概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件1-5

1、概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 5 5 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 定義定義1 對(duì)事件對(duì)事件 A 與與 B ，若，若P(AB)=P(A)P(B) 則則稱事件稱事件 A 與事件與事件 B 相互獨(dú)立（相互獨(dú)立（independence）。）。 由上節(jié)的一些例題可以看到由上節(jié)的一些例題可以看到 P(BA) P ( B ) 。概率概率.換句話說(shuō)換句話說(shuō),事件事件 A 與事件與事件 B 存在著某種存在著某種“獨(dú)立性獨(dú)立性” 。些情況下些情況下,事件事件A的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的發(fā)生的這說(shuō)明事

2、件這說(shuō)明事件A的發(fā)生影響了事件的發(fā)生影響了事件B發(fā)生的概率。但在某發(fā)生的概率。但在某概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 命題命題1 若事件若事件 A , B 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 P(A) 0,則則 P(BA) =P ( B ) 。證證 明明 由條件概率及獨(dú)立性定義知由條件概率及獨(dú)立性定義知).()()()()()()(BPAPBPAPAPABPABP 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 定理定理 2 若事件若事件 A ， B 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則事件事件A與與B，A與與 B，A與與 B也相互獨(dú)立。也相互獨(dú)立。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì))()()()()()()()(BPAPBPA

3、BPBPABBPBASPBAP ).()()()(1 BPAPBPAP 由此可推知由此可推知,若若P(A)0, P(B)0,則則A、B 相互獨(dú)立與相互獨(dú)立與A，證證 明明B 互不相容不能同時(shí)成立?；ゲ幌嗳莶荒芡瑫r(shí)成立。僅以僅以A與與B相互獨(dú)立為例。相互獨(dú)立為例。 ).()()(BPAPBAP 即即 注注 在應(yīng)用中我們往往根據(jù)事件的實(shí)際意義來(lái)在應(yīng)用中我們往往根據(jù)事件的實(shí)際意義來(lái)判斷事件的獨(dú)立性判斷事件的獨(dú)立性 。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 例例1 甲、乙兩炮進(jìn)行甲、乙兩炮進(jìn)行各獨(dú)立地同時(shí)向目標(biāo)靶發(fā)各獨(dú)立地同時(shí)向目標(biāo)靶發(fā)甲炮命中率為甲炮命中率為0.9，乙炮命，乙炮命打靶演習(xí)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道：打

4、靶演習(xí)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道：中率為中率為0.8。現(xiàn)甲、乙兩炮?，F(xiàn)甲、乙兩炮射一炮，求：射一炮，求：(1）甲、乙兩炮都中靶的概率；）甲、乙兩炮都中靶的概率；(2）甲、乙兩炮至少有一個(gè)中靶的概率。）甲、乙兩炮至少有一個(gè)中靶的概率。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)解解 設(shè)甲、乙兩炮中靶事件分別為設(shè)甲、乙兩炮中靶事件分別為A和和B，于是，于是 P(AB) = P(A)P(B) = 0.90.8 = 0.72; P(AB) = P(A)+P(B) - P(AB) = 0.9+0.8 - 0.72=0.98; 獨(dú)立性的概念推廣到三個(gè)事件時(shí)，有下面定義。獨(dú)立性的概念推廣到三個(gè)事件時(shí)，有下面定義。.98. 02 .

5、 01 . 01)(1)( BAPBAP或或概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)定義定義2 設(shè)設(shè) A 、 B 、C 是三事件，如果下面等式成立：是三事件，如果下面等式成立： ).()()();()()();()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP則稱則稱A、B、C三事件三事件兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立。 當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時(shí)，下面等式當(dāng)三事件兩兩相互獨(dú)立時(shí)，下面等式不一定不一定成立：成立：).()()()(CPBPAPABCP )40(題題第第可可參參考考習(xí)習(xí)題題A概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)推廣到更一般情形推廣到更一般情形 定義定義3 設(shè)設(shè) A 、 B 、C 三事件兩兩相互獨(dú)立，

