二次函數(shù)的存在性問(wèn)題之菱形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)的存在性問(wèn)題之菱形1. 如圖，拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E（1）求拋物線解析式； （2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，當(dāng)OD=4PE時(shí)，求四邊形POBE的面積； （3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在上，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 2. 如圖，直線 與 軸、軸分別交于 、兩點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過(guò) 、兩點(diǎn)，與

2、 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 ，連接 （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）點(diǎn) 在拋物線上，連接 ，當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)； （3）點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，沿線段 由 向 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，沿線段 由 向 運(yùn)動(dòng)， 、 的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng) 點(diǎn)到達(dá) 點(diǎn)時(shí)， 、 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) ，使 、 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，以 、 、 、 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 3. 如圖所示，頂點(diǎn)為（，）的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)M（2，0）（1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)A是拋物線與x軸的交點(diǎn)（不與點(diǎn)M重合），點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)

3、C是直線y=x+1上一點(diǎn)（處于x軸下方），點(diǎn)D是反比例函數(shù)y= （k0）圖象上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求k的值 4. 綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C （1）求拋物線的解析式   （2）如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由注：二次函數(shù)y=ax2

4、+bx +c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ） 5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x27x+12=0的兩個(gè)根，且OAOB（1）求OA、OB的長(zhǎng)（2）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）23與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0， ），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè) （1）求a的值及點(diǎn)A，

5、B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和拋物線交于點(diǎn)A（4，0），B（0，4），且點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AB和拋物線的解析式 （2）M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 8. 如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及

6、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，作直線CD，點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)B，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo) 9. 如圖，拋物線 y=x2x2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，M是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）連接MO、MC，并把MOC沿CO翻折，得到四邊形MO MC，那么是否存在點(diǎn)M，使四邊形MO MC為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； 10. 拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與

7、x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線m交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第二象限，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若PBA= OBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 11. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）試求拋物線的解析式； （2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 12. 如圖，在平面直

8、角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)B處的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于c（0，3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（1）求出二次函數(shù)的解析式； （2）連接PO、PC，并將POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形POPC，那么是否存在點(diǎn)P，使得四邊形POPC為菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 13. 如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D直線y=2x1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（2，m）且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式； （2）點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，沿

9、對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 （2）連接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 15. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

10、y= 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)E（1）求證：點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱； （2）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)D在射線AD上移動(dòng)，點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，將FBC沿BC翻折，使點(diǎn)F落在點(diǎn)F處，在平面內(nèi)找一點(diǎn)G，若以F、G、D、A為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求平移的距離 16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 在拋物線   上,且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線 與 軸交于點(diǎn) ，點(diǎn) 為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 （1）求線段 的長(zhǎng)； （2）點(diǎn)

11、為線段 上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交 于點(diǎn) ，點(diǎn) 為 軸上一點(diǎn)，當(dāng) 的面積最大時(shí)，求 的最小值； （3）在（2）中， 取得最小值時(shí)，將 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到 ,過(guò)點(diǎn) 作 的垂線與直線 交于點(diǎn) ，點(diǎn) 為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn) ，使得點(diǎn) 為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均

12、為每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式； （2）在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值 18. 已知，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式； （2）如圖2，若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn)，E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使以B，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 答案解析部分一、綜合題1.【答案】（

13、1）解：拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱軸是直線x=1，A（2，0）在拋物線上， ，解得： ，拋物線解析式為y= x2 x2；（2）解：令y= x2 x2=0，解得：x1=2，x2=4，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，B（4，0），C（0，2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則 ，解得： ，y= x2，設(shè)D（m，0），DPy軸，E（m， m2），P（m， m2 m2），OD=4PE，m=4（ m2 m2 m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5， ），E（5， ），四邊形POBE的面積=SOPDSEBD= ×5× 1× = ；（3）解：存在，設(shè)M（n， n2），以

