兩步抗差估計(jì)GPS高程擬合

1、兩步抗差估計(jì)GPS高程擬合法張榮征1(單位。,郵編。,地區(qū)。如上海 )摘要：對(duì)于工程建設(shè)來說,高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng),水準(zhǔn)測(cè)量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。對(duì)局部區(qū)域GPS工程控制網(wǎng)，采用數(shù)學(xué)方法建立合理的GPS高程擬合模型，本文基于二次曲面函數(shù)對(duì)高程異常進(jìn)行計(jì)算，采用兩步抗差估計(jì)方法，進(jìn)行了高程擬合。關(guān)鍵詞：GPS高程；高程擬合；兩步抗差前言對(duì)于工程建設(shè)來說,高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng),水準(zhǔn)測(cè)量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。對(duì)局部區(qū)域GPS工程控制網(wǎng)，采用數(shù)學(xué)方法建立合理的GPS高程擬合模型，可以用于高程測(cè)量的粗差探測(cè)。GPS測(cè)量所得的高程是WGS84中的大地高，以W

2、GS-84橢球面為基準(zhǔn)面，我國采用的是正常高高程，以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面。若設(shè)GPS高程為，正常高高程為，似大地水準(zhǔn)面到WGS84橢球面之間的高程異常為，則、三者的關(guān)系可表達(dá)為： （1）在某一區(qū)域內(nèi)，如果有一定數(shù)量的已知水準(zhǔn)點(diǎn)，則可以在這些水準(zhǔn)點(diǎn)上進(jìn)行GPS觀測(cè)。根據(jù)已知點(diǎn)的高程異常值以及位置關(guān)系建立函數(shù)模型，并用來模擬該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的高度，并求解區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而根據(jù)（551）式求得任一點(diǎn)的正常高。常用的數(shù)學(xué)擬合模型有6種：多項(xiàng)式曲線擬合、三次樣條曲線擬合、Akima曲線擬合、多項(xiàng)式曲面擬合、多面函數(shù)法曲面擬合、移動(dòng)法曲面擬合等。無論那種模型，擬合的基本思想都是相同的，即利用

3、區(qū)域內(nèi)若干同時(shí)具有GPS高程合水準(zhǔn)的重合點(diǎn)，求出這些點(diǎn)上的高程異常值，并按照一定的曲面函數(shù)關(guān)系，建立高程異常與曲面坐標(biāo)之間的函數(shù)模型關(guān)系式，擬合出局部似大地水準(zhǔn)面，即求出各點(diǎn)的高程異常值，從而實(shí)現(xiàn)將各GPS大地高到正常高的轉(zhuǎn)換。1.二次曲面函數(shù)法在一定范圍內(nèi)，若正常重力的變化可以忽略不計(jì)時(shí)，對(duì)于參考點(diǎn)，此區(qū)域高程異常的模型為： （2）表達(dá)式為：（3）式中：，即為參考點(diǎn)的高程異常；、，即、分別為參考點(diǎn)在、方向的垂線偏差；、，即、是垂線偏差的變化率；、是各點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)差。（2）式為二次曲面模型，當(dāng)只取 、三項(xiàng)時(shí)，（2）式即變?yōu)槠矫鏀M合模型。在較小范圍內(nèi)，且高程異常變化平緩的地區(qū)，即當(dāng)、不大于，且時(shí)

4、，（2）式中的二項(xiàng)式才不大于1mm。因此，在精密GPS水準(zhǔn)中，通常不宜以平面模型代替二次模型。從二次模型來看，點(diǎn)的選擇有可能影響模型的精度。如果點(diǎn)選擇離測(cè)區(qū)較遠(yuǎn)，將有可能因忽略各點(diǎn)到參考點(diǎn)沿線不同不為的垂線偏差異常之差異而降低模型的精度。另外，、之值相差較大，也 不利于未知參數(shù)的估算。通常工程控制網(wǎng)局限于較小范圍，所重視的是本測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的相對(duì)精度和成果的質(zhì)量。因此，高程異常模型建立時(shí)，可選取測(cè)區(qū)內(nèi)一個(gè)位于中心部位的點(diǎn)A作為相對(duì)參考點(diǎn)。則容易列出測(cè)區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)相對(duì)于A參考點(diǎn)高程異常差值的二次模型為：（4）可表示為：（5）式中：、是A點(diǎn)到點(diǎn)在方向的垂線偏差；、是垂線偏差變化率；、是點(diǎn)到點(diǎn)A的坐標(biāo)增量

5、， 當(dāng)測(cè)區(qū)已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)較多時(shí)（大于6），這時(shí)可用最小二乘求解。誤差方程為：（6）也可以表達(dá)為：（7）采用最小二乘：模型（6）及（7）以測(cè)區(qū)中部A點(diǎn)為基準(zhǔn)，到個(gè)控制點(diǎn)距離較均勻，之值較小，直觀地反映了本測(cè)區(qū)內(nèi)的情況，對(duì)擬合精度的提高是有利的。2.兩步抗差估計(jì)高程擬合一般的高程擬合方法是，通過最小二乘原理，求解得到各個(gè)參數(shù)之后，代入擬合模型，求解得到區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而得到正常高。由于最小二乘具有均攤大誤差的特性，因而一旦由大地高合正常高求得的某幾個(gè)或幾個(gè)高程異常存在粗差，必然會(huì)導(dǎo)致所求的區(qū)域高程異常擬合模型扭曲。因此，將抗差方法引入高程異常擬合模型參數(shù)估計(jì)中，以保證似大地水準(zhǔn)擬合模型的可

