新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)第二十一章 一元二次方程 一元二次方程 在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a0） 降次解一元二次方程 1一元二次方程的解法(1)直接開(kāi)平方法：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如

2、(a0)，(b0)類的一元二次方程，則；，對(duì)有些一元二次方程，本身不是上述兩種形式，但可以化為或的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：當(dāng)一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，就可用此法來(lái)解要清楚使乘積ab0的條件是a0或b0，使方程x(x3)0的條件是x0或x30x的兩個(gè)值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有兩個(gè)根，而不是一個(gè)根(3)配方法：任何一個(gè)形如的二次式，都可以通過(guò)加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方的方法配成一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開(kāi)平方法來(lái)解的方程如解時(shí)，可把方程化為，即，從而得解注意：(1)“方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方”的前提是方程的二次項(xiàng)系

3、數(shù)是1(2)解一元二次方程時(shí)，一般不用此法，掌握這種配方法是重點(diǎn)(3)公式法：一元二次方程(a0)的根是由方程的系數(shù)a、b、c確定的在的前提下，用公式法解一元二次方程的一般步驟：先把方程化為一般形式，即(a0)的形式；正確地確定方程各項(xiàng)的系數(shù)a、b、c的值(要注意它們的符號(hào))；計(jì)算時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，就不必解了(因負(fù)數(shù)開(kāi)平方無(wú)意義)；將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個(gè)根說(shuō)明：象直接開(kāi)平方法、因式分解法只是適宜于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最適用的方法解題時(shí)要根據(jù)方程的特征靈活選用方法2一元二次方程根的判別式一元二次方程的根有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

4、沒(méi)有實(shí)數(shù)根而根的情況，由的值來(lái)確定因此叫做一元二次方程的根的判別式>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根判別式的應(yīng)用(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題3韋達(dá)定理及其應(yīng)用定理：如果方程(a0)的兩個(gè)根是，那么當(dāng)a1時(shí)，應(yīng)用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程；(4)已知兩數(shù)和與積求兩數(shù)4一元二次方程的應(yīng)用(1)面積問(wèn)題；(2)數(shù)字問(wèn)題；(3)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題步

5、驟：分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；找出相等關(guān)系，并用它列出方程；解方程求出題中未知數(shù)的值；檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答這里關(guān)鍵性的步驟是和 注意：列一元二次方程應(yīng)用題是一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗(yàn)方程的解是否符合題意及實(shí)際問(wèn)題的意義第二十二章 二次函數(shù)二次函數(shù)及其圖像 二次函數(shù)概念一般地，把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a0，b，c可以為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量，y為因變

6、量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)式為（僅限于與x軸有交點(diǎn)和的拋物線），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和。    注意：“變量”不同于“自變量”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指變量的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)也會(huì)遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。二次函數(shù)公式大

7、全二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0） 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0） 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)²+k 拋物線的頂點(diǎn)P（h，k） 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)

8、系: h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±b²-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖象 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x?的圖象， 可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。 IV.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x = -b/2a。 對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P -b/2a ，(4ac-b²

9、)/4a 。 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)= b²-4ac=0時(shí)，P在x軸上。 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。 |a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸右。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于（0，c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) = b²-4a

10、c0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 = b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 = b²-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。 V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax²+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax²+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。例1，二次函數(shù)配方為的形式，則()用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的

11、橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個(gè)根。 2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章 旋轉(zhuǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)本節(jié)我們重點(diǎn)了解旋轉(zhuǎn)、平移性質(zhì)，除外還有

12、一個(gè)重點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱變換。二、知識(shí)要點(diǎn)1、旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的變換叫做旋轉(zhuǎn)。其中，O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等 對(duì)應(yīng)線段與O形成的角叫做旋轉(zhuǎn)角 各旋轉(zhuǎn)角都相等3、平移：將一個(gè)圖形沿著某條直線方向平移一定的距離的變換叫做平移。其中，該直線的方向叫做平移方向，該距離叫做平移距離。4、平移性質(zhì) 平移后的圖形與原圖形全等 兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)邊連線的線段平行相等（等于平行距離） 各組對(duì)應(yīng)線段平行且相等5、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱：若一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，能夠與另一個(gè)圖形完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)

13、稱。其中，點(diǎn)O叫做對(duì)稱中心、兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。 中心對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，能夠與原來(lái)的圖形完全重合，則這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。其中，這個(gè)點(diǎn)叫做該圖形的對(duì)稱中心。6、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形(1)、軸對(duì)稱：若兩個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱或它們成軸對(duì)稱。其中，這條軸叫做對(duì)稱軸。注：軸對(duì)稱的性質(zhì)： 兩個(gè)圖形全等； 對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分（2）軸對(duì)稱圖形：若一個(gè)圖形沿著某條軸對(duì)折，能夠完全重合，則這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。7、點(diǎn)的對(duì)稱變換（1）、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)

