數(shù)學(xué)美學(xué)思想在解題中的應(yīng)用

1、 摘 要新的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值的關(guān)注,使得數(shù)學(xué)美學(xué)思想在教學(xué)中受到人們的廣泛重視。本文主要從數(shù)學(xué)美學(xué)及美學(xué)、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的歷史演變、數(shù)學(xué)美學(xué)思想在解題中的應(yīng)用三方面來(lái)進(jìn)行闡述。主要說(shuō)明數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、奇異美與和諧美在數(shù)學(xué)美學(xué)思想解題中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)美可以激發(fā)興趣，啟發(fā)創(chuàng)新，以美啟真，啟迪心靈， 數(shù)學(xué)有如同詩(shī)一般的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)、和諧和奇異之美，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)藏的美學(xué)意象、美學(xué)情趣與美學(xué)精神，會(huì)使人們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)美學(xué)的欣賞中，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施美學(xué)思想具有深遠(yuǎn)的意義,有助于提高學(xué)生的理解領(lǐng)悟能力,獲得積極的數(shù)學(xué)情感,培養(yǎng)豐富的創(chuàng)造力,形成良好的數(shù)學(xué)價(jià)值觀。 關(guān)鍵詞：美學(xué)，數(shù)學(xué)美

2、學(xué)，美學(xué)思想，應(yīng)用 Aesthetics of mathematics in solving problems Abstract: The new math curriculum standards for the aesthetic value of the attention, making mathematical aesthetics suffer widespread attention in teaching. This article from the history of mathematics aesthetics and aesthetics, aesthetics of

3、the evolution of mathematics, mathematical aesthetics in solving problems in three areas of the application to elaborate. The main explanation is simple beauty, symmetry, exotic beauty and harmony in the United States and applied mathematics in solving mathematical aesthetics. Beauty of mathematics

4、can stimulate interest, inspire innovation, the United States Kai true, enlighten the mind, mathematics as poetic simplicity, symmetry, harmony and beauty singular, realized aesthetics in mathematics learning in the hidden, aesthetic taste and aesthetic spirit, will make people appreciate the aesthe

5、tics of mathematics, enjoyment of mathematics learning. Mathematics Teaching in aesthetics has far-reaching significance to help improve students' ability to comprehend comprehension, math get positive emotions, the rich culture of creativity, form a good mathematical values. Keywords:Aesthetics

6、,Mathematicalaesthetics,Aesthetict hought,Application 目 錄一、引言1二、美學(xué)及數(shù)學(xué)美學(xué)1（一）關(guān)于美學(xué)1（二）關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué)11. 數(shù)學(xué)美學(xué)12. 數(shù)學(xué)美1（三） 數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系2（四）國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)美學(xué)的研究概況2三、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的歷史演變3（一）神秘主義傾向的數(shù)學(xué)美3（二）形式主義傾向的數(shù)學(xué)美3（三）理性主義傾向的數(shù)學(xué)美4四、數(shù)學(xué)美學(xué)思想在解題中的應(yīng)用5（一）探索解題捷徑,迫求簡(jiǎn)潔美5（二）啟迪解題思路,發(fā)現(xiàn)和諧美6（三）簡(jiǎn)化解題過(guò)程,構(gòu)造對(duì)稱(chēng)美9（四）突破解題常規(guī),揭示奇異美11五、 數(shù)學(xué)美學(xué)思想在教學(xué)中的培養(yǎng)13六、結(jié)束語(yǔ)13致謝1

