追求數(shù)學(xué)課堂的本來面目

1、追求數(shù)學(xué)課堂的本來面目第七次課題會(huì)成果綜述章建躍一、概述“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”課題組第七次會(huì)議，于2008年10月17日19日在浙江省嘉興市秀州中學(xué)舉行。本次會(huì)議由浙江省嘉興市教研室、嘉興市秀州中學(xué)承辦。值得一提的是，秀州中學(xué)是數(shù)學(xué)大師陳省身先生的母校，在這所百年老校舉行課題會(huì)，使我們有一種歷史的厚重感，也有一份為發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)、使我國(guó)走向世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)而努力的使命感。參加本次課題會(huì)研究課和評(píng)課活動(dòng)的代表，除課題組成員外，還有山西省各地市教研員、課標(biāo)實(shí)驗(yàn)省指導(dǎo)組成員近30人，上海市部分中學(xué)的數(shù)學(xué)老師，嘉興市高中教師等200多人。課題組成員在第六次課題

2、會(huì)議后都投入了大量時(shí)間和精力，積極開展研究工作。通過深入反思，課題組在第六次研討會(huì)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一批研究成果，集中發(fā)表在中國(guó)數(shù)學(xué)教育2008年第10期和第11期，這些成果在本次會(huì)議上進(jìn)行了展示。在高中課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)的推進(jìn)過程中，許多課題組成員在各級(jí)各類課改研討活動(dòng)中大力介紹我們的課題成果，擴(kuò)大了課題成果的影響面；省、市教研員在自己的工作平臺(tái)上，以課題組的研究模式為藍(lán)本，創(chuàng)造性地開展教研活動(dòng)，切實(shí)地提高了教研活動(dòng)的針對(duì)性和有效性。課題組的“中期研究報(bào)告”在第11屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的TSG4上，作為大會(huì)接受論文進(jìn)行報(bào)告，與會(huì)者對(duì)我們的案例表現(xiàn)出濃厚興趣。另外，“中期研究報(bào)告”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考20

3、08年第7、8、9、10期連載，引起廣大讀者的較大反響，北京、湖北、安徽、天津、廣東、山西、河南等多個(gè)省市都邀請(qǐng)我們介紹課題進(jìn)展及研究成果。這些活動(dòng)對(duì)于擴(kuò)大我們課題組的影響面、推廣研究成果，都產(chǎn)生了積極作用。本次會(huì)議議題有兩項(xiàng)：第一，以“任意角三角函數(shù)”、“曲線與方程”的研究課為載體，對(duì)“核心概念、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐”開展研討；第二，研討課題后續(xù)工作。陶維林、白濤、郭慧清、桂思銘等四位老師為本次會(huì)議開設(shè)研究課。特別值得一提的是，本次會(huì)議邀請(qǐng)我國(guó)著名的老一輩數(shù)學(xué)教育工作者陳振宣先生作關(guān)于數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的專題報(bào)告。陳先生已87歲高齡，但他仍然精神矍鑠，精力充沛，思路清晰，思維敏捷。他的演講

4、不但使與會(huì)者分享到他長(zhǎng)期研究數(shù)學(xué)教育所取得的成果，聆聽到他對(duì)數(shù)學(xué)教育改革的真知灼見，更重要的是他對(duì)中華民族崛起的責(zé)任感、對(duì)數(shù)學(xué)教育發(fā)自內(nèi)心的熱愛、對(duì)數(shù)學(xué)教改的全身心投入，以及他對(duì)我們課題組的殷切期待，都深深地感動(dòng)著全體課題組成員。二、會(huì)議成果1課題研究指導(dǎo)思想的深化本課題研究的核心理念是“凸現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)化概念教學(xué)，全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價(jià)值”；在具體實(shí)踐上，抓中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的教學(xué)，在“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”基礎(chǔ)上開展教學(xué)設(shè)計(jì)研究。作為一項(xiàng)行動(dòng)研究，我們強(qiáng)調(diào)“實(shí)踐基礎(chǔ)上的理論概括”，全體成員根據(jù)自己對(duì)數(shù)學(xué)教育的理解，從不同角度出發(fā)進(jìn)行反思、總結(jié)，這是一個(gè)必要的階段。隨著研究

