激光原理_第二章光學(xué)諧振腔理論

1、激光原理與技術(shù)激光原理與技術(shù)黨學(xué)明黨學(xué)明儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院合肥工業(yè)大學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)第二章 光學(xué)諧振腔理論概述概述第一節(jié)第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第五節(jié)第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征第八節(jié)第八節(jié) 高斯光束高斯光束第九節(jié)第九

2、節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論非穩(wěn)腔的模式理論概述光學(xué)諧振腔是常用激光器的三個(gè)主要組成部分光學(xué)諧振腔是常用激光器的三個(gè)主要組成部分之一。之一。與微波腔相比,光頻腔的主要特點(diǎn)是n側(cè)面敞開(kāi)以抑制振蕩模式,n軸向尺寸遠(yuǎn)大于光波長(zhǎng)和腔的橫向尺寸。從理論上分析時(shí),通常認(rèn)為其側(cè)面沒(méi)有邊界,因此,將其稱為開(kāi)放式光學(xué)諧振腔。本章主要針對(duì)這類開(kāi)放式開(kāi)放式光學(xué)諧振腔。本章主要針對(duì)這類開(kāi)放式光腔進(jìn)行討論。光腔進(jìn)行討論。概述光學(xué)諧振腔理論研究的基本問(wèn)題是:n光頻電磁場(chǎng)在腔內(nèi)的傳輸規(guī)律光頻電磁場(chǎng)在腔內(nèi)的傳輸規(guī)律n從數(shù)學(xué)上講是求解電磁場(chǎng)方程的本征函數(shù)和從數(shù)學(xué)上講是求解電磁場(chǎng)方程的本征函數(shù)和本征值。本征值。由于開(kāi)放式光腔側(cè)面不具有確

3、定的邊界,一般情況下不能在給定邊界條件下對(duì)經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中的波動(dòng)方程嚴(yán)格求解。因此,常采用一些近似方法來(lái)處理光腔問(wèn)題。 概述常用的近似研究方法包括:1.幾何光學(xué)分析方法幾何光學(xué)分析方法在幾何光學(xué)近似下,光的波動(dòng)性不起主要作用,可將光看成光線用幾何光學(xué)方法來(lái)處理。對(duì)于光學(xué)諧振腔來(lái)說(shuō),當(dāng)腔的菲涅耳數(shù)遠(yuǎn)大于1時(shí),光在其中往返傳播時(shí)橫向逸出腔外的幾何損耗遠(yuǎn)大于由于腔鏡的有限尺寸引起的衍射損耗。此時(shí)可用幾何光學(xué)的方法來(lái)處理腔的模式問(wèn)題。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便、直觀簡(jiǎn)便、直觀,主要缺點(diǎn)在于不能得主要缺點(diǎn)在于不能得到腔的衍射損耗和腔模特性的深入分析到腔的衍射損耗和腔模特性的深入分析。概述2.矩陣光學(xué)分析方法矩

4、陣光學(xué)分析方法矩陣光學(xué)使用矩陣代數(shù)的方法研究光學(xué)問(wèn)題,將幾何光線和激光束在光腔內(nèi)的往返傳播行為用一個(gè)變換矩陣來(lái)描寫,從而推導(dǎo)出諧振腔的從而推導(dǎo)出諧振腔的穩(wěn)定性條件穩(wěn)定性條件。此外,利用高斯光束的利用高斯光束的ABCD定律和模的自再現(xiàn)定律和模的自再現(xiàn)條件能夠推導(dǎo)出用矩陣元形式表示的光腔本條件能夠推導(dǎo)出用矩陣元形式表示的光腔本征方程的模參數(shù)公式征方程的模參數(shù)公式,便于光腔的設(shè)計(jì)和計(jì)算。便于光腔的設(shè)計(jì)和計(jì)算。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于處理問(wèn)題簡(jiǎn)明、規(guī)范這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于處理問(wèn)題簡(jiǎn)明、規(guī)范,易于易于用計(jì)算機(jī)用計(jì)算機(jī) 概述3.波動(dòng)光學(xué)分析方法波動(dòng)光學(xué)分析方法 從波動(dòng)光學(xué)的菲涅耳菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論基爾霍

5、夫衍射積分理論出發(fā),可以建立一個(gè)描述光學(xué)諧振腔模式特性的本征積分方程。 利用該方程原則上可以求得任意光腔的模式任意光腔的模式,從而得到場(chǎng)的從而得到場(chǎng)的振幅、相位分布振幅、相位分布,諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性。雖然數(shù)學(xué)上已嚴(yán)格證明了本征積分方程解的存在性,但只有在腔鏡幾何尺寸趨于無(wú)窮大的情況下,該積分方程的解析求解才是可能的。 對(duì)于腔鏡幾何尺寸有限的情況,迄今只對(duì)對(duì)稱共焦腔對(duì)稱共焦腔求出了解析解。 多數(shù)情況下,需要使用近似方法求數(shù)值解。雖然衍射積分方程理論使用了標(biāo)量場(chǎng)近似,也不涉及電磁波的偏振特性,但與其他理論相比,仍可認(rèn)為是一種比較普遍和嚴(yán)格的理論。概述n本章

6、中采用矩陣光學(xué)方法來(lái)討論諧振腔的穩(wěn)矩陣光學(xué)方法來(lái)討論諧振腔的穩(wěn)定性定性,用衍射積分方程理論處理諧振腔的模式用衍射積分方程理論處理諧振腔的模式問(wèn)題。問(wèn)題。光學(xué)諧振腔中的光場(chǎng)分布以及輸出到腔外的光束都是高斯光束形式是高斯光束形式,其特性和諧振其特性和諧振腔密切相關(guān)腔密切相關(guān),因此,也在本章中討論。n本章的最后采用幾何光學(xué)分析方法對(duì)非穩(wěn)腔本章的最后采用幾何光學(xué)分析方法對(duì)非穩(wěn)腔進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。 概述n本章中只研究無(wú)源諧振腔只研究無(wú)源諧振腔,又稱非激活腔或被動(dòng)腔又稱非激活腔或被動(dòng)腔,即無(wú)激活介質(zhì)存在的腔即無(wú)激活介質(zhì)存在的腔。n雖然處于運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)的激光器的諧振腔都是存在增益介質(zhì)的有源腔有源腔(又

