2014年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編解析 直角三角形與勾股定理

1、直角三角形與勾股定理一、選擇題1. （2014山東棗莊，第3題3分）如圖，ABCD，AE交CD于C，A=34°，DEC=90°，則D的度數(shù)為（ ） A17°B34°C56°D124°考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得DCE=A，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解解答：解：ABCD，DCE=A=34°，DEC=90°，D=90°DCE=90°34°=56°故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題

2、的關(guān)鍵2. 1（2014湖南張家界，第7題，3分）如圖，在RtABC中，ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，則AC的長(zhǎng)是（）A4B4C8D8考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：求出ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：解：如圖，在RtABC中，ACB=60°，A=30°DE垂直平分斜邊AC，AD=CD，A=ACD=30°，DCB=60°30°=30°，BD=2，CD=

3、AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD中，由勾股定理得：CB=2，在ABC中，由勾股定理得：AC=4，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中3. （2014十堰9（3分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，則DE的長(zhǎng)為（）A2BC2D考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)

4、等腰三角形的性質(zhì)可得GAD=GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得CGD=2GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得ACD=CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解解答：解：ADBC，DEBC，DEAD，CAD=ACB點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在RtCED中，DE=2故選：C點(diǎn)評(píng)：綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=34. （2014婁底8（3分）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A平行四邊形的對(duì)角線互相平分B菱形的對(duì)角線互相垂直平分C矩

5、形的對(duì)角線相等且互相垂直平分D角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等考點(diǎn)：命題與定理分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)角平分線的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷解答：解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法正確；B、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法正確；C、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；D、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理5. （2014山東淄博,第10題4分）

6、如圖，矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過(guò)點(diǎn)C則矩形的一邊AB的長(zhǎng)度為（）A1BCD2考點(diǎn)：勾股定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)分析：本題要依靠輔助線的幫助，連接CE，首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明BC=EC求出EC后根據(jù)勾股定理即可求解解答：解：如圖，連接ECFC垂直平分BE，BC=EC（線段垂直平分線的性質(zhì)）又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AE=1，AD=BC，故EC=2利用勾股定理可得AB=CD=故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是要畫出輔助線，證明BC=EC后易求解本題難度中等二、填空題1. （2

7、014山東威海，第17題3分）如圖，有一直角三角形紙片ABC，邊BC=6，AB=10，ACB=90°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則四邊形DBCE的周長(zhǎng)為 18 考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）分析：先由折疊的性質(zhì)得AE=CE，AD=CD，DCE=A，進(jìn)而得出，B=BCD，求得BD=CD=AD=5，DE為ABC的中位線，得到DE的長(zhǎng)，再在RtABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四邊形DBCE的周長(zhǎng)解答：解：沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，AE=CE，AD=CD，DCE=A，BCD=90°DCE，又B=90°A，B=BCD，BD=CD=AD=5，DE

8、為ABC的中位線，DE=3，BC=6，AB=10，ACB=90°，四邊形DBCE的周長(zhǎng)為：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18故答案為：18點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了折疊問(wèn)題和勾股定理的綜合運(yùn)用本題中得到ED是ABC的中位線關(guān)鍵2. （2014山東棗莊，第18題4分）圖所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 （3+3） cm 考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問(wèn)題；截一個(gè)幾何體分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果解答：解：如圖所

9、示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm故答案為：（3+3）點(diǎn)評(píng)：考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，本題就是把圖的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題3. （2014山東濰坊，第18題3分）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五

10、周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_尺考點(diǎn)：平面展開最短路徑問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用分析：這種立體圖形求最短路徑問(wèn)題，可以展開成為平面內(nèi)的問(wèn)題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個(gè)直角三角形求斜邊的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理可求出解答：解：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長(zhǎng)20尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×3=15（尺），因此葛藤長(zhǎng)=25（尺）故答案為：25點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解4. 半徑為2，點(diǎn)O2在射線OB上運(yùn)動(dòng)，且O2始終與OA相切，當(dāng)O2和O1相切時(shí)，O2的半徑等于考點(diǎn)：圓和圓相切的性質(zhì)，勾股

11、定理分析：作O2COA于點(diǎn)C，連接O1O2，設(shè)O2C=r，根據(jù)O1的半徑為2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7r，利用勾股定理列出有關(guān)r的方程求解即可解答：如圖，作O2COA于點(diǎn)C，連接O1O2，設(shè)O2C=r，AOB=45°，OC=O2C=r，O1的半徑為2，OO1=7，O1O2=r+2，O1C=7r，（7r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，故答案為：3或15點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確的作出圖形，難度中等5. （2014江西撫州，第14題，3分）如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起，將三角板繞其頂點(diǎn)按