14、BD為對(duì)角線，如圖1，四邊形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+ ，M（ ， ），M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，N（ ， ）；以BD為邊，如圖2，四邊形BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MHx軸于H，MH2+DH2=DM2 ， 即（ n2）2+（n5）2=12 ， n1=4（不合題意），n2=5.6，N（4.6， ），同理（ n2）2+（4n）2=1，n1=4+ （不合題意，舍去），n2=4 ，N（5 ， ），以BD為邊，如圖3，過(guò)M作MHx軸于H，MH2+BH2=BM2 ， 即（ n2）2+（n4）2=12 ， n1=4+ ，n2=4 （不合題意，舍去），N（5+ ， ），綜

15、上所述，當(dāng)N（ ， ）或（4.6， ）或（5 ， ）或（5+ ， ），以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 【解析】【分析】（1）由拋物線y=ax2+bx2的對(duì)稱軸是直線x=1，A（2，0）在拋物線上，于是列方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)解析式得到B（4，0），C（0，2），求得BC的解析式為y= x2，設(shè)D（m，0），得到E（m， m2），P（m， m2 m2），根據(jù)已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)M（n， n2），以BD為對(duì)角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD，求得n=4+ ，于是得到

16、N（ ， ）；以BD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MNBD，MN=BD=MD=1，過(guò)M作MHx軸于H，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論2.【答案】（1）解：直線解析式 ，令 ，得 ；令 ，得 、 點(diǎn) 、 在拋物線 上， ，解得 ，拋物線解析式為： 令 ，解得： 或 ， （2）解： ，設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，如答圖 所示 ， ，故點(diǎn) 滿足條件過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，則 ， ， ， ，直線 的解析式為： 聯(lián)立 與 ，得： ，解得： ， ， ， ， ；當(dāng) 與 關(guān)于 軸對(duì)稱時(shí)，如答圖 所示 ， ， ，故點(diǎn) 滿足條件過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，則 ， ， ， ，直線 的解析式為： 聯(lián)立 與 得： ，解得： ， ， ， ， 綜上所述，

17、滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)為： 或 （3）解：設(shè) ，則 ， ， 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) ，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn) ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 若以 為菱形對(duì)角線，如答圖 此時(shí) ，菱形邊長(zhǎng) 在 中， ，解得 過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，則 ， ， 點(diǎn) 與點(diǎn) 橫坐標(biāo)相差 個(gè)單位， ；若以 為菱形對(duì)角線，如答圖 此時(shí) ，菱形邊長(zhǎng)    ， ，點(diǎn) 為 中點(diǎn)， 點(diǎn) 與點(diǎn) 橫坐標(biāo)相差 個(gè)單位， ；若以 為菱形對(duì)角線，如答圖 此時(shí) ，菱形邊長(zhǎng) 在 中， ，解得 ， 綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn) ，點(diǎn) 坐標(biāo)為： 或 或 【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋

18、物線 y=x2+bx+c得出關(guān)于b,c的方程組，求解得出b,c的值，從而得出拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，將y=0代入拋物線的解析式，楸樹(shù)對(duì)應(yīng)的自變量的值，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè) M ( x , y )當(dāng)BMBC 時(shí)，如答圖 2 1 所示根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及垂直的定義得出MBA+CBO=45 ，故點(diǎn) M 滿足條件，過(guò)點(diǎn) M1 作M1Ey軸于點(diǎn)E ，則M1E=x ， OE=y 進(jìn)而表示出BE，根據(jù)同角的余角相等及等角的同名三角函數(shù)值相等得出 tanM1BE=tanBCO=， 根據(jù)正切函數(shù)的定義得出關(guān)于x,y的方程，變形即可得出直線BM1 的解析式，解聯(lián)立直線BM

19、 1 的解析式與拋物線的解析式組成的方程組，即可求出M1的坐標(biāo)；當(dāng) BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖 2 2 所示根據(jù)根據(jù)角的和差及對(duì)稱的性質(zhì)得出ABO=MBA+MBO=45 ， MBO=CBO ，故MBA+CBO=45 ，故點(diǎn) M 滿足條件過(guò)點(diǎn) M2 作 M2Ey 軸于點(diǎn) E ，則M2E=x ， OE=y 進(jìn)而表示出BE，根據(jù)同角的余角相等及等角的同名三角函數(shù)值相等得出 tanM2BE=tanCBO=， 根據(jù)正切函數(shù)的定義得出關(guān)于x,y的方程，變形即可得出直線BM2 的解析式，解聯(lián)立直線BM2 的解析式與拋物線的解析式組成的方程組，即可求出M2的坐標(biāo)，綜上所述即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè) B

