專題1.9 全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

1、專題1.9 全稱量詞與存在量詞-重難點(diǎn)題型精講1全稱量詞與全稱量詞命題2.存在量詞與存在量詞命題3全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：xM，p(x)的否定：xM，p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題(2)存在量詞命題p：xM，p(x)的否定：xM，p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題4命題的否定與原命題的真假一個(gè)命題的否定，仍是一個(gè)命題，它和原命題只能是一真一假【題型1 全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】【方法點(diǎn)撥】判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及

2、的意義去判斷【例1】（2020秋邵武市校級月考）判斷下列命題屬于全稱命題還是特稱命題，并用數(shù)學(xué)量詞符號改寫下列命題：（1）任意的m1方程x22x+m0無實(shí)數(shù)根；（2）存在一對實(shí)數(shù) x，y，使2x+3y+30成立；（3）存在一個(gè)三角形沒有外接圓；（4）實(shí)數(shù)的平方大于等于0【分析】本題考查全稱命題以及特稱命題的含義以及符號表示，可以按照定義進(jìn)行求解【解答】解：（1）任意的m1方程x22x+m0無實(shí)數(shù)根，是一個(gè)全稱命題，用符號表示為：m1，方程x22x+m0無實(shí)數(shù)根；（2）存在一對實(shí)數(shù) x，y，使2x+3y+30成立，是一個(gè)特稱命題，用符號表示為：一對實(shí)數(shù) x，y，使2x+3y+30成立；（3）存在

3、一個(gè)三角形沒有外接圓，是一個(gè)特稱命題，用符號表示為：一個(gè)三角形沒有外接圓；（4）實(shí)數(shù)的平方大于等于0，是一個(gè)全稱命題，用符號表示為：xR，x20【點(diǎn)評】本題考查全稱命題以及特稱命題的含義以及符號表示，屬容易題【變式1-1】用符號“”“”表達(dá)下列命題（1）實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)的形式；（2）存在一實(shí)數(shù)對（x，y），使x+y+30成立；（3）任一實(shí)數(shù)乘1，都等于它的相反數(shù)；（4）存在實(shí)數(shù)x，使得x3x2【分析】根據(jù)全稱量詞命題可以表示為“xR，P（x）”，存在量詞命題可以表示為“xR，P（x）”；分別寫出對應(yīng)的命題即可【解答】解：對于（1），實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)的形式，即：xR，x可以寫出小數(shù)的形式；對于（

4、2），存在一實(shí)數(shù)對（x，y），使x+y+30成立；即：有序數(shù)對（x，y），且xR，yR，有x+y+30；對于（3），任一實(shí)數(shù)乘1，都等于它的相反數(shù)；即：xR，1xx；對于（4），存在實(shí)數(shù)x，使得x3x2；即：xR，x3x2【點(diǎn)評】本題考查了全稱量詞命題和存在量詞命題應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題【變式1-2】（2020春福清市期中）將a2+b2+2ab（a+b）2改寫成全稱命題是（）Aa，bR，a2+b2+2ab（a+b）2Ba0，b0，a2+b2+2ab（a+b）2Ca0，b0，a2+b2+2ab（a+b）2Da，bR，a2+b2+2ab（a+b）2【分析】根據(jù)全稱命題的定義進(jìn)行改寫即可【解答】解：命題

5、對應(yīng)的全稱命題為：a，bR，a2+b2+2ab（a+b）2故選：D【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的理解，比較基礎(chǔ)【變式1-3】（2020秋啟東市校級月考）根據(jù)下述事實(shí)，得到含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題為 13+23（1+2）2，13+23+33（1+2+3）2，13+23+33+43（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53（1+2+3+4+5）2，【分析】觀察到從1開始加，連續(xù)的幾個(gè)數(shù)的三次方相加，就得其和的三次方，總結(jié)一下就是：任意從1開始的連續(xù)n個(gè)整數(shù)的三次方和等于其和的三次方【解答】解：根據(jù)已知條件的規(guī)律可得：nN*，13+23+33+n3（1+2+3+n）2【點(diǎn)評