7、稱激活腔或主動(dòng)腔又稱激活腔或主動(dòng)腔),但理論和實(shí)踐表明,對(duì)于中、低增益的激光器,無(wú)源腔的模式理論可以作為有源腔模式的良好近似。對(duì)于高增益激光器,適當(dāng)加以修正也是適用的。n這是由于激活介質(zhì)的主要作用在于補(bǔ)償腔內(nèi)本征模主要作用在于補(bǔ)償腔內(nèi)本征模在振蕩過(guò)程中能量的損耗在振蕩過(guò)程中能量的損耗,使之滿足諧振條件使之滿足諧振條件,形成形成和維持自激振蕩和維持自激振蕩。其對(duì)場(chǎng)的空間分布以及諧振頻率的影響是次要的,不會(huì)使腔的模式發(fā)生本質(zhì)的改變。第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) 本節(jié)主要討論光學(xué)諧振腔的構(gòu)成、分類、作用構(gòu)成、分類、作用,以及腔以及腔模模的概念光學(xué)諧振腔的構(gòu)成和分類光學(xué)諧振腔的構(gòu)成和分類根據(jù)結(jié)構(gòu)、性能

8、和機(jī)理等方面的不同,諧振腔有不同的分類方式。按能否忽略側(cè)面邊界按能否忽略側(cè)面邊界,可將其分為n開(kāi)腔、開(kāi)腔、n閉腔閉腔n氣體波導(dǎo)腔氣體波導(dǎo)腔第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) 開(kāi)腔而言：開(kāi)腔而言：n根據(jù)腔內(nèi)傍軸光線幾何逸出損耗的高低,又可分為穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔及臨界腔穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔及臨界腔;n按照腔鏡的形狀和結(jié)構(gòu),可分為球面腔球面腔和非球面腔非球面腔;n就腔內(nèi)是否插入透鏡之類的光學(xué)元件,或者是否考慮腔鏡以外的反射表面,可分為簡(jiǎn)單腔簡(jiǎn)單腔和復(fù)合腔復(fù)合腔;n根據(jù)腔中輻射場(chǎng)的特點(diǎn),可分為駐波腔駐波腔和行波腔行波腔;n從反饋機(jī)理的不同,可分為端面反饋腔端面反饋腔和分布反饋分布反饋腔腔;1.根據(jù)構(gòu)成諧振腔反射鏡的個(gè)

9、數(shù),可分為兩鏡腔兩鏡腔和多多鏡腔鏡腔等。第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) 2. 作用作用光學(xué)諧振腔的作用主要有兩方面光學(xué)諧振腔的作用主要有兩方面:n提供軸向光波模的光學(xué)正反饋提供軸向光波模的光學(xué)正反饋;通過(guò)諧振腔鏡面的反射,軸向光波?？稍谇粌?nèi)往返傳播,多次通過(guò)激活介質(zhì)而得到受激輻射放大, 從而在腔內(nèi)建立和維持穩(wěn)定的自激振蕩。光腔的這種光學(xué)反饋?zhàn)饔弥饕Q于主要取決于腔鏡的反射率、幾何形狀以及之間的組合腔鏡的反射率、幾何形狀以及之間的組合方式。方式。這些因素的改變將引起光學(xué)反饋?zhàn)饔玫淖兓?即引起腔內(nèi)光波模損耗的變化。 第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) n控制振蕩模式的特性控制振蕩模式的特性。由于激光模式

10、的特性由光腔結(jié)構(gòu)決定,因此,可通過(guò)改變腔參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)光波模特性的控制。通過(guò)對(duì)腔的適當(dāng)設(shè)計(jì)以及采取特殊的選模措施,可有效控制腔內(nèi)實(shí)際振蕩的模式可有效控制腔內(nèi)實(shí)際振蕩的模式數(shù)目數(shù)目,使大量光子集中在少數(shù)幾個(gè)狀態(tài)中使大量光子集中在少數(shù)幾個(gè)狀態(tài)中,從而提高光子簡(jiǎn)并度,獲得單色性和方向性好的相干光。通過(guò)調(diào)節(jié)腔的幾何參數(shù)可直接控制激光模的橫向分布特性、光斑半徑、橫向分布特性、光斑半徑、諧振頻率以及遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角諧振頻率以及遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角等。第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) 3. 腔模腔模無(wú)論是閉腔或是開(kāi)腔，都將對(duì)腔內(nèi)的電磁場(chǎng)施以一定的約束。一切被約束在空間有限范圍內(nèi)的電磁場(chǎng)都將只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場(chǎng)的每

11、一個(gè)本征態(tài)將具有一，場(chǎng)的每一個(gè)本征態(tài)將具有一定的振蕩頻率和一定的空間分布。定的振蕩頻率和一定的空間分布。在激光技術(shù)的術(shù)語(yǔ)中，通常將光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)的本征態(tài)稱為腔的模式腔的模式。從光子的觀點(diǎn)來(lái)看，激光模式也就是腔內(nèi)可能區(qū)分的也就是腔內(nèi)可能區(qū)分的光子的狀態(tài)光子的狀態(tài)。同一模式內(nèi)的光子具有完全相同的狀態(tài)。每一同一模式內(nèi)的光子具有完全相同的狀態(tài)。每一種模式都具有確定的基本特征種模式都具有確定的基本特征,主要包括主要包括 第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí) n電磁場(chǎng)分布電磁場(chǎng)分布,特別是在腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布特別是在腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布;n諧振頻率諧振頻率;n在腔內(nèi)往返一次所經(jīng)受的相對(duì)功率損耗在腔

12、內(nèi)往返一次所經(jīng)受的相對(duì)功率損耗;n相對(duì)應(yīng)的激光束的發(fā)散角相對(duì)應(yīng)的激光束的發(fā)散角。由于腔內(nèi)電磁場(chǎng)的本征態(tài)由Maxwell方程組和腔的邊界條件決定,因此不同類型和結(jié)構(gòu)的諧振腔的模式也將各不相同。一旦給定了腔的具體結(jié)構(gòu),其中振蕩模的特征也就隨之確定下來(lái)。光學(xué)諧振腔理論就是研究腔模式的基本特征,以及模與腔結(jié)構(gòu)之間的具體依賴關(guān)系。原則上說(shuō)只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地原則上說(shuō)只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地確定模的上述特征。確定模的上述特征。第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)n腔內(nèi)電磁場(chǎng)的空間分布可分解為沿傳播方向(腔軸線方向)的分布和在垂直于傳播方向的橫截面內(nèi)的分布。其中,腔模沿腔軸線方向的腔模沿腔軸線方

13、向的穩(wěn)定場(chǎng)分布穩(wěn)定場(chǎng)分布稱為諧振腔的縱模縱模,在垂直于腔軸在垂直于腔軸的橫截面內(nèi)的穩(wěn)定場(chǎng)分布的橫截面內(nèi)的穩(wěn)定場(chǎng)分布稱為諧振腔的橫模橫模。 1）縱模）縱模nF-P腔：腔：多光束干涉理論可知,發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件是:波從某一點(diǎn)出發(fā),經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來(lái)位置時(shí),應(yīng)與初始出發(fā)波同相。22 2iiqLqLn L第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)對(duì)于非均勻介質(zhì)：所以： 0( )LLdLn z dz q qq q2 2L L= =q q2 2L L c cq q 平面面腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件。q 稱為腔的諧振波長(zhǎng),q 稱為腔的諧振頻率。平面面腔中的諧振頻率是分立的。 可以將FP腔中滿足的平面駐波場(chǎng)稱為