20、CO= ，則 tan= ， sin= ， cos= 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) D ，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn) E ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 若以 CQ為菱形對(duì)角線，如答圖 3 1 此時(shí) BQ=t ，菱形邊長(zhǎng)=t ，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分得出 CE=CQ=(5t) ，根據(jù)余弦函數(shù)的定義，由cos=,即可列出方程，求解得出t的值，進(jìn)而得出CQ的值，過(guò)點(diǎn)Q作QFx 軸于點(diǎn) F，則 QF=CQ sin， CF=CQ cos，分別計(jì)算出QF,CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OF的長(zhǎng)，從而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) D1與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差 t 個(gè)單位即可得出D1的坐標(biāo)；若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖 3 2 此時(shí) BQ

21、=t ，菱形邊長(zhǎng)=t，根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由點(diǎn) Q為BC中點(diǎn)得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) D2與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差 t 個(gè)單位即可得出D1的坐標(biāo)；若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖 3 3 此時(shí)BQ=t ，菱形邊長(zhǎng)=5t根據(jù)cos =列出方程，求解得出t的值，進(jìn)而求出OE, 由 D3E=QE=CQ sin，從而得出D3的坐標(biāo)，綜上所述即可得出答案。3.【答案】（1）解：依題意可設(shè)拋物線方程為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x ）2 （a0），將點(diǎn)M（2，0）代入可得：a（2 ）2 =0，解得a=1故拋物線的解析式為：y=（x ）2 （2）解：由（1）知，拋物線的解析式為：y=（x ）2 則對(duì)稱軸為x= ，點(diǎn)A與點(diǎn)M（2，0）

22、關(guān)于直線x= 對(duì)稱，A（-1，0）令x=0，則y=2，B（0，2）在直角OAB中，OA=1，OB=2，則AB= 設(shè)直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)G，易求G（0，1）直角AOG是等腰直角三角形，AGO=45°點(diǎn)C是直線y=x+1上一點(diǎn)（處于x軸下方），而k0，所以反比例函數(shù)y= （k0）圖象位于點(diǎn)一、三象限故點(diǎn)D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：此菱形以AB為邊且AC也為邊，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作DNy軸于點(diǎn)N，在直角BDN中，DBN=AGO=45°，DN=BN= = ，D（ ， 2），點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= （k0）圖象上，k= ×（ 2）= +

23、；此菱形以AB為對(duì)角線，如圖2，作AB的垂直平分線CD交直線y=x+1于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y= （k0）的圖象于點(diǎn)D再分別過(guò)點(diǎn)D、B作DEx軸于點(diǎn)F，BEy軸，DE與BE相較于點(diǎn)E在直角BDE中，同可證AGO=DBO=BDE=45°，BE=DE可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x2）BE2+DE2=BD2 ， BD= BE= x四邊形ABCD是菱形，AD=BD= x在直角ADF中，AD2=AF2+DF2 ， 即（ x）=（x+1）2+（x2）2 ， 解得x= ，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ， ）點(diǎn)D在反比例函數(shù)y= （k0）圖象上，k= × = ，綜上所述，k的值是 + 或 【解析】【分析】（1）

24、設(shè)拋物線方程為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x ）2 ，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入求a的值即可；（2）設(shè)直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)G，易求G（0，1）則直角AOG是等腰直角三角形AGO=45°點(diǎn)C是直線y=x+1上一點(diǎn)（處于x軸下方），而k0，所以反比例函數(shù)y= （k0）圖象位于點(diǎn)一、三象限故點(diǎn)D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：此菱形以AB為邊且AC也為邊，此菱形以AB為對(duì)角線，利用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得k的值即可4.【答案】（1）解：將A（4，0）代入y=x+cc=4將A（4，0）和c=4代入y=x2+bx+cb=3拋物線解析式

