初等數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題 第01題 阿基米德分牛問(wèn)題Archimedes' Problema Bovinum 太陽(yáng)神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成. 在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù) ，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1 /7. 在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是 全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7. 問(wèn)這牛群是怎樣組成的？ 第02題 德·梅齊里亞克的法碼問(wèn)題The Weig

2、ht Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來(lái)，稱(chēng)得每塊碎片的重量都 是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來(lái)稱(chēng)從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物. 問(wèn)這4塊砝碼碎片各重多少？ 第03題 牛頓的草地與母牛問(wèn)題Newton's Problem of the Fields and Cows a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了； a'頭母牛將b'塊地上的牧草在c'天內(nèi)吃完了； a"頭母牛將b"塊地上的牧草在c"天內(nèi)吃完了； 求出從a到c"9個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？ 第

3、04題 貝韋克的七個(gè)7的問(wèn)題Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星號(hào)（*）標(biāo)出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見(jiàn)了的是些什么數(shù)字呢？ 第05題 柯克曼的女學(xué)生問(wèn)題Kirkm

4、an's Schoolgirl Problem 某寄宿學(xué)校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問(wèn)要怎樣安排才能使每個(gè) 女生同其他每個(gè)女生同一行中散步，并恰好每周一次？ 第06題 伯努利-歐拉關(guān)于裝錯(cuò)信封的問(wèn)題The Bernoulli-Euler Problem of the Misad dressed letters 求n個(gè)元素的排列，要求在排列中沒(méi)有一個(gè)元素處于它應(yīng)當(dāng)占有的位置. 第07題 歐拉關(guān)于多邊形的剖分問(wèn)題Euler's Problem of Polygon Division 可以有多少種方法用對(duì)角線(xiàn)把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？ 第08題 魯

5、卡斯的配偶夫婦問(wèn)題Lucas' Problem of the Married Couples n對(duì)夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個(gè)婦人之間坐一個(gè)男人，而沒(méi)有一個(gè)男人和自己的妻 子并坐，問(wèn)有多少種坐法？ 第09題 卡亞姆的二項(xiàng)展開(kāi)式Omar Khayyam's Binomial Expansion 當(dāng)n是任意正整數(shù)時(shí)，求以a和b的冪表示的二項(xiàng)式a+b的n次冪. 第10題 柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 求證n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值. 第11題 伯努利冪之和的問(wèn)題Bernoulli's Power Sum Problem

6、確定指數(shù)p為正整數(shù)時(shí)最初n個(gè)自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+np. 第12題 歐拉數(shù)The Euler Number 求函數(shù)(x)=(1+1/x)x及(x)=(1+1/x)x+1當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)的極限值. 第13題 牛頓指數(shù)級(jí)數(shù)Newton's Exponential Series 將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項(xiàng)為x的冪的級(jí)數(shù). 第14題 麥凱特爾對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 不用對(duì)數(shù)表，計(jì)算一個(gè)給定數(shù)的對(duì)數(shù). 第15題 牛頓正弦及余弦級(jí)數(shù)Newton's Sine and Cosine Series 不用查表計(jì)算

7、已知角的正弦及余弦三角函數(shù). 第16題 正割與正切級(jí)數(shù)的安德烈推導(dǎo)法Andre's Derivation of the Secant and Tang ent Series 在n個(gè)數(shù)1，2，3，,n的一個(gè)排列c1，c2，cn中，如果沒(méi)有一個(gè)元素ci的值介于 兩個(gè)鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱(chēng)c1，c2，cn為1，2，3，,n的一個(gè)屈折排列. 試?yán)们叟帕型茖?dǎo)正割與正切的級(jí)數(shù). 第17題 格雷戈里的反正切級(jí)數(shù)Gregory's Arc Tangent Series 已知三條邊，不用查表求三角形的各角. 第18題 德布封的針問(wèn)題Buffon's Needle Pro

8、blem 在臺(tái)面上畫(huà)出一組間距為d的平行線(xiàn)，把長(zhǎng)度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺(tái)面上 ，問(wèn)針觸及兩平行線(xiàn)之一的概率如何？ 第19題 費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 每個(gè)可表示為4n+1形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來(lái)表示. 第20題 費(fèi)馬方程The Fermat Equation 求方程x2dy2=1的整數(shù)解，其中d為非二次正整數(shù). 第21題 費(fèi)馬-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 證明兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù). 第22題 二次互反律The Quadrat