14、腔的本征模式腔的本征模式。其特點(diǎn)是其特點(diǎn)是：在腔的橫截面內(nèi)場(chǎng)分布是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。通常將由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向場(chǎng)分布稱為腔的縱模腔的縱模。不同的q值相應(yīng)于不同的縱模。q稱為縱模序數(shù)稱為縱模序數(shù)。 第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)當(dāng)整個(gè)光腔內(nèi)充滿折射率為n 的均勻物質(zhì)時(shí)，有 由于光頻諧振腔的腔長(zhǎng)遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng),整數(shù)q通常具有104 106 數(shù)量腔的兩個(gè)相鄰縱模頻率之差腔的兩個(gè)相鄰縱模頻率之差q稱為縱模的頻率間隔稱為縱模的頻率間隔,簡(jiǎn)稱縱模間隔簡(jiǎn)稱縱模間隔腔長(zhǎng)L越小，縱模間隔越大。 有什么用處？有什么用處？ 什么是頻率梳？什么是頻率梳？22qqLnLL

15、qcvqnL122 qqqccvvvnLL第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)2）橫模）橫模這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后,唯一可能的變化僅是,鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)的振幅按同樣的比例衰減,各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。鏡面上各點(diǎn)場(chǎng)的振幅按同樣的比例衰減,各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這種在腔反射鏡面上形成的經(jīng)過(guò)一次往返傳播后能自再現(xiàn)的穩(wěn)定場(chǎng)分布稱為自現(xiàn)模或橫模。自現(xiàn)模或橫模。n對(duì)于兩個(gè)鏡面完全相同的對(duì)稱腔來(lái)說(shuō)對(duì)于兩個(gè)鏡面完全相同的對(duì)稱腔來(lái)說(shuō),這種穩(wěn)定這種穩(wěn)定場(chǎng)分布經(jīng)單程傳播后即可實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)。場(chǎng)分布經(jīng)單程傳播后即可實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)。綜上所述,激光的橫模,實(shí)際上就是諧振腔所允許的(也就是在腔內(nèi)往返傳播,能保持相對(duì)穩(wěn)定不變的)光

16、場(chǎng)的各種橫向穩(wěn)定分布。第一節(jié) 光學(xué)諧振腔的基本知識(shí)n不同的縱模和橫模具有不同的光場(chǎng)分布和振蕩頻率。但對(duì)于縱模來(lái)說(shuō),其光場(chǎng)分布之間的差異很小,一般只從頻率的差異來(lái)區(qū)分不同的縱模。不同橫模之間的光場(chǎng)分布差異較大,很容易從強(qiáng)度花樣來(lái)區(qū)分。需要注意的是,不同的橫模之間,也存在頻率差異。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗n光學(xué)諧振腔一方面具有光學(xué)正反饋?zhàn)饔?另一方面也存在各種損耗。損耗的大小是評(píng)價(jià)諧振腔質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo),決定了激光振蕩的閾值激光振蕩的閾值和激光的激光的輸出能量輸出能量。本節(jié)將分析無(wú)源開(kāi)腔的損耗,并討論表征無(wú)源腔質(zhì)量的品質(zhì)因數(shù)Q值及線寬。一、損耗及其描述一、損耗及其描述(1)幾

17、何偏折損耗:光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)，可能從腔的側(cè)面偏折出去，我們稱這種損耗為幾何偏折損耗。其大小首先取決于腔的類型和幾何尺寸。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗（2）衍射損耗 從波動(dòng)光學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看,由于腔反射鏡面幾何尺寸是有限的,光波在腔內(nèi)往返傳播時(shí)必然因腔鏡邊緣的衍射效應(yīng)而產(chǎn)生損耗。如果在腔內(nèi)插入其他光學(xué)元件,還應(yīng)當(dāng)考慮其邊緣或孔徑的衍射引起的損耗。通常將這類損耗稱為衍射損耗衍射損耗,可由求解腔的衍射積分方程得出,其大小與腔的菲涅耳數(shù)、腔的幾何參數(shù)以及橫模階數(shù)等都有關(guān)系。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗(3)腔鏡反射不完全引起的損耗。這部分損耗包括鏡中的吸收、散射以及鏡的透

18、射損耗。通常光腔至少有一個(gè)反射鏡是部分透射的，有時(shí)透射率可能很高(例如，某些固體激光器的輸出鏡透射率可以50)，另一個(gè)反射鏡即通常所稱的“全反射”鏡，其反射率也不可能做到100。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔內(nèi)插入物(如布儒斯特鏡，調(diào)Q元件、調(diào)制器等)所引起的損耗，等等。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗上述(1)、(2)兩種損耗又常稱為選擇損耗選擇損耗，不同模式的幾何損耗與衍射損耗各不相同。(3)、(4)兩種損耗稱為非選擇損耗非選擇損耗，通常情況下它們對(duì)各個(gè)模式大體一樣。 不論損耗的起源如何,均可用“平均單程損耗因子”(簡(jiǎn)稱單程損耗因子)來(lái)定量描述。該因子的定義為：如果初始光強(qiáng)

19、為I0，在無(wú)源腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為I1則：201011ln2III eI 第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗n 如果損耗是由多種因素引起的，每一種原因引起的損耗以相應(yīng)的損耗因子i描述，則有n也可用單程渡越時(shí)光強(qiáng)的平均衰減百分?jǐn)?shù)來(lái)定義單也可用單程渡越時(shí)光強(qiáng)的平均衰減百分?jǐn)?shù)來(lái)定義單程損耗因子程損耗因子：n顯然，當(dāng)損耗很小時(shí)，這樣定義的單程損耗因子顯然，當(dāng)損耗很小時(shí)，這樣定義的單程損耗因子與前面與前面定義的指數(shù)損耗因子定義的指數(shù)損耗因子是一致的是一致的12222 32100123.iiII eeeI e 0102 III20100002 1(12 )2IIII eII 第二節(jié)光學(xué)諧振

20、腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗常見(jiàn)損耗舉例常見(jiàn)損耗舉例:1）由鏡反射不完全所引起的損耗）由鏡反射不完全所引起的損耗以r1和r2分別表示腔的兩個(gè)鏡面的反射率(即功率反射系數(shù))，則初始強(qiáng)度為Io的光，在腔內(nèi)經(jīng)兩個(gè)鏡面反射往返一周后，其強(qiáng)度I1應(yīng)為按的定義，對(duì)由鏡面反射不完全所引入的損耗因子1，應(yīng)有因此當(dāng)r1r2 1時(shí)1012IIr r210120rIIr rIe1122lnrr r 1122(1)(1)rrr 第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗2）腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗）腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗當(dāng)平面腔的兩個(gè)鏡面構(gòu)成小的角度 時(shí)，光在兩鏡面間經(jīng)有限次m往返后必將逸出腔外。式中D為平面腔的橫向尺

