初中數(shù)學(xué)經(jīng)典相似三角形練習(xí)題(附參考答案)

1、經(jīng)典練習(xí)題相似三角形一解答題（共30 小題）1 如圖，在A(yíng)中， BC DE BC， EF AB，求證：ADEEFC722 如圖，梯形ABCD 中， AB CD，點(diǎn)F 在 BC 上，連 DF 與 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G（ 1 ）求證：CDFBGF；（ 2）當(dāng)點(diǎn)F 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)F 作 EF CD交 AD 于點(diǎn)E，若AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的長(zhǎng)3 如圖，點(diǎn)D ， E 在 BC 上，且 FD AB， FE AC求證：ABCFDE4 如圖，已知E是矩形 ABCD 的邊 CD 上一點(diǎn)，BF A于 E F，試說(shuō)明：ABF EAD5已知：如圖所示，在和 ABACDE中，AB=AC

2、 ， AD=AE ，BAC= DAE，且點(diǎn)B， A， D 在一條直線(xiàn)上，連接BE， CD， M ， N 分別為BE， CD 的中點(diǎn)（ 1 ）求證：BE=CD ；A是等腰三角形；MN（ 2 ）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn) ADAE 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180 °，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫(xiě)出（1 ）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；（ 3）在（2 ）的條件下，請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)ED 交線(xiàn)段 BC 于點(diǎn)P求證：PBDAMN6 如圖，E 是 ? ABCD 的邊 BA 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EC，交AD 于點(diǎn) F在不添加輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明7 如圖，在4

3、 ×3 的正方形方格中，和 ABCDE的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為F1 的小正方形的頂點(diǎn)上1 ）填空：ABC= °， BC= 2 ）判斷AB與 C DEC是否相似，并證明你的結(jié)論8 如圖， 已知矩形ABCD 的邊長(zhǎng) AB=3cm ， BC=6cm 某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn) M 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿AB 方向以 1cm/sB 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N 從 D 點(diǎn)出發(fā)沿DA 方向以 2cm/s 的速度向A 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：1 ）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，的面積等于矩形AMNABCD 面積的相似？若存在，求 ACDt 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)2 ）是否存在時(shí)刻t ，使以A， M ， N 為頂點(diǎn)的三角形與9如圖，在梯形AB

4、CD 中，若AB DC， AD=BC ，對(duì)角線(xiàn)BD 、 AC 把梯形分成了四個(gè)小三角形1 ）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形（注意：全等看成相似的特例）2 ）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明10 如圖AB中， C D 為 AC 上一點(diǎn)，CD=2DA ， BAC=45 °， BDC=60 °，CE于 E，連接BDAE（ 1 ）寫(xiě)出圖中所有相等的線(xiàn)段，并加以證明；（ 2 ）圖中有無(wú)相似三角形？若有，請(qǐng)寫(xiě)出一對(duì)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3 ）求BE與 CBEA的面積之比11 如圖，在A(yíng)中， BC AB=AC=a ， M 為

5、底邊 BC 上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M 分別作 AB、 AC 的平行線(xiàn)交AC于 P，交AB 于 Q1 ）求四邊形AQMP 的周長(zhǎng)；2 ）寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；3 ） M 位于 BC 的什么位置時(shí)，四邊形AQMP 為菱形并證明你的結(jié)論12 已知：P 是正方形ABCD 的邊 BC 上的點(diǎn)，且BP=3PC ， M 是 CD 的中點(diǎn)，試說(shuō)明：ADMMCP13 如圖，已知梯形ABCD 中，AD BC， AD=2 ， AB=BC=8 ， CD=10 （ 1 ）求梯形ABCD 的面積S；（ 2）動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以1cm/s 的速度，沿B? A? D? C 方向，向點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q 從點(diǎn)

6、C出發(fā)，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q 作 QE BC 于點(diǎn)E若P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒問(wèn)：當(dāng)點(diǎn) P 在 B? A 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線(xiàn)PQ 將梯形 ABCD 的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、 A、 D 為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有 CQE符合條件的t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t，使得以P、 D、 Q 為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ 為一腰的等腰三角形