6、且三事件兩兩相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。滿足滿足 P(ABC) = P(A) P(B) P(C), 則稱則稱A、B、C三事件三事件),2, 1()()()()(2121nlAPAPAPAAAPllkkkkkk 成立，則稱成立，則稱 n 個(gè)事件相互獨(dú)立。個(gè)事件相互獨(dú)立。對(duì)所有可能的對(duì)所有可能的,121nkkkl 等式等式設(shè)設(shè)nAAA,21為為n個(gè)個(gè)事件事件，若若 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)A1A2A3A4）系系統(tǒng)統(tǒng)（圖圖a161 例例2 圖圖1-16 (a) ,(b) 是兩個(gè)均由元件是兩個(gè)均由元件A1， A2， A3 ，正常工作的概率。正常工作的概率。假設(shè)各元件工作是相互獨(dú)立假設(shè)各元件

7、工作是相互獨(dú)立 的，分別求出這兩個(gè)系統(tǒng)的，分別求出這兩個(gè)系統(tǒng)A4 組成的系統(tǒng)。每個(gè)元件正常工作的概率均為組成的系統(tǒng)。每個(gè)元件正常工作的概率均為0.9。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)A1A3A2A4）系系統(tǒng)統(tǒng)（圖圖b161 對(duì)系統(tǒng)（對(duì)系統(tǒng)（a）)()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP ）.9636. 09 . 09 . 0242 ,4321AAAAA 有有)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP 有有概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 對(duì)系統(tǒng)（對(duì)系統(tǒng)（b） 由于每?jī)蓚€(gè)元件并聯(lián)為一組由于每?jī)蓚€(gè)元件并聯(lián)為一組,然后再串聯(lián)。故在每然后再串聯(lián)。故在每

8、一組均正常工作時(shí)系統(tǒng)（一組均正常工作時(shí)系統(tǒng)（b）為正常，而兩個(gè)組工作）為正常，而兩個(gè)組工作不正常的概率分別為不正常的概率分別為;)9 . 01 ()()()(23131 APAPAAP.)9 . 01 ()()()(24242 APAPAAP所以，兩個(gè)組正常工作的概率都是所以，兩個(gè)組正常工作的概率都是.99. 001. 01)9 . 01 (12 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 系統(tǒng)由一組元件組成。對(duì)于任一元件，它能正常工系統(tǒng)由一組元件組成。對(duì)于任一元件，它能正常工系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)十分重要的指標(biāo)。系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)十分重要的指標(biāo)。稱為該系統(tǒng)的可靠性。各種工作系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性是稱為該系統(tǒng)的可靠性。各

9、種工作系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性是作的概率稱為該元件的可靠性，系統(tǒng)正常工作的概率作的概率稱為該元件的可靠性，系統(tǒng)正常工作的概率 從而從而.9801. 099. 0)(2 BP 顯然顯然 P(B) P(A) .即系統(tǒng)（即系統(tǒng)（b）比系統(tǒng)（）比系統(tǒng)（a） 正常工作的概率要高。正常工作的概率要高。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)例例3 證明證明 A、B 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。證明證明, 1)()(, 1)()(0 BAPBAPBPAP設(shè)設(shè)且且1)()( BAPBAP由由得到得到)()(1)(BAPBAPBAP )()(BAPBAP 即即概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)所以所以 A、B 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。)(1

10、)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP 從而從而)()()()(1)(ABPAPBPBPABP 有有)()()(BPAPABP 證得證得)()()()()()()(BPABPBPAPBPABPABP 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)The History of Probability概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)答案答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)互不相容互不相容與與BAA. 相容相容和和BAB. )()()(.BPAPABPC )()(.APBAPD 答案4. 設(shè)設(shè) 證明證明 :A與與B相互獨(dú)立的充要相

11、互獨(dú)立的充要 . 0)(, 0)(BPBP).()(BAPBAP條件是條件是CBA與也獨(dú)立。也獨(dú)立。5. 設(shè)設(shè) A , B , C 相互獨(dú)立。證明：相互獨(dú)立。證明： 獨(dú)立，獨(dú)立，CBA與概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)6. 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共 100 件，假定其中有件，假定其中有 4 件次品，抽樣檢件次品，抽樣檢查時(shí)，每次從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件做檢查，若是查時(shí)，每次從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件做檢查，若是次品，則拒絕接受這批產(chǎn)品；若是正品，則在檢查一次品，則拒絕接受這批產(chǎn)品；若是正品，則在檢查一次；如此繼續(xù)下去，若檢查次；如此繼續(xù)下去，若檢查 4 件產(chǎn)品都不是次品，則件產(chǎn)品都不是次品，則停止檢