21、寸（直徑）*2*6.*(21)221 35.(21)LLLmDLmD 1222DLmLmD注意到往返時(shí)間為t02L/c,即可求得光子的平均壽命及相應(yīng)的第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗n傾斜腔的損耗與，L，D均有關(guān),sqrt( )，且隨L的增大及D的減小而增加例：D=1cm，L=1m計(jì)算，為了保證0.1,必須有上式表明平行平面腔的調(diào)整精度極高上式表明平行平面腔的調(diào)整精度極高02 22LDnDLmtcLc24622 10410.012 100.4DradLrad如果要求損耗低于則應(yīng)有第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗3）衍射損耗）衍射損耗n 由衍射引起的損耗隨腔的類型、具體幾

22、何尺寸及振蕩模式而不同，是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題。這里只就均勻平面波在平面孔徑上的夫瑯和費(fèi)(Fraunhofer)衍射對(duì)腔的損耗作一粗略的估計(jì)。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗如果忽略掉第一暗環(huán)以外的光，并假設(shè)在中央亮斑內(nèi)光強(qiáng)均勻分布，則射到第二個(gè)孔徑以外的光能與總光能之比應(yīng)等于該孔闌被中央亮斑所照亮的孔外面積與總面積之比，即描述由衍射所引起的單程能量相對(duì)損耗百分?jǐn)?shù)d, 當(dāng)衍射損耗不太大時(shí)，應(yīng)與平均單程指數(shù)損耗因子d,相等 221121010222()()20.611.2212aaLLwsaLawwssaLLLaa2211ddaLaNNL第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗nN稱

23、為腔的菲涅耳數(shù)稱為腔的菲涅耳數(shù)，即從一個(gè)鏡面中心看到另一個(gè)鏡面上可以劃分的菲涅耳半周期帶的數(shù)目(對(duì)平面波陣面面言)。N是衍射現(xiàn)象中的一個(gè)特征參數(shù)，表征著衍射損耗的大小。n在描述光學(xué)諧振腔的工作特性時(shí),經(jīng)常用到菲涅耳數(shù)這個(gè)概念。它是從一個(gè)鏡面中心看到另一個(gè)鏡面上可以劃分的菲涅耳半波帶數(shù),也是衍射光在腔內(nèi)的最大往返次數(shù)。nN愈大，損耗愈小。第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗n注: 根據(jù)半波帶的理論（參見(jiàn)波帶片），觀察點(diǎn)光振幅取決于圓孔所含有的菲涅耳半波帶的數(shù)目。如果圓孔的半徑為，圓孔與光源和觀察點(diǎn)的距離分別為R和r0，波長(zhǎng)為，則半波帶數(shù)k為n觀察點(diǎn)的位置不同，r0不同，k數(shù)也不同。與k為

24、奇數(shù)相對(duì)應(yīng)的觀察點(diǎn)處，合振幅最大；與k為偶數(shù)相對(duì)應(yīng)的觀察點(diǎn)處，合振幅最小。如果帶數(shù)不是整數(shù)，則合振幅在上述最大值和最小值之間。這時(shí)，若將觀察屏沿對(duì)稱軸線移動(dòng)，便可看到光強(qiáng)不斷變化。根據(jù)半波帶理論（參見(jiàn)波帶片），2011()krR第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗二、光子在腔內(nèi)的平均壽命二、光子在腔內(nèi)的平均壽命 初始光強(qiáng)為初始光強(qiáng)為I0的光束在腔內(nèi)往返的光束在腔內(nèi)往返M次后光強(qiáng)變?yōu)榇魏蠊鈴?qiáng)變?yōu)镮m ：如果取如果取c0時(shí)刻的光強(qiáng)為時(shí)刻的光強(qiáng)為Io，則到，則到t時(shí)刻為止光在腔內(nèi)時(shí)刻為止光在腔內(nèi)往返的次數(shù)往返的次數(shù)m應(yīng)為應(yīng)為R R稱為腔的時(shí)間常數(shù)，是描述光腔性質(zhì)的重要參數(shù)稱為腔的時(shí)間常數(shù)，是

25、描述光腔性質(zhì)的重要參數(shù)當(dāng)當(dāng)t= R R時(shí)，時(shí)，22m00I()mmI eI e2 Lctm m000IRttLtccLI eI eI e0I( )/tIe第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗n表明了時(shí)間常數(shù)R的物理意義經(jīng)過(guò)R時(shí)間后，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減為初始值的1/e。愈大，R愈小，說(shuō)明腔的損耗愈大，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減得愈快。與與n的關(guān)的關(guān)系系?可以將可以將R解釋為解釋為“光子在腔內(nèi)的平均壽命光子在腔內(nèi)的平均壽命”。設(shè)。設(shè)t時(shí)時(shí)刻腔內(nèi)光子數(shù)密度為刻腔內(nèi)光子數(shù)密度為N，N與光強(qiáng)與光強(qiáng)I(t)的關(guān)系為的關(guān)系為:V為光在諧振腔的傳播速度，所以有為光在諧振腔的傳播速度，所以有 N0表示表示t=0時(shí)刻的光子密

26、度，時(shí)刻的光子密度，0( )( )RtI tNh vI tI e0( )RtN tN e第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗上式表明：n由于損耗存在，腔內(nèi)光子數(shù)密度將隨時(shí)間按指數(shù)衰減nt=R時(shí)刻，衰減為N0的1/e;n在tt+dt時(shí)間內(nèi)減少的光子數(shù)目為這（-dN）個(gè)光子的壽命為t，若在經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，將不在腔內(nèi)。N0個(gè)光子的平均壽命為腔內(nèi)光子的平均壽命R與腔的損耗有關(guān)， 損耗越小， R越大，腔內(nèi)的光子的平均說(shuō)明越長(zhǎng)R0RtNdNedt_000011()()RtRRNtdN ttedtNN第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗三、無(wú)源腔的品質(zhì)因數(shù)三、無(wú)源腔的品質(zhì)因數(shù)Q值值在無(wú)線電技

27、術(shù)中，LC振蕩回路、微波諧振腔、光學(xué)諧振腔是光頻段電磁波、損耗的大小用品質(zhì)出數(shù)Q來(lái)衡量。Q的定義式中E為儲(chǔ)存在腔內(nèi)的總能量，P為單位時(shí)間內(nèi)損耗的能量，v為諧振頻率，為角頻率設(shè)光學(xué)諧振腔的體積為V，則總能量E=NhvV單位時(shí)間損耗的光能為2EEQvpp0RtdEdNphvVedtdt 第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗第二節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗所以可見(jiàn),腔的損耗愈小,Q值愈高。Q值高,表示腔的儲(chǔ)能性好,光子在腔內(nèi)的平均壽命長(zhǎng)。四、無(wú)源腔的單模線寬四、無(wú)源腔的單模線寬由于光強(qiáng)與光場(chǎng)振幅的平方成比例,腔內(nèi)光場(chǎng)的振幅為此光場(chǎng)表示為2RLQvc20( )RtA tA e20( )( )Rtj tj tE tA t eA

28、 ee腔的損耗越低， R越長(zhǎng)，Q越高，vc越窄122cRcvVLQ由自然加寬知2RRvQvv 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 n若光線在諧振腔內(nèi)往返任意多次也不會(huì)橫向逸出腔外,將這種諧振腔稱為穩(wěn)定諧振腔穩(wěn)定諧振腔,簡(jiǎn)稱穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔。反之,則稱為非穩(wěn)腔非穩(wěn)腔。n光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件,其實(shí)質(zhì)是研究光線在腔內(nèi)往返傳播而不逸出腔外的條件。n本節(jié)利用矩陣光學(xué)分析方法本節(jié)利用矩陣光學(xué)分析方法,討論共軸球面腔討論共軸球面腔中光線往返傳播的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上中光線往返傳播的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出推導(dǎo)出諧振腔的穩(wěn)定性條件。諧振腔的穩(wěn)定性條件。第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定

29、性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 一、光線傳播的矩陣表示一、光線傳播的矩陣表示1）光線矩陣）光線矩陣沿z軸方向傳播的傍軸光線在某一給定橫截面內(nèi)的光線矢量r可以用此橫截面內(nèi)光線離軸線的距離r,以及光線與軸線之間的夾角來(lái)表征,將這兩個(gè)參數(shù)構(gòu)成的列陣稱為光線在某一截面處的光線矩陣。并規(guī)定光線位置在軸線上方時(shí)r取正,反之取負(fù);光線的出射方向在軸線上方時(shí)取正,反之取負(fù)。r r 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 2）變換矩陣光線）變換矩陣光線 考察傍軸光線r1 通過(guò)一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)后光線參數(shù)的變換規(guī)律。 1 11 11 1t ta an ns si in n 2 22 2r r 21

30、11211121112111rArBrrArBrA BA BCrDC DCrDC D 在旁軸條件下1-0 ，則有 ， 所以出射光線參數(shù)與入射光線參數(shù)可表示為： 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 A A B BC C D D 2 21 11 11 12 21 11 11 10 0 1 1r rr rL Lr rL L 1 10 10 1L LL LT T 將 矩陣稱為該光學(xué)系統(tǒng)的光線變換矩陣,它描述了光學(xué)系統(tǒng)對(duì)傍軸光線的變換作用。下面推導(dǎo)一些光學(xué)系統(tǒng)的光線變換矩陣。一段自由空間的光線變換矩陣一段自由空間的光線變換矩陣TL所以2 21 1r rr r 1 11 11 11

31、11 12 21 11 12 22 2r rR Rr rR R B、球面反射鏡的光線變換矩陣、球面反射鏡的光線變換矩陣TR顯然而 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 1 121211 121211 110102 22 21 1r rrrrrr rR RR R 1 10 02 21 1R RT TR R 考慮符號(hào)， 所以有： R的符號(hào)：的符號(hào)：R為球面反射鏡的曲率半徑,對(duì)凹面鏡R取正值,凸面鏡R取負(fù)值1 12 21 12 22 21 11 12 21 11 11 11 1L LL L2 21 12 2f fr rr rL LL Lf fr rr rr r 10101 11

32、1f fR RT T C.薄透鏡的光線變換矩陣薄透鏡的光線變換矩陣Tf由幾何光學(xué)知所以第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 D、諧振腔的等效周期透鏡波導(dǎo)、諧振腔的等效周期透鏡波導(dǎo)n我們知道球面反射鏡的焦距為R/2, 因此Tf和TR是完全等同的。n即反射鏡可看作是f=R/2的薄透鏡。n因此諧振腔的兩端面鏡可以看作薄透鏡。第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 3）在腔內(nèi)往返傳播的矩陣）在腔內(nèi)往返傳播的矩陣a）往返一次的光學(xué)變換矩陣）往返一次的光學(xué)變換矩陣到達(dá)鏡M2 時(shí)光線參數(shù)為當(dāng)光線在鏡M2上反射時(shí),反射光線參數(shù)為當(dāng)光線再?gòu)溺RM2 行進(jìn)到鏡M1 時(shí),又有2

33、21 12 21 11 10 0 1 1L Lr rr rL LT T 3223222 23223222 21 12 21 1R RR RrrrrrrT T 4 43 33 34 43 33 31 10 01 1L Lr rr rr rL LT T 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 n然后,又在鏡M1 上發(fā)生反射n分別帶入：5 54 44 41 15 54 44 41 11 10 02 21 1R RR Rr rr rr rT T 5 51 11 15 51 11 11 12 21 10 01 10 01 11 12 22 21 11 10 0 1 10 0 1 1R

34、RR Rr rr rr rL LL LT T 1 12 22 22 21 12 21 11 11 10 01 10 0B B1 11 12 22 21 11 1D D0 0 1 10 0 1 1R RR RL LL L1 12 2L LR RR R2 22 2L LL LL LR RR RR RR RR R2 2A AL LL LT TC C （1 1）（1 1）（1 1）（1 1L LR R 1 1）為傍軸光線在腔內(nèi)往返一次時(shí)的總變換矩陣,稱為往返矩陣往返矩陣第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 b）往返傳播）往返傳播n次的光學(xué)變換矩陣次的光學(xué)變換矩陣0000T.nnnn

35、rrrTTT TT 個(gè)Tn為n個(gè)往返矩陣的乘積，由薛而凡斯特定理知道sinsin(1)sin1Tsinsinsin(1)sin1arccosA+D2nnnnnnABAnnBnCDCnDnnABCD式中（）n11n11nrrC rDnnnnAB經(jīng)過(guò) 次往返傳播后的光線參數(shù)共軸球面腔的往返矩共軸球面腔的往返矩T以及以及Tn 均與所考慮的初始出發(fā)時(shí)的光線參數(shù)均與所考慮的初始出發(fā)時(shí)的光線參數(shù)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),因此可用于描述任意傍軸光線在腔內(nèi)往返傳播的行為因此可用于描述任意傍軸光線在腔內(nèi)往返傳播的行為 第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 二、二、 共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條