9、ic Reciprocity Law （歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素?cái)?shù)p與q的勒讓德互反符號(hào)取決于公式 （p/q）·（q/p）=（1）(p-1)/2·(q-1)/2. 第23題 高斯的代數(shù)基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 每一個(gè)n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0具有n個(gè)根. 第24題 斯圖謨的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題Sturm's Problem of the Number of Roots 求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù). 第25題 阿貝爾不可能性定理Abel's Impossibi

10、lity Theorem 高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法. 第26題 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系數(shù)A不等于零，指數(shù)為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達(dá)式A1e1+A2e2+A3e3+不可 能等于零. 第27題 歐拉直線(xiàn)Euler's Straight Line 在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線(xiàn)的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線(xiàn)歐拉線(xiàn)上， 而且三點(diǎn)的分隔為：各高線(xiàn)的交點(diǎn)（垂心）至各中線(xiàn)的交點(diǎn)（重心）的距離兩倍于外接圓 的圓心至各中線(xiàn)的交點(diǎn)的距離. 第28題 費(fèi)爾巴哈圓The Feuerbach Circle 三角形

11、中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三個(gè)高的垂足和高的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的線(xiàn)段的三個(gè)中點(diǎn)在一 個(gè)圓上. 第29題 卡斯蒂朗問(wèn)題Castillon's Problem 將各邊通過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)的一個(gè)三角形內(nèi)接于一個(gè)已知圓. 第30題 馬爾法蒂問(wèn)題Malfatti's Problem 在一個(gè)已知三角形內(nèi)畫(huà)三個(gè)圓，每個(gè)圓與其他兩個(gè)圓以及三角形的兩邊相切. 第31題 蒙日問(wèn)題Monge's Problem 畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交. 第32題 阿波洛尼斯相切問(wèn)題The Tangency Problem of Apollonius. 畫(huà)一個(gè)與三個(gè)已知圓相切的圓. 第33題 馬索若尼圓規(guī)問(wèn)題Machero

12、ni's Compass Problem. 證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出. 第34題 斯坦納直尺問(wèn)題Steiner's Straight-edge Problem 證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便 可作出. 第35題 德里安倍立方問(wèn)題The Deliaii Cube-doubling Problem 畫(huà)出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊. 第36題 三等分一個(gè)角Trisection of an Angle 把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角. 第37題 正十七邊形The Regular Heptadecagon 畫(huà)一正十七邊

13、形. 第38題 阿基米德值確定法Archimedes' Determination of the Number Pi 設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長(zhǎng)分別為av和bv，便依次得到多邊形周長(zhǎng)的阿基米德 數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，其中av+1是av、bv的調(diào)和中項(xiàng)，bv+1是bv、av+1的等 比中項(xiàng). 假如已知初始兩項(xiàng)，利用這個(gè)規(guī)則便能計(jì)算出數(shù)列的所有項(xiàng). 這個(gè)方法叫作阿基 米德算法. 第39題 富斯弦切四邊形問(wèn)題Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切圓連心線(xiàn)之間的關(guān)系

14、.（注：一個(gè)雙心或弦切四 邊形的定義是既內(nèi)接于一個(gè)圓而同時(shí)又外切于另一個(gè)圓的四邊形） 第40題 測(cè)量附題Annex to a Survey 利用已知點(diǎn)的方位來(lái)確定地球表面未知但可到達(dá)的點(diǎn)的位置. 第41題 阿爾哈森彈子問(wèn)題Alhazen's Billiard Problem 在一個(gè)已知圓內(nèi)，作出一個(gè)其兩腰通過(guò)圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的等腰三角形. 第42題 由共軛半徑作橢圓An Ellipse from Conjugate Radii 已知兩個(gè)共軛半徑的大小和位置，作橢圓. 第43題 在平行四邊形內(nèi)作橢圓An Ellipse in a Parallelogram, 在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢

15、圓，它與該平行四邊形切于一邊界點(diǎn). 第44題 由四條切線(xiàn)作拋物線(xiàn)A Parabola from Four Tangents 已知拋物線(xiàn)的四條切線(xiàn)，作拋物線(xiàn). 第45題 由四點(diǎn)作拋物線(xiàn)A Parabola from Four Points. 過(guò)四個(gè)已知點(diǎn)作拋物線(xiàn). 第46題 由四點(diǎn)作雙曲線(xiàn)A Hyperbola from Four Points. 已知直角（等軸）雙曲線(xiàn)上四點(diǎn)，作出這條雙曲線(xiàn). 第47題 范·施古登軌跡題Van Schooten's Locus Problem 平面上的固定三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)沿平面上一個(gè)角的兩個(gè)邊滑動(dòng)，第三個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是 什么？ 第48題 卡丹旋輪

16、問(wèn)題Cardan's Spur Wheel Problem. 一個(gè)圓盤(pán)沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤(pán)的內(nèi)緣滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)圓盤(pán)上標(biāo)定的一點(diǎn)所描 出的軌跡是什么？ 第49題 牛頓橢圓問(wèn)題Newton's Ellipse Problem. 確定內(nèi)切于一個(gè)已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡. 第50題 彭賽列-布里昂匈雙曲線(xiàn)問(wèn)題The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線(xiàn)的所有三角形的頂垂線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡. 第51題 作為包絡(luò)的拋物線(xiàn)A Parabola as Envelope 從角的頂點(diǎn)，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線(xiàn)段

17、e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線(xiàn)段 f，并將線(xiàn)段的端點(diǎn)注以數(shù)字，從頂點(diǎn)開(kāi)始，分別為0，1，2，n和n，n1，2，1 ，0. 求證具有相同數(shù)字的點(diǎn)的連線(xiàn)的包絡(luò)為一條拋物線(xiàn). 第52題 星形線(xiàn)The Astroid 直線(xiàn)上兩個(gè)標(biāo)定的點(diǎn)沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動(dòng)，求這條直線(xiàn)的包絡(luò). 第53題 斯坦納的三點(diǎn)內(nèi)擺線(xiàn)Steiner's Three-pointed Hypocycloid 確定一個(gè)三角形的華萊士（Wallace）線(xiàn)的包絡(luò). 第54題 一個(gè)四邊形的最接近圓的外接橢圓The Most Nearly Circular Ellipse Circum scribing a Quadrilat

18、eral 一個(gè)已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個(gè)與圓的偏差最?。?第55題 圓錐曲線(xiàn)的曲率The Curvature of Conic Sections 確定一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的曲率. 第56題 阿基米德對(duì)拋物線(xiàn)面積的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 確定包含在拋物線(xiàn)內(nèi)的面積. 第57題 推算雙曲線(xiàn)的面積Squaring a Hyperbola 確定雙曲線(xiàn)被截得的部分所含的面積. 第58題 求拋物線(xiàn)的長(zhǎng)Rectification of a Parabola 確定拋物線(xiàn)弧的長(zhǎng)度. 第59題 笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues' H

19、omology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直 線(xiàn)上. 反之，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線(xiàn)上，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連 線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn). 第60題 斯坦納的二重元素作圖法Steiner's Double Element Construction 由三對(duì)對(duì)應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素. 第61題 帕斯卡六邊形定理Pascal's Hexagon Theorem 求證內(nèi)接于圓錐曲線(xiàn)的六邊形中，三雙對(duì)邊的交點(diǎn)在一直線(xiàn)上. 第62題 布里

20、昂匈六線(xiàn)形定理Brianchon's Hexagram Theorem 求證外切于圓錐曲線(xiàn)的六線(xiàn)形中，三條對(duì)頂線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn). 第63題 笛沙格對(duì)合定理Desargues' Involution Theorem 一條直線(xiàn)與一個(gè)完全四點(diǎn)形*的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線(xiàn)構(gòu)成一個(gè) 對(duì)合的四個(gè)點(diǎn)偶. 一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線(xiàn)形*的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線(xiàn) 形的圓錐曲線(xiàn)所引的切線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)射線(xiàn)偶. *一個(gè)完全四點(diǎn)形（四線(xiàn)形）實(shí)際上含有四點(diǎn)（線(xiàn)）1，2，3，4和它們的六條連線(xiàn)交點(diǎn) 23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱(chēng)為對(duì)邊

