數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

1、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)大綱（第二版）課程教學(xué)大綱（第二版）惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系20092009 年年 1010 月月2009 年編制1目目 錄錄高等代數(shù)高等代數(shù)教學(xué)大綱教學(xué)大綱.2數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.8解析幾何解析幾何課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.12近世代數(shù)近世代數(shù)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.15常微分方程常微分方程課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.18復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.22組合數(shù)學(xué)組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)課程教學(xué)大大綱綱.26初等數(shù)論初等數(shù)論課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.29實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.32競賽數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)課程

2、教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.35數(shù)學(xué)教育學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.37高等幾何高等幾何課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.40數(shù)學(xué)分析選講數(shù)學(xué)分析選講課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.48高等代數(shù)選講高等代數(shù)選講課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.51數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.57泛函分析泛函分析課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.64拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱.672009 年編制2高等代數(shù)高等代數(shù)教學(xué)大綱教學(xué)大綱HIGHER ALGEBRA（2009 年年 10 月修訂，李桂貞執(zhí)筆）月修訂，李桂貞執(zhí)筆）一、一、 課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

3、學(xué)專業(yè)，192 學(xué)時，11 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)高等代數(shù)是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程。通過學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生掌握一元多項(xiàng)式及線性代數(shù)的基本知識和基礎(chǔ)理論，熟悉和掌握抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關(guān)系，提高抽象思維、邏輯推理及運(yùn)算能力。三、與其它課程的聯(lián)系三、與其它課程的聯(lián)系高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)必修的代數(shù)類基礎(chǔ)課，是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，是后續(xù)的專業(yè)課如常微分方程、近世代數(shù)、泛函分析等課程的先修課。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）基本概念（一）基本概念本章主要介紹了集合、映射

4、、數(shù)環(huán)、數(shù)域等基本概念，這些概念是學(xué)習(xí)本課程及其它數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)知識。1、集合子集 集的相等 集合的交與并及其運(yùn)算律 笛卡兒積2、映射映射 滿射 單射 雙射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要條件3、數(shù)學(xué)歸納法自然數(shù)的最小數(shù)原理 第一數(shù)學(xué)歸納法 第二數(shù)學(xué)歸納法、整數(shù)的一些整除性質(zhì)45、數(shù)環(huán)和數(shù)域重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：映射 可逆映射 數(shù)域。（二）多項(xiàng)式（二）多項(xiàng)式本章主要介紹數(shù)域上一元多項(xiàng)式的概念及其運(yùn)算、整除性、因式分解和有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法，簡單介紹了多元多項(xiàng)式及對稱多項(xiàng)式。多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)2009 年編制3容，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)知識的加深和擴(kuò)充，是學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)

5、分支的必要基礎(chǔ)。1、一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算2、多項(xiàng)式的整除性整除的基本性質(zhì) 帶余除法定理3、多項(xiàng)式的最大公因式最大公因式概念、性質(zhì) 輾轉(zhuǎn)相除法 多項(xiàng)式互素概念、性質(zhì)4、多項(xiàng)式的唯一因式分解定理不可約多項(xiàng)式概念 唯一因式分解定理 典型分解式5、多項(xiàng)式的重因式多項(xiàng)式的重因式概念 多項(xiàng)式有重因式的充要條件6、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根多項(xiàng)式函數(shù)的概念 余式定理 綜合除法 多項(xiàng)式的根的概念 根與一次因式的關(guān)系 多項(xiàng)式根的個數(shù)7、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解（代數(shù)基本定理不證明）8、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性及有理根本原多項(xiàng)式的定義 Gauss 引理 整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性問題 Eisenste

6、in判別法 有理數(shù)域上多頂式的有理根9、多元多項(xiàng)式 多元多項(xiàng)式的概念 字典排列法 多元多項(xiàng)式的和與積的次數(shù)10、對稱多項(xiàng)式對稱多項(xiàng)式的概念 初等對稱多項(xiàng)式 對稱多項(xiàng)式基本定理重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：整除，最大公因式，互素，唯一分解定理，代數(shù)基本定理，Eisenstein 判別法。（三）行列式（三）行列式行列式是線性方程組理論的一個重要組成部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的提高和推廣，也是一種重要的數(shù)學(xué)工具。1、二階和三階行列式的結(jié)構(gòu)2、排列排列的概念 反序數(shù)及排列的奇偶性 對換及其對排列奇偶性的影響3、n 階行列式的定義和性質(zhì)4、行列式依行依列展開余子式與代數(shù)余子式的概念 行列式依行依列展開 Vand