36、件 的的rn和和n取值大小，反映的是光線偏離取值大小，反映的是光線偏離 光軸能力的大小，即造成激光幾何損耗的大光軸能力的大小，即造成激光幾何損耗的大小，小， 當(dāng)其為有限值，即小于鏡面的橫向尺寸時(shí)，光不當(dāng)其為有限值，即小于鏡面的橫向尺寸時(shí)，光不逸出，即為穩(wěn)定。逸出，即為穩(wěn)定。我們討論的取值情況：1）為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) a. Tn為有限值的條件為Sin不為0不等于K 即帶入A,Dn11n11rrC rDnnnnAB1 1a ac cr r c co os sA AD DK K2 21 11 1A A2 2 （ ）（ D D ） 1 1第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 n代入上式有

37、:上式即為諧振腔的穩(wěn)定條件.g1,g2為諧振腔的g參數(shù)b. Sin=0, Tn為極大值為極大值即即2 22 21 12 21 11 12 21 12 21 12 21 11 1L LL LL LL LL LL LL LA A1 12 22 2R RR RR RR RR RR RR R R RL LL L2 2( (1 1) )( (1 1) )1 1R RR R （ D D ）= =（1 1）（1 1）= =1 1- - -1 12 21 12 2L LL L0 0( (1 1) )( (1 1) )0 0g g g gR RR R 1或者即g g第三節(jié)光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件第三節(jié)光學(xué)諧振腔的

38、穩(wěn)定性條件 三、穩(wěn)區(qū)圖穩(wěn)區(qū)圖P56 tu2.16n所謂諧振腔的穩(wěn)定性所謂諧振腔的穩(wěn)定性,只是只是指傍軸光線能否在腔內(nèi)往返指傍軸光線能否在腔內(nèi)往返無(wú)限多次而不橫向逸出無(wú)限多次而不橫向逸出,也也就是指腔內(nèi)傍軸光束幾何損就是指腔內(nèi)傍軸光束幾何損耗的高低耗的高低,并不涉及在能產(chǎn)并不涉及在能產(chǎn)生振蕩生振蕩(即滿足閾值條件即滿足閾值條件)的的條件下條件下,腔的工作狀態(tài)是否腔的工作狀態(tài)是否穩(wěn)定這一問(wèn)題。穩(wěn)定這一問(wèn)題。n穩(wěn)定腔的幾何損耗小穩(wěn)定腔的幾何損耗小,容易容易產(chǎn)生振蕩。而非穩(wěn)腔的幾何產(chǎn)生振蕩。而非穩(wěn)腔的幾何損耗大損耗大,在中、小功率激光在中、小功率激光器中很少采用。但對(duì)增益較器中很少采用。但對(duì)增益較高的

39、工作物質(zhì)高的工作物質(zhì),它同樣可以它同樣可以起振起振,并且也能穩(wěn)定地工作。并且也能穩(wěn)定地工作。第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 本節(jié)討論用衍射理論推導(dǎo)腔內(nèi)振幅和相位分布問(wèn)題。一、一、 菲涅耳菲涅耳-基爾霍夫衍射積分基爾霍夫衍射積分光的衍射理論基礎(chǔ)： 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理。具體表述具體表述為:光波波前上的每一點(diǎn)都可以看成是新的子波源,從這些點(diǎn)發(fā)出球面子波,空間中某一點(diǎn)的光場(chǎng)就是這些子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果?；鶢柣舴驈臄?shù)學(xué)上證明了惠更斯-菲涅耳原理是某種積分定理的近似形式。利用基爾霍夫積分定理,并作菲涅耳近似處理,可得到該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式,即菲涅耳-基爾霍夫衍

40、射積分公式。公式表明公式表明,如果知道了光波場(chǎng)在其所到達(dá)的任意空間曲面上的振幅和相位分布,就可以求出該光波場(chǎng)在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 1）菲涅耳）菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫衍射積分公式式中式中,k為波矢的模為波矢的模2/ ;為源點(diǎn)為源點(diǎn)(x,y)與觀察點(diǎn)與觀察點(diǎn)(x,y)之間連線的長(zhǎng)度之間連線的長(zhǎng)度;為為S面上點(diǎn)面上點(diǎn)(x,y)處法線處法線n與上述連線的夾角與上述連線的夾角; ds為為S面上點(diǎn)面上點(diǎn)(x,y)處的面積元處的面積元,積分沿整個(gè)積分沿整個(gè)S面進(jìn)行面進(jìn)行 ( ( , , ) )( (, ,) )( (1 1

41、c co os s) )4 4i ik ks si ik ke eu u x x y yu u x xy yd ds s 第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 2）應(yīng)用到諧振腔應(yīng)用到諧振腔n設(shè)此諧振腔的反射鏡具有任意形狀和尺寸設(shè)此諧振腔的反射鏡具有任意形狀和尺寸,坐標(biāo)原點(diǎn)選在反射坐標(biāo)原點(diǎn)選在反射鏡的中心鏡的中心,z軸與腔軸重合。鏡軸與腔軸重合。鏡和鏡和鏡上點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示上點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示為為(x,y,z)和和(x,y,z),兩鏡面上任意考察點(diǎn)兩鏡面上任意考察點(diǎn)P和和P之間的距離為之間的距離為。鏡。鏡上的光場(chǎng)分布函數(shù)為上的光場(chǎng)分布函數(shù)為u 1 (x,y),則則u 1 (x,y

42、)經(jīng)腔內(nèi)一經(jīng)腔內(nèi)一次渡越后在鏡次渡越后在鏡上生成的光場(chǎng)上生成的光場(chǎng)u 2 (x,y)應(yīng)為應(yīng)為 ( ( , , ) )( (, ,) )( (1 1c co os s) )4 4i ik ks si ik ke eu u x x y yu u x xy yd ds s 第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 ( (, ,) )( (, ,) )i ik ks si iu u x xy yu u x xy y e ed ds sL L 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs si iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L

43、考慮到La, cosl， 被積函數(shù)分母可取近似L， 但在指數(shù)因子中不能用但在指數(shù)因子中不能用L 要根據(jù)不同腔形采取合理近似。要根據(jù)不同腔形采取合理近似。當(dāng)光場(chǎng)在腔內(nèi)經(jīng)q次渡越后，在鏡面渡越后，在鏡面M2上的場(chǎng)uq+1(x，y)與鏡面M1上的場(chǎng)uq(x，y)之間有類似的關(guān)系。第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 二、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程式二、自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程式光場(chǎng)經(jīng)足夠多次往返渡越后(相當(dāng)q-)，則每次渡越時(shí)變化越來(lái)越小，最后鏡面上的場(chǎng)分布將趨于穩(wěn)定狀態(tài)。繼續(xù)傳播時(shí)，鏡面上的場(chǎng)分布應(yīng)該自再現(xiàn)。這種特殊的穩(wěn)定的場(chǎng)分布稱為自再現(xiàn)場(chǎng)或腔的自再現(xiàn)場(chǎng)或腔的自再現(xiàn)模自再現(xiàn)模

