 個交點，畫出函數(shù) f (x)和 y=kx 的圖象, 求出臨界值，從而求出 k 的范圍即可.【解答】解：若 F (x) =f (x)-

16、kx 在其定義域內(nèi)有 3 個零點，即 f (x)和 y=kx 有 3 個交點，畫出函數(shù) f (x)和 y=kx 的圖象，如圖示：|2k|點(2，0)到直線 y=kx 的距離 d=解得：k 二:手，故：0vkv等故答案為：(0, )12 已知數(shù)列滿足 ai=1,十=3,若| an+i- a.| =2n(n N*)，且 d -1是遞增數(shù)列、a2n是遞減數(shù)列，則-=一 n a2n【考點】數(shù)列的極限.【分析】依題意，可求得 a3- a2=22，a4- a3=- 23，a2n- a2n-1=- 22n-1，累加 求和，可得 a2n= - ?22n，a2n-1=a2n+22n1= +W?22n；從而可求得

17、.: 一- 的值.第12頁（共 20 頁）【解答】解：Tai=1, a2=3, | an+i- an| =2n(n N ),2- a3 a2= 22,又a2n-l是遞增數(shù)列、 a2n是遞減數(shù)列，二 a3- a2=4=22;同理可得，印-a3= - 23,4a5 a4=2 ,a a5= 25,2二 a2n= (a2n a2n-1)+(a2n-1a2n-2)+ + (a3 a2)+(a2ai) +ai=1+2+ (2 a2n-1=a2n+22n+、？22役+i-22n則.-一-a2h-丄*加33乙故答案為:二、選擇題（本大題滿分 2020 分）本大題共有 4 4 題，每題有且只有一個正確答案， 考

18、生必須在答題紙相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5 5 分，否則一律得零分. .13已知 a，b R,貝廠a!0 是 “ + 2”的（）a bA.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件1_3-22n-1a2n a2n-1= 2 ,23+24+22 n2=3+J.-第13頁（共 20 頁）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【解答】解：由 I + 2,得：0，a b7ah第14頁（共 20 頁）故 ab 0 且 a b,故“a0 是“ + 2”的必要不充分條件,a b故選：B.14.如圖，在棱長為 1 的正

19、方體 ABC AiBiCiDi中，點 P 在截面 AiDB 上，則線段 AP 的最小值等于（）【考點】點、線、面間的距離計算.【分析】由已知可得 AG 丄平面 AiDB,可得 P 為 ACi與截面 AiDB 的垂足時線段AP 最小，然后利用等積法求解.【解答】解：如圖，連接 AG 交截面 AiDB 于 P,由 CG 丄底面，可得 CC 丄 BD, 又AC 丄 BD,可得 BD 丄平面 ACC，貝 U AG 丄 BD.同理可得 AG 丄 AiB,得到 ACi丄平面 AiDB,此時線段 AP 最小.由棱長為 i,可得等邊三角形 AiDB 的邊長為,._：二二：-二；由 i :.L.ZL,可得:，得

20、 AP 二手. 故選：C.V2D.第15頁（共 20 頁）311al2Ia21 a22alla12a21i5.的互不相等的矩陣共有（）A. 2 個 B. 6 個 C. 8 個 D. i0 個【考點】幾種特殊的矩陣變換.【分析】根據(jù)題意，分類討論，考慮全為 0；全為 i；三個 0，個 i；兩個 0, 兩個i,即可得出結(jié)論.若矩陣滿足: aii,ai2,a2i,選2 0,i，且=0,則這樣第16頁(共 20 頁)可得 aiia22- ai2a2i=0.由于 aii, ai2, a2i, a22 0, 1,(oo) (& H (11) (io) (oo)，0 1 丿，0 1 丿，0 0 丿，

21、1 (J，1 1J 則這樣的互不相等的矩陣共有10 個.故選：D.16.解不等式(,)x- x+ 0 時，可構(gòu)造函數(shù) f (x) = ( )x x,由 f (x)在 x R 是減函數(shù)，及 f (x) f (1)，可得 xv1 .用類似的方法可求得不等式 arcsin+arcsinx+x6+x30的解集為()A. (0, 1 B. (- 1, 1)C. (- 1, 1D. (- 1, 0)【考點】類比推理.【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù) g (x) =arcsinx+x3,在 x - 1, 1上是增函數(shù)，且 是奇函數(shù)，不等式 arcs in x2+arcsi n 対 x6+x3 0 可化為 g (x2

22、) g (- x),即可得出 結(jié)論.【解答】解：由題意，構(gòu)造函數(shù) g(x) =arcsinx+x3,在 x - 1, 1上是增函數(shù)， 且是奇函數(shù)，不等式 arcs in 點+arcs in x+x6+x3 0 可化為 g (x2) g (- x),1-xvx21,/. 0vx 1,都有 Kf (x) 1 以及 f (x) 1 可得：2x+1 a?2x- 1, 即卩 1 時，函數(shù) y1=單調(diào)遞減，其最大值為 1,2則必有 a2，4同理，由 f (x)w3 可得：a?2x- K 3?2x+3,即 a-3 1 時，y2=:.:單調(diào)遞減，且無限趨近于 0，故 a3，綜合可得：2a3 恒成立，ID2+D

23、2-4m- 5=0，解得 m=- 1, n=0Lm2+n2-1=0當(dāng)點 M 為(-1, 0)時，MA 丄 MB 恒成立；當(dāng)直線 I 的斜率不存在時，由 A (2，3)，B (2，- 3)知點 M (-1, 0)使得MAXMB 也成立.又因為點(-1, 0)是雙曲線 C 的左頂點，所以雙曲線 C 上存在定點 M (- 1, 0),使 MA 丄 MB 恒成立.21 如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它前一項的差都大于 2，則稱這個數(shù)列 為“I型數(shù)列”(1)若數(shù)列 an 為“H型數(shù)列”且-3,as=4,求實數(shù) m 的取值范ioin圍；(2) 是否存在首項為1的等差數(shù)列 an 為“H型數(shù)列”且其前n

24、項和Sn滿足Snvn2+n(n N*) ?若存在，請求出an的通項公式；若不存在，請說明理由.9(3) 已知等比數(shù)列an的每一項均為正整數(shù)，且an為“H型數(shù)列” bn=an,cn=，當(dāng)數(shù)列bn不是“I型數(shù)列”時，試判斷數(shù)列Cn是否為“H型數(shù)(n+1) - 2222+m 4m - 5) k2 12nk 3 (m2+ n2- 1)=0,/. Xi+X2=第23頁(共 20 頁)列”并說明理由.【考點】數(shù)列的求和.【分析】(1)由題意得，a? - a=32, 33-82=4-2,即 2 =- - 0, m m m解得 m 范圍即可得出.(2) 假設(shè)存在等差數(shù)列an為“H型數(shù)列”設(shè)公差為 d,則 d2,由 ai=1， 可 得： Sn=n+，由題意可得： n+V n2+n 對 n N*都成立，即 d占都成立解出即可判斷出結(jié)論.(3) 設(shè)等比數(shù)列31的公比為 q,則 an”,且每一項均為正整數(shù)，且 an+13n=an( q 1 ) 2 0,可得 3n+1 3n=3n( q 1 ) 3n 3n