21、（對(duì)頂點(diǎn)）. 第64題 由五個(gè)元素得到的圓錐曲線(xiàn)A Conic Section from Five Elements 求作一個(gè)圓錐曲線(xiàn)，它的五個(gè)元素點(diǎn)和切線(xiàn)是已知的. 第65題 一條圓錐曲線(xiàn)和一條直線(xiàn)A Conic Section and a Straight Line 一條已知直線(xiàn)與一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)相交，求作它們 的交點(diǎn). 第66題 一條圓錐曲線(xiàn)和一定點(diǎn)A Conic Section and a Point 已知一點(diǎn)及一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)，作出從該點(diǎn)列到該 曲線(xiàn)的切線(xiàn). 第67題 斯坦納的用平面分割空間Steiner's Division of

22、 Space by Planes n個(gè)平面最多可將整個(gè)空間分割成多少份？ 第68題 歐拉四面體問(wèn)題Euler's Tetrahedron Problem 以六條棱表示四面體的體積. 第69題 偏斜直線(xiàn)之間的最短距離The Shortest Distance Between Skew Lines 計(jì)算兩條已知偏斜直線(xiàn)之間的角和距離. 第70題 四面體的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 確定一個(gè)已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑. 第71題 五種正則體The Five Regular Solids 將一個(gè)球面分成全等的球面正多邊形. 第

23、72題 正方形作為四邊形的一個(gè)映象The Square as an Image of a Quadrilateral 證明每個(gè)四邊形都可以看作是一個(gè)正方形的透視映象. 第73題 波爾凱-許瓦爾茲定理The Pohlke-Schwartz Theorem 一個(gè)平面上不全在同一條直線(xiàn)上的四個(gè)任意點(diǎn)，可認(rèn)為是與一個(gè)已知四面體相似的四 面體的各隅角的斜映射. 第74題 高斯軸測(cè)法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 正軸測(cè)法的高斯基本定理：如果在一個(gè)三面角的正投影中，把映象平面作為復(fù)平面， 三面角頂點(diǎn)的投影作為零點(diǎn)，邊的各端點(diǎn)的投影作為平面的

24、復(fù)數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等 于零. 第75題 希帕查斯球極平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法. 第76題 麥卡托投影The Mercator Projection 畫(huà)一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的. 第77題 航海斜駛線(xiàn)問(wèn)題The Problem of the Loxodrome 確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線(xiàn)的經(jīng)度. 第78題 海上船位置的確定Determining the Position of a Ship at Sea 利用天文經(jīng)線(xiàn)推算法確定船在海上的位置. 第79題

25、高斯雙高度問(wèn)題Gauss' Two-Altitude Problem 根據(jù)已知兩星球的高度以確定時(shí)間及位置. 第80題 高斯三高度問(wèn)題Gauss' Three-Altitude Problem 從在已知三星球獲得同高度瞬間的時(shí)間間隔，確定觀察瞬間，觀察點(diǎn)的緯度及星球的 高度. 第81題 刻卜勒方程The Kepler Equation 根據(jù)行星的平均近點(diǎn)角，計(jì)算偏心及真近點(diǎn)角. 第82題 星落Star Setting 對(duì)給定地點(diǎn)和日期，計(jì)算一已知星落的時(shí)間和方位角. 第83題 日晷問(wèn)題The Problem of the Sundial 制作一個(gè)日晷. 第84題 日影曲線(xiàn)The

26、 Shadow Curve 當(dāng)直桿置于緯度的地點(diǎn)及該日太陽(yáng)的赤緯有值時(shí)，確定在一天過(guò)程中由桿的一點(diǎn) 投影所描繪的曲線(xiàn). 第85題 日食和月食Solar and Lunar Eclipses 如果對(duì)于充分接近日食時(shí)間的兩個(gè)瞬間太陽(yáng)和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知 ，確定日食的開(kāi)始和結(jié)束，以及太陽(yáng)表面被隱蔽部分的最大值. 第86題 恒星及會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 確定已知恒星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)的會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期. 第87題 行星的順向和逆向運(yùn)動(dòng)Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么時(shí)候從順向轉(zhuǎn)為逆向運(yùn)動(dòng)（或反過(guò)來(lái)，從逆向轉(zhuǎn)為順向運(yùn)動(dòng)）？ 第88題 蘭伯特慧星問(wèn)題Lambert's Comet Prolem 借助焦半徑及連接弧端點(diǎn)的弦，來(lái)表示慧星描繪拋物線(xiàn)軌道的一段弧所需的時(shí)間. 第89題 與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問(wèn)題Steiner's Problem Concerning the Euler Number 如果x為正變數(shù)，x取何值時(shí)，x的x次方根為最大？ 第90