44、。對(duì)于對(duì)稱腔情況，由“自再現(xiàn)要求自再現(xiàn)要求”，兩鏡面上的場(chǎng)分布，除了相差一個(gè)與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的復(fù)常數(shù)因子 (因而表示為振幅衰減和相位滯后振幅衰減和相位滯后)外，是完全相同的，因此自再現(xiàn)模的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 1 11 1( (, ,) )( (, ,) )q qq qu ux xy yu ux xy y 第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 并考慮對(duì)稱腔有SiSiis用V(x,y)表示鏡面上這一不受衍射影響的穩(wěn)定場(chǎng)分布函數(shù)，則有 1 1( (, ,) )( (, ,) )i ik kq qq qs si iu ux xy yu ux xy y e ed ds sL L 1 1 ( (

45、, , , , ,) )( (, ,) )( (, , , ,) ) ( ( , , ) )( (, , , ,) )s si ik kx x y y x xy yx xy yK K x xy yx xy yx xy yd ds si iK K x xy yx xy ye eL L 式中,K(x,y, x,y)稱為積分方程的核稱為諧振腔的衍射積分方程衍射積分方程或光腔的本征方程光腔的本征方程。滿足方程的任意一個(gè)函數(shù)v(x，y)稱為光腔的本征函數(shù)光腔的本征函數(shù)，相應(yīng)的常數(shù)為本征值本征值，一個(gè)本征函數(shù)代表腔內(nèi)一個(gè)自再現(xiàn)模(即橫模)，表示在鏡面上的一種場(chǎng)分布。一般而言，v(x,y)為復(fù)數(shù)，它的模|v

46、(x,y)|描述鏡面上的振幅分布，而輻角argv(x,y)則描述鏡面上場(chǎng)的相位分布。第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 三、三、 積分方程解的物理意義積分方程解的物理意義由于積分方程是二維的,故需要兩個(gè)模參數(shù)來(lái)區(qū)分這些不同的橫模。本征函數(shù)一般為復(fù)函數(shù),其模描述開(kāi)腔鏡面上光場(chǎng)的振幅分布模描述開(kāi)腔鏡面上光場(chǎng)的振幅分布;輻角則描述鏡面上光場(chǎng)的相位分布輻角則描述鏡面上光場(chǎng)的相位分布。本征值也為復(fù)函數(shù),其振幅和相位都具有直接的物理意義自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越所經(jīng)受的平均相對(duì)功率損耗稱為模的平均單程損耗,簡(jiǎn)稱單程損耗。在對(duì)稱開(kāi)腔情況下,模的單程損耗模的單程損耗為mnmnmn( , )(

47、, , , )( , )vx yK x y x y vx y ds第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n表明單程損耗隨橫模模式的不同而不同,并且|mn |愈大,模的單程損耗愈大。nmn 代表了自再現(xiàn)模在理想開(kāi)腔中完成一次渡越時(shí)的總損耗,此損耗包括光束橫向幾何偏折損耗,同時(shí)也包括了衍射損耗。n以后將這類由諧振腔的幾何結(jié)構(gòu)所引起的能量損失(不包括諸如腔內(nèi)介質(zhì)的吸收、散射等類型的損失)統(tǒng)稱為衍射損耗統(tǒng)稱為衍射損耗。2221mn2mn|11|jjjuuu 第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n自再現(xiàn)模在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越的總相移定義為n為使自再現(xiàn)模在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振蕩

48、,必須滿足多光束相長(zhǎng)干涉條件:n其在腔內(nèi)往返一次的總相移為2的整數(shù)倍。因此,對(duì)稱開(kāi)腔自再現(xiàn)模的諧振條件為:n由此式可確定模的諧振頻率。n 可見(jiàn),mn 的模度量自再現(xiàn)模的單程損耗,其輻角度量自再現(xiàn)模的單程相 移,從而也決定了模的諧振頻率。j+1jmnmn1arguarguargmnmn1arg2第四節(jié)第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論諧振腔的衍射積分理論 n對(duì)稱開(kāi)腔:n自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)決定了鏡面上不同橫模光場(chǎng)的振幅和相位分布。n本征值決定了不同橫模的單程損耗、單程相移以及諧振頻率。n非對(duì)稱開(kāi)腔:n按光場(chǎng)在腔內(nèi)往返一周才能自再現(xiàn)這一條件寫出相應(yīng)的積分方程。n此時(shí),方程的本征函數(shù)解只能確定某一個(gè)

49、鏡面上的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布,n本征值的模表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)往返一次的功率損耗,n輻角表示模往返一次的相移。第五節(jié)第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模所滿足的積分方程至今尚未得到精確的解析解:n本節(jié)首先給出矩形平行平面鏡腔模式積分方程的具體形式,n然后介紹條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模積分方程的數(shù)值迭代解法,n并根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的特征。第五節(jié)第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模一、平行平面腔的模式積一、平行平面腔的模式積分方程分方程設(shè)矩形腔鏡的邊長(zhǎng)為2a和2b,且a、b、L、之間滿足如下關(guān)系:La,b將按(xx)/L, (y-y)/L的冪級(jí)數(shù)

50、展開(kāi)為：222222()()()()xxyyLxxyyL 2 22 22 22 22 22 22 24 44 42 22 2 ( ( ) )( ( ) )L L ( () )( () )1 1L LL L1 1 1 1 1 1 1 1 L L 1 1+ + ( () )( () )- - ( () )( () )2 2L L2 2L L8 8L L8 8L L1 1 - - ( () )( () ). . . . . . 4 4L LL Lx xx xy yy yx xx xy yy yL Lx xx xy yy yx xx xy yy yx xx xy yy y 第五節(jié)第五節(jié) 平行平面腔的自

51、再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模當(dāng)滿足條件a2/L(L/a)2和b2/L0(arctan-arctan)-0ffffzzzz2222222222220 02222220 00 00 02 200000 0()()()()()()z-z =-z-z =-2R(z )2R(z )2(f +z )f2(f +z )f2(+z )2(+z )z zf fR(z )=+z R(z )=+z z zz xyxyxyz xyxyxy 第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模n上式表明,共焦腔行波場(chǎng)的等相位面是以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。n z00時(shí),z-z00; nz00,表明等相面是凹面向著腔中心

52、的球面。由R(f)=2f=L可知行波場(chǎng)的等相面與共焦腔反射鏡面重合。n由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心無(wú)限遠(yuǎn)處的等相位面都是平面。n由R(z0 )=0,得z0 =f,可見(jiàn)共焦腔反射鏡面是曲率最大的等相位面。第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模4.遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)射角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)射角共焦腔的基模光束按雙曲線規(guī)律從腔中心向外擴(kuò)展,不同位置處光束的發(fā)散角不同。通常,將遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角定義為基模高斯光束的發(fā)散角:相應(yīng)高階模的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角為理論計(jì)算表明,共焦腔基模光束的發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級(jí),其方向性相當(dāng)好。由于高階模的發(fā)散角是隨模階次而增大,所以多模振蕩時(shí),光束的方向性要比單基模振蕩差。2

