線性規(guī)劃_應(yīng)用題

1、簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用題簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用題（1）1敘述線性規(guī)劃的圖解法步驟： 畫畫出線性約束條件所表示的可行域；移在目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱（橫）截距最大、最小的直線；求通過解方程組求出最優(yōu)解；答作出答案還原說明導(dǎo)入新課應(yīng)用數(shù)學(xué)模型法解決實際問題的基本步驟：實際問題抽象概括數(shù)學(xué)模型實際問題的解數(shù)學(xué)模型的解推理演算 在科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等方面，我們經(jīng)常會碰到最優(yōu)化決策的實際問題，而解決這類問題的理論基礎(chǔ)是線性規(guī)劃利用線性規(guī)劃研究的問題，大致可歸納為兩種類型：第一種類型是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣安排動用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，

2、收到的效益最大；第二種類型是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成這項任務(wù)的人力、物力資源量最小本節(jié)課主要研究這兩類問題例1：投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100t需要資金200萬元，需場地200m2,可獲利300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100m需要資金300萬元，需場地100m2,可獲利200萬元.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900m2,問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？分析：這是一個二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成表格，以方便理解題意：然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后用圖解法求解解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百米，利潤為s百萬元231429

3、00 xyxyxy則約束條件為32Sxy目標(biāo)函數(shù)為作出可行域（如圖），322Syx 將目標(biāo)函數(shù)變形為32y2S，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移直 線322Syx 13 5(, )422S29xy2314xy當(dāng)它經(jīng)過直線和的交點 時，最大， 即s最大1353214.7542S 此時因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品250米時，利潤最大為1475萬元例例2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消

4、耗A種礦石不超過300 t、B種礦石不超過200 t、煤不超過360 t甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少（精確到1 t），能使利潤總額達(dá)到最大？依據(jù)題中已知條件，列表如下： 甲產(chǎn)品（1t）乙產(chǎn)品（1t）資源限額（t）A種礦石（t）104300B種礦石（t）54200煤（t）49360利潤（元）6001000 資源消耗品產(chǎn)品求,取何值時，目標(biāo)函數(shù)已知變量,滿足約束條件xy非負(fù)約束變量非負(fù)約束變量煤資源約束種礦石資源約束種礦石資源約束yyxxyxByxAyx. 0, 0,36094,20045,300410 xyytZ1000600 取得最大值建立數(shù)學(xué)模型： 求解： 采用上節(jié)課所講的圖解法求出最大值4 .

5、1229360 x4 .34291000y，第二類問題第二類問題 即給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能即給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)務(wù)例例3、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，的蛋白質(zhì)，0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)28元；而元；而1 kg食物食物B含有含有0.1

6、05kg碳水化碳水化合物，合物，0.14kg蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需要營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需要同時食用食物同時食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白質(zhì)/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格解：設(shè)每天食用解：設(shè)每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，總成，總成本為本為z，那么，那么0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600 xy

7、xyxyxy目標(biāo)函數(shù)為：目標(biāo)函數(shù)為：z28x21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域7757146147600 xyxyxyxy把目標(biāo)函數(shù)把目標(biāo)函數(shù)z28x21y 變形為變形為xyo5/75/76/73/73/76/74321zyx 它表示斜率為它表示斜率為隨隨z變化的一組平行直變化的一組平行直線系線系34 是直線在是直線在y軸上軸上的截距，當(dāng)截距最的截距，當(dāng)截距最小時，小時，z的值最小。的值最小。21zM 如圖可見，當(dāng)直線如圖可見，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過可經(jīng)過可行域上的點行域上的點M時，截距時，截距最小，即最小，即z最小。最小。M

8、點是兩條直線的交點，解方程組點是兩條直線的交點，解方程組6714577yxyx得得M點的坐標(biāo)為：點的坐標(biāo)為：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B約約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為最低成本為16元。元。解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： （2 2）移移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；點且縱截距最大或最小的直線； （

9、3 3）求求：通過解方程組求出最優(yōu)解；：通過解方程組求出最優(yōu)解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）畫畫：畫出線性約束條件所表示的：畫出線性約束條件所表示的可行域可行域； 某工廠用某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品使用使用4個個A配件耗時配件耗時1h，每生產(chǎn)一件，每生產(chǎn)一件乙乙產(chǎn)品產(chǎn)品使用使用4個個B配件耗時配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠，該廠每天最多可從配件廠獲得獲得16個個A配件和配件和12個個B配件，按每天工作配件，按每天工作8h計算，計算，該廠所有可能的該廠所有可能的日生產(chǎn)安排日生產(chǎn)安排是什么？是

