人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十一章 二次根式121.1 二次根式121.2 二次根式的乘除221.3 二次根式的加減3第二十二章 一元二次方程522.1 一元二次方程522.2 降次解一元二次方程522.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程6第二十三章 旋轉(zhuǎn)623.1 圖形的旋轉(zhuǎn)623.2 中心對(duì)稱(chēng)723.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì)7第二十四章 圓824.1 圓824.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系924.3 正多邊形和圓1024.4 弧長(zhǎng)和扇形面積14第二十五章 概率初步1725.1 隨機(jī)事件與概率1725.2 用列舉法求概率2125.3 用頻率估計(jì)概率22第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 1.二次根

2、式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如 不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開(kāi)方數(shù)中含有4是可開(kāi)得盡方的因數(shù)，又如 ， ， .都不是最簡(jiǎn)二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡(jiǎn)二次根式。 3.同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式。如 , , 就是同類(lèi)二次根式，因?yàn)?=2 ， =3 ，它們與 的被開(kāi)方數(shù)均為2。 4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理

3、化因式。如 與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。二次根式的性質(zhì)：1. (a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù), 即 0;2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：( )2=a(a0)；3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即 =|a|= 4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = · （a0,b0）。5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a0,b>0）。21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，

4、要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；（2）（0，0）可以推廣為（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（0，0）。也稱(chēng)“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。  2. 二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）。說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推廣為（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（0，0）。也稱(chēng)“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。 3. 最

5、簡(jiǎn)二次根式一個(gè)二次根式如果滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母。這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。說(shuō)明：（1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿(mǎn)足，才是最簡(jiǎn)二次根式；（2）被開(kāi)方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）二次根式化簡(jiǎn)到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3 二次根式的加減 1. 同類(lèi)二次根式    （1）定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類(lèi)二次根式。    注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類(lèi)二次根式

6、，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀察它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同。    （2）合并同類(lèi)二次根式：合并同類(lèi)二次根式的方法與合并同類(lèi)項(xiàng)的方法類(lèi)似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開(kāi)方數(shù)不變。    2. 二次根式的加減    （1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類(lèi)二次根式分別合并。    （2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類(lèi)二次根式，同類(lèi)二次根式相當(dāng)于同類(lèi)項(xiàng)。    一般地

7、，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：    i）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式    ii）判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)二次根式結(jié)合成一組    iii）合并同類(lèi)二次根式    3. 二次根式的混合運(yùn)算    二次根式的混合運(yùn)算可以說(shuō)是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：    （1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算

8、順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。    （2）在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。    （3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。    4. 分母有理化    （1）我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化    綜合起來(lái)，常見(jiàn)的有理化因式有： 的有理化因式為 ， 的有

9、理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為 ， 的有理化因式為     （2）分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為 ax2+bx+c=

10、0(a0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程 （4）將方程化為一般形式：ax+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足（a0）22.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法： 用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x=± m. 直接開(kāi)平方法就是平方的逆運(yùn)算.通常用根號(hào)表示其運(yùn)算結(jié)果.2、配方法通過(guò)配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。1.轉(zhuǎn)化： 將此一元二次方程化為ax2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式

11、） 2.系數(shù)化1： 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 3.移項(xiàng)： 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè) 4.配方： 等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 5.變形： 將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫(xiě)成完全平方形式 6.開(kāi)方： 左右同時(shí)開(kāi)平方 7.求解： 整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)

12、根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類(lèi)問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針

13、）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類(lèi)：一類(lèi)是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車(chē)的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類(lèi)則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。 2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，

14、圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。 3. 幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）在理解旋轉(zhuǎn)特征時(shí)，首先要對(duì)照?qǐng)D形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角。（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2 中心對(duì)稱(chēng) 中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)。 中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分。

15、關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的劉遇圖形是全等形。中心對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì) 靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)圖案設(shè)計(jì)就是通過(guò)圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現(xiàn)了設(shè)計(jì)意圖第二十四章 圓 24.1 圓 定義：（1）平面上

16、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。 圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心 （2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。 （3）圓任意兩條對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為圓心。 （4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般用字母O表示 直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。 圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍

17、，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。 圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。 圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，3.14。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2，用字母S表示。 一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條

