數(shù)學(xué)建模—DVD在線租憑的優(yōu)化設(shè)計

1、精選文檔2013年高校生數(shù)學(xué)建模 題目：DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計 學(xué)院 班級 組號 姓名 姓名 姓名 姓名 姓名 DVD在線租賃的優(yōu)化設(shè)計摘要本文在滿足會員DVD租賃需求的約束條件下，以DVD購買量最小和會員滿足度最大為目標(biāo)，求得最優(yōu)的DVD購買與安排方案。通過查找資料確定每張DVD從網(wǎng)站租出到返回網(wǎng)站的服務(wù)周期為15天，從而得到每張DVD在一個月內(nèi)最多可租賃2次。依據(jù)問卷調(diào)查結(jié)果，運用大數(shù)定律，得到10萬個會員中想觀看每種DVD的人數(shù)。會員打算觀看DVD的時間聽從正態(tài)分布，由此確定一個月中每天情愿觀看此DVD的人數(shù)，依據(jù)需要滿足的會員數(shù)量得到網(wǎng)站的最小購買量。會員的滿足度由會員收到DVD的等

2、待時間以及對該DVD的偏愛程度共同打算。為了使?jié)M足度與偏愛程度數(shù)值上成正比關(guān)系，將偏愛程度反序定義。DVD現(xiàn)有數(shù)量已知時，以滿足度最大為目標(biāo)，DVD數(shù)量有限等為約束建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型。DVD現(xiàn)有數(shù)量全部為0時，從網(wǎng)站管理人員的角度，以最小購買量為目標(biāo)，以95%的會員得到想看的DVD為約束條件求得最小購買量時的購買方案，在此方案的基礎(chǔ)上以總的滿足度最大為目標(biāo)進行DVD的優(yōu)化安排。通過計算，在服務(wù)周期為15天，網(wǎng)站有10萬個會員的狀況下，為保證期望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能看到該DVD，應(yīng)購買的DVD1-5的數(shù)量分別為5000,2500,1250,625,250張；為保證在三個

3、月內(nèi)至少95%的會員能看到該DVD，應(yīng)預(yù)備的數(shù)量分別為3167，1584,792,396,158張。運用lingo軟件求解，得到DVD現(xiàn)有數(shù)量已知時會員滿足度最大的安排，總滿足度為24746（抱負最大滿足度為27000）.當(dāng)DVD的數(shù)量全部為0時，得到最優(yōu)購買和安排方案，使一個月95%的會員得到想看的DVD，求得最小購買量為1425張，在最小購買量的基礎(chǔ)上實現(xiàn)滿足度最大，總滿足度為19396.從網(wǎng)站經(jīng)營管理員的角度考慮會員的需求及安排，網(wǎng)站依據(jù)會員的分布狀況，建立肯定數(shù)量的配送中心可以削減開支，增加收入。關(guān)鍵字 DVD 最優(yōu)方案 lingo一、問題的提出本題供應(yīng)了一種DVD在線租賃業(yè)務(wù)的經(jīng)營方

4、式?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納肯定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)。會員對哪些DVD有愛好，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會依據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站供應(yīng)的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站擔(dān)當(dāng)），就可以連續(xù)下次租賃。需考慮以下問題：1.1 網(wǎng)站正預(yù)備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了情愿觀看這些DVD的人數(shù)（附表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史

5、數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對附表1中的每種DVD來說，應(yīng)當(dāng)至少預(yù)備多少張，才能保證期望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？假如要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？1.2附表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，如何對這些DVD進行安排，才能使會員獲得最大的滿足度？請具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。1.3連續(xù)考慮附表2，并假設(shè)附表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。假如你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何打算每種DVD的購買量

6、，以及如何對這些DVD進行安排，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿足度最大？1.4假如你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求猜測、購買和安排中還有哪些重要問題值得爭辯？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。二、問題的分析本問題是在既定經(jīng)營方式的條件下，以網(wǎng)站購買量最小和會員滿足度最大為目標(biāo)對DVD購買方案和安排方案進行優(yōu)化設(shè)計。由于會員看完DVD后就將其寄回網(wǎng)站，因此一個月內(nèi)同一張DVD可以多次寄出，供多個會員觀看。我們將每張DVD從網(wǎng)站寄出到返回網(wǎng)站所經(jīng)受的時間稱為一個服務(wù)周期。每張DVD可以服務(wù)的會員數(shù)量是由每張DVD的服務(wù)周期所打算的。整個周期是由寄往會員的

