數(shù)學是不可完全的

1、    數(shù)學是不可完全的哥德爾的哲學手稿劉曉力【專題名稱】科學技術(shù)哲學【專 題 號】B2【復印期號】1998年07期【原文出處】自然辯證法研究(京)1998年04期第2125頁【作者簡介】劉曉力，女，1954年生，哲學博士，內(nèi)蒙古大學哲學系副教授。·郵編：呼和浩特010021【內(nèi)容提要】數(shù)學的不可完全性是哥德爾不完全性定理揭示的深刻的數(shù)學本質(zhì)。由此引發(fā)的哲學反思是哥德爾建立柏拉圖主義數(shù)學哲學的堅實基礎(chǔ)，同時在各種哲學爭論中哥德爾都以這一哲學義蘊空前深刻的數(shù)學結(jié)果為自己的立場辯護。本文從數(shù)學的不可完全性的全新視角，對1995年公布的哥德爾的幾篇重

2、要哲學手稿進行評述，力圖說明其數(shù)學柏拉圖主義立場是一以貫之的。     在20世紀邏輯學家和數(shù)學家行列中哥德爾是一位具有傳奇色彩的人物。他所作的三大數(shù)學貢獻的每一項結(jié)果對數(shù)理邏輯各分支的發(fā)展都是決定性的。自1931年哥德爾不完全性定理之后，數(shù)學基礎(chǔ)逐漸演變?yōu)閿?shù)理邏輯各分支的精細研究，同30年代前人們都關(guān)心基礎(chǔ)研究的狀況形成對照，數(shù)理邏輯愈益成為少數(shù)數(shù)學家的專門技術(shù)領(lǐng)域?？梢圆豢鋸埖刂v，哥德爾使數(shù)理邏輯發(fā)生了革命，哥德爾規(guī)定了我們這個時代數(shù)學基礎(chǔ)研究的思維內(nèi)涵。然而，長期以來鮮為人知的事實是，哥德爾不僅是一位偉大的邏輯學家、數(shù)學家，還是一位深刻的哲學家。在

3、整個學術(shù)生涯中，他只有19291942年主要從事數(shù)學和數(shù)理邏輯的研究，從1942年直到1978年逝世，除了繼續(xù)集合論問題思考并傾注5年時間熱衷于相對論外，幾乎大部分時間致力于哲學研究。    哥德爾生前只發(fā)表過5篇哲學論文：羅素的數(shù)理邏輯（1944）、紀念普林斯頓200周年數(shù)學問題會議評論（1946）、 什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問題？（1947）（1964年修訂）、關(guān)于相對論與唯心主義哲學之間關(guān)系的一點評論（1949）、論有窮主義觀點迄今未予應用的一種擴充（1958）（1972年修訂），他的大部分思想表達在手稿、通信和私人談話記錄中。1981年哥德爾去世3年后

4、， 他的妻子將其遺稿全部捐贈美國普林斯頓研究院。其中包括哥德爾未發(fā)表的論文手稿、演講稿、授課講義、各類札記和哥德爾自己編號的100多本筆記（注：哥德爾遺稿已由約翰·道森1984年完成編目，分為12類：私人信件和科學通信；商業(yè)信函和其他信件；分專題記錄的筆記本；演講稿和論文手稿；札記和便箋；其他書寫模糊的草稿；從小學到大學的學歷材料；法律和政治文件；19301939年間的財務(wù)文件；就醫(yī)記錄；照片；其他。）。當代最有影響的美國哲學家蒯因說：哥德爾手稿的發(fā)現(xiàn)堪稱“哲學界一大新聞”，（注：奎因為Kurt Gdel,Unpublished PhilosophicalEssays所寫的序言，19

5、95，p.7.）它使世人得以更深刻地了解哥德爾在哲學領(lǐng)域的所思、所想、所為。目前哥德爾全集已出版13卷，其中1995年的第3卷中收錄了他的幾篇重要哲學手稿：數(shù)學基礎(chǔ)研究現(xiàn)狀（1933）、關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的幾個基本定理及其哲學推論（1951）、數(shù)學是語言的句法嗎？（1953/9）、從哲學的觀點看數(shù)學基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展（1961）。這幾篇手稿無疑提供了哥德爾思想研究珍貴的原始資料。    1數(shù)學基礎(chǔ)研究的現(xiàn)狀    在應邀為美國數(shù)學會1933年年會準備的報告稿數(shù)學基礎(chǔ)研究的現(xiàn)狀中，哥德爾首先指出，為數(shù)學建構(gòu)基礎(chǔ)的問題由兩個不同