7、？t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由P、 B、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與15 如圖，在A(yíng)中， BC AB=10cmBC=20cm ，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始沿 AB 邊向 B 點(diǎn)以 2cm/s 的速度移動(dòng)，14 已知矩形ABCD ，長(zhǎng) BC=12cm ，寬 AB=8cm ， P、 Q 分別是 AB、 BC 上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)若P 自點(diǎn) A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿AB 方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q 自點(diǎn) B 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿BC 方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒，相似？ BDC點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 BC 邊向點(diǎn) C 以 4cm/s 的速度移動(dòng)，如果P、 Q 分別從 A、 B 同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘， PBQ與

8、ABC相似16 如圖，ACB= ADC=90 A°， C=， AD=2 問(wèn)當(dāng) AB 的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似17 已知， 如圖， 在邊長(zhǎng)為a 的正方形ABCD 中， M 是 AD 的中點(diǎn)， 能否在邊AB 上找一點(diǎn)N（不含A、 B） ，使得CDM與MAN相似？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由18 如圖在A(yíng)中，BCC=90 °， BC=8cm ， AC=6cm ，點(diǎn) Q 從 B 出發(fā)，沿BC 方向以 2cm/s 的速度移動(dòng)，C、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與Q 、 P 分別同時(shí)從B 、 C 出發(fā)，試探究經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn) P 從 C 出發(fā)，沿CA 方向以 1cm/s

9、的速度移動(dòng)若相似？ CBA19 如圖所示，梯形ABCD 中，AD BC，A=90 °，AB=7 ， AD=2 ， BC=3 ，試在腰AB 上確定點(diǎn)P 的位置，使得以P， A， D 為頂點(diǎn)的三角形與以P， B， C 為頂點(diǎn)的三角形相似20 ABC和DE是兩個(gè)等腰直角三角形，F(xiàn)A= D=90 °， 的頂點(diǎn)EDE位于邊 FBC 的中點(diǎn)上（ 1 ）如圖1 ，設(shè) DE 與 AB 交于點(diǎn) M ， EF與 AC 交于點(diǎn) N ，求證：BEMCNE；2 ）如圖2 ，將DE繞點(diǎn) F E 旋轉(zhuǎn)，使得DE 與 BA 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M ， EF 與 AC 交于點(diǎn)N ，于是，除（1 ）21 如圖， 在

10、矩形 ABCD 中， AB=15cm ， BC=10cm ， 點(diǎn) P 沿 AB 邊從點(diǎn) A 開(kāi)始向 B 以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q 沿 DA 邊從點(diǎn) D 開(kāi)始向點(diǎn)A 以 1cm/s 的速度移動(dòng)如果P、 Q 同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng) t 為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、 A、 P 為頂點(diǎn)的三角形與相似 ABC22 如圖，路燈（P 點(diǎn)）距地面8 米，身高1.6 米的小明從距路燈的底部（O 點(diǎn)） 20 米的 A 點(diǎn)，沿 OA 所在的直線(xiàn)行走14 米到 B 點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？23 陽(yáng)光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹(shù)的高度（這棵樹(shù)底部可以到

11、達(dá)，頂部不易到達(dá)） 他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案（ 1 ）所需的測(cè)量工具是： ；（ 2 ）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫(huà)出測(cè)量示意圖；（ 3 ）設(shè)樹(shù)高AB 的長(zhǎng)度為x，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫(xiě)字母表示）求出x24 問(wèn)題背景在某次活動(dòng)課中，甲、 乙、 丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1 ，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80cm 的竹竿的影長(zhǎng)為60cm 乙組：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm 200cm ，影長(zhǎng)為丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其

12、粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為 156cm 任務(wù)要求：1 ）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；2 ）如圖3 ，設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)NH 與O 相切于點(diǎn)M 請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑情提示：如圖3，景燈的影長(zhǎng)等于線(xiàn)段NG 的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式156 2+208 2=260 2）25 陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m 寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m ，求窗口底邊離地面的高BC26 如圖， 李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h ， 燈柱的高OP=O P =兩燈柱之間的距離 l ，OO =m1 ）若李華距燈柱O