7、時間長度，會員觀看的時間長度，寄回網(wǎng)站的時間長度三部分相加而得。通過查找資料和實際狀況分析，確定一個服務(wù)周期為15天。假設(shè)每個月都為30天，則一個月內(nèi)一張DVD可供2個會員觀看。顧客繳納肯定數(shù)量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)，當(dāng)會員對某種DVD有愛好時，就提交訂單，然后網(wǎng)站進行安排。當(dāng)會員提交了一次訂單后，網(wǎng)站即依據(jù)統(tǒng)一支配在適當(dāng)?shù)臅r間向該會員寄去一次DVD，其中含三張DVD；若會員再提交訂單，網(wǎng)站再重復(fù)以上過程。但由于每個會員租賃的次數(shù)不能超過兩次且DVD數(shù)量有限，因此，一個月中，有部分的會員租賃了兩次，一部分會員只租賃了一次。依據(jù)對1000個會員的問卷調(diào)查得到的情愿觀看各DVD的人數(shù)，

8、由于各種DVD是相互獨立的，依據(jù)大數(shù)定律，可將各DVD觀看人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例視為每位會員情愿觀看此DVD的概率，從而得到了情愿觀看各DVD的人數(shù)。將在一個月中會員打算觀看DVD的時間視為正態(tài)分布，于是可確定每個時間段情愿觀看此DVD的人數(shù)。依據(jù)網(wǎng)站需要滿足的會員總數(shù)以及不同時段情愿觀看各張DVD的人數(shù)即可確定每張DVD的需求量。 對于會員所提交的訂單，網(wǎng)站需以會員總滿足度最大為目標(biāo)來進行優(yōu)化安排。會員總滿足度是全部會員的滿足度之和，而每一個會員的滿足度由收到DVD的等待時間和所收DVD的偏愛程度二者共同打算。因此，在設(shè)計安排方案時，應(yīng)考慮將DVD按會員偏愛程度由高到低依次安排，但同時也要考

9、慮使每位會員得到DVD的時間盡可能短。此處需考慮兩個約束條件，即每個會員的租賃次數(shù)不得超過兩次以及DVD數(shù)量有限。由此，我們可以建立一個以滿足度最大為目標(biāo)，以租賃次數(shù)和DVD數(shù)量為約束的優(yōu)化模型。假如DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0，考慮網(wǎng)站購買各種DVD數(shù)量，并要使95%的會員得到想看的DVD。由于每個會員每月最多可獲得六張DVD，但訂單上的數(shù)量遠多于此，且有可能多個會員情愿觀看同樣的DVD，因此網(wǎng)站不行能將全部會員的愿望全部滿足。因此，將“得到他想看的DVD”等價為“得到的DVD在他想看的若干張DVD范圍之內(nèi)”。因此，只要網(wǎng)站滿足了會員需求中的任一需求，就可視為“使會員得到了他想看的DVD”。從網(wǎng)

10、站經(jīng)營管理人員的角度，為實現(xiàn)利益最大化，應(yīng)盡可能降低成本，所以應(yīng)以DVD購買量最小為目標(biāo)，以95%的會員得到想看的DVD為約束條件，來設(shè)計出最優(yōu)的購買方案。然后在此最小購買量方案的基礎(chǔ)上，以滿足度最大為目標(biāo)進行DVD的優(yōu)化安排。對于DVD的安排，由于一個月內(nèi)每張DVD可以被租賃2次，即為2位會員供應(yīng)服務(wù)。因此一個月中該網(wǎng)站共需進行2次安排，在每次DVD回收后即進行下一次安排。因此，現(xiàn)在需要制定出一個月的完整安排方案，即包括2次安排。從網(wǎng)站經(jīng)營管理人員的角度，在DVD的需求猜測、購買和安排過程中，分析相應(yīng)資料，可以知道DVD的郵遞既要考慮自己出的郵費，又要供應(yīng)應(yīng)會員快的服務(wù)。知道了相應(yīng)需求狀況和