6、的方面構(gòu)成，其一是使數(shù)學家一直使用的證明方法歸約為最小數(shù)目的公理和推理規(guī)則；其二是探求這些公理的某種合法性問題，例如，它們是否彼此一致、是否與經(jīng)驗事實一致。依哥德爾之見，第一方面的問題通過數(shù)學的“形式化”已經(jīng)令人滿意地部分獲解，但第二方面問題的解決其“形勢極端不能令人滿意”。原因在于，如果像形式主義者那樣，以純形式的觀點把數(shù)學僅僅看作符號游戲，當然不會產(chǎn)生問題，一旦問到符號的意義時就會面臨一系列困難。它們大致歸為三類：（1）對非構(gòu)造性存在的看法；（2）對（任意類型的）類的一般看法；（3）選擇公理問題。Kurt Gdel,CWI,P.31,CW,P.40.）然而，就我們的考察表明，哥德爾在193

7、3 年報告中首次給出“柏拉圖主義”一詞。如果將他30年代早期在某些特殊場合所表達的思想與40年代后公開闡明的觀點和手稿中的立場聯(lián)系起來看，這些懷疑是沒有根據(jù)的。1933年報告可以看作他在30年代早期就已經(jīng)采取堅定的數(shù)學柏拉圖主義立場的明證。同時可以得出結(jié)論，從那時起到70年代，哥德爾的思想從未發(fā)生重大轉(zhuǎn)折，其強硬的柏拉圖主義立場可以說是一以貫之的。    2關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的幾個基本定理及其哲學推論    1951年12月6日在布朗大學召開的第25 屆吉布斯紀念講座上哥德爾作了關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的幾個基本定理及其哲學推論的報

8、告，著重闡明他的不完全性定理的哲學意蘊。依哥德爾之見，雖然20年過去了，不完全性定理的哲學意義并未獲得充分討論。    哥德爾首先表述了由定理揭示的他稱之為“數(shù)學的不可完全性”（incompletability）或“不可窮盡性”（inexhaustability）的深刻本質(zhì)：第一不完全性定理表明，無論選擇什么樣的良定義的公理和推理規(guī)則的系統(tǒng)，總存在該系統(tǒng)能夠表達但由系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則不能判定的丟番圖問題。第二定理表明，對任何良定義的公理和推理規(guī)則的系統(tǒng)，如果假定這些公理和推理規(guī)則對于導出關(guān)于整數(shù)的有窮算術(shù)是充分的，那么斷言該系統(tǒng)一致性的命題是不可證的。

9、哥德爾的論證是，人們不可能建立一個一致的包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)并一致地聲稱，他認識到這個系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則是正確的而且相信它囊括了全部數(shù)學。因為任何一個認為把握了公理和推理規(guī)則正確性的人必定承認也把握了它們的一致性，但由不完全性定理，這些公理的一致性在該系統(tǒng)中不可證。因此這個人就在承認他把握了在這個系統(tǒng)中不可證的某些東西的真理性，也就必然得出這個系統(tǒng)沒有包括全部數(shù)學，即數(shù)學是不可完全的。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）    哥德爾還考慮了某些人由不完全性定理可能得出如下錯誤

10、推論：人類心智等價于一臺有窮機器，而且還是一臺不能完全理解它自身功能的機器。而他認為由不完全性定理，如下數(shù)學上的選言命題才是必然推論：或者在下述意義上數(shù)學是不可完全的：它的自明的公理不可能包含在有窮規(guī)則中，即人類心智無限超越任何機器；或者存在絕對不可判定的數(shù)論命題。（注：按照王浩的說法，哥德爾認為，希爾伯特反對第二選言支，聲稱“數(shù)學中沒有不可知”是正確的，否則就意味著人的理性全然無理性，一方面提出理性不能解答的問題，一方面又斷言只有理性才能解答這些問題。同時，晚年的哥德爾至少認為有理由接受第一選言支：人類心智勝過機器。對此可參見王浩，1974，pp，324326和Gdel，CW1972a.）與

11、此相應的哲學推論是：或者人類心智的活動不可能歸于大腦的活動，因為大腦的所有行為不過像一臺由有窮多部件（即神經(jīng)元和它們的連接）組成的有窮機器；或者數(shù)學不僅僅是我們的創(chuàng)造，數(shù)學對象和數(shù)學事實是獨立于我們的精神活動和意愿而客觀存在的。在哥德爾看來，承認第一點就將否定將人心等同于機器的生物機械主義；承認第二點我們“就必須接受由數(shù)學基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展獲得支持的某種形式的柏拉圖主義或數(shù)學實在論立場”。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）當然，不排除兩個選言支都真的情形。    隨后哥德爾以數(shù)學的不