13、P 的水平距離OA=a ，求他影子AC 的長(zhǎng)；2 ）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和（DA+AC ）是否是定值請(qǐng)說(shuō)明理由；3 ）若李華在點(diǎn)A 朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1 勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v227 如圖，分別以直角三角形ABC 三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S1， S2， S3表示，則不難證明S1 =S 2+S3S3 表示，那么（ 1 ）如圖，分別以直角三角形ABC 三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1 ， SS1， S2， S3 之間有什么關(guān)系；（不必證明）S2、 S3 表示，請(qǐng)（ 2）如圖，分別以直角三角形ABC 三邊為邊向

14、外作三個(gè)正三角形，其面積分別用S1、你確定S1 ， S2， S3 之間的關(guān)系并加以證明；S3 表示，為使S1，（ 3 ）若分別以直角三角形ABC 三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用S1 ， S2，S2， S3 之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿(mǎn)足什么條件證明你的結(jié)論；（ 4）類(lèi)比（1 ） ， （ 2） ， （ 3）的結(jié)論，請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義的結(jié)論28 已知：如圖，ABCABA=D1E5， ， AC=9 ， BD=5 求AE29 已知：如圖Rt ABC Rt BDC，若 AB=3 ， AC=4 1 ）求BD、 CD 的長(zhǎng)；2）過(guò) B 作 BE DC于 E，求BE 的長(zhǎng)x

15、， y， z 的值；30 （ 1 ）已知，且 3x+4z 2y=402 ）已知：兩相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3 ： 10 ，且這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為560cm ，求它們的周長(zhǎng)參考答案與試題解析一解答題（共30 小題）1 如圖，在A(yíng)中， BC DE BC， EF AB，求證：ADEEFC考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行線(xiàn)的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。ADE分析： 根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可知AED= C，A= FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理可知解答：證明：DEBC， DE FC，AED= C又EF AB， EF AD，A= FECADEEFC點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)及相似三角形的判定定理2 如圖，梯形ABCD

16、 中，AB CD，點(diǎn) F 在 BC 上，連 DF 與 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G（ 1 ）求證：CDFBGF；2）當(dāng)點(diǎn) F 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)F 作 EF CD交 AD 于點(diǎn)E，若AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的長(zhǎng)考點(diǎn)：專(zhuān)題：分析： （ 1 ）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可證明CDFBGF（ 2）根據(jù)點(diǎn)F 是 BC 的中點(diǎn)這一已知條件，可得解題解答： （ 1 ）證明：梯形ABCD ， AB CD， CDF= FGB， DCF= （GB2F分），CDFB（ G3F分）CDF CDB=GBG，則 ，只要求出BG 的長(zhǎng)即可（ 2）解：由（1 ）CDFBGF，又 F 是 BC 的中點(diǎn)，BF=FC ，

17、CDFBGF， DF=GF ， CD=BG ， （ 6 分） AB DC EFF， 為 BC 中點(diǎn)，E 為 AD 中點(diǎn)， EF是 DAG的中位線(xiàn)， 2EF=AG=AB+BG BG=2EF AB=2 × 46 =2 ，CD=BG=2cm （ 8 分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線(xiàn)段的等量代換，比較復(fù)雜3 如圖，點(diǎn)D ， E 在 BC 上，且 FD AB， FE AC求證：ABCFDE考點(diǎn)：相似三角形的判定。專(zhuān)題：證明題。FD分析： 由 FD AB， FE AC，可知B= FDCE=， FED，根據(jù)三角形相似的判定定理可知：ABC解答：證明：FDA

18、B，F(xiàn)EAC，B= FDE，C= FED， ABC FDE點(diǎn)評(píng)： 本題很簡(jiǎn)單，考查的是相似三角形的判定定理：（ 1 ）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（ 2）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（ 3 ）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似4 如圖，已知E是矩形 ABCD 的邊 CD 上一點(diǎn)，BF A于 E F，試說(shuō)明：ABF EAD BAF= AE（D4 分） BF AE，AFB=90 °AFB= （ D5 分）ABF E（ A6D分）點(diǎn)評(píng)： 考查相似三角形的判定定

