222反證法 (2)

1、2.2.2 反證法反證法一反證法一反證法證明命題證明命題“設(shè)設(shè)p為正整數(shù)，如果為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù)是偶數(shù), 則則p也是偶數(shù)也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明，我們可以不去直接證明p是偶數(shù)，而是否定是偶數(shù)，而是否定p是偶數(shù)，然后得到矛盾，是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定從而肯定p是偶數(shù)。具體證明步驟如下：是偶數(shù)。具體證明步驟如下：假設(shè)假設(shè)p不是偶數(shù)，可令不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為整數(shù)。為整數(shù)。可得可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇數(shù)，是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，不是偶數(shù)不成立，從而證明從而證明p為偶數(shù)。為偶數(shù)。一般地，由證明

2、一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：轉(zhuǎn)向證明：qrt t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定而判定 為假，推出為假，推出q為真的方法，為真的方法，叫做叫做反證法反證法。 q例例1證明證明 不是有理數(shù)。不是有理數(shù)。2證明：假定證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè)是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，為互質(zhì)的正整數(shù)，22pq把把 兩邊平方得到，兩邊平方得到，2q2=p2， 2pq式表明式表明p2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于也是偶數(shù)，于是令是令p=2l，l是正整數(shù)，代入是正整數(shù)，代入式，式，得得q2=2l2， 式表明式表明q2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以q也是

3、偶數(shù)，這樣也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)都有公因數(shù)2，這與，這與p，q互質(zhì)矛盾，互質(zhì)矛盾，因此因此 是有理數(shù)不成立，于是是有理數(shù)不成立，于是 是無理是無理數(shù)數(shù).22例例2證明質(zhì)數(shù)有無窮多個。證明質(zhì)數(shù)有無窮多個。證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個，設(shè)全體質(zhì)證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為數(shù)為p1，p2，p3，pn，令令p= p1p2p3pn+1，顯然，顯然p不含因數(shù)不含因數(shù)p1，p2，p3，pn，p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除除p1，p2，p3，pn之外的質(zhì)因數(shù)。之外的質(zhì)因數(shù)。因此質(zhì)數(shù)只有有限多個不成立，于是質(zhì)數(shù)因此質(zhì)數(shù)只有有限多個不成立，于是質(zhì)數(shù)有無窮多個。有無窮多個。 從上述兩

4、例看出，反證法不是直接去證從上述兩例看出，反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運用演繹推理，導出矛盾，從而基礎(chǔ)上，運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性?？隙ńY(jié)論的真實性。二反證法的主要步驟二反證法的主要步驟(1) 反設(shè)反設(shè)： 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是式是有必要的，例如：是/不是；存在不是；存在/不不存在；平行于存在；平行于/不平行于；垂直于不平行于；垂直于/不垂直不垂直于；等于于；等于/不

5、等于；大不等于；大(小小)于于/不大不大(小小)于；于；都是都是/不都是；至少有一個不都是；至少有一個/一個也沒有；一個也沒有；至少有至少有n個個/至多有至多有(n一一1)個；至多有一個個；至多有一個/至少有兩個；唯一至少有兩個；唯一/至少有兩個。至少有兩個。 (2) 歸謬：歸謬： 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定

6、義、與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。(3) 結(jié)論：結(jié)論：由前兩步，得到正確的結(jié)論，一由前兩步，得到正確的結(jié)論，一點要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實性。點要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實性。 例例3證明證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列不能為同一等差數(shù)列的三項。的三項。3證明：假設(shè)證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的是某一等差數(shù)列中的三項，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為三項，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則，則31= md，2= nd，其中，其中m，n為某為某兩個正整數(shù)，兩個正整數(shù)，33由上兩式中消去由上兩式中消去d，得到，得到n+

7、2m=(n+m) ,因為因為n+2m為有理數(shù)，為有理數(shù)，(m+n) 為無理數(shù)為無理數(shù),33所以所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項不能為同一等差數(shù)列中的三項.3例例4平面上有四個點，沒有三點共線，證平面上有四個點，沒有三點共線，證明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形。角三角形。證明：假設(shè)以每三點為頂點的四個三角形證明：假設(shè)以每三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，記這四個點為都是銳角三角形，記這四個點為A，B，C，D， 考慮考慮ABC，點，點D在在ABC之內(nèi)或之外之內(nèi)或之外兩種情況。兩種情況。（

8、1）如果點）如果點D在在ABC之內(nèi)，根之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，圍繞點據(jù)假設(shè)，圍繞點D的三個角都是的三個角都是銳角，其和小于銳角，其和小于270，這與一，這與一個周角等于個周角等于360矛盾；矛盾；（2）如果點）如果點D在在ABC之外，根之外，根據(jù)假設(shè)四邊形據(jù)假設(shè)四邊形ABCD的四個內(nèi)角的四個內(nèi)角分別是某銳角三角形的內(nèi)角，分別是某銳角三角形的內(nèi)角，即即A，B，C，D都小于都小于90，這和，這和四邊形內(nèi)角和等于四邊形內(nèi)角和等于360矛盾，矛盾， D C B A D C B A綜上所述，原題的結(jié)論正確。綜上所述，原題的結(jié)論正確。例例5、設(shè)、設(shè)a3+b3=2，求證，求證a+b2證明：假設(shè)證明：假設(shè)a+b2，則有，則有a2b，從而，從而 a3812b+6b2b3， a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因為因為6(b1)2+22，所以，所以a3+b32，這與題，這與題設(shè)條件設(shè)條件a3+b3=2矛盾，矛盾，所以，原不等式所以，原不等式a+b2成立。成立。例例6、設(shè)、設(shè)0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414則三式相乘：則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 164又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘以