二次函數(shù)綜合(動點)問題——三角形存在問題培優(yōu)教案(一)(橫版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)綜合（動點）問題三角形存在問題（一）適用學科初中數(shù)學適用年級初中三年級適用區(qū)域全國新課標課時時長（分鐘）60分鐘知識點1、三角形的性質(zhì)和判定2、求作等腰三角形，直角三角形的方法教學目標一、 知識與技能1、掌握各類三角形的判定以及性質(zhì)；2、會用“兩圓一線”、“兩線一圓”求作等腰三角形和直角三角形；二、 過程與方法1、首先要明確各種三角形的性質(zhì)以及判定；2、理解等腰三角形的特征，明確腰相等，可以任意兩腰相等；3、理解直角三角形的特征，明確有一個角是直角，可以是任意的內(nèi)角；4、先研究三角形的性質(zhì)，再將三角形放到二次函數(shù)圖像中進行綜合運用。5、充分運用數(shù)學結合、轉化、

2、方程等數(shù)學思想來幫助解題。三、 情感、態(tài)度與價值觀1、培養(yǎng)學生的處理圖像綜合運用的能力；2、讓學生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復雜的學習方法；3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。教學重點是否存在一點使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點的坐標教學難點是否存在一點使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點的坐標教學過程一、課堂導入1、在平面直角坐標系中，已知點A（4，4）、B（-4，4），試在x軸上找出點P，使APB為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的P點的坐標2、在平面直角坐標系中找出所有的點C，使得ABC是以AB為腰的等腰三角形，且C點的橫坐

3、標與縱坐標為自然數(shù)畫出C點的位置并寫出C點的坐標問題：這是我們在平面直角坐標系那章學習的內(nèi)容，如果我們將二次函數(shù)容納其中，在拋物線上求作一點，使得三角形是等腰三角形（等邊三角形、直角三角形等）并求出該點坐標時,又該如何解答呢？ 二、復習預習根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式：1、列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數(shù)關系)(2)設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所

4、設變量的單位要準確(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)(4)按題目要求，結合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題。(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案(6)寫出答案2、常見題目類型 (1)幾何類(三角形、四邊形、圓等) 一般問題是求圖形的面積，首先可以根據(jù)特殊圖形的面積公式來求解，這時關鍵是表示出公式里各個部分的代數(shù)式；其次，如果不是特殊的圖形，可以通過特殊圖形的面積相加減來表示；最后，還可以通過構造特殊圖形來進行表示求解；總之，要根據(jù)題目給的條件實際運用。 (2)橋梁問題 這類題型是出現(xiàn)較多的類型，首先應該建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担瑢?/p>

5、橋梁的拱形轉化為二次函數(shù)來進行求解，強調(diào)的是特殊點的表示與運用。 (3)銷售問題 這類題型會在考試中頻繁出現(xiàn)，解題的方法就是：圍繞總利潤=（售價-進價）×數(shù)量這個公式去進行，難度大一點的就是會涉及提價跟降價兩種情況，關鍵是要根據(jù)題意分別表示出降價或者提價后商品的售價、數(shù)量（進價一般不變），然后再通過公式將各個部分組合在一起就可以了。 二次函數(shù)的應用： 1、應用類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大（?。┲担哼@類問題常見有面積、利潤銷售量的最大（?。┲?，一般這類問題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題來求解即可。2、 應用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問

6、題:這類型的題目關鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點坐標。3、 應用類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實際問題；這類型的題目關鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點坐標。三、知識講解考點/易錯點1 三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45&

7、#176;。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個角相等且等于60°，三線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，三個角相等，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？键c/易錯點2求作等腰三角形、直角三角形的方法：圖一 兩圓一線圖解 圖二 兩線一圓圖解總結：（1）通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上 （2）通過“兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點（不與A、B點重合）即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線上?？键c/易錯

8、點3等腰三角形、直角三角形可能的情況：A(1)當所求三角形是等腰三角形時，可以是三角形任意兩邊相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如圖；CBA(2)當所求三角形是直角三角形時，可以是三角形任意的內(nèi)角為直角,即：A=90°、B=90°、C=90°，如圖所示；CB考點/易錯點4二次函數(shù)中三角形的存在性問題解題思路：（1）先分類，羅列線段的長度，如果是等腰三角形則分別令三邊兩兩相等去求解；如果是直角三角形則分別令每個內(nèi)角等腰90°去分類討論；（2）再畫圖；（3）后計算。 四、例題精析【例題1】 【題干】（揚州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1

9、，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2) P（1，2）；(3) M（1，6）（1，-6）（1，1）（1，0）【解析】解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：a-b+c09a+3b+c0c3 ，解得：a-1b2c3拋物線的解析式：y=-x2+2x+3（2）連接BC，直線BC

10、與直線l的交點為P；點A、B關于直線l對稱，PA=PB，BC=PC+PB=PC+PA設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：3k+b0b3，解得：k-1b3直線BC的函數(shù)關系式y(tǒng)=-x+3；當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）（3）拋物線的對稱軸為：x=- b2a=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則： MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；若MA=MC，則MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1；若MA=AC，則MA2=AC2，得： m2+4=10，得：m=±

11、;6；若MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，6）（1，- 6）（1，1）（1，0）【例題2】 【題干】（攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；（3）設拋物線的頂點為D，DEx軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明

12、理由【答案】(1) y=x2+2x-3；(2) P的坐標為（- 32，- 154）；(3) （0，32）或（0，-72）或（0，-1）或（0，-3）【解析】解：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），將C點坐標（0，-3）代入，得： a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得-3k+m0m-3，解得k-1m-3直線AC的解析式為：y=-x-3設P點

13、坐標為（x，x2+2x-3），則點N的坐標為（x，-x-3），PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3xSPAC=SPAN+SPCN，S=12PNOA=12×3（-x2-3x）=- 32（x+32）2+278，當x=- 32時，S有最大值278，此時點P的坐標為（- 32，- 154）；（3）在y軸上是存在點M，能夠使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，頂點D的坐標為（-1，-4），A（-3，0），AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：當A為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，

14、得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=32，所以點M的坐標為（0，32）；當D為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- 72，所以點M的坐標為（0，- 72）；當M為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，所以點M的坐標為（0，-1）或（0，-3）；綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，32）或（0，-

15、 72）或（0，-1）或（0，-3）【例題3】 【題干】（東營）在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點B（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1) 點B的坐標為（3，1）；(2) y=12x2-12x-2；(3) P1（-1，-1），P2（-2，1）.【解析】解：（1）過點B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90°，AC

16、0+OAC=90°，BCD=CAO，又BDC=COA=90°，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，點B的坐標為（3，1）；（2）拋物線y=ax2-ax-2過點B（3，1），1=9a-3a-2，解得：a=12，拋物線的解析式為y=12x2-12x-2；（3）假設存在點P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90°，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（-1

17、，-1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線 y=12x2-12x-2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2Ny軸，如圖（2），同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P2（-2，1），經(jīng)檢驗P2（-2，1）也在拋物線y=12x2-12x-2上；若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3Hy軸，如圖（3），同理可證AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P3（2，3），經(jīng)檢驗P3（2，3）不在拋物線y=12x2-12x-2

18、上；故符合條件的點有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點 五、課堂運用【基礎】1. （曲靖模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點C（0，-5）（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標（2）在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點P（2，-2），連接OP，找出x軸上所有點M的坐標，使得OPM是等腰三角形【答案】(1) y=x2-4x-5， B（5，0）；(2) M的坐標是（4，0）、（2，0）、（-22，0）、（22，0）.【解析】解：（1）根據(jù)題意，得0a×(-1)2-4×(-1)+c-5a×02-4&#