19、理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角5 已知：如圖所示，在和 ABACDE中，AB=AC ， AD=AE ，BAC= DAE，且點(diǎn)B， A， D 在一條直線(xiàn)上，連接BE， CD， M ， N 分別為BE， CD 的中點(diǎn)（ 1 ）求證：BE=CD ；A是等腰三角形；MN（ 2 ）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn) ADAE 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180 °，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫(xiě)出（1 ）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；（ 3）在（2 ）的條件下，請(qǐng)你在圖中延長(zhǎng)ED 交線(xiàn)段 BC 于點(diǎn)P求證：PBDAMN考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專(zhuān)題：幾何綜合題。分析： （ 1

20、）因?yàn)锽AC= DAE，所以BAE= CAD，又因?yàn)?AB=AC ， AD=AE ，利用 SAS 可證出 BAE CA可知D， BE、 CD 是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，可證是等腰三AMN角形（ 2）利用（1 ）中的證明方法仍然可以得出（1 ）中的結(jié)論，思路不變（ 3）先證出ABMASCANS（ ） ，可得出CAN= BAM，所以BAC= MAN（等角加等角和相等） ， 又BAC= DAE所以 ，MAN= DAE= BAC，所以AM N，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以PBD= AMN，所以PBDAMN（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）解答： （ 1 ）證明：BAC=

21、 DAE，BAE= CAD， AB=AC ， AD=AE ， ABE ACD， BE=CD 由 ABE ACD，得 ABE= ACD， BE=CD ， M、 N 分別是BE， CD 的中點(diǎn)， BM=CN又AB=AC ，ABMACN AM=AN，即AMN為等腰三角形（ 2）解：（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立（ 3）證明：在圖中正確畫(huà)出線(xiàn)段PD，由（ 1 ）同理可證ABMACN，CAN= BAMBAC= MAN又BAC= DAE，MAN=DAE= BACAMN，AD和 EABC都是頂角相等的等腰三角形PB和 DAMN都為頂角相等的等腰三角形，PBD= AMN，PDB= ANM，PBDAMN點(diǎn)評(píng)： 本

22、題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個(gè)頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似三角形的判定（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）6 如圖，E 是 ? ABCD 的邊 BA 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EC，交AD 于點(diǎn) F在不添加輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)你寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專(zhuān)題：開(kāi)放型。分析：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有： AEF BEC；AEF DCF；BECDCF解答：解：相似三角形有AEFBEC； AEF DCF； （ 3B分） ECDCF如： AEF C BE在 ? A

23、BCD 中，AD BC，1= B，2=（ 6 3分） AEF （ BE7C分） 點(diǎn)評(píng)： 考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及相似三角形的判定定理7 如圖，在4×3 的正方形方格中，和 ABCDE的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為F1 的小正方形的頂點(diǎn)上（ 1 ）填空：ABC=135 ° °， BC=；（ 2 ）判斷AB與 C DEC是否相似，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題；網(wǎng)格型。分析： （ 1 ）觀(guān)察可得：BF=FC=2 ，故FBC=45 °；則ABC=13B5C=°，=2；DEC（ 2）觀(guān)察可得：BC、 EC 的長(zhǎng)為 2 、 ，可得，再根據(jù)

24、其夾角相等；故ABC解答： 解： （ 1 ）ABC=135 °， BC= ；（ 2）相似； BC=， EC= =；，；又 ABC= CED=135 °，ABCDEC點(diǎn)評(píng)： 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率8 如圖， 已知矩形ABCD 的邊長(zhǎng) AB=3cm ， BC=6cm 某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn) M 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿AB 方向以 1cm/sB 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N 從 D 點(diǎn)出發(fā)沿DA 方向以 2cm/s 的速度向A 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：1 ）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，的面積等于矩形A

25、MNABCD 面積的 ？2 ）是否存在時(shí)刻t ，使以A， M ， N 為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求 ACDt 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)考點(diǎn)： 相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（ 1 ）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，的面積等于矩形 AMNABCD 面積的 作為相等關(guān)系；（ 2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線(xiàn)段列出方程，有解的且符合題意的t 值即可說(shuō)明存在，反之 則不存在解答：解： （ 1 ）設(shè)經(jīng)過(guò)x 秒后，AM的面積等于矩形NABCD 面積的 ，則有： （ 6 2