18、弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。 周長(zhǎng)計(jì)算公式 1.、已知直徑：C=d 2、已知半徑：C=2r 3、已知周長(zhǎng)：D=c 4、圓周長(zhǎng)的一半:12周長(zhǎng)(曲線) 5、半圓的長(zhǎng)：12周長(zhǎng)+直徑 面積計(jì)算公式： 1、已知半徑：S=r平方 2、已知直徑：S=（d2）平方 3、已知周長(zhǎng)：S=(c2)平方24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系 1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑 點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2. 過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直

19、線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4. 直線和圓的位置關(guān)系相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。 5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 直線和O相交； 直線和O相切； 直線和O相離。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)

20、圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離 dR+r兩圓外切 d=R+r兩圓相交 R-r<d<R+r(R>r)兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含 d<R-r(R>r)24.3 正多邊形和圓 1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)

21、將一個(gè)圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。(2)正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形的對(duì)稱(chēng)軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。知識(shí)講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等

22、的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟?，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因?yàn)椋痪哂懈鬟呄嗟?，而各角不一定相等?、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿(mǎn)足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則ABBCCDDEEFFA。

23、 觀察A、B、C、D、E、F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，ABCDEF。所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角n，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。 如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtAOM的基本元素：

24、斜邊OA正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AMan；銳角AOM正n邊形的中心角n的一半即AOM；銳角OAM正n邊形內(nèi)角的一半即OAM(n2)·180°；可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。對(duì)于一些特

25、殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。正四、八邊形。在O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在O中，任畫(huà)一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫(huà)弧與O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是O的6等分點(diǎn)。 顯然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把O12等分。5、正多邊形的對(duì)稱(chēng)性。正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形

26、，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積 知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫(xiě)成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第

27、三個(gè)量。 知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。 知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)（3）弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB

28、的面積和AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，  當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，例：如圖所示，O的半徑為2，ABC45°，則圖中陰影部分的面積是 （        ）（結(jié)果用表示）分析：由圖可知由圓周角定理可知ABCAOC，所以AOC2ABC90°，所以O(shè)AC是直角三角形，所以，所以注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。 圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2

29、）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱(chēng)為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱(chēng)圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程 由

30、一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法 第二十五章 概率初步 25.1 隨機(jī)事件與概率 1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)： (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； · (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱(chēng)為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作 2隨機(jī)

31、事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某 種規(guī)律性的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱(chēng)事件)通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件 3事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱(chēng)事件包含事件，記作(或) (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱(chēng)事件與相等，記作 (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱(chēng)為的和，記作（簡(jiǎn)記為） (4) 積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的積事件，記作(簡(jiǎn)記為)；“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”

32、這一事件稱(chēng)為的積事件，記作（簡(jiǎn)記為或) (5) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱(chēng)事件A與B互不相容(或互斥)，若n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1i<j幾)，那么，稱(chēng)事件 互不相容 (6) 對(duì)立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱(chēng)A與B是對(duì)立的事件A的對(duì)立事件(或逆事件)記作 (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或) (8) 交換律：對(duì)任意兩個(gè)事件和B有，(9) 結(jié)合律：對(duì)任意事件A，B，C有， (10) 分配律：對(duì)任意事件A，B，C有， (11) 德摩根（De Morgan）法則：對(duì)

33、任意事件A和B有, . 4頻率與概率的定義 (1) 頻率的定義 設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值n稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即 . (2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即 (3) 古典概率的定義 具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型： (i) 試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作; (ii) 在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即 在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為 (4)幾何概率的定義 如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

34、是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件的概率為· (5)概率的公理化定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，隨機(jī)事件A是的子集，是實(shí)值函數(shù)，若滿(mǎn)足下列三條公理： 公理1 (非負(fù)性) 對(duì)于任一隨機(jī)事件，有0； 公理2 (規(guī)范性) 對(duì)于必然事件，有； 公理3 (可列可加性) 對(duì)于兩兩互不相容的事件，有，則稱(chēng)為隨機(jī)事件的概率 5概率的性質(zhì) 由概率的三條公理可導(dǎo)出下面概率的一些重要性質(zhì) (1) (2) (有限可加性) 設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，則有 (3) 對(duì)于任意一個(gè)事件A： (4) 若事件A，B滿(mǎn)足，則有, (5) 對(duì)于任意一個(gè)事件A，有 (6) (加法公式) 對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有.對(duì)于任意n個(gè)事件，有 . 6條件概率與乘法公式 設(shè)A與B是兩個(gè)事件在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為條件概率，記作當(dāng)，規(guī)定. 在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì) 乘法