14、P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（-x，-y）（2）、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，-y）（3）、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P（-x，y）（）、關(guān)于直線yx對(duì)稱兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前對(duì)換，即：P（x，y）關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為P（y，x）（5）、兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y-x對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與之前完全相反，即：P（x，y）關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為P（-y，-x）注：yx的直線是過(guò)一三象限的角平分線，

15、y-x的直線是過(guò)二四象限的角平分線。第二十四章 圓 圓 定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。 （3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸

16、對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。 圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧

17、相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。 周長(zhǎng)計(jì)算公式 1.、已知直徑：C=d 2、已知半徑：C=2r 3、已知周長(zhǎng)：D=c 4、圓周長(zhǎng)的一半:12周長(zhǎng)(曲線) 5、半圓的長(zhǎng)：12周長(zhǎng)+直徑 面積計(jì)算公式： 1、已知半徑：S=r平方 2、已知直徑：S=（d2）平方 3、已知周長(zhǎng)：S=(c2)平方 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系 1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

18、 點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 2. 過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。 5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 直線和O相交； 直線和O相切； 直線和O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒(méi)有公共

19、點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-r<d<R+r(R>r) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含 d<R-r(R>r) 正多邊形和圓 一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1圓的定

20、義：(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2判定一個(gè)點(diǎn)P是否在O上設(shè)O的半徑為R，OPd，則有d>r點(diǎn)P在O 外；dr點(diǎn)P在O 上；d<r點(diǎn)P在O 內(nèi)3與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角如果三角形一邊上的中

21、線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(2)平

22、分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦(5)平行弦?jiàn)A的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它

23、到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)6切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2)

24、各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等8直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R(2)直線和O有唯一公共點(diǎn)直線l和O相切dR(3)直線l和O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和O 相交d<R9圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距(1)沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>Rr(2)沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d<Rr(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切dRr(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切dRr(5)有兩個(gè)

25、公共點(diǎn)相交Rr<d<Rr10兩圓的性質(zhì)：(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)11圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng)C2R圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2Rl，全面積為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為Rl ，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積

26、的計(jì)算公式。 圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積

27、，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程 由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法 第二十五章 概率初步 隨機(jī)事件與概率 1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)： (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； · (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本

28、空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作 2隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某 種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件 3頻率與概率的定義 (1) 頻率的定義 設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即 . (2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即 (3) 古典概率的定義 具

29、有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型： (i) 試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作; (ii) 在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即 在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為 (4)幾何概率的定義 如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件的概率為· 用列舉法求概率 1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法但有時(shí)

30、一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)目.3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；其中某一事件發(fā)生的概率；在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。 用頻率估計(jì)概率 在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相

31、同，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)

32、生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。第二十六章 反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1 反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；反比例函數(shù)有三種表達(dá)式：（），（），（定值）（）；函數(shù)（）與（）是等價(jià)的，所以當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)，x也是y的反比例函數(shù)。（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時(shí)，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而

33、確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)（）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，所以它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例的畫法分三個(gè)步驟：列表；描點(diǎn)；連線。再作反比例函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：列表時(shí)選取的數(shù)值宜對(duì)稱選?。涣斜頃r(shí)選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；連線時(shí)，必須

34、根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；畫圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。知識(shí)點(diǎn)4反比例函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況，如下表：反比例函數(shù)（）的符號(hào)圖像性質(zhì)的取值范圍是，y的取值范圍是當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。的取值范圍是，y的取值范圍是當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”否則，籠統(tǒng)地說(shuō)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。反比例函數(shù)圖

35、像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)。如在第一、第三象限，則可知。反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)k的絕對(duì)值的幾何意義。如圖所示，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則 反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；越小，雙曲線越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。 雙曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=x。第二十七章相似 271 圖形的相似 概述如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：） 判定如果兩個(gè)多邊

36、形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。 相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。 性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等 3.三邊對(duì)應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 例題A=A' B=B'      ABCA'B'C' 性質(zhì)相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段

37、(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。 根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖

38、形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)； 3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 281 銳角三角函數(shù) 銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對(duì)

39、邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊； 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對(duì)邊比鄰邊, 282 解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 ABCD直角三角形的特征直角三角形兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若C90°，則a2+b2=c2；ABCacb勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，則C90°；射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC中，C90°，