26、x） x= × 3 × 6，即 x2 3x+2=0 ， （ 2 分）解方程，得x1=1 ， x2=2 ， （ 3 分）經(jīng)檢驗(yàn)，可知x1 =1 ， x2=2 符合題意，所以經(jīng)過(guò)1 秒或 2 秒后，AM的面積等于矩形NABCD 面積的 （ 4 分）相似， ACD2）假設(shè)經(jīng)過(guò)t 秒時(shí)，以A， M ， N 為頂點(diǎn)的三角形與ABCD ，可得CDA= MAN=90因此有或（ 5 分）即，或（6 分）解，得t= ；解，得t=7 分）經(jīng)檢驗(yàn)，t= 或 t= 都符合題意，所以動(dòng)點(diǎn)M ， N 同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)秒或 秒時(shí)，以A， M ， N 為頂點(diǎn)的三角形與相似 ACD （ 8分）點(diǎn)評(píng)： 主要考

27、查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會(huì)靈活的運(yùn)用注意：一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可9如圖，在梯形ABCD 中，若AB DC， AD=BC ，對(duì)角線(xiàn)BD、 AC 把梯形分成了四個(gè)小三角形1 ）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形（注意：全等看成相似的特例）2 ）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明考點(diǎn)：相似三角形的判定；概率公式。專(zhuān)題：開(kāi)放型。分析：（1 ）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可

28、求得；與，與相似；（ 2）利用相似三角形的判定定理即可證得解答：解：（ 1 ）任選兩個(gè)三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2 分）其中有兩組（，）是相似的選取到的二個(gè)三角形是相似三角形的概率是P= （ 4 分）證明： （ 2）選擇、證明在A(yíng)OB與COD中， AB CD，CDB= DBA，DCA= CAB，AOBCO8D（分）選擇、證明四邊形ABCD 是等腰梯形，DAB= CBA，在DA與 B CBA中有AD=BC ， DAB= CAB，AB=AB ，DABC（ B6A，分）ADO=BCO又DOA=COB，DOACO8B（分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n 種可能，而且這些事件的

29、可能性相同，其中事件A 出現(xiàn) m種結(jié)果，那么事件A 的概率P（ A） = ，即相似三角形的證明還考查了相似三角形的判定10 附加題：如圖中，ABCD 為 AC 上一點(diǎn)，CD=2DA ， BAC=45 °， BDC=60 °，C于E E，連接BDAE（ 1 ）寫(xiě)出圖中所有相等的線(xiàn)段，并加以證明；（ 2 ）圖中有無(wú)相似三角形？若有，請(qǐng)寫(xiě)出一對(duì)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3 ）求BE與 C BEA的面積之比考點(diǎn)： 相似三角形的判定；三角形的面積；含30 度角的直角三角形。專(zhuān)題： 綜合題。分析： （ 1 ）根據(jù)直角三角形中30 度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED ，則可寫(xiě)

30、出相等的線(xiàn)段；（ 2）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似則可判斷ADEAEC；（ 3 ）要求B與EC BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作的邊 BEBAE 邊上的高即可求解解答： 解： （ 1 ） AD=DE ， AE=CE CE BD， BDC=60 °，在 Rt CED中，ECD=30 ° CD=2ED CD=2DA， AD=DE， DAE= DEA=30 ° = ECD AE=CE （ 2）圖中有三角形相似，ADEAEC； CAE= CAE，ADE= AEC，ADEAEC；（ 3 ）作AF BD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于

31、F，設(shè) AD=DE=x ，在 Rt CED中，可得 CE= ，故 AE= ECD=30 °在 Rt AE中，F(xiàn) AE= ， AED= DAE=30 °，AF=AE?sin AEF=點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣11 如圖，在A(yíng)中， BC AB=AC=a ， M 為底邊 BC 上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M 分別作 AB、 AC 的平行線(xiàn)交AC于 P，交AB 于 Q（ 1 ）求四邊形AQMP 的周長(zhǎng)；（ 2 ）寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置時(shí)，四邊形AQMP 為菱形并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：