6、】本題考查了歸納概括能力，把命題歸結(jié)為全稱命題或者特稱命題，屬于簡易邏輯，是基礎(chǔ)題【題型2 全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【方法點(diǎn)撥】判斷全稱量詞命題真假的方法：要判定一個(gè)全稱量詞命題為真命題，需要進(jìn)行推理證明，或用前面已經(jīng)學(xué)過的定義、定理作證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可判斷存在量詞命題真假的方法：判斷存在量詞命題“xM，p(x)”的真假性的關(guān)鍵是探究集合M中x的存在性若找到一個(gè)元素xM，使p(x)成立，則該命題是真命題；若不存在xM，使p(x)成立，則該命題是假命題【例2】（2020秋東陽市校級期中）下列命題為真命題的是（）AxZ，14x3BxZ，15x+10CxR，x2

7、10DxR，x2+x+20【分析】求解不等式判斷A；方程的解判斷B；反例判斷C；二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D；【解答】解：14x3，可得14x34，所以不存在xZ，14x3，所以A不正確；15x+10，解得x=-115，所以不存在xZ，15x+10，所以B不正確；x0，x210，所以xR，x210不正確，所以C不正確；xR，yx2+x+2，開口向上，70，所以y0，恒成立，所以xR，x2+x+20正確故選：D【點(diǎn)評】本題考查命題的真假的判斷，不等式的解法以及方程的解，是基礎(chǔ)題【變式2-1】（2020秋蘇州期末）設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：xR，x2+10；p2：xR，x+|x|0；p3：xZ，|x|N；p

8、4：xR，x22x+30其中真命題為（）Ap1Bp2Cp3Dp4【分析】直接利用不等式的性質(zhì)，一元二次方程的解法判斷命題真假【解答】解：設(shè)有下面四個(gè)命題：對于p1：xR，x2+10不成立，故該命題為假命題；p2：xR，當(dāng)x0時(shí)，x+|x|0，故該命題為假命題；p3：xZ，|x|N，該命題為真命題；p4：xR，由于x22x+30中41280，故不存在實(shí)根，故該命題為假命題；故選：C【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，一元二次方程的解法，命題真假的判斷，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題【變式2-2】用量詞符號“”“”表述下列命題，并判斷真假（1）所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x

9、+10成立；（2）對所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax+b0恰有一個(gè)解；（3）一定有整數(shù)x，y，使得3x2y10成立；（4）所有的有理數(shù)x都能使13x2+12x+1是有理數(shù)【分析】對于題目中的命題，先用量詞符號“”“”表述命題，再判斷真假性即可【解答】解：對于（1），所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x+10成立，改寫為：xR，x2+x+10，因?yàn)?430，所以x2+x+10，（1）是真命題；對于（2），對所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax+b0恰有一個(gè)解，改寫為：a，bR，ax+b0恰有一個(gè)解，因?yàn)閍0，b0時(shí)，方程ax+b0無解，所以（2）是假命題；對于（3），一定有整數(shù)x，y，使得3x2y10成立，改寫為：x，yZ，3

10、x2y10，因?yàn)閤4，y1時(shí)，342110，所以（3）是真命題；對于（4），所有的有理數(shù)x都能使13x2+12x+1是有理數(shù)，改寫為：xQ，13x2+12x+1是有理數(shù)，因?yàn)?3、12、1和x都是有理數(shù)，所以13x2+12x+1是有理數(shù)，（4）是真命題【點(diǎn)評】本題考查了全稱量詞命題和存在量詞命題的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題【變式2-3】判斷下列命題的真假：（1）已知a，b，c，dR，若ac，或bd，則a+bc+d（2）xN，x3x2（3）若m1，則方程x22x+m0無實(shí)數(shù)根（4）存在一個(gè)三角形沒有外接圓【分析】（1）可利用反例判定為假命題（2）取x0判定為假命題（3）m1時(shí)，考查取值范圍作出判斷

11、（4）易知為假命題【解答】解：（1）為假命題，反例：14，或52，而1+54+2（2）為假命題，反例：x0，x3x2不成立（3）為真命題，因?yàn)閙144m0無實(shí)數(shù)根（4）為假命題，因?yàn)槊總€(gè)三角形都有唯一的外接圓【點(diǎn)評】本題考查了簡單命題的真假性，正確掌握基礎(chǔ)知識和定理是關(guān)鍵【題型3 根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱量詞命題為真時(shí)，意味著命題對應(yīng)的集合中的每一個(gè)元素都具有某種性質(zhì)，所以利用代入可以體現(xiàn)集合中相應(yīng)元素的具體性質(zhì)；也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述解