7、ermonde 行列式2009 年編制45、Cramer 規(guī)則6、Laplace 定理重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：n 階行列式的計算，Vandermonde 行列式的計算及應(yīng)用。（四）線性方程組本章在理論上解決了線性方程組有解的判定，解的個數(shù)及求法，對中學(xué)數(shù)學(xué)有直接的指導(dǎo)意義。此外，它在本課程及數(shù)學(xué)的其它分支、生產(chǎn)實(shí)踐及其它學(xué)科都有廣泛應(yīng)用。1、線線方程組的消元法線性方程組的初等變換 方程組的一般解和自由未知量 系數(shù)矩陣和增廣矩陣2、矩陣的秩k 階子式 矩陣秩的定義 初等變換不改變矩陣的秩 用初等變換求矩陣的秩3、線性方程組有解的判別法線性方程組有解判別定理及解的個數(shù)定理4、線性方程組的公式解線性

8、方程組的公式解 齊次線性方程組及其非零解的概念 齊次線性方程組有非零解的充要條件、結(jié)式和判別式5結(jié)式判別式二元高次方程組的解法重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：矩陣的秩的概念及求法 線性方程組有解的判別及求解（五）矩陣（五）矩陣矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，它是數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的一個重要工具。本章主要介紹矩陣的運(yùn)算及其基本性質(zhì)。1、矩陣的運(yùn)算矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置 單位矩陣2、逆矩陣可逆矩陣及逆矩陣的概念 可逆矩陣的性質(zhì) 求逆矩陣的公式3、初等矩陣初等矩陣與初等變換的關(guān)系 可逆矩陣的判定 用初等變換求逆矩陣4、矩陣乘積的行列式與秩5、矩陣的分塊矩陣的分塊分塊矩陣的加法、數(shù)乘及乘法 對角線分塊矩陣

9、重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：逆矩陣的求法，初等矩陣與初等變換的關(guān)系。（六）向量空間（六）向量空間2009 年編制5向量空間的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，它在自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹向量空間的概念與性質(zhì)。1、向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì)。2、子空間子空間的定義及充要條件 子空間的交與和3、向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān) 線性無關(guān) 替換定理及其推論 等價的向量組及其性質(zhì) 極大無關(guān)組及其性質(zhì)4、基和維數(shù)生成子空間 基和維數(shù)的定義 基的性質(zhì) 維數(shù)公式5、子空間的直和直和的定義及充要條件。6、坐標(biāo)坐標(biāo)的定義 過渡矩陣 基變換公式 坐標(biāo)變換公式7、向量空間的同構(gòu)同構(gòu)映射的定義與性

10、質(zhì) 向量空間同構(gòu)的定義與充要條件8、齊次線性方程組的解空間矩陣的行（列）空間齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系9、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)及難點(diǎn)：向量的線性相關(guān)性，基與維數(shù)的求法，過渡矩陣，直和的充要條件，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。（七）線性變換（七）線性變換線性變換是向量空間中最簡單而又最基本的變換。它是線性代數(shù)的主要研究對象之一，對于研討向量空間中向量之間的內(nèi)在聯(lián)系及向量空間的結(jié)構(gòu)起著重要的作用。本章主要介紹線性變換的運(yùn)算、性質(zhì)、線性變換與矩陣的關(guān)系及矩陣的相似與化簡。1、線性變換的定義及其簡單性質(zhì)2、線性變換的象與核線性變換的象與核的定義及其基與維數(shù)的求法3、