32、相似三角形的判定；菱形的判定。專(zhuān)題：綜合題。分析：（1 ）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長(zhǎng)；（ 2）因?yàn)锽= C= PMC= QMB，所以PMCQMBABC；（3 ）根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形 AQMP 為菱形解答： 解： （ 1 ） AB MP， QM AC，四邊形APMQ 是平行四邊形，B= PMC，C= QMBAB=AC ，B= C，PMC= QMB BQ=QM， PM=PC 四邊形AQMP 的周長(zhǎng)=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（ 2） PM AB，PCMACB， QM AC，BMQBCA；（ 3 ）當(dāng)

33、點(diǎn) M 中 BC 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ 是菱形，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)，AB MP， QM AC，QM， PM 是三角形ABC 的中位線(xiàn) AB=AC ，QM=PM=AB=AC又由（ 1 ）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ 是菱形點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線(xiàn)的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用12 已知：P 是正方形ABCD 的邊 BC 上的點(diǎn)，且BP=3PC ， M 是 CD 的中點(diǎn)，試說(shuō)明：ADMMCP考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：欲證ADMMC通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等，即P，D=C，此時(shí)，再求夾此

34、對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可解答： 證明：正方形ABCD ， M 為 CD 中點(diǎn)， CM=MD= AD BP=3PC ， PC= BC= AD= CM PCM= ADM=90 °，MCPADM點(diǎn)評(píng)： 本題考查相似三角形的判定識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比本題中把若干線(xiàn)段的長(zhǎng)度用同一線(xiàn)段來(lái)表示是求線(xiàn)段是否成比例時(shí)常用的方法13 如圖，已知梯形ABCD 中，AD BC， AD=2 ， AB=BC=8 ， CD=101 ）求梯形ABCD 的面積 S；（ 2）動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn) B 出發(fā)，

35、以1cm/s 的速度，沿B? A? D? C 方向，向點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q 從點(diǎn) C出發(fā)，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q 作 QE BC 于點(diǎn)E若P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒問(wèn)：當(dāng)點(diǎn) P 在 B? A 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線(xiàn)PQ 將梯形 ABCD 的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、 A、 D 為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有 CQE符合條件的t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、 D、

36、 Q 為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ 為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型；開(kāi)放型。分析：（1 ）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和 CD的長(zhǎng)，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出高后即可求出梯形的面積（ 2）PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP ，已知了AD ， BC 的長(zhǎng)，可以用t 來(lái)表示出 AP ， BP， CQ， QD 的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t 的值本題要分三種情況進(jìn)行討論：一， 當(dāng) P 在 AB 上時(shí)， 即 0<

37、 t 8如果兩三角形相似，那么C= ADP或 ，C= APD那么在，ADP中根據(jù)C的正切值，求出t 的值二，當(dāng)P 在A(yíng)D 上時(shí)，即8< t 10 ，由于P，A， D 在一條直線(xiàn)上，因此構(gòu)不成三角形三，當(dāng)P 在CD 上時(shí)，即10< t 12 ，由于A(yíng)是個(gè)鈍角，因此 DC是個(gè)鈍角三角形因此不可能ADP和直角CQ相似 E綜合三種情況即可得出符合條件的t 的值（ 3 ）和（2 ）相同也要分三種情況進(jìn)行討論：一，當(dāng) P 在 AB 上時(shí)，即0< t 8，等腰P以 DQDQ 為腰，因此DQ=DP 或 DQ=PQ ，可以通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出DP ， PQ 的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來(lái)

38、求t 的值二，當(dāng) P 在 AD 上時(shí)，即8< t 10 ，由于 BA+AD=CD=10 ，因此 DP=DQ=10 t，因此DP， DQ恒相等三，當(dāng) P 在 CD 上時(shí)，即10< t 12 ，情況同二綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ 為腰時(shí)，t 的取值解答：解： （ 1 ）過(guò) D 作 DH AB 交 BC 于 H 點(diǎn)， AD BH， DH AB，四邊形ABHD 是平行四邊形 DH=AB=8 ； BH=AD=2 CH=8 2=6 CD=10 ， DH2+CH 2=CD 2 DHC=90 ° B= DHC=90 °梯形 ABCD 是直角梯形S ABCD = （ AD