12、答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了假設(shè)【例3】（2020秋天心區(qū)校級月考）已知對xx|1x3，都有mx，則m的取值范圍為（）Am3Bm3Cm1Dm1【分析】直接求解即可【解答】解：對xx|1x3，都有mx，m3，故選：A【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)范圍的求解，涉及到全稱命題，屬于基礎(chǔ)題目【變式3-1】（2021春建鄴區(qū)校級月考）已知命題：“xR，x2+ax4a0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）Aa|16a0Ba|16a0Ca|4a0Da|4a0【分析】根據(jù)特稱命題的性質(zhì)進(jìn)行求解即

13、可【解答】解：“xR，x2+ax4a0”為假命題等價(jià)于“方程x2+ax4a0無實(shí)根”，即a2+16a0，16a0故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查特稱命題，將條件轉(zhuǎn)化為方程無實(shí)根是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題【變式3-2】（2020秋海安市期中）若命題“xR，4x2+（a2）x+140”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【分析】由題意可得4x2+（a2）x+140恒成立，再利用而二次函數(shù)的性質(zhì)可得0，由此求得a的范圍【解答】解：命題“xR，4x2+（a2）x+140”是假命題，4x2+（a2）x+140恒成立，（a2）244140，求得0a4，故答案為：0，4【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的能成立和恒成立問題，

14、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題【變式3-3】（2020秋上高縣校級月考）知集合Ax|x23x100，Bx|m+1x2m1，且B（1）若“命題p：xB，xA”是真命題，求m的取值范圍（2）“命題q：xA，xB”是真命題，求m的取值范圍【分析】（1）化簡集合Ax|2x5，根據(jù)Bx|m+1x2m1，B，p真，建立不等式組，即可求得m的取值范圍；（2）q為真，則AB，由于B，從而m2，進(jìn)而可建立不等式組，即可求得m的取值范圍【解答】解：（1）Ax|2x5，Bx|m+1x2m1，B“命題p：xB，xA”是真命題BA，Bm+12m-1m+1-22m-15，解得2m3（2）q為真，則AB，B，m2-2m+15m

15、22m4【點(diǎn)評】本題考查命題真假的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查解不等式，屬于中檔題【題型4 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【方法點(diǎn)撥】對全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~即：全稱量詞()存在量詞()否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等對存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞即：存在量詞()全稱量詞()否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等【例4】（2020山西四模）命題“x0R，使得x02+x0+10”的否定是（）A“x0R使得x02+x0+10”B“x0R使得x02+x0+1

16、0”C“xR，使得x2+x+10”D“xR，使得x2+x+10”【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)論【解答】解：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即命題的否定是：“xR，使得x2+x+10”故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)【變式4-1】（2020武侯區(qū)校級模擬）已知p：“xR，x22mx+m240”，則p為（）AxR，x22mx+m240Bx0R，x02-2mx0+m2-40C不存在xR，x22mx+m240DxR，x22mx+m240【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論【解答】解：由題知，p為“x0R，x02-2mx0+m2-40”故選：B

17、【點(diǎn)評】本題考查含量詞命題的否定是基本知識的考查【變式4-2】（2020秋臨海市校級月考）判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并寫出它們的否定：（1）p：對任意的xR，x2+x+10都成立；（2）p：xR，x2+2x+50【分析】利用全稱命題和特稱命題的定義分別判斷，然后寫出它們的否定【解答】解：（1）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱命題；又由于“任意的”的否定為“存在一個(gè)”，因此，p：存在一個(gè)xR，使x2+x+10成立，即“xR，使x2+x+10成立”；（2）由于“xR”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，因而是存在性命題；又由于“存在一個(gè)”的否定為“任意一個(gè)

18、”，因此，p：對任意一個(gè)x都有x2+2x+50，即“xR，x2+2x+50”【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的判斷，以及含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)【變式4-3】（2020秋廣平縣校級期中）判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：（1）xN，x3x2；（2）所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；（3）x0R，x02x0+10；（4）存在一個(gè)四邊形，它的對角線互相垂直【分析】（1）全稱命題，為假命題（2）全稱命題，為假命題（3）特稱命題，假命題（4）特稱命題真命題【解答】解：（1）全稱命題，當(dāng)x0時(shí)，結(jié)論不成立，所以為假命題命題的否定：xN，x3x2（2）全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)