7、4參考文獻(xiàn)15一、引言數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在已有5000多年的歷史，數(shù)學(xué)歷來(lái)被視為嚴(yán)格、和諧、精確的學(xué)科，而數(shù)學(xué)美學(xué)思想已幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)美學(xué)思想三次歷史的演變過(guò)程概括為古希臘時(shí)期神秘主義傾向的數(shù)學(xué)美、近代形式主義傾向的數(shù)學(xué)美和現(xiàn)代理性主義傾向的數(shù)學(xué)美三個(gè)階段。數(shù)學(xué)美學(xué)能在教學(xué)解題過(guò)程中得以合理應(yīng)用,將有助于吸引學(xué)生的好奇心和求知欲,如“幾何圖形的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、如尺規(guī)作圖與幾何三大難題,黃金分割、九宮圖等專(zhuān)題,使學(xué)生感受其中的數(shù)學(xué)思想方法,領(lǐng)略數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)方法的美學(xué)價(jià)值?！蹦軌蚋惺艿綌?shù)學(xué)的美（和諧美、簡(jiǎn)潔美、奇藝美、對(duì)稱(chēng)美）,主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué),給數(shù)學(xué)教育帶來(lái)新的發(fā)展。二、

8、美學(xué)及數(shù)學(xué)美學(xué)數(shù)學(xué)美學(xué)是美學(xué)的重要組成部分，也是各類(lèi)美學(xué)如：技術(shù)美學(xué)、建筑美學(xué)、勞動(dòng)美學(xué)、藝術(shù)美學(xué)、心理美學(xué)等的基礎(chǔ)。目前，隨著素質(zhì)教育的推進(jìn)，國(guó)內(nèi)外對(duì)其數(shù)學(xué)美學(xué)思想研究的密切關(guān)注，數(shù)學(xué)美學(xué)也越來(lái)越受到人們的重視。為了了解數(shù)學(xué)美學(xué)，我們先了解一下美學(xué)。 （一）關(guān)于美學(xué) 美學(xué)是研究人對(duì)現(xiàn)實(shí)的審美關(guān)系的一門(mén)科學(xué)，和其它科學(xué)一樣，是在一定的物質(zhì)和精神文化生活的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展的。什么是美學(xué)？美學(xué)在辭典中對(duì)此也沒(méi)有給出明確定義。但給予了解釋“美學(xué)”“伊斯特惕卡”(Äesthetik)原義指用感官去感知的。1750 年，被稱(chēng)為美學(xué)之父的德國(guó)美學(xué)家、哲學(xué)家鮑姆嘉通(17141762)在他寫(xiě)的美學(xué)

9、專(zhuān)著中首次使用這一術(shù)語(yǔ)，他認(rèn)為“美學(xué)的對(duì)象就是感性認(rèn)識(shí)的善”，應(yīng)有專(zhuān)門(mén)研究“感性認(rèn)識(shí)的科學(xué)”即審美的科學(xué)。1從此之后，美學(xué)就正式成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。 （二）關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué) 1. 數(shù)學(xué)美學(xué)數(shù)學(xué)美學(xué)屬于美學(xué)的范疇。從歷史上看，數(shù)學(xué)、美學(xué)、哲學(xué)幾乎是同一時(shí)代發(fā)展起來(lái)的，其相互聯(lián)系的密切性很難把它們分割開(kāi)來(lái)。既然“美學(xué)”沒(méi)有給出具體的定義，所以數(shù)學(xué)美學(xué)也難以下一個(gè)統(tǒng)一的定義。但是，和美學(xué)一樣，數(shù)學(xué)美學(xué)也可以認(rèn)為是研究人對(duì)數(shù)學(xué)的審美關(guān)系的一門(mén)科學(xué)。人們只能通過(guò)數(shù)學(xué)美的思想方面去了解它。2. 數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)理論和客觀現(xiàn)實(shí)中的形式美和內(nèi)容美在數(shù)學(xué)家頭腦中形成了心與物、主觀與客觀的一種審美關(guān)系，即數(shù)學(xué)美所要研究的對(duì)