11、地區(qū)的分布狀況后，可以在不同地點設(shè)立配送中心，提高網(wǎng)站整體服務(wù)水平。安排的服務(wù)方式可以考慮是否改成2次4張或3次6張等狀況。在現(xiàn)有的條件下，削減服務(wù)周期，以提高會員滿足度最大和快遞費用最小為目標(biāo)，來設(shè)計優(yōu)化的庫存方案和服務(wù)方式。三、模型假設(shè)與符號假設(shè)3.1會員看完DVD后即將其寄回，不會無故拖延；3.2全部會員向網(wǎng)站提交一次訂單后，網(wǎng)站僅向該會員郵寄一次；若會員再有需求，則需再提交一次訂單，網(wǎng)站其次次郵寄給該會員。3.3每個會員每月最多可租賃兩次；3.4每月均為30天。.參數(shù)及符號含義單位反序定義后的偏愛程度T同一張DVD相鄰兩次向外租賃的間隔天m同一張DVD每月向外租賃的最大次數(shù)次第i個會員

12、對收到的第j個DVD的滿足度安排過程中給第i個會員郵寄次數(shù)次第j種DVD總量為張0或10或1四、模型的建立4.1建模預(yù)備4.1.1確定每張DVD在一個月中的可供應(yīng)服務(wù)的次數(shù)一張DVD從網(wǎng)站寄出到最終回到網(wǎng)站的服務(wù)周期為。T由網(wǎng)站給會員郵寄DVD用的時間，會員觀看DVD的用的時間，會員郵寄DVD回網(wǎng)站用的時間相加而得。=15假設(shè)每個月天數(shù)是相等的，為30天，那么一張DVD每個月可以租賃的次數(shù)為.4.1.2滿足度的處理為了使會員的滿足度與偏愛程度在數(shù)量上成正比關(guān)系，將原題中的偏愛程度反序定義，即偏愛程度原來為1現(xiàn)在定義為10（原來為0的定以后也為0）。假設(shè)為原體中第i個會員對第j個DVD的偏愛程度

13、，為反序定義后的偏移系數(shù)，那么會員對收到的DVD的滿足度與他對該DVD的偏愛程度有關(guān)，還與他收到該DVD的時刻有關(guān)。比如，對于偏愛程度為1的DVD,假如會員在月初就收到了該DVD,那么他的滿足度就明顯要比他在月末就收到了該DVD時的滿足度高。我們引入系數(shù)來表征會員收到DVD的時刻對滿足度的影響。定義于是可得到第i個會員對收到的第j個DVD的滿足度：4.2依據(jù)情愿觀看各DVD人數(shù)和網(wǎng)站需滿足的人數(shù)確定最小購買量情愿觀看各DVD的總?cè)藬?shù) 大數(shù)定律 問卷調(diào)查得到的情愿觀看各DVD的觀看人數(shù)各時間段情愿觀看各DVD的人數(shù)會員打算觀看DVD的時間成正態(tài)分布每張DVD的需要購買量需滿足的會員數(shù)表一中給出了

14、問卷調(diào)查的1000人中各DVD的情愿觀看的人數(shù)，由于各DVD是相互獨立的，依據(jù)大數(shù)定律，可以將每種DVD的情愿觀看人數(shù)在總?cè)藬?shù)中的比例視為每個會員本月中觀看該DVD的概率。設(shè)為每個會員情愿觀看第種DVD的概率，則有在現(xiàn)實中，一部新電影對人的吸引力與外界的宣揚力度有關(guān)，人們在肯定程度上了解了新電影的價值之后才會打算是否去觀看。通常一部熱賣的電影在上映10天左右達到票房收入的高潮，在上映一個月之后將淡出人們的視眼。我們可以將網(wǎng)站購買的DVD看成熱賣電影，人們打算觀看一部新電影的時間t可以認為聽從正態(tài)分布。在這里可以認為.由正態(tài)分布的原則，即正態(tài)分布的隨機變量落在概率接近1，可以取.會員在內(nèi)打算觀看

15、DVD的概率為：4.2.1對于使期望看到該DVD的會員中至少有50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD的狀況以DVD1為例，由大數(shù)定律得到共有20000人想看DVD1.我們可以得到在之前打算看DVD1的人數(shù)為1531類似的求得之后每天打算看DVD1的人數(shù)分別為454，546，642，741，837，927，1005，1069，1113，1136，1136，1113，1069，1005，927，837，741，642，546，454，370，296，232，178，134，99，71，50，35，24.網(wǎng)站每天安排一次DVD，那么第一次安排的DVD在 第15天收回后可以再次安排;其次次安排的DVD在 第