12、查，接受這批產(chǎn)品。對(duì)于下述兩種不同的抽樣停止檢查，接受這批產(chǎn)品。對(duì)于下述兩種不同的抽樣方式，分別計(jì)算這批產(chǎn)品被接受的概率：方式，分別計(jì)算這批產(chǎn)品被接受的概率：(1) 不放回抽樣不放回抽樣;(2) 有放回抽樣有放回抽樣.答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)7. 三個(gè)人獨(dú)立的破譯一份密碼。已知三人各自能譯出三個(gè)人獨(dú)立的破譯一份密碼。已知三人各自能譯出的概率分別是的概率分別是 1/5，1/3，1/4；則三人中至少有一人能；則三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？將此密碼譯出的概率是多少？8. 一電路如圖一電路如圖 1 17 所示。開關(guān)所示。開關(guān) A ,B ,C ,D 閉合與否相閉合與否相互獨(dú)立

13、。且這些開關(guān)閉合的概率均為互獨(dú)立。且這些開關(guān)閉合的概率均為p。求。求 E , F 之間之間為通路的概率。為通路的概率。DCBAFE圖 1 17 答案答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)9. 某高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊落飛機(jī)的概率為某高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊落飛機(jī)的概率為 0.6 ?，F(xiàn)用。現(xiàn)用此種炮若干門同時(shí)各發(fā)射一發(fā)炮彈，問(wèn)至少需要配多此種炮若干門同時(shí)各發(fā)射一發(fā)炮彈，問(wèn)至少需要配多少門高射炮才能以不小于少門高射炮才能以不小于 99% 的概率擊落一架敵機(jī)？的概率擊落一架敵機(jī)？10. 有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為 0.8 和和 0.7 。在。在這兩批種子中各隨機(jī)地選取一粒。

14、求：這兩批種子中各隨機(jī)地選取一粒。求：(1) 兩粒種子都能發(fā)芽的概率兩粒種子都能發(fā)芽的概率;(2) 至少有一粒種子能發(fā)芽的概率；至少有一粒種子能發(fā)芽的概率；(3) 恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率。恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率。答案答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)11. 甲、乙、丙三人向同一目標(biāo)射擊。設(shè)各自擊中目標(biāo)甲、乙、丙三人向同一目標(biāo)射擊。設(shè)各自擊中目標(biāo)的概率分別為的概率分別為0.4，0.5，0.7。設(shè)目標(biāo)中一彈而被擊落的。設(shè)目標(biāo)中一彈而被擊落的概率是概率是 0.2 ；中兩彈而被擊落的概率是；中兩彈而被擊落的概率是 0.6 ；中三彈必；中三彈必然被擊落。今三人各射擊一次，求目標(biāo)被擊落的概率。然

15、被擊落。今三人各射擊一次，求目標(biāo)被擊落的概率。答案12. 某工人看管甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床。在一小時(shí)內(nèi)，這某工人看管甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床。在一小時(shí)內(nèi)，這三臺(tái)機(jī)床需要工人照管的概率分別是三臺(tái)機(jī)床需要工人照管的概率分別是0.9，0.8，0.85。求在一小時(shí)內(nèi)：求在一小時(shí)內(nèi)：(1) 沒有一臺(tái)機(jī)床需要照管的概率沒有一臺(tái)機(jī)床需要照管的概率;(2) 至少有一臺(tái)機(jī)床不需要照管的概率。至少有一臺(tái)機(jī)床不需要照管的概率。答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)13. 某賓館大樓有某賓館大樓有6部電梯。通過(guò)調(diào)查知道，在某一時(shí)部電梯。通過(guò)調(diào)查知道，在某一時(shí)刻各電梯都在運(yùn)行的概率均為刻各電梯都在運(yùn)行的概率均為0.8。試計(jì)算此時(shí)刻下列。試計(jì)算此時(shí)刻下列各種情況的概率：各種情況的概率：(1) 至少有一臺(tái)電梯在運(yùn)行至少有一臺(tái)電梯在運(yùn)行;(2) 恰好有一半電梯在運(yùn)行；恰好有一半電梯在運(yùn)行；(3) 所有電梯都在運(yùn)行。所有電梯都在運(yùn)行。答案概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)14(習(xí)題習(xí)題A第四十題第四十題). 設(shè)有四張卡片分別標(biāo)