53、00002122 ( )2limlim222zzzwfww zzzfLfw002121mnmn第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模四、圓形球鏡共焦焦腔四、圓形球鏡共焦焦腔圓形球面鏡共焦腔的處理方法與方形鏡相似,只是由于反射鏡的孔徑為圓形,因此采用極坐標(biāo)系統(tǒng)(r,)來(lái)討論。其模式積分方程的精確解析解是超橢球函數(shù)系,可以證明,當(dāng)N足夠大時(shí),圓形球面鏡共焦腔的自再現(xiàn)模為拉蓋爾多項(xiàng)式和高斯函數(shù)的乘積 式中,Ln m ()為拉蓋爾多項(xiàng)式2222cos( , )22sinosmrmmnmnnososmrrvrCLem第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模 2 其各高階橫模

54、TEMmn的場(chǎng)分布具有圓對(duì)稱形式,m表示沿輻角()方向的節(jié)線數(shù)目,n表示沿半徑(r)方向的節(jié)線圓數(shù)目,各節(jié)線圓沿r方向不是等距分布的。3.高階模的光斑隨著m,n的增加而增大,但在圓形鏡系統(tǒng)中光斑半徑隨n的增大要比隨m的增大來(lái)得更快。m0m1m22m0L ( )1L ( )11L ( )(1)(2)2(2)2.()!()L ( )()! !()!knnkmmmmnmmkk nk 圓形球面鏡共焦腔基模在鏡面上的振幅分布仍然是高斯型的,與方形球面鏡共焦腔情況類似。第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模a ar rg g( (1 1 / /) )a ar rg g( () )( (2

55、21 1) )2 2m mn nm mn nm mn nK KL Lm mn n 1 1 ( (2 21 1) ) 2 2 2 2m mn nq qc cq qm mn nL L 2 2 q qc cL L 共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為所以諧振頻率: 對(duì)于縱模對(duì)于橫模: 1 12 2 2 22 21 12 2 2 2q qm mn nq qc cL Lc cL L (21)2i kLmnmne與Vmn(r,)相應(yīng)的本證值為：第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模n單程損耗:n即所有自再現(xiàn)模的損耗均為零。這一結(jié)果是在N無(wú)窮的情況下得到的?？梢?jiàn)，當(dāng)N為有限(但不太小)

56、時(shí)，拉蓋爾-高斯近似雖然能滿意地描述場(chǎng)分布及相移等特征，但卻不能用來(lái)分析模的損耗。222mnmn11 |1 |1 |0mnmn 第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模n只有精確解才能給出共焦模的損耗與N及橫模指標(biāo)m和n的關(guān)系n?？怂购蛥柖σ阌玫▽?duì)圓形鏡對(duì)稱共焦腔模進(jìn)行了數(shù)值求解。圓形鏡共焦腔幾個(gè)最低階模的損耗如圖所示。n與方形鏡共焦腔模的損耗比較，當(dāng)菲涅耳數(shù)相同時(shí)，它的損耗比方形鏡腔類似橫模的損耗要小幾倍。第六節(jié)第六節(jié) 對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模行波分析:因此，對(duì)圓形鏡共焦腔行波場(chǎng)特性的分析可按與方形鏡同樣的方法進(jìn)行。兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位

57、面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。222( , , )( )002( , , )( 2)()( )( )( )ermmimirzwzmnmnnwrrErzA ELzeeew zw zwz22000222z2z( )112( , , )(21)arctan2()4mnw zwwfLLfwzrzrzk fzmnfzf第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征n共焦腔模式理論不僅能定量地說(shuō)明共焦腔振蕩模本身的特征，更重要的是，它能被推廣到一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)，這一推廣是諧振腔理論中的一個(gè)重大進(jìn)展。n任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)任何一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)。而任

58、任何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔何一個(gè)穩(wěn)定球面腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。這里所說(shuō)的“等價(jià)”，就是指它們具有相同的行波場(chǎng)。n 這種等價(jià)性深刻地揭示出各種穩(wěn)定腔(共焦腔也是其中的一種)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以利用共焦腔模式理論的研究結(jié)果來(lái)解析地表述一般穩(wěn)定球面腔模的特征。第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征 上述等價(jià)性是以共焦腔模式的空間分布，特別是其等相位面的分布規(guī)律為依據(jù)的。根據(jù)式(2612)，與腔的軸線相交于任意一點(diǎn)的等相位面的曲率半徑為一、一、 等價(jià)共焦腔等價(jià)共焦腔1）任意一個(gè)共焦球面）任意一個(gè)共焦球面(或拋物面或拋物面)腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面

59、腔等價(jià)。面腔等價(jià)。26節(jié)已經(jīng)指明，如果我們?cè)诠步箞?chǎng)的任意兩個(gè)等相位面上放置兩塊具有相應(yīng)曲率半徑的球面反射鏡，則共焦場(chǎng)將不會(huì)受到擾動(dòng)。但這樣，我們就做成了一個(gè)新的諧振腔，它的行波場(chǎng)與原共焦腔的行波場(chǎng)相同于任一共焦腔模有無(wú)窮多個(gè)等相位面，因而我們可以用這種方法構(gòu)成無(wú)窮多個(gè)等價(jià)球面腔。 2( ) |()| |zffR zfzfzz第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征n 現(xiàn)在證明，所有這些球面腔都是穩(wěn)定腔。等相位面cl，c2為例，注意到關(guān)于球面腔曲率半徑R的符號(hào)規(guī)定，對(duì)放置在cl，c2處的反射鏡，應(yīng)有不難證明：120(1)(1)1LLRR211112222221( )()()

60、()fRR zzzfRR zzzLzz 第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征2）任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價(jià)于某）任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價(jià)于某個(gè)共焦腔個(gè)共焦腔n意思是，如果某一個(gè)球面腔滿足穩(wěn)定性條件，必定可以找到一個(gè)而且也只能找到一個(gè)共焦腔，其行波場(chǎng)的某兩個(gè)等相位面與給定球面腔的兩個(gè)反射鏡面相重合。第七節(jié)第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征一般穩(wěn)定球面腔的模式特征n由上式可知,當(dāng)滿足穩(wěn)定性條件0g1 g 2 0,這樣就證明了等價(jià)共焦腔的存在性。并且此等價(jià)共焦腔由式唯一地確定。由于穩(wěn)定球面腔的行波場(chǎng)與其等價(jià)共焦腔的行波場(chǎng)相同,因此,穩(wěn)定球面腔的模式特征可