材料力學(xué)莫爾定理

1、2-4 莫爾定理莫爾定理計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工具計算線彈性結(jié)構(gòu)變形的一種非常有效的工具計算撓度的莫爾定理計算撓度的莫爾定理一定理：一定理：f 線位移 xM在原始載荷P1、P2、P3作用下，X截面彎矩。在預(yù)加單位載荷P0=1 作用下，X截面的彎矩。其中：其中：lEIdxxMxM)()()(xM圖七l 321PPP2EICfx圖八l2EIC0Pxv 在研究莫爾定理之前，首先應(yīng)明確：在這一章中，我們將學(xué)習(xí)兩種能量方法：1，莫爾定理莫爾定理。2，卡氏定理卡氏定理。其中莫爾定理是今天這節(jié)課的內(nèi)容。并且，在變形能變形能概念的基礎(chǔ)上來研究莫爾定理。v 對于圖六的情況：由于該梁是一橫力彎曲梁橫力

2、彎曲梁，即在橫截面上不僅有彎矩，而且還有剪力，因此在梁的變形中，彎矩不僅要產(chǎn)生影響，剪力也要產(chǎn)生影響，但當(dāng) 4HL變形都是由于 于彎矩的影響來說是很小的， xM的影響而產(chǎn)生的。 時，剪力的影響相對故可略而不計，而近似地認(rèn)為梁的二二.定理證明：定理證明：1在原始載荷在原始載荷P1、P2、P3單獨(dú)單獨(dú)作用下作用下，梁內(nèi)變形能U LZEIdxxMU22 2在在P0=1單獨(dú)單獨(dú)作用下作用下，梁內(nèi)變形能U0 LZEIdxxMU2200 圖七l 321PPP2EICf圖八l2EIC0Px 3. 采用先加P0 =1，然后再加然后再加P1、P2、P3.的加載方式時，梁內(nèi)的變形能 1UP0作用下：作用下： dx

3、EIxMULZ2020 P1、P2、P3作用下：作用下： LZEIdxxMU22圖七l 321PPP2EICf0P圖七l 321PPP2EICf圖八l2EICf0P1U圖九l2EI0Mv在產(chǎn)生在產(chǎn)生 f變形過程中，變形過程中，P0做功：做功： fP0轉(zhuǎn)變成變形能儲存于彈性體中轉(zhuǎn)變成變形能儲存于彈性體中，從而可求出梁內(nèi)最終所儲存的總變形能總變形能 1U fEIdxxMdxEIxMfPUUULZLZ122202001 4. 采用采用將將P0、（P1、P2、P3）同時作用于梁上的加）同時作用于梁上的加載方式時載方式時X截面彎矩截面彎矩: xMxM0根據(jù)疊加原理根據(jù)疊加原理v 在求在求U之前，應(yīng)將圖六

4、和圖七進(jìn)行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實質(zhì)之前，應(yīng)將圖六和圖七進(jìn)行比較，即可發(fā)現(xiàn)圖七實質(zhì)上是圖六的計算簡圖，因此，此時上是圖六的計算簡圖，因此，此時梁內(nèi)的變形能梁內(nèi)的變形能仍應(yīng)為：仍應(yīng)為： LZEIdxxMU22v 在進(jìn)行第二步計算之前應(yīng)明確在進(jìn)行第二步計算之前應(yīng)明確：彈性體內(nèi)所儲存的變形能只彈性體內(nèi)所儲存的變形能只與外力和位移的最終數(shù)值有關(guān)，而與加載方式無關(guān)與外力和位移的最終數(shù)值有關(guān)，而與加載方式無關(guān)；基于這個道；基于這個道理，在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情理，在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情況況。v 此時應(yīng)強(qiáng)調(diào)此時應(yīng)強(qiáng)調(diào)P1、P2、P3對梁的作用效果并不因預(yù)

5、先在對梁的作用效果并不因預(yù)先在C點(diǎn)點(diǎn)作用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于作用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于P1、P2、P3的作的作用，用，C點(diǎn)產(chǎn)生的位移點(diǎn)產(chǎn)生的位移 f況下梁內(nèi)的變形能。即況下梁內(nèi)的變形能。即式。式。應(yīng)等于應(yīng)等于f；產(chǎn)生的變形能也應(yīng)等于圖七情產(chǎn)生的變形能也應(yīng)等于圖七情 dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMULZLZLZLZ02202012224.根據(jù)變形能與加載方式無關(guān)的道理得：根據(jù)變形能與加載方式無關(guān)的道理得：11UU dxEIxMxMfLZ0計算撓度的莫爾定理計算撓度的莫爾定理 5.推論：同樣的道理，如果我們要求截面的轉(zhuǎn)角，也只需在C截面上施加

