高中數(shù)學解題方法之構(gòu)造法含答案

1、十、構(gòu)造法解數(shù)學問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。歷史上有不少著名的數(shù)學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學上的難題。數(shù)學是一門創(chuàng)造性的藝術，蘊含著豐富的美,而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近幾年來，構(gòu)造法極其應用又逐漸為數(shù)學教育界所重視，在數(shù)學競賽中有著一定的地位。構(gòu)造需要以足夠的知識經(jīng)驗為基礎，較強的觀察能力、綜合運用能力和創(chuàng)造能力為前提，

2、根據(jù)題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，使解題另辟蹊徑、水到渠成。用構(gòu)造法解題時，被構(gòu)造的對象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對應、數(shù)學模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。再現(xiàn)性題組1、求證： （構(gòu)造函數(shù)）2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，則（構(gòu)造函數(shù)）3、已知，求證：（構(gòu)造圖

3、形、復數(shù)）4、求證：，并指出等號成立的條件。（構(gòu)造向量）5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：當且僅當時取等號。（構(gòu)造圖形）6、求函數(shù)的最大值（構(gòu)造三角函數(shù)）再現(xiàn)性題組簡解：1、解：設 則，用定義法可證：f (t)在上單調(diào)遞增，令：3 則2、解：左邊 令 t = xy，則，在上單調(diào)遞減 3、解：構(gòu)造單位正方形，O是正方形內(nèi)一點，O到AD, AB的距離為a, b， 則|AO| + |BO| + |CO| + |DO|AC| + |BD|， 其中， 又： 另解：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1 y）i ，Z3

4、= 1 x + y i ，Z4 = 1 x +（1 y）i 模的和，又注意到Z1Z2Z3Z422 i ，于是由 可得4、解：不等式左邊可看成與 x 和與兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標表示，將左邊看成向量=(,)與=( x, )的數(shù)量積，又，所以 當且僅當= (>0)時等號成立，故由得：x=,=1，即 x =時，等號成立。 5、解：從三個根式的結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：作OAa，OBb，OCc，AOB=BOC=60° 如圖（1）則AOC120°，AB=，BC=,AC= 由幾何知識可知：ABBCAC+當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

5、，即ab+bc=ac故當且僅當時取等號。6、解：由根號下的式子看出且故可聯(lián)想到三角函數(shù)關系式并構(gòu)造 所以 ， 當即時，示范性題組一、構(gòu)造函數(shù)理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學從常量到變量的這個認識上的飛躍。很多數(shù)學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。【例1】、已知x,y,z（0，1），求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1 （第15屆俄羅斯數(shù)學競賽題）分析：此題條件、結(jié)論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構(gòu)造法一試。證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)y,z(0,1),f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z

6、-1)0，f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz0，而f(x)是一次函數(shù)，其圖象是直線，由x(0,1)恒有f(x) 0，即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1二、構(gòu)造方程：方程是解數(shù)學題的一個重要工具，許多數(shù)學問題，根據(jù)其數(shù)量關系，在已知和未知之間搭上橋梁，構(gòu)造出方程，使解答簡潔、合理?！纠?】、已知a,b,c為互不相等的實數(shù)，試證：+=1 (1)證：構(gòu)造方程+=1 (2)顯然a,b,c為方程的三個互不相等的實根。從而對任意實數(shù)x均滿足（2）式。特別地，令x=0，即得（1）式?！纠?】、設x,y為實數(shù)，且滿足關系式：則x+

7、y= .（1997年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程，利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性，易得，自然、簡潔。三、構(gòu)造復數(shù)復數(shù)是實數(shù)的延伸，一些難以解決的實數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”?！纠?】、a,b,x,y正實數(shù),且x2+y2=1,求證：+=a+b證：設z1=ax+byi， z2=bx+ayi，則+=Z1+Z2Z1+Z2=(a+b)x+(a+b)yi=(a+b)=a+b，不等式得證：四、構(gòu)造代數(shù)式代數(shù)式是數(shù)學的重要組成要素

8、之一，有許多性質(zhì)值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和應用?！纠?】、當時，求的值.解：由條件得 所以 ，構(gòu)造的因式y(tǒng)=1五、構(gòu)造數(shù)列相當多的數(shù)學問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果?！纠?】證明:(n=1,2,3)分析此命題若直接證明，頗具難度，倘若構(gòu)造數(shù)列x1=x2=xn=1+,xn+1=1利用平均值不等式 ，頓使命題明朗化。六、構(gòu)造向量新教材的一個重要特點是引入向量,代數(shù)、幾何、三角中的很多問題都可以利用向量這一工具來解決.【例7】已知a,b,c為正數(shù),求函數(shù)y=的最小值.解: 構(gòu)造向量=(x,a),=(c-x,b),則原函數(shù)就可化為:y=+ ， ymin=七、構(gòu)造幾何圖形一般來講