6、靠性是很有意義的。將抗差估計(jì)應(yīng)用在高程擬合中，基本方法為：首先進(jìn)行最小二乘平差，即一般的擬合，求出改正數(shù)，再根據(jù)不同的權(quán)函數(shù)來確定相應(yīng)的等價(jià)權(quán)，權(quán)函數(shù)形式由采用的相應(yīng)方法（如IGG、Hampel法等）確定。多次反復(fù)迭代，直至含有粗差項(xiàng)的趨近于零，從而得到參數(shù)估值。使含有粗差的高程異常對(duì)擬合模型的參數(shù)估值的影響趨近于零，獲得的高程異常中不含粗差影響。在高程異常模型的建立中，應(yīng)該判別存在粗差的控制點(diǎn)，進(jìn)而控制其對(duì)模型的影響，使之扭曲和失真。具體步驟如下：1、列誤差方程；（8）1、 計(jì)算最小二乘估計(jì)值，獲取殘差；2、 選取兩步等價(jià)權(quán)函數(shù)，計(jì)算等價(jià)權(quán)；3、 在新權(quán)下，迭代平差運(yùn)算，得到 （9）實(shí)例分析

7、如下：常州市龍城大橋施工控制網(wǎng)有18個(gè)控制點(diǎn)，分別為：,如圖1所示，高程采用水準(zhǔn)觀測(cè)，采用成熟的平差軟件進(jìn)行計(jì)算，獲得各點(diǎn)的GPS大地高和正常高。分別采用二次曲面、多面函數(shù)和抗差估計(jì)方法進(jìn)行高程擬合?？共罟烙?jì)方法是在多面函數(shù)法基礎(chǔ)之上進(jìn)行迭代運(yùn)算的，稱為抗差多面函數(shù)法。選用均勻分布的、為已知點(diǎn)進(jìn)行擬合，其已知數(shù)據(jù)如下表5.1所示。采用三種不同的方法對(duì)其余10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了擬合，其結(jié)果如下表5.2所示：圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)表1 已知數(shù)據(jù)（m）點(diǎn)號(hào)GPS高10.6559.51109.9279.6479.7007.4946.7557.394正常高9.88638.69729.08758.94638.95696.6

8、9075.99576.5587表2 擬合高程值點(diǎn)號(hào)GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97279.77209.04399.05448.55186.81697.47436.61445.42027.2283函數(shù)法（m）8.96839.76629.04249.07428.56016.81047.46936.60445.41607.2237抗差法（m）8.96999.76849

9、.04519.07178.55926.81057.47036.60595.41767.2241差值（cm）-0.570.310.330.740.09-0.221.51.780.09-0.4差值（cm）-0.130.890.48-1.24-0.740.4322.480.510.06差值（cm）-0.290.670.21-0.99-0.650.421.92.330.350.02從上表可以看出，采用三種方法進(jìn)行高程擬合，所得的高程與已知高程相比較，最大偏差為，大多數(shù)點(diǎn)都符合工程施工的要求，從而可以看出，這三種方法具有一定的實(shí)用性。為了更好理解抗差法高程擬合的意義，在上述實(shí)例的基礎(chǔ)上，追加粗差，在點(diǎn)的

10、GPS高程點(diǎn)上追加40mm的粗差，則其GPS高為18.5510，然后采用二次函數(shù)法，多面函數(shù)法，兩步抗差多面函數(shù)法進(jìn)行高程擬合，其權(quán)函數(shù)分別采用： 和 ，調(diào)制因子分別采用：和，所得結(jié)果如表5.3表3擬合高程值點(diǎn)號(hào)GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97589.77649.04829.07228.56306.81517.46686.60865.41327.2196函數(shù)法（

11、m）8.99269.79229.05789.01608.52786.83537.48376.62555.42937.2330抗差法（m）8.97089.76969.04579.07228.55966.81127.46996.61645.41717.2235差值（cm）-0.88-0.13-0.1-1.54-1.03-0.042.252.060.790.47差值（cm）-2.56-1.71-1.064.582.49-2.060.560.37-0.82-0.87差值（cm）-0.380.550.15-1.04-0.690.351.941.290.40.08從上表可以看出，在加入粗差時(shí)，二次法與多面

12、函數(shù)法擬合的結(jié)果與已知值相差較大，特別是二次函數(shù)曲面法，差值最大達(dá)到了4個(gè)多厘米，多面函數(shù)法也達(dá)到2厘米多，因而可以說這兩種方法，當(dāng)數(shù)據(jù)中存在一定的粗差時(shí)，其結(jié)果與實(shí)際的差值較大。兩步抗差估計(jì)高程擬合方法，其結(jié)果與沒有粗差時(shí)變化不大，將含有粗差項(xiàng)的影響降到最小。因此，可以得到，在沒有粗差影響的情況下，二次曲面法、多面函數(shù)法都能比較好的擬合出高程，得到精度比較高的結(jié)果。不過，多面函數(shù)擬合法，其核函數(shù)的選取比較重要，直接關(guān)系到結(jié)果的優(yōu)劣以及差異。當(dāng)存在粗差時(shí)，二次曲面法、多面函數(shù)法都沒有抗擊粗差的能力，受粗差影響，所得結(jié)果與實(shí)際值相差較大，兩步抗差估計(jì)擬合法能抵抗粗差的影響，得到比較優(yōu)良的結(jié)果。3.結(jié)論兩步抗差估計(jì)高程擬合方法，其結(jié)果與沒有粗