39、+BC ） AB= ×（ 2+8 ）×8=40 2)BP=CQ=t ，AP=8 t， DQ=10 t， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ ， 8 t+2+10 t=t+8+t t=3 <8當(dāng) t=3 秒時(shí)， PQ 將梯形 ABCD 周長(zhǎng)平分第一種情況：0< t 8 若 PADQ則 EC ADP= Ctan ADP=tan=C= ，t=若PADC則 EQ APD= Ctan APD=tan=C=，= t=第二種情況：8< t 10 P， 、 A、 D 三點(diǎn)不能組成三角形；第三種情況：10 < t 12 AD為鈍角三角形與 PRt CQE不相似； t=

40、 或 t= 時(shí)，PA與DCQE相似第一種情況：當(dāng)0 t 8 時(shí)過(guò) Q 點(diǎn)作QE BC， QH AB，垂足為E、 H AP=8 t， AD=2 ， PD= CE= t， QE= t， QH=BE=8 t， BH=QE= t PH=t t= t PQ=， DQ=10 t： DQ=DP ， 10 t=，DQ為腰的等腰DM本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）中要根據(jù)P， Q 的不同位置，進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解14 已知矩形ABCD ，長(zhǎng) BC=12cm ，寬 AB=8cm ， P、 Q 分別是AB、 BC 上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)若P 自點(diǎn) A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿A

41、B 方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q 自點(diǎn) B 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿BC 方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒，相似？ BDCP、 B、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與考點(diǎn)：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；分類(lèi)討論。分析：要使以P、B、Q 為頂點(diǎn)的三角形與 相似，則要分兩兩種情況進(jìn)行分析分別是 BDC PBQ或QBPBDC，從而解得所需的時(shí)間解答： 解：設(shè)經(jīng)x 秒后，PBQBCD，由于PBQ= BCD=90 °，（ 1 ）當(dāng)1= 2 時(shí)，有：，即；2）當(dāng)1=3時(shí)，有：即，BCD此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用15 如圖，在A(yíng)中， BC AB=10cm ， BC=20cm ，

42、點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始沿 AB 邊向 B 點(diǎn)以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開(kāi)始沿 BC 邊向點(diǎn) C 以 4cm/s 的速度移動(dòng)，如果P、 Q 分別從 A、 B 同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘， PBQ與ABC相似考點(diǎn)：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型。分析： 設(shè)經(jīng)過(guò) t 秒后，PB與 Q ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP=2t ， BQ=4t ， BP=10 2t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可解答： 解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒后t 秒后，PB與 Q ABC相似，則有AP=2t ， BQ=4t ， BP=10 2t，當(dāng)PBQA時(shí)，有 BCBP： AB=BQ

43、： BC，即（10 2t ）： 10=4t：20 ，解得t=2.5 （s） （ 6 分）當(dāng)QBPA時(shí)，有BCBQ： AB=BP ： BC，即 4t： 10= （ 10 2t） ： 20，解得t=1 所以，經(jīng)過(guò)2.5s 或 1s 時(shí)，PB與QABC相似（10 分） 解法二：設(shè)ts 后，PB與QABC相似，則有，AP=2t ， BQ=4t ， BP=10 2t分兩種情況：（ 1 ）當(dāng) BP 與 AB 對(duì)應(yīng)時(shí)，有= ，即= ，解得 t=2.5s（ 2）當(dāng) BP 與 BC 對(duì)應(yīng)時(shí)，有= ，即 =，解得 t=1s所以經(jīng)過(guò)1s 或 2.5s 時(shí)，以P、 B、 Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似 ABC點(diǎn)評(píng)： 本

44、題綜合了路程問(wèn)題和三角形的問(wèn)題，所以學(xué)生平時(shí)學(xué)過(guò)的知識(shí)要會(huì)融合起來(lái)16 如圖，ACB= ADC=90 A°， C=， AD=2 問(wèn)當(dāng) AB 的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似考點(diǎn)：相似三角形的判定。專(zhuān)題：分類(lèi)討論。分析：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似在Rt ABC和 Rt ACD，直角邊的對(duì)應(yīng)需分情況討論解答： 解： AC= ， AD=2 ， CD= 要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：（1 ）當(dāng)Rt ABCRt A時(shí)，有 CD=，AB=3 ；（2）當(dāng)Rt ACBRt C時(shí)，有 DA=，AB=3故當(dāng) AB