10、象。數(shù)學(xué)美的特征具有簡(jiǎn)潔性、對(duì)稱(chēng)性、和諧性和奇異性。從表現(xiàn)形態(tài)上看有形態(tài)美(包括對(duì)稱(chēng)美、比例美、和諧美)、內(nèi)容美(演繹美、歸納美、抽象美、結(jié)構(gòu)美和精確美)、形式美(公式美、有限美、無(wú)限美)等。因此，數(shù)學(xué)美是一種可感知的美，是在人類(lèi)社會(huì)實(shí)踐中形成的以反映數(shù)和形的客觀規(guī)律與人們美的意識(shí)的融合為本質(zhì)，以數(shù)學(xué)審美心理結(jié)構(gòu)和內(nèi)外信息相互作用為基礎(chǔ)的理性美。有的數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)和藝術(shù)聯(lián)系起來(lái)，稱(chēng)“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)”，“數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家一樣地生活、思考和工作”。 （三） 數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系馬克思說(shuō)“勞動(dòng)創(chuàng)造了美”，2數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種勞動(dòng)，因此數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著美。關(guān)于數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系，可以從以下幾點(diǎn)理解： 1. 數(shù)學(xué)源于

11、生產(chǎn)實(shí)踐，在數(shù)學(xué)的形成、發(fā)展過(guò)程中美就孕育在其中。數(shù)學(xué)內(nèi)容需要用字母、公式、法則來(lái)展現(xiàn)，需要用語(yǔ)言來(lái)描述。數(shù)學(xué)的圖象具有奇異性，數(shù)學(xué)的公式具有簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)的法則具有和諧性，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言具有簡(jiǎn)練性。因此，數(shù)學(xué)能表現(xiàn)形式美。只有用審美觀去解讀數(shù)學(xué)才能幫助我們更好地理解數(shù)學(xué)。 2. 數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展與哲學(xué)的發(fā)展同步，而美學(xué)必須以哲學(xué)為基礎(chǔ)，且在歷史上長(zhǎng)期就是哲學(xué)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究要用馬克思主義的辯證唯物主義思想哲學(xué)的方法去指導(dǎo)，而哲學(xué)正是研究美學(xué)的基礎(chǔ)當(dāng)然也是研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3數(shù)學(xué)中的“從特殊到一般”、“從量變到質(zhì)變”，反證法所采用的“否定之否定定律”等等，都是哲學(xué)中的辨證思想的體現(xiàn)，當(dāng)然也

12、是美學(xué)的具體反映。 3. 數(shù)學(xué)是研究“真”的科學(xué)，一切不合實(shí)際，虛假的東西在數(shù)學(xué)中不可能存在。而“美”與“真”是并存的，假的事物不可能給人以美感。真是美的基礎(chǔ)，美是真的反映。因此，數(shù)學(xué)與美學(xué)同在。 （四）國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)美學(xué)的研究概況 我國(guó)對(duì)于數(shù)學(xué)美的研究理論成果比較豐富,但缺少對(duì)數(shù)學(xué)美教學(xué)系統(tǒng)全面地論述,具體的研究案例也較少；而國(guó)外學(xué)者重視審美體驗(yàn)對(duì)于增進(jìn)學(xué)生的直覺(jué)思維力、創(chuàng)造力和提高學(xué)生興趣方面的作用,立足于課程,主要研究了數(shù)學(xué)美的教育價(jià)值及如何有效開(kāi)展數(shù)學(xué)審美教學(xué)的問(wèn)題,理論成果比較豐富。三、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的歷史演變 （一）神秘主義傾向的數(shù)學(xué)美美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家克萊因指出,把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門(mén)研究抽象

13、概念的、理性的科學(xué),是從公元前5世紀(jì)的古希臘畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始的。4因?yàn)樵诖酥?數(shù)學(xué)雖然有了開(kāi)端和萌芽,但那時(shí)數(shù)學(xué)畢竟還屬于經(jīng)驗(yàn)的范疇,沒(méi)有擺脫有形實(shí)物的羈絆。畢達(dá)哥拉斯把數(shù)學(xué)看作研究抽象概念的科學(xué),從而使數(shù)學(xué)具有了科學(xué)的性質(zhì),并必然促進(jìn)了數(shù)學(xué)發(fā)展。使他們?cè)跀?shù)論、幾何和球面幾何的研究中獲得了極大的成功。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早發(fā)現(xiàn)了數(shù)和形之間的數(shù)學(xué)美學(xué)關(guān)系。而這種美學(xué)原則把數(shù)和形聯(lián)系起來(lái),開(kāi)創(chuàng)數(shù)字?jǐn)?shù)論之美的先河。在數(shù)學(xué)與音樂(lè)的研究中,他們發(fā)現(xiàn)了弦振動(dòng)的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)音樂(lè)的和諧總是以數(shù)學(xué)比例的對(duì)應(yīng)關(guān)系而存在。他得出了“全宇宙都是一個(gè)數(shù)”,并且是一個(gè)樂(lè)調(diào)的“宇宙和諧”的結(jié)論。不僅數(shù)有和諧美,而且形也有和諧完善