25、為y=x23x+4（3）解：存在設(shè)M坐標(biāo)為（a，0）則N為（a，a23a+4）則P點(diǎn)坐標(biāo)為（a， ）把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=x+4解得a1=4（舍去），a2=1當(dāng)PF=FM時(shí)，點(diǎn)D在MN垂直平分線上，則D（ ）當(dāng)PM=PF時(shí)，由菱形性質(zhì)點(diǎn)D坐標(biāo)為（1+ ，）（1，）當(dāng)MP=MF時(shí)，M、D關(guān)于直線y=x+4對(duì)稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3） 5.【答案】（1）解：方程x27x+12=0，分解因式得：（x3）（x4）=0，可得：x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3（2）解：AOBC，AO平分BAC，分四種情況考慮：AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，點(diǎn)F與

26、B重合，即F（3，0）；AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，8）；AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y= x+4，直線L過(guò)（ ，2），且k值為 （平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為1），L解析式為y= x+ ，聯(lián)立直線L與直線AB，得： ，解得：x= ，y= ，F(xiàn)（ ， ）；AF是對(duì)角線時(shí)，過(guò)C做AB垂線，垂足為N，SABC= BCOA= ABCN=12，CN= = ，在BCN中，BC=6，CN= ，根據(jù)勾股定理得BN= = ，即AN=ABBN=5 = ，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)，記為F，AF=2AN= ，過(guò)F做y軸垂線，垂足

27、為G，F(xiàn)G=AFsinBAO= × = ，F(xiàn)（ ， ），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（3，0）；F2（3，8）；F3（ ， ）；F4（ ， ）【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的長(zhǎng)度即可；（2）先根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對(duì)應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算6.【答案】（1）解：拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，

28、）a3= ，解得：a= ，y= （x+1）23當(dāng)y=0時(shí)，有 （x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）解：設(shè)P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且過(guò)點(diǎn)H（1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由 ， +（ k）x k=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2 ， 點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M（ k1， k2）假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖，直線DNPQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k3由 ，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四邊形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2

29、+（3k2）2=（ ）2+（ ）2 ，  整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得k=± ，k0，k= ，P（3 1，6），M（ 1，2），N（2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四邊形DMPN是平行四邊形，DM=DN，四邊形DMPN為菱形，以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 1，1）7.【答案】（1）答案解：設(shè)直線的解析式為y=kx+b將A（4，0），B（0，4）代入得： ，解得k=1，b=4，直線AB的解析式為y=x+4設(shè)物線的解析式為y=ax2+4將A（4，0）代入得：16a+4=0，解得a= ，拋物線的解析

30、式為y= x2+4（2）解：如圖2所示：延長(zhǎng)MN交x軸與點(diǎn)CMNOB，OBOC，MNOCOA=OB，AOB=90°，BA0=45°ONAB，NOC=45°OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 ，2 ）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)N作NCy軸，垂足為COA=OB，AOB=90°，OBA=45°ONAB，NOC=45°OC=ON× =4× =2 ，NC=ON× =4× =2 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 ，2 ）如圖4所示：連接MN交y軸與點(diǎn)C四

31、邊形BNOM為菱形，OB=4，BC=OC=2，MC=CN，MNOB點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2將y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）如圖5所示：四邊形OBNM為菱形，NBM=ABO=45°四邊形OBNM為正方形點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，4）綜上所述點(diǎn)N的坐標(biāo)為 或 或（4，4）或（2，2） 【解析】【分析】（1）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，將A（4，0），B（0，4）代入得到關(guān)于k、b的方程組，然后解得k、b的值即可；設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+4，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求得a的值即可；（2）先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，需要注意本題共有4種情況，然后依據(jù)

32、菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及特殊銳角三角函數(shù)值求解即可8.【答案】（1）解：將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，解得：a=1，c=8拋物線的解析式為y=x22x8y=（x1）29，D（1，9）（2）解：設(shè)CD的解析式為y=kx8，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：k8=9，解得k=1，直線CD的解析式為y=x8設(shè)直線CB的解析式為y=k2x8，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k28=0，解得：k2=2直線BC的解析式為y=2x8將x=1代入直線BC的解析式得：y=6，F(xiàn)（1，6）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a8）當(dāng)MF=MB時(shí)，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2 ， 整理得：6a=75，解得：