5、的深入，在中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建和教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐上，需要更進(jìn)一步地明確指導(dǎo)思想。我們認(rèn)為，陳振宣先生提出的“以自然辯證法、思維科學(xué)理論和數(shù)學(xué)發(fā)展史為指導(dǎo)”的建議是中肯的，值得大家深入思考、貫徹。另外，在研究過程中，學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)也很重要。例如，本次的研究課的兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容，“曲線與方程”是“直線與方程”“圓與方程”的上位概念，學(xué)生的學(xué)習(xí)是上位學(xué)習(xí)；“任意角三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，學(xué)生的學(xué)習(xí)是下位學(xué)習(xí)（一般函數(shù)概念下的具體函數(shù)），但又不能簡(jiǎn)單化（并不是直接的“數(shù)集到數(shù)集的映射”）。如果有學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)和課后反思、評(píng)價(jià)將會(huì)更加到位。2教學(xué)設(shè)計(jì)的“立意

6、”問題教學(xué)設(shè)計(jì)始終要把數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”目標(biāo)放在心上，也就是要認(rèn)真考慮本堂課在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)展學(xué)生的智力、培育學(xué)生的理性精神上能做點(diǎn)什么，這也就是教學(xué)設(shè)計(jì)的“立意”問題。應(yīng)當(dāng)肯定，本次研究課中，幾位老師都特別注意了這個(gè)問題：“任意角的三角函數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)注意通過與“銳角三角函數(shù)”概念的因襲與擴(kuò)張關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生參與“定義任意角三角函數(shù)的過程”；“曲線與方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)特別強(qiáng)調(diào)“坐標(biāo)法”這一解析幾何根本大法的滲透，注意通過具體事例的概括、辨析，引導(dǎo)學(xué)生從新的高度（聯(lián)系、關(guān)系、運(yùn)動(dòng)、軌跡、一一對(duì)應(yīng)等）認(rèn)識(shí)已有對(duì)象，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。當(dāng)然，“細(xì)節(jié)決定成敗”。有了適切的“立意”，借

7、助怎樣的載體來落實(shí)，也是一個(gè)值得細(xì)究的問題。例如，“曲線與方程”的教學(xué)中，采用什么例子可以使學(xué)生對(duì)“完備性”“純粹性”的印象深刻，并在今后的學(xué)習(xí)中逐步深入地體會(huì)其真諦，養(yǎng)成相應(yīng)的表達(dá)習(xí)慣，進(jìn)而形成一種基本素養(yǎng)，就是一個(gè)需要精心設(shè)計(jì)的問題。3教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)是“預(yù)設(shè)”的，課堂教學(xué)是“生成”的，這兩者一定存在落差，這是人所共知的。關(guān)鍵是如何加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)見性，這樣才能實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性，教學(xué)質(zhì)量也才有保證。教學(xué)是科學(xué)也是藝術(shù)。教學(xué)設(shè)計(jì)更多地體現(xiàn)了“科學(xué)性”的一面。一個(gè)好的設(shè)計(jì)需要有好的老師去實(shí)施，這是由教學(xué)的“藝術(shù)性”特征所決定的。本次活動(dòng)表明，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)能較好地解決“數(shù)學(xué)理

8、解”和從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程角度構(gòu)建教學(xué)過程、設(shè)計(jì)“問題串”引導(dǎo)學(xué)習(xí)的問題，也能解決從分析新舊知識(shí)關(guān)系入手的概念學(xué)習(xí)認(rèn)知分析問題。應(yīng)當(dāng)說，這對(duì)教師的專業(yè)化發(fā)展具有奠基性作用，是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵之一。但是，教學(xué)設(shè)計(jì)很難解決與學(xué)生情況、教學(xué)環(huán)境緊密相關(guān)的“教學(xué)機(jī)智”問題。所以，我們的課題研究成果，應(yīng)當(dāng)爭(zhēng)取成為“無聲的高水平教練”，要把教學(xué)的“科學(xué)性”一面解決好，使其他教師在學(xué)習(xí)、理解課題成果時(shí)能感到啟發(fā)性大，使他們?cè)敢庠谖覀兊慕虒W(xué)設(shè)計(jì)的引導(dǎo)下改進(jìn)自己的教學(xué)。4教學(xué)設(shè)計(jì)的課堂檢驗(yàn)從杭州市和有的老師反饋的情況看，我們給出的教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路和設(shè)計(jì)文本，與課堂教學(xué)實(shí)踐之間具有較好的適應(yīng)性，具有引領(lǐng)