14、的美。他們認(rèn)為,最完美、最和諧的圖形應(yīng)當(dāng)是環(huán)形。于是,圓就成為平面上最完美的幾何圖形,而球則是空間最完美的圖形。在數(shù)與音樂(lè)研究的基礎(chǔ)上,畢氏提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的“數(shù)本說(shuō)”。進(jìn)而認(rèn)定,宇宙就是一種和諧,數(shù)的和諧結(jié)構(gòu)構(gòu)成了宇宙的和諧。美就是在這種數(shù)的和諧過(guò)程中產(chǎn)生的。凡一切按照數(shù)的秩序所構(gòu)成的形式和節(jié)奏、對(duì)稱(chēng)、多樣性的統(tǒng)一等等都是美的。5所以,畢達(dá)哥拉斯說(shuō):“美是和諧與比例”,即美就是數(shù)學(xué)的和諧與比例。這是關(guān)于數(shù)學(xué)與美學(xué)之間關(guān)系的最早論述。柏拉圖作為僅次于畢達(dá)哥拉斯本人的最杰出的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員,發(fā)展并把畢氏學(xué)派的數(shù)學(xué)美學(xué)思想推向了極端。他特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性,認(rèn)為唯有數(shù)學(xué)才是通向他那至高無(wú)尚

15、的理念世界的中介,但又不同意畢氏心目中數(shù)具有抽象和具體兩重性的說(shuō)法(萬(wàn)物皆數(shù))。恩格斯說(shuō):“數(shù)服從一定的規(guī)律,同樣,宇宙也是如此,于是宇宙的規(guī)律性第一次被說(shuō)了出來(lái)?！?今天自然科學(xué)的很多描述采用數(shù)學(xué)方程式的形式,也是畢氏數(shù)的和諧的數(shù)學(xué)美學(xué)傳統(tǒng)的表現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué)的思想在科學(xué)思想發(fā)展史上占據(jù)著極其重要的地位。 （二）形式主義傾向的數(shù)學(xué)美正像克萊因所指出的,近代西方科學(xué)的奠基者哥白尼、開(kāi)普勒、伽利略、笛卡爾和牛頓等都是畢達(dá)哥拉斯主義者。但是,畢氏的傳統(tǒng)在各個(gè)自然科學(xué)家那里的表現(xiàn)不盡相同?？偟恼f(shuō)來(lái),近代以后,隨著數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的迅速發(fā)展,隨著歐洲大陸經(jīng)驗(yàn)主義派的崛起,畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)美學(xué)中的

16、神秘主義成份逐漸減少,其先驗(yàn)論觀點(diǎn)也被削弱。數(shù)學(xué)也從自然科學(xué)中分離出來(lái),并日益成為科學(xué)研究的基本工具和表現(xiàn)形式,從而數(shù)學(xué)美作為表現(xiàn)科學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)容的形式美的思想成為這一時(shí)期數(shù)學(xué)美學(xué)思想的基本特征。伽利略作為近代科學(xué)的巨人,創(chuàng)立了近代科學(xué)研究的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法。他認(rèn)為,純數(shù)學(xué)是抽象的,而事實(shí)總是有點(diǎn)模糊的,這樣,數(shù)學(xué)為了與客觀事物符合,就不得不犧牲它的完美性,構(gòu)想出一種不太完美的數(shù)學(xué)模型。在伽利略看來(lái),數(shù)學(xué)美是相對(duì)的,在美與真的關(guān)系上,真是根本。所以他反對(duì)畢達(dá)哥拉斯那種“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn),指出數(shù)本身談不上完美,數(shù)的完美來(lái)自外在世界的美;反對(duì)把數(shù)學(xué)美當(dāng)作一種純粹的抽象美,一種先驗(yàn)的原則。而笛卡爾雖十分

