譜密度分析及應(yīng)用

1、 一般工程上所測(cè)得的信號(hào)多為時(shí)域信號(hào)。為了通過所測(cè)得的信號(hào)了解觀測(cè)對(duì)象的動(dòng)態(tài)行為，往往需要頻域信息，這種時(shí)域信號(hào)變換至頻域加以分析的方法稱為頻譜分析。頻譜分析的目的是把復(fù)雜的時(shí)間歷程波形經(jīng)過傅立葉變換分解成若干單一的諧波分量來研究，從而獲得信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)以及各諧波幅值和相位信息。 前已論述，一個(gè)隨機(jī)振動(dòng)過程的特征可以用數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)函數(shù)來描述，但這些都是在時(shí)間域里描述幅值的統(tǒng)計(jì)特性。而在工程技術(shù)問題中，則廣泛采用從頻率域來描述一個(gè)隨機(jī)振動(dòng)過程特征的功率譜密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱功率譜密度或功率譜)。功率譜密度與相關(guān)函數(shù)分別從頻域與時(shí)域這兩個(gè)不同的角度反映著同一個(gè)統(tǒng)計(jì)特性“平均功率”，二者相輔相成，

2、在研究隨機(jī)振動(dòng)過程中，各有其作用。 不過由于功率譜密度給出了隨機(jī)振動(dòng)的平均功率按頻率的分布密度，所以盡管它并不是關(guān)于隨機(jī)過程的完整的統(tǒng)計(jì)描述，但卻提供了實(shí)用上極為重要的頻域統(tǒng)計(jì)特性。而且對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，由于輸入功率譜、輸出功率譜與系統(tǒng)本身的傳遞特性三者之間的關(guān)系式較為簡(jiǎn)便，所以，在工程中往往更廣泛地采用功率譜從頻域方面來研究、分析隨機(jī)振動(dòng)。因此，功率譜在描述隨機(jī)振動(dòng)特征方面是非常適用，而又十分重要的。 隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度用來描述信號(hào)的能量特征隨頻率的變化關(guān)系。功率譜密度簡(jiǎn)稱為功率譜，是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。對(duì)功率譜密度的估計(jì)又稱功率譜估計(jì)。( )( )j tFf t edt 1( )2j

3、 tf tFed傅氏變換傅氏逆變換將一個(gè)非周期函數(shù) f(t) 可以看成周期T的周期函數(shù)，則可將其表示為傅立葉積分的形式：1. f(t) 在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件；2. f(t) 在無限區(qū)間（,）上絕對(duì)可積，即( )f t dt ( )( )1( )( )2iiSRedRSed( )x t dt 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，不滿足條件：而樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)滿足上式1( )( )2iRSed22(0)1( )2RE xE xSd 對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程： 2011lim( )2TTxt dtSdT2 ( )0( )00SfGf例：求均方譜密度如圖所示的平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t)的均方值和自相關(guān)函數(shù)。02121

4、( )2SE xSd 2211011( )( )( )cos2211sin( )cosiRSedSdStdS 210021sinsinsinSS 譜密度分析能比相關(guān)分析給出更多的隨機(jī)振動(dòng)信息，它對(duì)于研究工作有著極為重要的意義。近年來在力學(xué)、電子學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)、地震、軍事領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。 例如：飛機(jī)、火車、汽車、輪船的各種振動(dòng)和噪聲的研究。大型高速機(jī)械的應(yīng)力分析，建筑結(jié)構(gòu)受地震疊加脈沖波的分析、傳遞特性分析、頻率響應(yīng)測(cè)量等，都廣泛地應(yīng)用譜密度分析。(1)分析振動(dòng)頻率的成份和結(jié)構(gòu)，例如汽車平順性的測(cè)定，發(fā)動(dòng)機(jī)諧振頻率的測(cè)定等等。 (2)自功率譜還反映了載荷在各頻率成份上的振動(dòng)能量與振幅。

5、因而決定了載荷譜。這對(duì)于合理設(shè)計(jì)零部件的強(qiáng)度，研究結(jié)構(gòu)對(duì)地震的響應(yīng)和使用壽命是非常重要的。 (3)對(duì)故障的判斷與分析。例如汽輪機(jī)、飛機(jī)、機(jī)床或主要部件(齒輪箱)等均可根據(jù)自譜的變化(有否額外峰值）來判斷故障的發(fā)生原因，以便迅速排除，保證安全運(yùn)行。 (4)在醫(yī)學(xué)上，可根據(jù)量測(cè)的腦電波、心電波進(jìn)行自譜分析來研究病癥及病理。 (5)軍事上可以利用譜圖來偵察并判明潛水艇的型號(hào)等。窄帶及寬帶過程窄帶及寬帶過程 在實(shí)際應(yīng)用中，重要的是這樣一些信號(hào)，它們的頻譜的主要成份集中于頻率軸上某一范圍內(nèi)，而在這個(gè)范圍以外的信號(hào)頻譜分量強(qiáng)度很小，實(shí)際上可以把它們忽略不計(jì)。信號(hào)頻譜主要成份集中所在的頻率范圍用帶寬來表示。