45、 的長(zhǎng)為 3 或 3 時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似點(diǎn)評(píng)： 本題考查相似三角形的判定識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比17 已知， 如圖， 在邊長(zhǎng)為a 的正方形ABCD 中， M 是 AD 的中點(diǎn)， 能否在邊AB 上找一點(diǎn)N（不含A、 B） ，使得CDM與MAN相似？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：分析：兩個(gè)三角形都是直角三角形，還只需滿(mǎn)足一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等或夾直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可說(shuō)明兩個(gè)三角形相似若 DM 與 AM 對(duì)應(yīng)，則CD與 M MAN全等，N 與 B 重合，不合題意；解答：

46、若 DM 與 AN 對(duì)應(yīng)，則CD：AM=DM ： AN ，得 AN= a，從而確定N 的位置證明：分兩種情況討論：若CDMMAN，則= a， M 是 AD 的中點(diǎn)，AN= a若CDMNAM，則邊長(zhǎng)為a， M 是 AD 的中點(diǎn)， AN=a ，即N 點(diǎn)與 B 重合，不合題意所以，能在邊AB 上找一點(diǎn)N （不含A、 B） ，使得CD與MMAN相似當(dāng)AN= a 時(shí)， N 點(diǎn)的位置滿(mǎn)足條件點(diǎn)評(píng)： 此題考查相似三角形的判定因不明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以需分類(lèi)討論18 如圖在A(yíng)中， BCC=90 °， BC=8cm ， AC=6cm ，點(diǎn) Q 從 B 出發(fā)，沿BC 方向以 2cm/s 的速度移動(dòng)，點(diǎn) P

47、從 C 出發(fā)，沿CA 方向以 1cm/s 的速度移動(dòng)若Q、 P 分別同時(shí)從B、 C 出發(fā)，試探究經(jīng)過(guò)多少秒后，以點(diǎn) C、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形與相似？ CBA考點(diǎn)：專(zhuān)題：分析： 此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過(guò)x 秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動(dòng)的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解解答： 解：設(shè)經(jīng)過(guò)x 秒后，兩三角形相似，則CQ= （ 8 2x） cm ， CP=xcm ， （ 1 分）C= C=90或時(shí)，兩三角形相似或時(shí)，兩三角形相似時(shí)，兩三角形相似1 ）當(dāng)時(shí)， x= ；x3 分）4 分）2）當(dāng)時(shí)，x= （ 5 分）所以，經(jīng)過(guò)秒或 秒后，兩三角形相似

48、（ 6 分） 本題綜合考查了路程問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法19 如圖所示，梯形ABCD 中，AD BC，A=90 °，AB=7 ， AD=2 ， BC=3 ，試在腰AB 上確定點(diǎn)P 的位置，使得以P， A， D 為頂點(diǎn)的三角形與以P， B， C 為頂點(diǎn)的三角形相似考點(diǎn)：相似三角形的判定；梯形。專(zhuān)題：分類(lèi)討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，選擇適宜的判定方法解題時(shí)要注意一題多解的情況，要注意別漏解解答： 解： （ 1 ）若點(diǎn)A， P， D 分別與點(diǎn)B， C， P 對(duì)應(yīng)，即APDBCP，=，=， AP2 7AP+6=0 ， AP=1 或 AP=6 ，檢測(cè)：當(dāng)AP=1 時(shí)，由 BC=3 ， AD=2 ， BP=6 ，=，=，又A= B=90 °，APDBCP當(dāng) AP=6 時(shí)，由 BC=3 ， AD=2 ， BP=1 ，又A= B=90 °，APDBCP（ 2）若點(diǎn)A， P， D 分別與點(diǎn)B， P， C 對(duì)應(yīng)，即APDBPC=，= ， AP= 檢驗(yàn)：當(dāng)AP= 時(shí)，由 BP= ， AD=2 ， BC=3 ，=，又A=