17、重視數(shù)學(xué)美,他的這種數(shù)學(xué)美學(xué)思想,實(shí)際上也是和畢達(dá)哥拉斯把宇宙歸結(jié)為數(shù)和數(shù)學(xué)和諧美的思想是針?shù)h相對(duì)的。事實(shí)上,宇宙能否用一個(gè)完美的形式數(shù)學(xué)方程式來(lái)表達(dá),這成了19世紀(jì)末數(shù)學(xué)美學(xué)思想發(fā)展中爭(zhēng)論的一個(gè)焦點(diǎn)。以馬赫為代表的數(shù)學(xué)唯美主義片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)美的作用,極力抽去數(shù)學(xué)方程式的物質(zhì)內(nèi)容而單純追求外在形式的美,這在當(dāng)時(shí)就遭到許多科學(xué)家如波爾茲曼、李凱爾和列寧的堅(jiān)決反對(duì)。但馬赫倡導(dǎo)的這種數(shù)學(xué)美學(xué)的精神,有其合理的精華,它對(duì)20世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響。 （三）理性主義傾向的數(shù)學(xué)美 19世紀(jì)末期之后,是現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)大發(fā)展(非歐幾何與抽象代數(shù)的建立、四元數(shù)的出現(xiàn)、高維空間的引進(jìn)等等)并向其他科學(xué)滲透、轉(zhuǎn)

18、移加劇的時(shí)代,加上馬赫主義數(shù)學(xué)美學(xué)思想的直接影響,數(shù)學(xué)美對(duì)自然科學(xué)研究的作用比以往任何時(shí)候都變得更為突出,數(shù)學(xué)美的本質(zhì)和特征也更趨明朗。彭加勒十分重視自然美,認(rèn)為科學(xué)家之所以研究自然,就是受自然之美引起的愉悅的驅(qū)使。他說(shuō):“如果自然不美,它就不值得了解,如果自然不值得了解,生活也就毫無(wú)意義。”但他又著重強(qiáng)調(diào):“我這里所說(shuō)的美,不是給我們感官以印象的美,也不是質(zhì)地美和表觀美我的意思是說(shuō)那種比較深?yuàn)W的美,這種美在于各部分的和諧秩序,并且純粹的理智能夠把握。正是這種美使物體,也可以說(shuō)使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿(mǎn)意的彩虹般的外表。理性的美可以充分地達(dá)到自身”。7而對(duì)于數(shù)學(xué)美感,主要是通過(guò)抽象思維、通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

19、概念、判斷和推理的思維運(yùn)動(dòng)或瞬間直覺(jué)來(lái)把握的,或者說(shuō),它主要來(lái)自于審美主體的心智對(duì)客體內(nèi)在美的頓悟,而不看重人的感覺(jué)器官對(duì)客體外在美的觀賞,所以數(shù)學(xué)美感區(qū)別于主要由主體的視覺(jué)、感覺(jué)器官接受并產(chǎn)生的自然美和藝術(shù)美感,前者主要使人賞心,而不完全使人悅目。彭加勒把數(shù)學(xué)美看作是潛藏于自然的感性美之上的理性美,這種對(duì)數(shù)學(xué)美的把握是他的美學(xué)思想的卓越之處,它使數(shù)學(xué)美區(qū)別于其它美的形態(tài)及屬性而具有的特殊之處。數(shù)學(xué)美發(fā)展到今天,已得到眾多的科學(xué)家的青睞和重視。它不僅是激勵(lì)科學(xué)家從事科學(xué)探索的內(nèi)在動(dòng)力,而且在科學(xué)創(chuàng)造中具有“以美啟真”和“以美審真”重要的方法論功能。8隨著科學(xué)發(fā)展的數(shù)學(xué)化和抽象化,數(shù)學(xué)美也必將發(fā)

