概率統(tǒng)計(jì)：第七章 統(tǒng)計(jì)量及其分布第三節(jié)(下)t分布F分布)

1、第七章第三節(jié)(下)t 分布和F分布三、t分布 定理 設(shè)，且與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 的概率密度為 ， , (7.5)稱服從自由度為的分布，記作. 證 的概率密度是 ,的概率密度由式（7.3）給出，的聯(lián)合概率密度是 ,于是, 作變量替換：u = t，v = s ， 它的雅可比行列式是 ，于是，由于 ，所以 上式兩邊對求導(dǎo),即得式(7.5). , , , , , .圖72給出了當(dāng)n=1,4,10時(shí)的t(n)分布的密度函數(shù)曲線,它的圖形關(guān)于t=0對稱,且當(dāng)時(shí),有 , 故當(dāng)n很大時(shí),t分布近似于N(0,1).然而對于比較小的n的值,t分布與正態(tài)分布之間有較大的差異.,嚴(yán)格單增,是一一對應(yīng), 對給定,存在

2、唯一,使得 ,即對于給定的:0<<1,可查t分布表(見附錄三)求出t , 滿足 ,的點(diǎn)稱為分布的(下側(cè))分位點(diǎn). 分布的分位點(diǎn)的性質(zhì):由的對稱性, 即是偶函數(shù),可得 , (1) , , (2) 數(shù),滿足 , 則 , 稱為雙側(cè)分位點(diǎn).當(dāng)n>45時(shí),t分布表中沒有列出,此時(shí)可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,得，且有 .例5 設(shè)X，X，X為來自于正態(tài)總體的樣本，令 ，求的分布。解 ,且與相互獨(dú)立，由t分布的定義知，,服從自由度16的t分布。定理四 設(shè)X，X，X相互獨(dú)立，且都服從N（），則有 .證 因?yàn)?,所以 ,又 ,且與相互獨(dú)立，從而.例6 設(shè)，求服從自由度為n1的t分布的隨機(jī)變量。 解 這里

3、，可由（7.6）式判別，注意到的右端S的系數(shù)為，而不是，另外S為一次冪，而不是其它的冪次，因而所求隨機(jī)變量為。定理五 設(shè)X，X，X和Y，Y，Y分別是從正態(tài)總體N（）和N（）中所抽取的獨(dú)立樣本，則 , (7.7)證 因?yàn)?,所以 ,于是 由定理三知 且它們相互獨(dú)立。由定理二可知 又由定理三知獨(dú)立，于是按t分布的定義得 例7 設(shè)總體，X與Y相互獨(dú)立，X，X，X;Y，Y，Y分別是來自X和Y的樣本， ，分別是兩個(gè)樣本的樣本均值，試求下面統(tǒng)計(jì)量的分布： 。解 由正態(tài)總體樣本函數(shù)的分布知，因而，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化得到 又由定理三知 ，再由t分布定義知 ，即 。四、F分布定理 設(shè)，且與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 的概率密度為我們稱F服從自由度為 的F分布，記作。證明略 的圖形入圖7-3所示。對于給定的：,查F分布表（見附錄五）可得分位點(diǎn)，使得 ，且不難驗(yàn)證下式成立： ，利用上式，可以求出F分布表中沒有列出的其他數(shù)值。例8 設(shè)X，X，X為正態(tài)總體的樣本，若，已知，即，求常數(shù)的值。解 由,得 因?yàn)?,所以有 ，即 .定理 設(shè)