12、可完全性為論據(jù)對數(shù)學中的唯名論，特別是“數(shù)學僅僅是我們的自由創(chuàng)造”和“數(shù)學是語法的約定”這兩種觀點進行批駁并且聲稱，如果對這里所討論的概念進一步嚴格化之后，我們的結(jié)論應當是“柏拉圖主義是唯一站得住腳的立場。”即“數(shù)學描述了一種非感性的實在，它的存在不依賴于人類心智的活動和意愿，它只能被人類心智所感知，而且這種感知恐怕還是不完全的”。Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）    哥德爾的吉布斯演講對長期困擾人們的不完全性定理給出了他自己的哲學解釋，指出了準確而深刻地理解定理哲學義蘊的本質(zhì)之點

13、，同時還借助數(shù)學的不可完全性這一全新的證據(jù)，通過對唯名論的批判提供了對于數(shù)學柏拉圖主義立場的一種辯護，盡管他的結(jié)論表面看來是一種推論式的。    3數(shù)學是語言的句法嗎？    吉布斯演講之后，哥德爾用了兩年時間修改演講稿，準備在美國數(shù)學會通報上發(fā)表，但修改的工作量很大，而且哥德爾發(fā)現(xiàn)很難清晰而確切地表達演講中的斷言，特別感到棘手的是對于數(shù)學中的語言約定論的批判。因此這一問題當時成了他最為關(guān)注的焦點，以至他終于放棄改寫演講稿，轉(zhuǎn)而去寫數(shù)學是語言的句法嗎？一文。（注：Dawson，JW,Jr.1995,p.200.）&

14、#160;   1953年，哥德爾再次應謝爾普之邀為在世哲學家文庫中的卡爾納普哲學卷撰稿。（注：哥德爾曾三次受謝爾普邀請為此文庫中的羅素卷、愛因斯坦卷和卡爾那普卷撰稿。）謝爾普建議他以“卡爾納普與數(shù)學本體論”為題寫一篇2540頁的文章，但哥德爾表示只想寫一篇“對數(shù)學本質(zhì)的唯名論觀點的評論”短文。19531959年他花費六年時間完成了“數(shù)學是語言的句法嗎？”這一題目的六個版本。六篇謄寫清晰的文章完整地保存在他的遺稿中。1995年哥德爾全集第三卷收錄了其中的第三稿和第五稿，同年羅德里奇·孔塞格拉編輯的哥德爾哲學手稿收錄了第四稿和第六稿。通讀這幾篇手稿可以看出

15、，哥德爾的立場沒有任何實質(zhì)性變化，目的都是對于邏輯實證主義者，特別是漢斯·哈恩和卡爾納普等人主張的數(shù)學的語言約定論給予深刻而嚴厲的批判。    “數(shù)學是語言的句法”是卡爾納普以及維也納學派對數(shù)學本質(zhì)的一種概括。1930年前后，石里克、漢斯·哈恩和卡爾納普極大地受到維特根斯坦的影響，形成了關(guān)于數(shù)學本體論中被哥德爾視為“唯名論和約定論相融合”的語言約定論觀點。按照這種觀點，如卡爾納普所說，“數(shù)學是不含內(nèi)容、不含對象的輔助語句系統(tǒng)”，數(shù)學命題不是對事件域中事件狀態(tài)的描述，而完全可以歸約為語言的句法，即數(shù)學定理的有效性僅由某些使用符號的語法約

16、定的推論確定。事實上，卡爾納普在1937年的語言的邏輯句法一書中就是試圖實施把數(shù)學歸約為語言句法的語法方案。    在第五版中，哥德爾把語言約定論歸納為如下三個基本論題：（1）邏輯和數(shù)學命題僅僅是支配符號規(guī)則的產(chǎn)物，數(shù)學直覺可由約定代替；（2）數(shù)學是不含內(nèi)容的，不存在數(shù)學對象也不存在數(shù)學事實；（3）由于數(shù)學命題不含內(nèi)容，關(guān)于他們的語言約定不可能被任何可能的經(jīng)驗證偽，因此數(shù)學的語言約定論與嚴格經(jīng)驗論一致。哥德爾以他強有力的三個論據(jù)：數(shù)學的不可完全性、數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學直覺的不可消除性以及數(shù)學與自然科學的可類比性（注：參見劉曉力的哥德爾對邏輯實證主義的批判，載于