20、揮更大的作用。四、數(shù)學(xué)美學(xué)思想在解題中的應(yīng)用 （一）探索解題捷徑,迫求簡(jiǎn)潔美簡(jiǎn)潔美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。法國(guó)哲學(xué)家狄德羅曹經(jīng)指出:“算學(xué)中所謂美的問(wèn)題,是指一個(gè)難以解決的問(wèn)題,而所謂美的回答,則是指對(duì)于困難而復(fù)雜的問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答?！庇性S多數(shù)學(xué)題,其表面形式很復(fù)雜,但其本質(zhì)總是存在著簡(jiǎn)單的一面。因此,在解題過(guò)程中。我們應(yīng)該拋棄或超越那些繁冗而不美的解答,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察問(wèn)題,分析問(wèn)題,找到問(wèn)題的本質(zhì)特征,尋求簡(jiǎn)潔的解法和美的答案。例1、甲班和乙班共62人,乙班和丙班共78人,丙班和丁班共75人,問(wèn)甲班和丁班共多少人?分析:如果我們按一般方法著手解答,其運(yùn)算較繁冗。徑過(guò)分析與觀察可以得到以下結(jié)構(gòu)

21、圖； 甲 乙 丙 丁 62 78 75 137 由圖可知,四個(gè)班的人數(shù)之和減去乙、丙兩班人數(shù)之和即得甲、丁兩班的人數(shù)之和:137-78=59(人) 例2、用電鋸把邊長(zhǎng)為3寸的方木塊鋸成27個(gè)邊長(zhǎng)為1寸的小方塊。至少要鋸幾次？分析:設(shè)想木塊己鋸好(如圖)但仍保持原來(lái)的樣子,把27小塊按截面(鋸痕)分類(lèi):角上的8塊屬一類(lèi),有3個(gè)截面。邊上的12塊屬一類(lèi), 4個(gè)截面。每個(gè)面上中間的塊共6塊屬一類(lèi),有5個(gè)截面。大方塊中最中央的1塊屬一類(lèi),有6個(gè)截面。因此截面最多的是中央一塊,需要鋸6次才能與其它塊分離,所以至少要6次才能鋸成27塊。 例3、己知平面上有5條直線(xiàn),其中任意兩條都不平行,證明其一定有兩條直

22、線(xiàn)夾角不大于360。分析:5條直線(xiàn)位置不定,逐條線(xiàn)加以分析顯然不能奏效,但題設(shè)5條直線(xiàn)中無(wú)兩條平行,因而平移不會(huì)使它們中的兩條重合。在平面上任取一點(diǎn),過(guò)此點(diǎn)分別作這5條直線(xiàn)的平行線(xiàn),這就使5條直線(xiàn)的位關(guān)系簡(jiǎn)單化,而如此平移,并不改變它們間的夾角(如圖)至此,找到了解題的突破口。 解：通過(guò)以上分析，每相鄰兩條直線(xiàn)所成的十個(gè)角中，不可能大于360，否則十個(gè)角之和大于3600，因此一定有兩條直線(xiàn)其夾角不大于360。 上述討論中，經(jīng)過(guò)分類(lèi)，抓住問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而且能給人一種美的享受。（二）啟迪解題思路,發(fā)現(xiàn)和諧美 數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)健是在于把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更容易解決的問(wèn)題,而實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化過(guò)程的關(guān)健是在于