6、若譜密度僅占據(jù)頻率軸上很窄的一段，故很自然地叫“窄帶”。較典型的窄帶過程的時(shí)間歷程如下所示： 寬帶過程是它的譜密度占據(jù)一個(gè)寬的頻帶，而其時(shí)間歷程是此頻帶內(nèi)的各頻率振動(dòng)成份相迭加的結(jié)果，如下圖所示：如果譜密度的數(shù)值不變而其頻帶從0起延伸到無窮大則稱該頻譜為“白頻譜”，或白噪聲頻譜。白噪聲的名稱是由白色光包含各種頻率成分的光引伸而來的。一個(gè)白噪聲過程的均方值必定是無限大，所以白噪聲僅僅是理想的概念。在實(shí)際上，如果一個(gè)寬帶噪聲，它的帶寬延伸超過了所有重要的頻率且譜密度是不變數(shù)值時(shí)，我們就可以把它看作是白頻譜。 白噪聲是均值為零、功率譜密度為常數(shù)白噪聲是均值為零、功率譜密度為常數(shù)S0的隨機(jī)過程。的隨機(jī)

7、過程。v 白噪聲的概念與特點(diǎn)白噪聲的概念與特點(diǎn)相關(guān)函數(shù)為：相關(guān)函數(shù)為： 白噪聲的特點(diǎn)：白噪聲的特點(diǎn)： （1）任意二個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量）任意二個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量X(t1)和和X(t2)互不相關(guān)；互不相關(guān)； （2）方差為無窮大。）方差為無窮大。0)(SS0( )( )XRS v 有色噪聲有色噪聲 凡不是白噪聲的平穩(wěn)隨機(jī)過程均稱為有色噪聲。凡不是白噪聲的平穩(wěn)隨機(jī)過程均稱為有色噪聲。譜密度常表示為譜密度常表示為有理函數(shù)有理函數(shù)。)()(0222220222220nmbbaaSSmmmnnn1粉紅噪聲。在給定頻率范圍內(nèi)(不包含直流成分)，隨著頻率的增加，其功率密度每倍頻程下降3dB(密度與頻率成反比)。每倍

8、頻的功率相同。 2紅噪聲(海洋學(xué)概念)。這是有關(guān)海洋環(huán)境的一種噪聲，由于它是有選擇地吸收較高的頻率，因此稱之為紅噪聲。 3橙色噪聲。該類噪聲是準(zhǔn)靜態(tài)噪聲，在整個(gè)連續(xù)頻譜范圍內(nèi)，功率譜有限且零功率窄帶信號(hào)數(shù)量也有限。4藍(lán)噪聲。在有限頻率范圍內(nèi)，功率密度隨頻率的增加每倍頻增長(zhǎng)3dB(密度正比于頻率)。5紫噪聲。在有限頻率范圍內(nèi)，功率密度隨頻率的增加每倍頻增長(zhǎng)6dB(密度正比于頻率的平方值)。 6灰色噪聲。該噪聲在給定頻率范圍內(nèi)，類似于心理聲學(xué)上的等響度曲線(如反向的A-加權(quán)曲線)，因此在所有頻率點(diǎn)的噪聲電平相同。 7棕色噪聲。在不包含直流成分的有限頻率范圍內(nèi)，功率密度隨頻率的增加每倍頻下降6dB(

9、密度與頻率的平方成反比)。該噪聲實(shí)際上是布朗運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的噪聲，它也稱為隨機(jī)飄移噪聲或醉鬼噪聲。 8黑噪聲(靜止噪聲) 。 過程導(dǎo)數(shù)的譜密度過程導(dǎo)數(shù)的譜密度24( )( )( )( )XXXXSSSS練習(xí)：試推導(dǎo)上述結(jié)論？互譜密度互譜密度互譜密度并不象自功率譜密度那樣具有明顯的物理意義引入這個(gè)概念的主要目的是為了能在頻率域上描述兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相互聯(lián)系，因而在實(shí)際中也很有用處。( )( )1( )( )2ixyxyixyxySRedRSed*( )( )xyyxSS多個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜矩陣與相干函數(shù)多個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜矩陣與相干函數(shù) 111122121jnjnnjnnnSSSSSSSSSS2( )( )( )ijiijjSSS為了反映第i個(gè)輸入所提供的分量在第j個(gè)輸出總量中所占的比重以及檢查系統(tǒng)有否噪聲干擾和非線性的程度，需要引入相干函數(shù)(又稱凝聚函數(shù))，由下式定義：2