16、16天收回后可以再次安排。依次類推可得當(dāng)DVD1的數(shù)量為5000時可以滿足期望看到DVD1的會員中至少有50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD。用類似的方法求的DVD2-5的數(shù)量至少為2500，1250，625，250.4.2.2對于保證三個月內(nèi)至少95%的會員看到想看的DVD的狀況3個月一張DVD共可以發(fā)放6次，于是對于DVD1有以下關(guān)系式成立：因此DVD1至少需要3167張。用同樣方法可以得到此時DVD2、DVD3、 DVD4、 DVD5、的購買量為1584、792、396、158.4.3建立最優(yōu)安排模型（模型一）現(xiàn)有當(dāng)前需處理的1000位會員的在線訂單以及網(wǎng)站手上的100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)，需

17、考慮在現(xiàn)有每種DVD數(shù)量的約束條件下，網(wǎng)站進行一次DVD安排，使會員滿足度最大，并得到安排方案。收到DVD的時間最有安排方案各DVD偏好程度滿足度最大訂單各DVD現(xiàn)有數(shù)量首先，定義變量假如給第i個會員郵寄DVD，那么該會員得到的DVD數(shù)量為3，假如不給第i個會員郵寄DVD，那么該會員得到的DVD數(shù)量為0，于是有：由于網(wǎng)站的每種DVD有肯定的數(shù)量限制，因此，向全部會員所寄出的第j種DVD總量需滿足此約束條件，即：模型中所定義的滿足度是由偏愛程度和收到的時間二者相乘而得，但由于此處僅考慮某一次的安排，并且在制定了安排方案后，網(wǎng)站同時將DVD寄往全部會員，因此各會員收到DVD的時間相等，滿足度就僅由

18、對DVD偏愛程度的差異所打算。因此，每個會員的滿足度可表示為由此可得會員總滿足度表達式：于是可得到最優(yōu)安排模型：4.3.1以購買量最小與滿足度最大為目標(biāo)設(shè)計最優(yōu)購買與安排方案現(xiàn)假設(shè)附表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0，網(wǎng)站需首先購入這些DVD，再將其依據(jù)會員的訂單進行合理安排。因此，應(yīng)以實現(xiàn)購買量最小為目標(biāo)，以一個月內(nèi)有95%的會員得到想看的DVD為約束條件來建立模型，得出購買量最小時的購買方案。然后在此最小購買量方案的基礎(chǔ)上，以滿足度最大為目標(biāo)進行DVD的優(yōu)化安排。對于DVD的安排，由于一個月內(nèi)每張DVD可以被租賃2次，即為2位會員供應(yīng)服務(wù)。因此一個月中該網(wǎng)站共需進行2次安排，在每次DVD回收后

19、即進行下一次安排。因此，現(xiàn)在需要制定出一個月的完整安排方案，即包括2次安排?？傮w框架如下：收到DVD的時間最優(yōu)安排方案滿足度最大偏好程度 訂單各DVD現(xiàn)有數(shù)量均為0 購買數(shù)量最小95%的會員得到他想看的DVD約束4.3.1.1建立最小購買量模型（模型二）首先，定義變量（以下）整個安排過程中給第i個會員郵寄次數(shù)，則有關(guān)系式：每次安排假如給第i個會員郵寄，那么該會員得到的DVD數(shù)量為3，于是有關(guān)系式每次安排第j種DVD需滿足該DVD的總量約束，由于每次第j種DVD總量為，因此有：會員滿足度是由會員偏愛程度和收到DVD時刻共同打算的，由此可得會員總滿足度表達式：整個安排過程中給第i個會員郵寄次數(shù)，則