9、廣大數(shù)學(xué)教師改進(jìn)課堂教學(xué)的作用，但也有許多值得修正的地方。許多課題組成員已經(jīng)看到，課題研究進(jìn)展到今天，已經(jīng)到了通過教學(xué)實(shí)踐檢驗(yàn)，獲得修改已有教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐依據(jù)，并對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改的時(shí)候了。在課堂檢驗(yàn)過程中，科學(xué)地搜集數(shù)據(jù)需要一定的規(guī)范化操作。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)當(dāng)考察哪些指標(biāo)，如何收集相應(yīng)的數(shù)據(jù)，還需要進(jìn)一步研究。為了增強(qiáng)課題成果的科學(xué)性、實(shí)踐性和操作性，可以采取對(duì)比性研究，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行實(shí)踐檢驗(yàn)。具體的，可以選擇一章內(nèi)容，分別用課題組的教學(xué)設(shè)計(jì)和組外教師的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，每課內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析，記錄好數(shù)據(jù)，在完成全章教學(xué)后再進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測(cè)，得出對(duì)比數(shù)據(jù)，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。三、反思成果綜述整體上看，

10、本次活動(dòng)的反思水平比以往有較大提高。這些反思成果，概括起來看，仍然是對(duì)“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的認(rèn)識(shí)上的深化，也就是以“任意角三角函數(shù)”“曲線與方程”兩個(gè)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)為載體，從數(shù)學(xué)（概念的內(nèi)涵、背景、相關(guān)概念和概念的發(fā)生發(fā)展過程等）、學(xué)生學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)概念認(rèn)知分析）以及兩者之間矛盾關(guān)系的理解入手，提出能真正實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)方案。眾所周知，正確的指導(dǎo)思想能使我們把握好教學(xué)的大方向，但只有思想還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，我們不能讓學(xué)生成為“眼高手低”的空談?wù)撸@就需要有反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，能真正促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的具體方法和措施。既有思想、又有方法

11、的教學(xué)才能使學(xué)生“會(huì)想也會(huì)做”?？梢哉J(rèn)為，在對(duì)“如何做”的思考方面所取得的進(jìn)步是本次課題活動(dòng)的主要成果。這里我們不做面面俱到的總結(jié)，只從幾個(gè)側(cè)面概括一下大家的反思成果。1高立意與低起點(diǎn)對(duì)課堂教學(xué)的“高立意”大家有共識(shí)，因?yàn)槲ㄓ羞@樣才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，養(yǎng)成理性精神，從而真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人功能。這就要求我們努力地挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的育人資源，并設(shè)法融入在課堂教學(xué)中?，F(xiàn)在的問題是“如何做”。概括大家的想法，可以發(fā)現(xiàn)比較一致的意見是：解決這一問題的首要原則是設(shè)計(jì)能充分體現(xiàn)概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的“低起點(diǎn)”問題，以此為載體展開概念的概括活動(dòng)，這也是“教學(xué)以學(xué)生的已有認(rèn)知基

12、礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)”的具體體現(xiàn)。我甚至想，如果教學(xué)真正做好了“有思想的低起點(diǎn)”，那么“什么樣的學(xué)生都能對(duì)付”。例如，李昌官老師認(rèn)為，在“曲線與方程”的教學(xué)中，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程、圓與方程，并有通過直線的方程、圓的方程研究直線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等幾何問題的經(jīng)歷，對(duì)坐標(biāo)法通過曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)也有所了解，因此應(yīng)當(dāng)先提出“深層次的問題”，如“為什么能利用方程來研究曲線的性質(zhì)？”“這種方法的可靠性由什么來保證？”這樣自然地想到要考察曲線與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。在這樣的思想指導(dǎo)下（實(shí)際上就是先要有“高立意”），再考察已經(jīng)學(xué)

13、過的直線的方程、圓的方程等概念，以及直線與直線的方程、圓與圓的方程之間的關(guān)系，從中體會(huì)“你就是我，我就是你”的等價(jià)關(guān)系（實(shí)際上就是從“低起點(diǎn)”出發(fā)），然后再概括出“曲線的方程”“方程的曲線”的概念。又如，程?？淌谠凇扒€與方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)分析中，通過剖析“純粹演繹模式”“歸納演繹模式”“類比歸納模式”等幾種設(shè)計(jì)的成敗得失，從既要讓學(xué)生理解“曲線與方程”的概念、又要讓學(xué)生體會(huì)“為什么要引入這個(gè)概念”（“曲線的方程”和“方程的曲線”概念在解析幾何中的地位和作用）出發(fā)，以學(xué)生熟悉的“直線與方程”“圓與方程”為載體，在給出抽象概念之前，先讓學(xué)生經(jīng)歷較完整的“求曲線的方程由方程討論曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（對(duì)稱

14、性）”的過程，使學(xué)生建立起“純粹性”“完備性”的充分體驗(yàn)，體會(huì)到引入曲線與方程概念的必要性與合理性后，再給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并借助反例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念辨析，使學(xué)生不僅理解概念，而且也從內(nèi)心接受“曲線的方程”“方程的曲線”這樣“顛來倒去”的數(shù)學(xué)定義。我認(rèn)為，程教授的這一教學(xué)設(shè)計(jì)值得一試。當(dāng)然，“低起點(diǎn)”到底在哪里，“低”到什么程度，不同的設(shè)計(jì)者可能有不同的看法，這是由新概念與學(xué)生頭腦中已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的復(fù)雜關(guān)系所決定的。認(rèn)知結(jié)構(gòu)是網(wǎng)狀的，因而新舊知識(shí)的聯(lián)系是多途徑的，所以學(xué)習(xí)的起點(diǎn)往往不是唯一的，這就有一個(gè)取舍問題?？傇瓌t應(yīng)該是“就近”，但也不排除“繞個(gè)彎子”，主要看學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握水平。例如：

15、“曲線與方程”的教學(xué)起點(diǎn)，可以是對(duì)“曲線上所有點(diǎn)的集合”與“方程F(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)所成的集合”的等價(jià)性的討論；也可以是“函數(shù)”與“函數(shù)的圖像”的關(guān)系的討論；還可以是“直接從定義出發(fā)，再用具體例子說明”；還可以是直線與直線的方程、圓與圓的方程之間的關(guān)系的討論。這些想法都有一定的道理，但確實(shí)有是否有利于學(xué)生建立曲線與方程的概念的差異。例如，以“函數(shù)”與“函數(shù)的圖像”為起點(diǎn)的做法可能會(huì)干擾學(xué)生認(rèn)識(shí)當(dāng)前概念，因?yàn)楹瘮?shù)及其圖像是反映兩個(gè)變量之間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，而“方程與曲線”的概念是“用代數(shù)方法討論曲線的幾何性質(zhì)”的理論基礎(chǔ)，兩者的內(nèi)容、方法都有較大差異。而程教授的方案值得一試的理由則在

16、于它是在學(xué)生熟悉的背景中討論新的問題，而且是一個(gè)坐標(biāo)法思想指導(dǎo)下的“求曲線的方程由方程討論曲線的性質(zhì)”的完整過程。同樣，“任意角三角函數(shù)的概念”的教學(xué)起點(diǎn)也可以有不同的考慮。大多數(shù)老師認(rèn)同“以銳角三角函數(shù)概念為起點(diǎn)”。不過，實(shí)踐表明，這一起點(diǎn)與任意角三角函數(shù)的概念并不是“就近”的，其原因是銳角三角函數(shù)的定義以直角三角形為載體，關(guān)注的是“解決直角三角形的邊角關(guān)系問題”，而對(duì)它的函數(shù)本性的認(rèn)識(shí)并不作為重點(diǎn)，銳角三角函數(shù)并沒有被納入函數(shù)概念體系中。因此，要使銳角三角函數(shù)概念成為教學(xué)的起點(diǎn)，還需要一個(gè)較長(zhǎng)的過程鋪墊：回顧定義坐標(biāo)化（全新的學(xué)習(xí)）“單位化”（取r=1，全新的學(xué)習(xí)），而且還要冒“學(xué)生無法把