23、原問(wèn)題在其本質(zhì)上的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)的和諧美能透露這一方面的信息,為我們實(shí)現(xiàn)這種統(tǒng)一指引方向,從而為打通解題途徑奠定基礎(chǔ),一道和諧的數(shù)學(xué)題往往可以啟迪我們的解題思路。 例1、計(jì)算+ 分析:綜觀全題,八個(gè)分?jǐn)?shù)相加從大到小,井然有序,給人一種和諧的美感。憑直覺(jué)即可知道,若貿(mào)然通分,就會(huì)破壞這種美的形式,陷入繁項(xiàng)的運(yùn)算泥潭。勉強(qiáng)求得結(jié)果,也只能算曲拆的解法,所以應(yīng)該另辟新徑,解答的關(guān)健在于:分子都是l,而分母分別可以寫(xiě)成 ,即每個(gè)分母都可分解為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積,于是每個(gè)分?jǐn)?shù)都可拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差:=，。由此得到下面這種充滿(mǎn)和諧美、簡(jiǎn)潔美的解法：+=1-。 例2、 分析:這個(gè)算式整齊、勻稱(chēng)、和諧,給人以美的享

24、受,使人對(duì)它產(chǎn)生興趣,產(chǎn)生計(jì)算的欲望,但直接運(yùn)算又太復(fù)雜。由于它具備和諧美等特點(diǎn),根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律,不難得知分母是8個(gè)8相加,即,于是得到: = = =例3、解方程組分析:使用常規(guī)的解方程組的方法顯然很繁。如果我們受整齊和諧性這一美的啟示,則不難得出:把方程三式加再進(jìn)行解題的思想方法解:原方程組可化為: +得： 由與，與，與得 例4、化簡(jiǎn) 0+0+0+0分析:上式本身存在著一種和諧美,四個(gè)正切值排列整齊,角度在180的基礎(chǔ)上逐漸增加2、3、4倍,而前后兩項(xiàng)等遠(yuǎn)的角度相加正好是900,由此受和諧美的啟發(fā),在化簡(jiǎn)時(shí)采用重新組合的方法。解:原式= =和諧是雜多的統(tǒng)一,是對(duì)立的協(xié)調(diào),從和諧美的

25、觀點(diǎn)分析,其解題教學(xué)的過(guò)程,就是一個(gè)協(xié)調(diào)各種關(guān)系,即溝通已知和未知,條件和結(jié)論等對(duì)立面之問(wèn)的聯(lián)系,使問(wèn)題自然和諧地得到解決的過(guò)程。 （三）簡(jiǎn)化解題過(guò)程,構(gòu)造對(duì)稱(chēng)美 對(duì)稱(chēng)美是數(shù)學(xué)中最普通的一種美,對(duì)稱(chēng)的圖形,對(duì)稱(chēng)的算式等都給人以勻稱(chēng)的美感。只要學(xué)會(huì)運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)分析問(wèn)題、處理問(wèn)題,善于通過(guò)構(gòu)造,就能使隱蔽型的條件關(guān)系變成明朗的條件關(guān)系。用對(duì)稱(chēng)美的思想指導(dǎo)解題教學(xué),可獲得簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的解法。P 例1、求圖甲中陰影部分的面積（單位:厘米）甲AADC旋轉(zhuǎn)還原 O 乙A(A)DC 分析:直接求陰影部分西積的比較麻煩。如果我們能夠使圖形“動(dòng)”起來(lái),根據(jù)需要把圖形翻過(guò)來(lái)倒過(guò)地看,對(duì)圖形巧施變換。則往往得到事半

26、功倍的效果。比如,我們可將圖形沿PO分成兩半,以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將右半個(gè)圖形按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900,即點(diǎn)A與點(diǎn)A重合,通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將圖甲變?yōu)閳D乙，這樣圖中的數(shù)量關(guān)系就清晰簡(jiǎn)單多了。陰影部分面積為：S=S半圓-S此題的關(guān)鍵正是利用圖形的對(duì)稱(chēng)美的特性找出了解題的條件，打通了解題的途徑。 例2、兩人做游戲,輪流把圓盤(pán)一次一個(gè)放到同一張圓桌上。放的時(shí)侯圓盤(pán)不得重迭，也不得超出桌子邊緣。誰(shuí)能最后一個(gè)把圓盤(pán)放到桌子上,使對(duì)手在也放不下一個(gè)盤(pán)子,誰(shuí)贏。如果兩個(gè)游戲者都用最佳策略,先放盤(pán)子的人贏,還是后放盤(pán)子的人贏?分析:最佳策略保證了總有一個(gè)人贏,從規(guī)則中看出誰(shuí)贏似乎與圓桌大小無(wú)關(guān)?？紤]桌子大小僅夠放一個(gè)盤(pán)