20、一個月內(nèi)網(wǎng)站所郵寄的總次數(shù)為，此處需考慮約束條件：使一個月內(nèi)95%的會員得到想看的DVD。首先，將“得到想看的”等價為“得到的DVD在想看的范圍之內(nèi)”。引入變量寄給會員的DVD應(yīng)是在會員想看的DVD范圍之內(nèi)，即滿足：其次，網(wǎng)站所服務(wù)的總?cè)藬?shù)不能小于100095%. 由于假設(shè)3.2，對于一張訂單，網(wǎng)站只考慮向各會員寄一次DVD；若會員其次次再提出訂單，才考慮是否寄其次次。因此，對于附表2這一張訂單，只需考慮向每個會員要么寄一次，要么不寄。因此，網(wǎng)站郵寄的總次數(shù)就等于網(wǎng)站服務(wù)的總?cè)藬?shù)，可得到約束條件為：由此可建立最小購買量的模型：.4.3.1.2建立最小購買量下的最大滿足度模型（模型三）求得最小購

21、買量時的購買方案后，以購買的各種DVD的數(shù)量作為各種DVD的現(xiàn)有數(shù)量，以會員滿足度最大為目標(biāo)，使95%的會員得到想看的DVD為約束條件，建立最小購買量下的最大滿足度模型，確定最優(yōu)安排方案。 五、模型的簡化與求解5.1最優(yōu)安排模型（模型一）的求解由程序1得到反序定義的偏愛程度，使?jié)M足度和偏愛程度在數(shù)量上成正比關(guān)系。該問題的模型是0-1整數(shù)規(guī)劃模型，通過lingo軟件求解（程序2），得到最優(yōu)的安排方案如表1（僅列出前30位會員的狀況），此時會員的滿足度為24746(抱負的最大滿足度為27000).表1 前30位會員DVD安排方案會員獲得的DVDC0001D008,D041,D098C0002D00

22、6,D044,D062C0003D032,D050,D080C0004D007,D018,D041C0005D011,D066,D068C0006D019,D053,D066C0007D026,D066,D081C0008D031,D035,D037C0009D053,D078,D100C0010D041,D055,D085C0011D059,D063,D066C0012D002,D031,D041C0013D021,D078,D096C0014D023,D052,D089C0015D013,D052,D085C0016D010,D084,D097C0017D047,D057,D061C001

23、8D041,D060,D078C0019D066,D084,D086C0020D045,D061,D089C0021D045,D050,D053C0022D038,D055,D057C0023D029,D081,D095C0024D037,D041,D076C0025D009,D069,D081C0026D022,D068,D095C0027D050,D058,D078C0028D008,D034,D082C0029D026,D030,D055C0030D037,D062,D0985.2最小購買量與最大滿足度安排問題的求解5.2.1最小購買量模型（模型二）的求解網(wǎng)站分兩次向會員郵寄DVD,接受

24、lingo編程求解(程序3)，得到最小購買總量為1425,各種DVD的最小購買數(shù)量為表2 各種DVD的最小購買數(shù)量D0017D0215D04113D06111D08116D0024D02210D04217D06221D08216D0034D0237D0436D06324D08319D0046D02413D04410D0649D08412D0057D02510D0456D06522D08522D0065D0268D0468D06620D08620D0076D0279D04714D06719D08726D00817D0289D04810D06815D08815D00911D0296D0496D06

25、922D08917D0105D0309D05015D07022D09030D0118D03114D05115D07115D09115D0127D03211D05216D07215D09218D0134D0338D05321D07314D09327D01416D0349D0548D07421D09424D0157D03514D05512D07522D09527D0167D0362D05610D07620D09623D01716D0375D0579D07721D09730D0186D03815D05816D07823D09834D01913D03913D05914D07918D09931D0203D0405D06019D08020D100415.2.2最小購買量下的最大滿足度模型（模型三）的求解在求得各種DVD的最小購買數(shù)量后，編寫lingo程序，得到最大滿足度時的安排方案，最大滿足度為19396.通過統(tǒng)計每個地區(qū)的租賃需求量，得到需求的分布，依據(jù)需求量和地區(qū)的距離進行歸類，得到建立安排中心的多少，大小和服務(wù)的區(qū)域。設(shè)第j個地區(qū)的需求量(以會員的數(shù)量為準(zhǔn))為Dj(j=1,2,n);Rij是第i個地區(qū)與第j個地區(qū)之間的距離。打算分成m個區(qū)域Sk(k=1,2,m)，每個區(qū)域建立一個配送中心。(i.j=1,2,m)各個區(qū)域中的地區(qū)盡量相臨。區(qū)域m的數(shù)量與網(wǎng)站打算的建設(shè)的配送中心個數(shù)有關(guān)