10、什么？A配件配件（個）（個）B配件配件（個）（個）耗時（耗時（h)甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品限限 制制414216812一、實際問題一、實際問題設(shè)設(shè)甲、乙甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件件，由已知條件可，由已知條件可得二元一次不等式組得二元一次不等式組2y84x164y12x0y0 x284300 xyxyxy將不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的將不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的整點整點（坐標(biāo)為整數(shù)坐標(biāo)為整數(shù)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。yx4843ox+2y=8x=4y=3284300 xyxyxy提出新問題：提出新問題：

11、若生產(chǎn)一件若生產(chǎn)一件甲甲產(chǎn)品獲利產(chǎn)品獲利2萬元萬元，生產(chǎn)，生產(chǎn)一件一件乙乙產(chǎn)品獲利產(chǎn)品獲利3萬元萬元，采用那種生產(chǎn)安排，采用那種生產(chǎn)安排利潤最大利潤最大？A配件配件（個）（個）B配件配件（個）（個）耗時（耗時（h) 利潤（萬元）利潤（萬元）甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品41乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品42限限 制制161282萬元萬元3萬元萬元yx4843oM設(shè)工廠獲得的利潤為設(shè)工廠獲得的利潤為z，則，則z2x3y 把把z2x3y變形為變形為 233zyx 23它表示斜率為它表示斜率為 在在y軸上的截距為軸上的截距為 的直的直線。線。3z當(dāng)當(dāng)z變化時，可以得變化時，可以得到到一族互相平行一族互相平行的的直線。直線。2x+3y=

12、0令令z=0,作直線作直線2x+3y=0由上圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過直線由上圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過直線x=4x=4與直線與直線x+2y-8=0 x+2y-8=0的的交點交點M M（4 4，2 2）時，截距時，截距 的值最大，最大值為的值最大，最大值為 ，3z143這時這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤件時，工廠可獲得最大利潤14萬元萬元。yx4843oM（4, 2）( Zmax=2x+3y=24+32=14 )試求滿足上述約束條件的，且使目標(biāo)函數(shù)取得最小值（其中、均為正整數(shù)）設(shè)需截第一種鋼板張，第二種鋼板張，由題xy. 0, 0

13、,273,182,152yxyxyxyxyx,yxZxy中表格得2第二類問題實例 例3 要將兩種大小不同的鋼板截成A，B，C 三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的決數(shù)如下表所示： A 規(guī)格B 規(guī)格C 規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123規(guī)格類型鋼板類型今需要A，B，C 三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少 解：演示課件演示課件 直線，此直線經(jīng)過直線和直線（為參數(shù)）經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的作出一組與直線平行的直線中l(wèi)tyxt152 yx273 yx)539,518(A557 yx的交點，直線方程為點）且與原點

14、距離最近的直線是，由于和都不是整數(shù)，而最優(yōu)解中，518539),(yxyx、12 yx)9 , 3(B)8 , 4(C)539,518(必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)的點不是最優(yōu)解經(jīng)過可行域內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的經(jīng)過的整點是和，它們是最優(yōu)解課堂練習(xí) 某工廠家具車間造型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成已知木工做一張型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠一張型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)型桌子各多少張，才能獲利潤最大？目標(biāo)函數(shù)為. 獲利潤為 千元，則設(shè)每天生產(chǎn)型桌子張， 型桌子張，每天所AxByZ. 0, 0, 93, 82yxyxyxyxZ32 解：解：且與原點距離最大，此時取得最大值上方平移至的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點，l032 yxlMyxZ32 如圖，作出可行域，把直線：向右答：每天應(yīng)生產(chǎn)型桌子2張， 型桌子3張才能解方程組 得., 93, 82yxyx3 , 2MAB獲最大利潤小結(jié)小結(jié) 1解線性規(guī)劃實際問題的一般步驟； 2線性規(guī)劃問題的二類題型 1課本作業(yè) ，習(xí)題7.4，第3、4題 布置作業(yè) 65P 某工廠生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品，按計劃每天生產(chǎn) 產(chǎn)品各不得小于，已知生產(chǎn)產(chǎn)品需用煤，電4度，勞動