19、215;0+c，解得a1c=-5，二次函數(shù)的表達式為y=x2-4x-5，當y=0時，x2-4x-5=0，解得：x1=5，x2=-1，點A的坐標是（-1，0），B（5，0），答：該二次函數(shù)的解析式是y=x2-4x-5，和它與x軸的另一個交點B的坐標是（5，0）（2）令y=0，得二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖象與x軸的另一個交點坐標B（5，0），由于P（2，-2），符合條件的坐標有共有4個，分別是M1（4，0）M2（2，0）M3（-22，0）M4（22，0），答：x軸上所有點M的坐標是（4，0）、（2，0）、（-22，0）、（22，0），使得OPM是等腰三角形2. （德宏州）已知二次函數(shù)y=x2+

20、bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點B、C的坐標；（3）如果某個一次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點O和該二次函數(shù)圖象的頂點M問在這個一次函數(shù)圖象上是否存在點P，使得PBC是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1) b=-4，c=3 ；(2) B（3，0），C（1，0）；(3) P的坐標是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.【解析】解：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3），代入得：- b2×1=2，3=c，解得：b=-4，

21、c=3，答：b=-4，c=3（2）把b=-4，c=3代入得：y=x2-4x+3，當y=0時，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1， B（3，0），C（1，0），答：二次函數(shù)圖象與x軸的交點B、C的坐標分別是（3，0），（1，0）（3）存在：理由是：y=x2-4x+3， =（x-2）2-1，頂點坐標是（2，-1），設一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，-1）代入得：0b-12k+b，解得：k-12b0，y=- 12x，設P點的坐標是（x，- 12x），取BC的中點M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，則Q、H符合條件，由勾股定理得；（x-2）2+(- - 12x

22、x0)2=12，解得：x1=- 65x，x2=2，Q（65，- 35），H（2，-1）；過B作BFX軸交直線于F，把x=3代入y=- 12x得：y=- 32，F(xiàn)（3，- 32），過C作CEX軸交直線于E，同法可求：E（1，- 12），P的坐標是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）.答：存在，P的坐標是（65，-35）或（2，-1）或（3，- 32）或（1，- 12）3. （淮安）如圖已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸交于點B（1）求此二次函數(shù)關系式和點B的坐標；（2）在x軸的正半軸上是否存在點P使得PAB是以AB為底邊的等

23、腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】y=-x2+134x+3，B（0，3）；(2) P的坐標為（78，0）.【解析】解：（1）把點A（4，0）代入二次函數(shù)有： 0=-16+4b+3得：b=134所以二次函數(shù)的關系式為：y=-x2+134x+3當x=0時，y=3點B的坐標為（0，3）（2）如圖：作AB的垂直平分線交x軸于點P，連接BP， 則：BP=AP，設BP=AP=x，則OP=4-x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4-x）2解得：x=258OP=4- 258= 78所以點P的坐標為：（78，0）綜上可得點P的坐標為（78，0）【鞏固】1. （

24、貴陽）如圖，經(jīng)過點A（0，-6）的拋物線y=12x2+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點（1）求此拋物線的函數(shù)關系式和頂點D的坐標；（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m0）個單位長度得到新拋物線y1，若新拋物線y1的頂點P在ABC內(nèi)，求m的取值范圍；（3）在（2）的結論下，新拋物線y1上是否存在點Q，使得QAB是以AB為底邊的等腰三角形？請分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對應的m的取值范圍【答案】(1) （2，-8）；(2) 3m8；(3) 3m10318; m=10318.【解析】解：（1）將A（0，-6），B（-2，0）代入y=12x2+bx+c，

25、得：-6c02-2b+c，解得：b-2c-6，y=12x2-2x-6，頂點坐標為（2，-8）；（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m0）個單位長度得到新拋物線y1=12（x-2+1）2-8+m，P（1，-8+m），在拋物線y=12x2-2x-6中易得C（6，0），直線AC為y2=x-6，當x=1時，y2=-5，-5-8+m0，解得：3m8；（3）A（0，-6），B（-2，0），線段AB的中點坐標為（-1，-3），直線AB的解析式為y=-3x-6，過AB的中點且與AB垂直的直線的解析式為：y=13x- 83，直線y=13x- 83與y=12（x-1）2-8+m有交點，