33、a= 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）當(dāng)FM=FB時(shí)，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2 ， 整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，12）或（5，3）綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）或（4，12）或（5，3） 9.【答案】（1）解：令y=0，則x2x2=0，解得：x1=4，x2=1，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A（1，0），B（4，0），令x=0，則y=2，C（0，2）（2）解：存在點(diǎn)M，使四邊形MO MC是菱形，如圖1所示：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2x2）若四邊形MO MC是菱形，則M M垂直平分OC，OC=2，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，x2x2=1，解得：x1=，x2=（不合題意，

34、舍去），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）10.【答案】（1）解：y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，y= （x+4）（x2）= （x2+2x8）= （x+1）23D（1，3）（2）解：在x軸上點(diǎn)E（2，0），連接CE，并延長(zhǎng)CE交PB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGx軸，垂足為G點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，OBC=OECOBC=GEFPBA= OBC，PBA=EFBEF=EB=4OE=2，OC= ，EC= GFOC，F(xiàn)GECOE = = ，即 = = ，解得：FG= ，EG= ，F(xiàn)（ ， ）設(shè)BP的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)F和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得：k= ，b=1，直線BP的解析式為y= x+

35、1將y= x+1與y= x2+ x 聯(lián)立，解得：x= ，x=2（舍去），y= P（ ， ）；（3）解：設(shè)P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且過(guò)點(diǎn)H（1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由 得： x2+（ k） k=0x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2 ， 解得：x1=1，x2=3k1，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M（ k1， k2）假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖2，直線DNPQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k3由 ，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四邊形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+

36、（3k2）2=（ ）2+ k2+3）2 ， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得k=± ，k0，k= ，P（3 1，6），M（ 1，2），N（2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四邊形DMPN是平行四邊形，DM=DN，四邊形DMPN為菱形，以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2 1，1）【解析】【分析】（1）拋物線的解析式為y= （x+4）（x2），然后利用配方法可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在x軸上點(diǎn)E（2，0），連接CE，并延長(zhǎng)CE交PB與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGx軸，垂足為G首先證明EF=EB=4，然后證明FGECOE，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可

37、得到FG= ，EG= ，故可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后可求得BP的解析式，最后可求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）設(shè)P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且過(guò)點(diǎn)H（1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點(diǎn)N坐標(biāo)，列出方程求出k，即可解決問(wèn)題11.【答案】（1）解：拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)， ，解得 ，拋物線的解析式為y=x2+2x+3；（2）解：存在若AM為菱形對(duì)角線，則AM與CN互相垂直平分，N（0，3）；若CM為菱形對(duì)角線，則 ， 或 ；若AC為菱形對(duì)角線，則CN=

38、AM=CM，設(shè)M（m，0），由CM2=AM2 ， 得m2+32=（m+1）2 ， 解得m=4，CN=AM=CM=5，N（5，3）綜上可知存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，符合條件的點(diǎn)N有4個(gè)：N1（0，3）， ， ，N4（5，3） 12.【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得 ，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x22x3（2）解：存在理由如下：如圖1中，作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E則PO=PC，POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，OP=OP，CP=CP，OP=OP=CP=CP，四邊形POPC為菱形，C點(diǎn)坐標(biāo)為

39、（0，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 ，把y= 代入y=x22x3得x22x3= ，解得x= ，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，x= ，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）13.【答案】（1）解：點(diǎn)B（2，m）在直線y=2x1上m=2×（2）1=41=3，所以，點(diǎn)B（2，3），又拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，點(diǎn)B（2，3），A（4，0）在拋物線上， ，解得： 拋物線的解析式為y= x2x（2）解：結(jié)論：存在拋物線的解析式為y= x2x，頂點(diǎn)E（2，1），對(duì)稱軸為x=2；點(diǎn)F是直線y=2x1與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)，F(xiàn)（2，5），DF=5又A（4，0），AE=