17、自然辯證法研究，1997（1）。），對這些論題一一給以嚴厲的批駁，并且在第六版中宣稱，“語言約定論立場的任何哲學斷言都是站不住腳的”。    數(shù)學是語言的句法嗎？歷經(jīng)六年數(shù)易其稿于1959年完成。2 月份哥德爾卻突然致信謝爾普宣布不想發(fā)表他的文章了。信中陳述的理由是，第一，完稿之時已經(jīng)過了卡爾納普向作者作答的時間，如果沒有卡爾納普答復發(fā)表文章對大家都不公平，也難以向世人交代。第二，哥德爾指出，“我完成了這一題目的幾個版本，但對哪一個都不滿意。按照我自己的意愿作出嚴厲斷言或強硬論證是不難的，但我發(fā)現(xiàn)這一題目與哲學的基本問題之一，概念及其關(guān)系的客觀實在性問題

18、密切相關(guān)，要想徹底闡明它比我料想的要困難，而且以普遍持有的偏見，發(fā)表目前只完成了一半的工作將弊大于利。”（注：Warren Goldfarb,Introductory note to * 1953/9, Gdel,CW,p.324.）    哥德爾1924年入維也納大學學習，1926年起參加維也納小組活動，并且與小組領(lǐng)導人私人關(guān)系密切，因此長期以來哥德爾一直被看作維也納學派成員，然而他從一開始就不贊成邏輯實證主義的觀點也從未在公開場合表達過相反的見解，對當時的這一官方立場一直保持緘默。數(shù)學是語言的句法嗎？這篇手稿無疑第一次提供了系統(tǒng)批判邏輯實證主義的有力

19、論證，哥德爾自然預料到來自反對勢力的壓力，依其個性他并不想在生前引起大的爭論，同時按照王浩的解釋，他大概發(fā)現(xiàn)卡爾納普的著作中有某種跟他本人層次不同、類型不同的準確性，難以設(shè)計一種令雙方都滿意的共同語言，使他自己的論證令對方心悅誠服，因此這篇論戰(zhàn)性極強的文章直到1995年才與世人見面。    4從哲學的觀點看現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展    1961年4月哥德爾成為美國哲學會會員。 有理由斷定從哲學的觀點看現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展是為1963年會員大會準備的一篇（未作演講的）演講稿（注：Dagfinn fllesdal,Introduct

20、ory note to * 1961, Gdel,CW,p.364.）。演講稿的目的是以哲學的觀點評述20世紀數(shù)學基礎(chǔ)研究的狀況，并試圖將其納入一般哲學框架。    哥德爾首先把各種哲學流派依據(jù)它們與形而上學（或神學）的親疏劃分為左右兩方，左方是懷疑論、唯物主義、經(jīng)驗主義、實證主義和悲觀主義；右方是唯靈論、唯心主義、先驗主義、神學和樂觀主義。哥德爾顯然贊同右傾立場。依他之見，自文藝復興以來，哲學的發(fā)展不是從某一單線上而是整體上從右傾立場轉(zhuǎn)向了左傾立場?！叭绻@種偏執(zhí)的轉(zhuǎn)向還沒有使人感受到已經(jīng)侵入數(shù)學觀中真是一個奇跡?！备绲聽査傅倪@種偏執(zhí)的轉(zhuǎn)向無疑是指經(jīng)

21、驗主義和實證主義傾向。在哥德爾看來，數(shù)學是一門先驗科學，因此它總有與文藝復興以來的時代精神，即數(shù)學中的經(jīng)驗主義、實證主義相背離的傾向；同時它雖然“深陷高度抽象之中”，但就目前而言其基礎(chǔ)卻具有從未有過的確定性，因此也遠離懷疑論。哥德爾認為，20世紀初由集合論悖論引起的所謂“數(shù)學危機”顯然被經(jīng)驗論者和懷疑論者夸大了，并且“拿來作為左傾膨脹的借口”，認為悖論的出現(xiàn)表明數(shù)學內(nèi)部出現(xiàn)了矛盾。依哥德爾之見，“這些矛盾遠離數(shù)學而更具哲學意義，同時任何一個了解數(shù)學的人都清楚地知道，我們已經(jīng)以完全令人滿意的方式解決了它們。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、37