17、任意角的三角函數(shù)的概念納入到函數(shù)的概念中”的風(fēng)險(xiǎn)。因此，張曜光老師提出的“函數(shù)概念統(tǒng)領(lǐng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)”的起點(diǎn)是：圓心在原點(diǎn)的圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)隨角的變化而變化的“操作、觀察”，先讓學(xué)生建立起“任意給定一個(gè)角，圓周上就有唯一的一個(gè)點(diǎn)P(x，y)與之對(duì)應(yīng)”的直觀感受，把注意力集中在三角函數(shù)的“函數(shù)特性”上，能使學(xué)生認(rèn)清其對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域和值域等，從而真正把握三角函數(shù)的“本來面目”。受張老師觀點(diǎn)的啟發(fā)，我想，“現(xiàn)在角的范圍擴(kuò)大了我們應(yīng)該如何定義sin,cos,tan呢？”這一問題不是本源性的，以此作為引發(fā)認(rèn)知沖突的轉(zhuǎn)折性問題，既不本質(zhì)也不夠大氣，這樣做很難讓學(xué)生感受到引入任意角三角函數(shù)概念的必要性，因此

18、應(yīng)考慮更本源性的引入背景。是否可以在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”的思想指導(dǎo)下，以“如何建立圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型”為教學(xué)起點(diǎn)，調(diào)動(dòng)象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，在建立函數(shù)模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數(shù)的概念。這樣，既可以使學(xué)生知道這一概念的背景、解決的問題，也可以使他們感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，還可以讓他們體會(huì)三角函數(shù)在物理學(xué)科中的重要性。如果這樣的設(shè)計(jì)思想能夠?qū)崿F(xiàn)，那么其效果是一舉多得的。2數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)對(duì)于概念教學(xué)的重要性我們已經(jīng)有了充分的認(rèn)識(shí)，“核心概念的教學(xué)要不惜時(shí)、不惜力”是大家的共識(shí)。在以往的研究中，我們?cè)?jīng)總結(jié)過概念教學(xué)的核

19、心、基本步驟和注意點(diǎn)：概念教學(xué)的核心是概括，就是將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程。概念教學(xué)的基本步驟是背景引入；典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義（準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述）；概念的辨析以實(shí)例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。概念教學(xué)的注意點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)概念的高

20、度抽象性，決定了對(duì)它的認(rèn)識(shí)過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升、在已有基礎(chǔ)上再概括的過程；第二，人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要“重演”人類的認(rèn)識(shí)過程，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說、對(duì)應(yīng)說、關(guān)系說等），這也是“教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的本意所在；第三，為了更有利于學(xué)生開展概括活動(dòng)，例子的選擇至關(guān)重要，“一個(gè)好例子勝過一千條說教”；第四，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的精致過程，即要對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對(duì)概念的正例、反例作判斷的過程，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)；第五，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念

21、，即要通過概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時(shí)，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程。應(yīng)當(dāng)說，上述總結(jié)對(duì)概念教學(xué)具有指導(dǎo)意義，而且也有操作性，但從研究的角度看，還需要進(jìn)一步深入到細(xì)節(jié)中去。本著“拿來主義”的精神，陳雪梅老師運(yùn)用“數(shù)學(xué)概念的二重性理論”和杜賓斯基的“APOS理論模型”，分析了任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)中的成敗得失，并在理論指導(dǎo)下提出了改進(jìn)建議。從上述總結(jié)中可以看到，我們強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)概念教學(xué)不僅要讓學(xué)生知道概念的定義，而且要讓學(xué)生知道概念的背景，知道概念所反映的思想方法，知道如何用概念作判斷，知道當(dāng)前概念與相關(guān)概念的聯(lián)系。為什么要強(qiáng)調(diào)這些呢？原因是數(shù)學(xué)概念