6、一個單位力偶，用上述同樣的方法可求出： dxEIxMxMLZc0計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理計算轉(zhuǎn)角的莫爾定理三三.總結(jié)：總結(jié)：1.莫爾定理莫爾定理單位力法2.適用范圍適用范圍線彈性結(jié)構(gòu)四四.應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：例例1：如圖所示：簡支梁AB，跨長為L，抗彎剛度為 ZEI。其上受均布載荷作用，載荷集度為q，試求出梁跨中點(diǎn)C的撓度 cf及端面B的轉(zhuǎn)角 B1U圖九l2EI0MCxqlARxBRl2EIC2/ 110Px2/ 1l2EI10ML/ 1L/ 1zEIC?Bcf、解：解：一一求支反力求支反力RA，RB由對稱性：由對稱性： 2qlRRBA二二求求 cf及及 B 22222qxqxlqxxRxMA xx

7、M21020lx lxxM0ZlZLZcEIqldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000 ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM24232000v 在材料力學(xué)中在材料力學(xué)中，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結(jié)構(gòu)的的具體圖形具體圖形，因此，在接到問題，因此，在接到問題，了解了已知條件和要求解了解了已知條件和要求解的的問問題之后題之后，緊接著應(yīng)該來緊接著應(yīng)該來分析圖形分析圖形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很顯然，圖十為一的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很顯然，圖十為一對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)。v 對于對于對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)，在求其某一具體物理量的數(shù)值時，只需取其，在求其某一具

8、體物理量的數(shù)值時，只需取其一個對稱部分來進(jìn)行計算，一個對稱部分來進(jìn)行計算，其結(jié)果再乘以對稱部分的個數(shù)即可其結(jié)果再乘以對稱部分的個數(shù)即可。如圖十，如圖十，可可沿梁沿梁中截面中截面將梁將梁分為兩個對稱部分分為兩個對稱部分，因此因此 cf及及 B可寫成左邊的形式。可寫成左邊的形式。例題總結(jié)：例題總結(jié)： 1.從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程中，可以看出從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程中，可以看出莫爾莫爾定理實質(zhì)上就是單位載荷法定理實質(zhì)上就是單位載荷法。若要求某一點(diǎn)的線位移，只需在。若要求某一點(diǎn)的線位移，只需在該該點(diǎn)上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行了點(diǎn)上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行

9、了。若要求若要求解解一截一截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角，也只需在該截面上作用一單位力偶就行了也只需在該截面上作用一單位力偶就行了。2 ZcEIqlf38454ZBEIql243中的正負(fù)號所表示的含義：中的正負(fù)號所表示的含義： “+”表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向一致。表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向一致。“-”表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向相反。表示位移的實際方向同假設(shè)的單位載荷的方向相反。中的中的 v 為了區(qū)別為了區(qū)別 cf及及 B xM0，在在 B中的中的 xM0改寫改寫 xM0的形式。的形式。 成成 為了表示出這兩種含義，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用符號為了表示出這兩種含義

10、，最后在求出的數(shù)值后面應(yīng)用符號標(biāo)明實際位移方向。標(biāo)明實際位移方向。注意：注意： 上述內(nèi)容為一節(jié)課（上述內(nèi)容為一節(jié)課（50分鐘）內(nèi)容。整個板面應(yīng)控制在兩個分鐘）內(nèi)容。整個板面應(yīng)控制在兩個板面左右，以提高板面左右，以提高“講講”的效果。的效果。五五.莫爾定理在平面曲桿的應(yīng)用：莫爾定理在平面曲桿的應(yīng)用： 對于橫截面高度對于橫截面高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑的平面曲桿小于軸線曲率半徑的平面曲桿，其其彎曲正彎曲正應(yīng)力應(yīng)力分布規(guī)律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計分布規(guī)律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計算直梁變形的莫爾定理推廣應(yīng)用于這類曲桿算直梁變形的莫爾定理推廣應(yīng)用于這類曲桿撓度和轉(zhuǎn)角的近似撓度和轉(zhuǎn)角的近似計算公式計算公式： dsEIsMsMfSZ0 dsEIsMsMS0（10-12）式中式中：S 代表曲桿軸線的弧長代表曲桿軸線的弧長 sM 載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩 sM0 單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩 （計算桁架中某一點(diǎn)位移的莫爾定理的推導(dǎo)做為課外作業(yè)，（計算桁架中某一點(diǎn)位移的莫爾定理的推導(dǎo)做為課