22、6379、305.）”    在演講稿中，哥德爾更多的是指明，真理應當介乎左右傾之間或二者的有機結(jié)合。因為依老式的右傾哲學觀，數(shù)學代表一種完全的真理體系，“它的每一個精確表述的是或否的問題必定有一個確切答案”。然而由不完全性定理，這一真理體系不可能訴諸公理集和形式推理規(guī)則獲得其完全性。同時，按照流行的左傾哲學觀，作為出發(fā)點的數(shù)學公理的真理性不可能由經(jīng)驗證實，因而由它們所得出的結(jié)論只具有假說的意義，這種推理只能看成是按照某種規(guī)則所作的一種符號游戲。但是由不完全性定理，不借助抽象概念僅僅使用處理符號組合的工具不可能實施數(shù)學系統(tǒng)一致性的證明。因此哥德爾主張，不

23、能無視現(xiàn)代數(shù)學的新進展盲目背棄信仰去迎合時代潮流，而應當一方面堅持數(shù)學知識的確定性，一方面堅信理性提出的問題理性自身能夠清晰地予以解答。因此“正確的觀點對我來講似乎應當是，真理位于左右傾哲學觀之間或者是二者的結(jié)合?！边@種結(jié)合意味著數(shù)學的確定性不能僅僅借助經(jīng)驗證實或演繹證明獲得，而要通過加深理解抽象概念，通過清晰闡釋抽象概念的意義實現(xiàn)。出乎意料的是，哥德爾認為，“目前有一種科學的清晰闡釋這種意義的系統(tǒng)方法，這就是胡塞爾的現(xiàn)象學方法，”Gdel To Philosophy，The MIT Press即將出版.）因此，哥德爾對數(shù)學的不可完全性本質(zhì)所作的深刻而獨立的反思是我們理解哥德爾數(shù)學哲學思想的一

24、條基本線索。    結(jié)合生前發(fā)表的哲學論文中的思想可以看出，20年代后期哥德爾就已經(jīng)持有數(shù)學實在論立場，1933年首次表示贊成柏拉圖主義數(shù)學觀，1944年和1947年借評價羅素數(shù)理邏輯的機會并通過連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這一具體問題以數(shù)學實在論的術(shù)語系統(tǒng)闡述這種數(shù)學觀，聲明不僅在數(shù)和集合的基本層次上承認數(shù)學實在論，而且將這種實在論拓展到類和概念上，堅信存在一個客觀的與物理世界相分離的抽象概念的世界，主張對這些概念的理解應更多的訴諸直覺。早在1929年哥德爾就已經(jīng)意識到，由于數(shù)學的不可窮盡性，為了克服數(shù)學形式系統(tǒng)在表達力和判定力兩方面的局限“必須不斷從直覺之泉汲取養(yǎng)分”

25、。（注：哥德爾與卡爾納普1929年的談話，見Wang Hao 1987，p.51.）在1944、1958和1964年的幾篇文章中他對數(shù)學直覺問題作了深入分析，同時指出，為了把握高度超窮的客觀數(shù)學真理和抽象數(shù)學概念，必須擯棄康德的先天直覺和布勞維爾的構(gòu)造性直覺而接受等級越來越高的抽象數(shù)學直覺，這種直覺在數(shù)學中有著不可替代的認識論作用。    哥德爾的數(shù)學哲學在他的整個哲學中占據(jù)核心位置，也是其中闡述最為系統(tǒng)且內(nèi)涵豐富的部分。如果說哥德爾公開發(fā)表的論文主要集中于闡述自己的數(shù)學哲學立場，手稿則更側(cè)重在哲學爭論中從一個全新的視角，特別是從數(shù)學的不可完全性的本質(zhì)出

26、發(fā)對這種立場提供強有力的辯護，雖然這種辯護并未達到令他自己滿意的程度。這恐怕也是他生前未發(fā)表這些手稿的真正原因。以上幾篇哲學手稿無疑提供了理解他的整個哲學思想全新的視界和更為廣闊的理論背景，也使我們通過了解哥德爾在哲學爭論中所持仗的理論依據(jù)進入其思想的更深層次。近年來，哥德爾研究日益受到西方學界的關(guān)注，隨著各類手稿的陸續(xù)公布我們相信哥德爾思想潛在的哲學價值和科學價值將獲得更深入的研究。              【參考文獻】     1哥德爾遺稿已由約翰·道森1984年完成編目，分為12類：私人信件和科學通信；商業(yè)信函和其他信件；分專題記錄的筆