22、的二重性：過程對(duì)象、算法結(jié)果、操作行為結(jié)構(gòu)關(guān)系和與之相應(yīng)動(dòng)態(tài)靜態(tài)，細(xì)節(jié)整體；歷時(shí)（繼時(shí)）共時(shí)（同時(shí)）的特性。由于概念的形成往往要經(jīng)歷由過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知過程，因此概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循“過程先于對(duì)象”的認(rèn)知發(fā)展順序。具體而言，為了讓學(xué)生真正把握概念的本質(zhì)（對(duì)象）并能應(yīng)用，在教學(xué)設(shè)計(jì)中我們就應(yīng)當(dāng)精心、有序地安排動(dòng)作、過程、對(duì)象和圖式結(jié)構(gòu)等心智結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程，使學(xué)生經(jīng)歷從低層級(jí)的心智結(jié)構(gòu)向高一層級(jí)心智結(jié)構(gòu)的發(fā)展過程，并精選載體（數(shù)學(xué)問題），促進(jìn)不同水平上心智結(jié)構(gòu)之間的相互作用。用我們熟悉的語(yǔ)言來說，就是：概念教學(xué)必須以典型、豐富的具體例證為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的歸納、概括過程而理解概念的本質(zhì)，

23、并建立相關(guān)概念的聯(lián)系。順便提及，對(duì)于一線教師而言，因?yàn)樵陂L(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中積累了大量經(jīng)驗(yàn)，因此他們采取的教學(xué)方法、措施等與理論之間都有較大的“不謀而合”,但因?yàn)椴恢烙邢嚓P(guān)理論指導(dǎo)而不能實(shí)現(xiàn)“實(shí)踐基礎(chǔ)上的理論概括”。因此，要使自己成長(zhǎng)為專家型教師，理論學(xué)習(xí)是必須的。另外，如果理論素養(yǎng)上去了,教學(xué)會(huì)更自覺,有效性也就更強(qiáng)了。3如何促進(jìn)學(xué)生的概念理解在促進(jìn)學(xué)生的概念理解方面，除了精心預(yù)設(shè)教學(xué)過程外，還需要根據(jù)課堂教學(xué)實(shí)際調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，以使學(xué)生真正卷入數(shù)學(xué)概念的生成過程，達(dá)成對(duì)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。其中包括提出適切性更強(qiáng)的引導(dǎo)性問題，組織思考力度更大的概括活動(dòng)，對(duì)概念的“多元聯(lián)系”的表達(dá)，組織比較性更鮮明的

24、變式訓(xùn)練，還包括營(yíng)造親和力更強(qiáng)的課堂氛圍。首先，具有親和力的課堂是促進(jìn)學(xué)生優(yōu)質(zhì)高效地理解概念的先決條件。大家對(duì)陶維林老師的課堂教學(xué)藝術(shù)贊不絕口，他那始終面帶微笑的表情、商討性的語(yǔ)氣、激勵(lì)性的“追問”、“你是怎么想的？”“大家都是聰明人”等所營(yíng)造的信任學(xué)生的心理氛圍、推遲判斷（不輕易否定學(xué)生的思考結(jié)果）、對(duì)學(xué)生思維成果的由衷贊嘆等等表現(xiàn)，都給人留下深刻印象。有了輕松愉悅的心理氛圍，才能有思維的積極性，這是概念理解的情感基礎(chǔ)問題。值得指出的是，陶老師在課堂中的做法是發(fā)自肺腑的，是以學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實(shí)際表現(xiàn)為基礎(chǔ)的，沒有那種廉價(jià)表?yè)P(yáng)，因而顯得自然、親切和水到渠成。其次，教學(xué)設(shè)計(jì)中的“問題串”應(yīng)該是教學(xué)過程的主線索，這是對(duì)一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)的基本要求。但是，課堂中必然會(huì)出現(xiàn)許多源于學(xué)生的“即時(shí)問題”，這些問題真實(shí)地反映了學(xué)生對(duì)概念的理解狀況，無論對(duì)錯(cuò)，都是促進(jìn)學(xué)生概念理解的好素材，而且，正如李世杰老師指出的，這正是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題的機(jī)會(huì)。總之，概念教學(xué)不能由老師唱獨(dú)角戲，要注意通過挖掘?qū)W生中的問題，采取“追問”（考問）的方式，既促使學(xué)生自己不斷地明確問題，又達(dá)到暴露學(xué)生思維過程的效果，從而使我們的教學(xué)更加有的放矢，使學(xué)生的思維參與度得到實(shí)質(zhì)性提高。第三，例子的選擇和順