40、 如下圖所示，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，依次出現(xiàn)四個(gè)菱形：菱形AEM1Q1 此時(shí)EM1=AE= ，M1F=DFDEDM1=4 ，t1=4 ；菱形AEOM2 此時(shí)DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3 此時(shí)EM3=AE= ，DM3=EM3DE= 1，M3F=DM3+DF=（ 1）+5=4+ ，t3=4+ ；菱形AM4EQ4 此時(shí)AE為菱形的對(duì)角線，設(shè)對(duì)角線AE與M4Q4交于點(diǎn)H，則AEM4Q4 ， 易知AEDM4EH， = ，即 = ，得M4E=2.5，DM4=M4EDE=2.51=1.5，M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，t4=6.5綜上所述，存在點(diǎn)M、點(diǎn)Q，

41、使得以Q、A、E、M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；時(shí)間t的值為：t1=4 ，t2=6，t3=4+ ，t4=6.5 14.【答案】（1）解：將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得  ，解得  ，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x+3（2）解：如圖，存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），PP交CO于E，若四邊形POPC是菱形，則有PC=PO，連接PP則PECO于E，OE=CE= ，y= ，-x2+2x+3= ，解得x1= ，x2= （不合題意，舍去），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；15.【答案】（1）證明：如圖1中，令y=0，得到 x2 x3=0，解得x= 或3 ，A（

42、 ，0），B（3 ，0），令x=0，可得y=3，C（0，3），y= x2 x3= （x ）24，頂點(diǎn)D（ ，4），設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于F，則BF=2 ，EFBBOC， = ， = ，EF=4，E（ ，4），E、D關(guān)于x軸對(duì)稱（2）F（ ， ），A（ + t，2t），D（ ，4），設(shè)平移距離為 t，則A（ + t，2t），D（ + t，42t），AF2=6t224t+ ，DF2=6t2+ ，AD2=24，當(dāng)AF2=DF2時(shí)，6t224t+ =6t2+ ，解得t=1當(dāng)AF2=AD2時(shí)，6t224t+ =24，解得t= 當(dāng)DF2=AD2時(shí)，24=6t2+ ，解得t= 或 （舍棄），平移的距離 t= ，

43、 ， 16.【答案】（1）解：由題意得 (1，3)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)D(2，4)， (0，3)，由點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則 (3，3），則 （2）解：延長(zhǎng) ，交 于點(diǎn) ，(3，3)， (1，1)，直線 的解析式為： ，設(shè) ( ， )， ，則 (m，m)，則SPBE= =PN，當(dāng) 取最大值時(shí)， 取最大值，當(dāng) ，PN取最大值， ( ， )， ( ， )，構(gòu)造與 軸夾角為 的直線OM，如圖所示，則 ，即 ，當(dāng) 時(shí)， ，（3）解：OM的解析式為 ，HMOM，且HM過(guò)點(diǎn)H，HM的解析式為: ， (0，3- ），又 (0，3)，在 中， =30°，(-1，3)，以 為

44、邊，此時(shí) (-1，3- )； (5，3)； (-1，3+ )；以 為對(duì)角線， 此時(shí) (-1，8).【解析】【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1及A點(diǎn)在拋物線上，得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，又點(diǎn) B 與點(diǎn) A 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，從而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)度；（2）延長(zhǎng) PH ，交 BE 于點(diǎn) N ，首先利用待定系數(shù)法求出直線BE的函數(shù)解析式，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)所在的位置得出其橫坐標(biāo)的取值范圍，進(jìn)而得出N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式得出SPBE=PN，故當(dāng) PN 取最大值時(shí)， S PBE 取最大值，根據(jù)P，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出PN長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)得出當(dāng)自變量取何值時(shí)，PN取最大值，從而得出P,H的坐標(biāo)，構(gòu)造與 y 軸夾角為 30 ° 的直線OM，如圖所示，得出直線OM的解析式，根據(jù)含30º角的直角三角形的邊之間的關(guān)系得出