19、，末位數(shù)字都是0或5；為假命題命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；（3）特稱命題，x02x0+1=(x0-12)2+3434，所以結(jié)論不成立，為假命題命題的否定：xR，x2x+10（4）特稱命題，菱形的對角線互相垂直，真命題命題的否定：任意的四邊形，它的對角線不互相垂直【點(diǎn)評】本題主要考查全稱命題和特稱命題的真假判斷，以及含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)【題型5 命題否定的真假判斷】【例5】下列命題的否定為假命題的是（）AxZ，14x3BxZ，5x+10CxR，x210DxR，x2+3x+20【分析】利用全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判定方法即可判斷出真假【解答】解：AxZ，

20、14x3，是假命題，因此其否定為真命題；BxZ，5x+10，是假命題，因此否定為真命題；CxR，x210是假命題，因此其否定為真命題；DxR，x2+3x+20，為真命題，例如x1或2，因此其否定為真命題故選：D【點(diǎn)評】本題考查了全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題【變式5-1】（2020秋平陰縣校級月考）已命題P的否定p為“xR，x2+11”則以下說法正確的是（）A命題P為“xR，x2+11”且為真命題B命題P為“xR，x2+11”且為假命題C命題P為“xR，x2+11”且為假命題D命題P為“xR，x2+11”且為真命題【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱

21、命題進(jìn)行判斷即可【解答】解：特稱命題的否定是全稱命題，則命題P：“xR，x2+11，當(dāng)x0時(shí)，結(jié)論不成立，即命題P是假命題，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵【變式5-2】（2020秋鄒城市期中）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請寫出它們的否定，并判斷其真假：（）p：對任意的xR，x2+x+10都成立；（）q：xR，使x2+3x+50【分析】判斷命題是特稱命題還是全稱命題，然后利用否定形式寫出命題的否定，進(jìn)而判斷真假即可【解答】解：（）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因此，該命題是全稱量詞命題又

22、因?yàn)椤叭我獾摹钡姆穸椤按嬖谝粋€(gè)”，所以其否定是：存在一個(gè)xR，使x2+x+10成立，即“xR，使x2+x+10”因?yàn)?0，所以方程x2+x+10無實(shí)數(shù)解，此命題為假命題（）由于“：xR”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，因此，該命題是存在量詞命題又因?yàn)椤按嬖谝粋€(gè)”的否定為“任意一個(gè)”，所以其否定是：對任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有x2+3x+50成立即“xR，有x2+3x+50”因?yàn)?10，所以對：xR，x2+3x+50總成立，此命題是真命題【點(diǎn)評】本題考查命題的判斷，命題的否定，命題真假的判定，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解能力，屬于基礎(chǔ)題【變式5-3】（2020秋永昌縣校級期中）

23、寫出下列命題的否定，并判斷其真假：（1）p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2+mx10必有實(shí)數(shù)根；（2）p：有些三角形的三條邊相等；（3）p：菱形的對角線互相垂直；（4）p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得3x0【分析】直接利用命題的否定寫出結(jié)果即可【解答】解：（1）p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2+mx10必有實(shí)數(shù)根；它的否定為：P：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2+mx10沒有實(shí)數(shù)根；是假命題（2）p：有些三角形的三條邊相等；P：所有三角形的三條邊不相等；是假命題（3）p：菱形的對角線互相垂直；P：菱形的對角線不垂直是假命題（4）p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得3x0P：任意實(shí)數(shù)x，使得3x0是真命題【點(diǎn)評】本題考查命題的否定，

24、注意特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，一般命題的否定形式，基本知識的考查【題型6 根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】【例6】（2020秋椒江區(qū)校級月考）命題p：ax2+2x+10有實(shí)數(shù)根，若p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）Aa|a1Ba|a1Ca|a1Da|a1【分析】因?yàn)榉匠套罡唔?xiàng)系數(shù)含參，所以需分類討論，結(jié)合命題的真假，即可求出答案【解答】解：p是假命題，則p是真命題，ax2+2x+10有實(shí)數(shù)根，當(dāng)a0時(shí)，方程為2x10，解得x=12，有根，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，方程有根，等價(jià)于44a0，a1且a0，綜上所述，a的可能取值為a1故選：B【點(diǎn)評】本題考查命題的真題，考查一元二次方程根的存在問題，考查分類討論，屬于中檔題【變式6-1】（202