26、聯(lián)立方程，求的判別式為：=64-12（6m-29）0解得：m10318當3m10318時，存在兩個Q點，可作出兩個等腰三角形；    當m=10318時，存在一個點Q，可作出一個等腰三角形；當10318m8時，Q點不存在，不能作出等腰三角形2. （賀州）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，14）；點F（0，1）在y軸上直線y=-1與y軸交于點H（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M，求證：FM平分OFP；（3）當FPM是等邊三角形時，求P點的坐標【答案】(1) y=14x2 ；(2)見解析

27、；(3) P的坐標為（23，3）或（-23，3）【解析】（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，設二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點A（1，14）代入y=ax2得：a=14，二次函數(shù)的解析式為y=14x2；（2）證明：點P在拋物線y=14x2上，可設點P的坐標為（x，14x2），過點P作PBy軸于點B，則BF=14x2-1，PB=x，RtBPF中， PF=(14x2-1)2+x2=14x2+1，PM直線y=-1，PM=14x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMy軸，MFH=PMF，PFM=MFH，F(xiàn)M平分OFP；（3）解：當FPM是等邊三角形時，PMF=60°，F(xiàn)MH=30

28、76;，在RtMFH中，MF=2FH=2×2=4，PF=PM=FM，14x2+1=4，解得：x=±23，14x2=14×12=3，滿足條件的點P的坐標為（23，3）或（-23，3）【拔高】1. （江寧區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，已知點A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC（1）點C的坐標為_；（2）若二次函數(shù)y=12x2-ax-2的圖象經(jīng)過點C求二次函數(shù)y=12x2-ax-2的關系式；當-1x4時，直接寫出函數(shù)值y對應的取值范圍；在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點P（點C除外），使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？

29、若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1) （-3，1）； (2) y=12x2+12x-2； -178y8；p1（1，-1），p2（2，1）【解析】解：（1）過點C作CDx軸于點D，旋轉角為90°，BAO+CAD=180°-90°=90°，又BAO+ABO=90°，CAD=ABO，在ABO和CAD中，CADABOAOBCDA90°ACAB，ABOCAD（AAS），AD=BO=2，CD=AO=1，OD=AO+AD=1+2=3，點C的坐標為（-3，1）；（2）二次函數(shù)y=12x2-ax-2的圖象經(jīng)過點C（-3，1），

30、12×（-3）2-（-3）a-2=1，解得a=- 12，故二次函數(shù)的關系式為y=12x2+12x-2；y=12x2+12x-2=12（x+12）2-178，當-1x4時，x=- 12時取得最小值y=- 178， x=4時，取得最大值y=12（4+12）2- 178=8，所以，函數(shù)值y的取值范圍為：- 178y8；（i） 當A為直角頂點時，延長CA至點P1，使AP1=AC=AB，則ABP1是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點P1作P1Ex軸，AP1=AC，EAP1=DAC，P1EA=CDA=90°，EP1ADCA，AE=AD=2，EP1=CD=1，可求得P1的坐標

31、為（1，-1），經(jīng)檢驗點P1在二次函數(shù)的圖象上；（ii） 當B點為直角頂點時，過點B作直線LBA，在直線L上分別取BP2=BP3=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角ABP2和等腰直角ABP3，作P2Fy軸，同理可證BP2FABO，則P2F=BO=2，BF=OA=1，可得點P2的坐標為（2，1），經(jīng)檢驗P2點在二次函數(shù)的圖象上，同理可得點P3的坐標為（-2，3），經(jīng)檢驗P3點不在二次函數(shù)的圖象上綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點P1（1，-1），P2（2，1）兩點，使得ABP1和ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形2. （重慶）如圖，已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC（1）求A，B，C三點的坐標；（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PMy軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當BCM的面積最大時，求BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得CNQ為直角三角形，求點Q的坐標【答案】(1) A（-1，0），B（3，0），C（0，3）