第七章微分方程應(yīng)用實(shí)例

1、 8.6 微分方程應(yīng)用實(shí)例微分方程應(yīng)用實(shí)例 許多實(shí)際問(wèn)題的解決歸結(jié)為尋找變量間的函數(shù)關(guān)系。但在很多情況下，函數(shù)關(guān)系不能直接找到，而只能間接的得到這些量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，從而使得微分方程在眾多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。本節(jié)只舉幾個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程的應(yīng)用。進(jìn)一步的介紹見(jiàn)第十章。 一。嫌疑犯問(wèn)題 受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體體溫為 ，一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為C。6 .32C。4 .31室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終保持 ，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱(chēng)自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話(huà)，打完電話(huà)后就

2、離開(kāi)了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題：是張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？C。1 .21被排除在嫌疑犯之外。嫌疑犯之外，否則不能室，則他可被排除在。如果此時(shí)張某在辦公時(shí)刻的間，也就是求要確定受害者死亡的時(shí)。是正常的，即假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫為，則：，并記晚設(shè)表示時(shí)刻尸體的溫度解。dTCtTCTCtCT37)(374 .31) 1 (,6 .32)0(208 人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即tkktetTkeT

3、CCTCetTktkdtdT110. 05 .111 .21)(.110. 0103115ln, 4 .315 .111 .21) 1 (5 .11. 6 .321 .21) 1 (1 .21)() 1 .21(于是所以又因?yàn)樗砸驗(yàn)榇宋⒎址匠痰耐ń鉃?。可分離變量的微分方程為常數(shù)，這是一個(gè)一階其中。能被排除在嫌疑犯之外，因此張某不：在下午即被害人死亡時(shí)間大約分小時(shí)分小時(shí)分小時(shí)所以分小時(shí)小時(shí)，所以時(shí)，有當(dāng)。23523557220857295. 2375 .111 .2137110. 0dtTteCT變化規(guī)律。間隨時(shí)量鹽水，試求容器內(nèi)含鹽的速度抽出混合均勻的淡鹽水，同時(shí)以的速度注入的公斤，現(xiàn)以公斤

4、鹽水，內(nèi)含食鹽設(shè)容器內(nèi)有二。含鹽量問(wèn)題txLLkgLmin/2/01. 0min/210100dtttxdtdxdtttxdttttxtdtdxdtdxxxdtttxxtxxtx2)23(100)(301.0.2)23(100)(,)23(100)(301.0),(于是可得方程：（公斤）變，故抽出的鹽量為內(nèi)濃度可以近似看作不的時(shí)間間隔到時(shí)刻鹽水的濃度為（公斤），由于注入鹽水中所含鹽量為抽出鹽水中所含鹽量注入鹽水中所含鹽量量為：時(shí)間內(nèi)，含鹽量的改變，注意到在變到時(shí)間間隔內(nèi)，含鹽量從到考慮從時(shí)刻方法。用建立微分方程的一種常程的微元分析法，這是的分析得出微分方的微小增量我們采用通過(guò)對(duì)的變化規(guī)律隨時(shí)間

5、為了求出含鹽量解2442)100(109)100(01.0109)100()100(01.0)(53.8,10)0(03.01002ttxtxCtCttxxxtdtdx的變化規(guī)律為隨時(shí)間量，所以容器內(nèi)含鹽有初值條件可得方程的通解），可得此節(jié)的公式（；利用程，且有初值條件這是一階線(xiàn)性非齊次方或 三.懸鏈線(xiàn)方程問(wèn)題 將一均勻柔軟的繩索兩端固定，使之僅受重力的作用而下垂，求該繩索在平衡狀態(tài)下的曲線(xiàn)方程（鐵塔之間懸掛的高壓電纜的形狀就是這樣的曲線(xiàn)）。 解 以繩索所在的平面為 平面，設(shè)繩索最低點(diǎn)為y軸上的P點(diǎn)，如圖81所示。考察繩索上從點(diǎn)p到另一點(diǎn)Q(x,y)的一段弧 ，該段弧長(zhǎng)為 ，繩索線(xiàn)密度為 ,則

6、這段繩索所受重力為 。由于繩索是軟的，xoyQPllgl力恰好平衡，所以繩索所受重力及兩個(gè)張，則這段角，設(shè)其大小為軸正向成點(diǎn)所受張力與在，設(shè)其大小為點(diǎn)所受的張力是水平的這段繩索在向。這樣，力總沿著繩索的切線(xiàn)方所以繩索上各點(diǎn)所受張TxQSPQP.lSgSTglTtancos,sin上面兩式相除，得122000202)1ln(1,0,)1 ()1 (,tan),(CxSgpppSgdxdpdxdpypyyayaOPdxySgydxylyxyyxxxx 解得化為，則上述二階微分方程令條件為則上面微分方程的初值微分方程。設(shè)這就是繩索曲線(xiàn)滿(mǎn)足的于是則設(shè)繩索曲線(xiàn)方程為xSgppCpyxx)1ln(002100，從而代入，得將初值條件下得曲線(xiàn)方程為這樣，繩索在平衡狀態(tài)得取代入，得將兩邊積分得代入，得將變形整理得