9、，代數(shù)問題較為抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心?！纠?】、（見【例1】）證：構(gòu)造邊長為1的正ABC，D，E，F(xiàn)為邊上三點，并設BD=x，CE=y， AF=z，如圖1顯然有SBDE+SCEF+SADF <即x(1-y)+ y(1-z)+ z(1-x)這道競賽題能如此簡潔、直觀地證明，真是妙不可言。【例9】、求證：簡析：的結(jié)構(gòu)特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。解：令 ，則其圖象是橢圓的上半部分，設y2x=m，于是只需證, 因 m為直線y=2xm在y軸上的截距，由圖可知：當直線 y = 2 xm

10、 過點（，0）時，m有最小值為m=；當直線y =2xm與橢圓上半部分相切時，m有最大值。由 得：13x2 + 4mx + m2 4 = 0令= 4（529m2）=0 得：或（舍）即m的最大值為，故，即八、構(gòu)造模型數(shù)學和其它學科一樣，要學以致用，“建模”思想就把數(shù)學這門高度抽象的基礎學科與實際生活緊密地聯(lián)系在一起，在實際中滲透數(shù)學思想，把數(shù)學中的理論作為工作，充分發(fā)揮其作用，因而許多問題可通過構(gòu)造模型來處理【例10】（哥尼斯堡七橋問題）18世紀,東普魯士首府，布勒爾河穿城而過，河中間有兩個小島，如圖。當?shù)氐木用癯５竭@散步，“如何能不重復地一次走遍這七座橋而返回出發(fā)地呢？”許多人均未成功，這便產(chǎn)生

11、了數(shù)學史上著名的“七橋問題”。1735年 歐拉對該問題進行抽象，構(gòu)造出圖論中的“一筆畫”模型才知該問題無解，B這一模型的構(gòu)造充分展示出歐拉超人的智慧。近年來，構(gòu)造模型的方法越來越被重視，并成為高考中的一道獨特的風景線。九、構(gòu)造情境有一些問題看似簡單，但真正處理起來非難則繁，如能合理、巧妙地構(gòu)造一些情境，不但易使問題“柳暗花明”，而且其新穎獨特的解題模式讓人深刻感受到數(shù)學思想維的美妙?！纠?1】如圖4擺放的24張牌，全部反面朝上，以任意一張牌為起點翻牌，一張挨一張翻，只能橫著或豎著翻，不能斜著或跳著翻，問能否將每一張牌全部翻過來？分析：由于每翻一張牌，翻下一張牌又有若干不同的情況，于是情況尤為復

12、雜，難以一一嘗試，我們可以用一特殊的方法來解決此題。構(gòu)造如下情境：假設各張牌如圖5染上白色或黑色，使得黑白相間。這樣，每張牌的下一張牌就是不同色的。而由翻牌的規(guī)則可知翻完所有的牌時兩色牌至多相差一張，但由圖5知白色牌比黑色牌多2張，顯然不可辦得到。從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學方法。運用構(gòu)造法解數(shù)學題可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的思維特點，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以

13、所掌握的知識為背景，以具備的能力為基礎，以觀察為先導，以分析為武器，通過仔細地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。鞏固性題組1、已知x > 0，求證： （構(gòu)造函數(shù)）2、若，且，則（構(gòu)造函數(shù)）3、記，則（構(gòu)造圖形）4、求證：（構(gòu)造向量）5、正數(shù)滿足，求證：（巧用均值不等式）6、求證：如果，那么（構(gòu)造函數(shù)）7、已知數(shù)列, , 求（構(gòu)造數(shù)列）8、求證：(其中nN+)（構(gòu)造數(shù)列）9、求函數(shù)的值域（構(gòu)造圖形）10、求函數(shù)的最值（構(gòu)造圖形）構(gòu)造法鞏固性題組答案1、解：構(gòu)造函數(shù) 則， 設2a<b 由2a<b a - b > 0, ab - 1 &g

14、t; 0, ab > 0 上式 > 0在上單調(diào)遞增，左邊2、解：令，又，在上單調(diào)遞增3、解：構(gòu)造矩形ABCD, F在CD上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 則（注：本題也可用分析法）4、解：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成 =(1y , x+y3 , 2x+y6)模的平方，又 ,為使為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造于是=所以即5、分析：條件式中次數(shù)是3次，而結(jié)論式中是1次，所以需要降冪。又結(jié)論式是不等式，當且僅當時成立。于是考慮構(gòu)造均值不等式。 解：由均值不等式得： （1）同理（2） 由（1）+（2）變形整理得：6、證明：構(gòu)造函數(shù) 易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增 + =lg1 = 0 即： 又是增函數(shù) 即7、分析：我們希望化為 即 +B=1 解：由已知 設則 即是公比為2的等比數(shù)列且 則 對于某些關于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時也可構(gòu)造有關的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決8、分析：構(gòu)造數(shù)列模型，則有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列又因，故 (其中n N+)，即原不等式得證評注 欲證含有與自然數(shù)n有關的和的不等式f(n)>g(n)，可以構(gòu)造數(shù)列模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且另外，本題也可以用數(shù)學歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡潔9、解： 其幾何意義是平面內(nèi)動點P（