27、子的情形,顯然先放盤(pán)子的人贏。再考慮一般情況，利用對(duì)稱(chēng)性,先放的人把盤(pán)子放在最中央,然后根據(jù)后放的人放的情形，如果他能夠有地方放下一個(gè)盤(pán)子,則把盤(pán)子放在關(guān)于中央盤(pán)子(已放)對(duì)稱(chēng)的地方,所以不管桌子大小如何,先放的人總是可以最后把盤(pán)子放到桌面上。因此答案是:先放盤(pán)子的人贏。 例3、已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y=1,求函數(shù)的最小值。分析:題中的兩個(gè)式子關(guān)于x,y是有輪換對(duì)稱(chēng)關(guān)系，x,y的地位是x=y=完全平等的，即x和y所起的作用是相同的，因此猜測(cè)有可能在x=y時(shí)，取得最小值，又x+y=1，所以此對(duì)，如此證明，問(wèn)題即可解決。解： 上述推論過(guò)程中，兩次用到,其中等號(hào)僅在x=y時(shí)出現(xiàn)，此時(shí)x=y=。所以當(dāng)

28、x=y=時(shí)，具有最小值。 例4、 已知 求證：分析：從條件和結(jié)論看它們很整齊，而且對(duì)稱(chēng)輪換，由此受整齊、對(duì)稱(chēng)的美學(xué)啟發(fā)，猜想，由條件可得，把這一猜想代入結(jié)論驗(yàn)證顯然成立。下證之： 證明：由兩邊乘以得 于是得 即：或 誠(chéng)然,對(duì)稱(chēng)性賦予了數(shù)學(xué)大量的美感,但打破對(duì)稱(chēng)性常常使某些問(wèn)題的證明變得非常簡(jiǎn)潔。（四）突破解題常規(guī),揭示奇異美我們知道,數(shù)學(xué)題都具有一般的規(guī)律和一般的解題模式,但每個(gè)數(shù)學(xué)題又都具有各自的特珠性質(zhì),而這些特殊的性質(zhì)就構(gòu)成了數(shù)學(xué)的奇異美。因此,在解題教學(xué)中,要抓住題目的獨(dú)特之處,不構(gòu)常規(guī),獨(dú)辟蹊徑,使新穎簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)美恰如點(diǎn)點(diǎn)甘霖潤(rùn)物無(wú)聲地沁入學(xué)生的心扉! 例1、少先隊(duì)員到野外去游玩,帶

29、了飯碗和萊碗共68只。開(kāi)飯時(shí)規(guī)定1人1只飯碗,3人1只菜碗,所有人都按這個(gè)規(guī)定提取飯碗和菜碗,最后飯、菜碗正好全部被取完。參加這次野外游玩的少先隊(duì)員有多少人?分析:按常規(guī)方法是用分?jǐn)?shù)問(wèn)題去解答,但不如用分組法進(jìn)行思考:把“1只飯碗”與3只菜碗”為一組,68只碗可分成幾組。思路豁然開(kāi)朗:68(3+1)=17(組),173=51(人)此題得解。 例2、黃金分割0.6180.382AEDCBE點(diǎn)就是AB的黃金分割點(diǎn)而我們眾所周知的“黃金分割比”是奇異美的一個(gè)典型。黃金比例就是兩條線(xiàn)段，0。618是w = 的三位近似值，w 是方程1-w=w2的正解，黃金分割中的黃金比w0。618。 例3、作出下列曲面的圖形（1） （2），（3） 圖形的完美展現(xiàn)不僅能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇異美，更能加深對(duì)公式的記憶和運(yùn)