12、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（0°< 90°），有以下四個(gè)結(jié)論：當(dāng)=30°時(shí)，與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)；當(dāng)=60°時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在某一時(shí)刻，使得；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終存在，其中結(jié)論正確的序號(hào)是 .(多填或填錯(cuò)得0分，少填酌情給分）解析：如圖1，=30°，ACA=A=30°,BCA=B=60°，DC=DA,DC=DB,DA=DB,D是AB的中點(diǎn).正確如圖2，當(dāng)=60°時(shí)，取AB的中點(diǎn)E,連接CE,則BCE=BCB=60°,又CB=CB,E、B重合，A、B恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.正確如圖3，連接AA,BB,則CA

13、ACBB,AA=BB.錯(cuò)誤如圖4，ABD=CBB60°,BAD=180°(CAA+30°),ABDBAD=90°CBBCAA CBB=CAA , ABDBAD=90°,即D=90°,AABB.正確，正確.6. (2014年湖北咸寧13（3分）)如圖，在扇形OAB中，AOB=90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），ODBC，OEAC，垂足分別為D，E若DE=1，則扇形OAB的面積為考點(diǎn)：三角形中位線定理；垂徑定理；扇形面積的計(jì)算菁優(yōu)網(wǎng)分析：連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D、E分別為BC、AC

14、的中點(diǎn)，即ED為三角形ABC的中位線，即可求出AB的長(zhǎng)利用勾股定理、OA=OB，且AOB=90°，可以求得該扇形的半徑解答：解：連接AB，ODBC，OEAC，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，DE為ABC的中位線，AB=2DE=2又在OAB中，AOB=90°，OA=OB，OA=OB=AB=，扇形OAB的面積為：=故答案是：點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形面積的計(jì)算以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵7. (2014年山東東營(yíng),第14題3分)如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，問(wèn)小鳥至少飛行10米

15、考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)分析：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出解答：解：如圖，設(shè)大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m，過(guò)C點(diǎn)作CEAB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，EB=6m，EC=8m，AE=ABEB=126=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鳥至少飛行10m故答案為：10點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際得出直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力8（2014四川宜賓，第14題，3分）如圖，在RtABC中，B=90°，AB=3，BC=4，將ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊

16、AC上，與點(diǎn)B重合，AE為折痕，則EB= 1.5 考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）分析：首先根據(jù)折疊可得BE=EB，AB=AB=3，然后設(shè)BE=EB=x，則EC=4x，在RtABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtBEC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4x）2，再解方程即可算出答案解答：解：根據(jù)折疊可得BE=EB，AB=AB=3設(shè)BE=EB=x，則EC=4x，B=90°，AB=3，BC=4，在RtABC中，由勾股定理得，BC=53=2，在RtBEC中，由勾股定理得，x2+22=（4x）2，解得x=1.5故答案為：1.5點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是分析清楚折疊以后哪些線段是相等

17、的9.（2014四川涼山州，第16題，4分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為 5或 考點(diǎn)：勾股定理專題：分類討論分析：已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：3是直角邊，4是斜邊；3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長(zhǎng)解答：解：長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：=；長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：=5；故第三邊的長(zhǎng)為：5或點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解 10（2014四川涼山州，第26題，5分）如圖，圓

18、柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 20 cm 考點(diǎn)：平面展開最短路徑問(wèn)題分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長(zhǎng)度即為所求解答：解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，則AB即為最短距離，AB=20（cm）故答案為：20點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力 11（2014甘肅白銀、臨夏,第13題

19、4分）等腰ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是 cm考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)分析：利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長(zhǎng)度解答：解：如圖，AD是BC邊上的高線AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=CD=6cm，在直角ABD中，由勾股定理得到：AD=（8cm）故答案是：8點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形三、解答題1. （2014上海，第22題10分）如圖，已知RtABC中，ACB=90°，CD是斜邊

20、AB上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AECD，AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值考點(diǎn)：解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線分析：（1）根據(jù)ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則B=BCD，再由AECD，可證明B=CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，則CE=1，從而得出BE解答：解：（1）ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90°，B=

21、CAH，AH=2CH，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB；（2）sinB，AC：AB=1：，CD=，AB=2，由勾股定理得AC=2，則CE=1，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=3點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大2. （2014山東濟(jì)南，第27題，9分）如圖1，有一組平行線，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在上，過(guò)點(diǎn)且垂直于于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，（1），正方形的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)在直線上，以為邊在的左側(cè)作菱形，使點(diǎn)分別在直線上寫出與的函數(shù)關(guān)系并給出證明；若，求菱形的邊長(zhǎng)【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，知, 又，所以正方形的邊長(zhǎng)為 （2）過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)M，在中, ,故，所以互余，與之和為，故=.過(guò)E點(diǎn)作ON垂直于分別交于點(diǎn)O，N，若,，,故, , ，由勾股定理可知菱形邊長(zhǎng)為.3.（( 2014年河南) 22.10分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形