11、線性變換的運(yùn)算線性變換的加法、數(shù)乘與乘法 可逆線性變換及其逆變換4、線性變換和矩陣線性變換的矩陣 向量的象的坐標(biāo)公式 線性變換與矩陣的同構(gòu)對應(yīng)5、矩陣的相似2009 年編制6矩陣相似的定義 同一線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系6、不變子空間7、特征根、特征向量、特征多項(xiàng)式特征根、特征向量及特征子空間的定義、求法 矩陣的跡和行列式同特征根的關(guān)系 相似矩陣的特征多項(xiàng)式8、可對角化的矩陣屬于不同特征根的特征向量的線性無關(guān)性 特征子空間的維數(shù)與所屬特征根的重數(shù)關(guān)系線性變換和矩陣可對角化的條件重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：線性變換與矩陣的同構(gòu)對應(yīng)，特征根，特征向量，矩陣的相似，線性變換的象與核。（八）歐氏空間

12、（八）歐氏空間歐氏空間是實(shí)數(shù)域上帶有一個內(nèi)積的向量空間，是通常幾何空間的推廣。本章主要介紹歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交變換。1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)2、CauchySchwarz 不等式 向量的長度及兩個向量的夾角3、正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法4、向量與子空間的正交 正交補(bǔ)向量到子空間的距離5、同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件6、正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣的關(guān)系 一個線性變換是正交變換的充要條件7、對稱變換與實(shí)對稱矩陣對稱變換的定義 對稱變換與實(shí)對稱矩陣的關(guān)系 對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、酉空間8、酉變換和對稱變換9重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：Cauahy-Schwarz 不等式，正交基與正交化

13、方法，正交補(bǔ)，正交變換，對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。（九）二次型（九）二次型二次型的理論起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的分類，是中學(xué)有關(guān)內(nèi)容的深入和提高，也是線性代數(shù)的一個主要研究對象。本章主要介紹化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和正定二次型的判別。1、二次型的矩陣表示二次型的定義 變量的非退化線性變換 二次型的秩 二次型的化簡與對稱矩陣的合同2009 年編制72、標(biāo)準(zhǔn)形3、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性 慣性定理4、正定二次型的定義及充要條件正定二次型的定義正定矩陣正定二次型的充要條件重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：矩陣的合同，求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和典范形，正定二次型的判別。五、學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配表章 節(jié)主要

14、內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備 注一基本概念628二多項(xiàng)式242632三行列式14418四線性方程組12214五矩陣122418六向量空間242632七線性變換24630八歐氏空間和酉空間18624九二次型14216合 計148638192六、教材與參考書1 張禾瑞，郝鈵新編， 高等代數(shù)（第四版） ，高等教育出版社，2001 年（選用教材）2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編， 高等代數(shù) ，高等教育出版社，20003 錢芳華，黎有高等編， 高等代數(shù)習(xí)題課教材 ，廣西師范大學(xué)出版社，2001.4 王品超編， 高等代數(shù)新方法 ，山東教育出版社，1989 5 楊子胥編， 高等代數(shù)習(xí)題解

15、，山東科學(xué)技術(shù)出版社 返回目錄2009 年編制8數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱MATHEMATICAL ANALYSIS（2009 年年 10 修訂，許金泉執(zhí)筆）修訂，許金泉執(zhí)筆）一、選用專業(yè)，學(xué)時及學(xué)分一、選用專業(yè)，學(xué)時及學(xué)分本課程適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)；學(xué)時：264，學(xué)分:15 學(xué)分，分三學(xué)期授課（第一、二、三學(xué)期 ） 。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)本課程是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門最重要的基礎(chǔ)課，授課時間最長。通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握極限論，一元函數(shù)微積分學(xué)，無窮級數(shù)及多元函數(shù)微積分學(xué)方面的系統(tǒng)知識，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論，微分方程，微分幾

16、何，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，實(shí)變函數(shù)，數(shù)學(xué)模型等后續(xù)課程，也是為深入理解初等數(shù)學(xué)及從事中學(xué)數(shù)學(xué)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。三、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)三、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）函數(shù)函數(shù)概念，函數(shù)的四則運(yùn)算、圖象、數(shù)列、函數(shù)的有界性、單調(diào)性，奇偶性、周期性，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)。重點(diǎn)和難點(diǎn)：函數(shù)的概念與表示，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。（二）數(shù)列極限極限思想、數(shù)列極限概念、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、單調(diào)性，保號性、迫斂性；收斂數(shù)列的四則運(yùn)算，數(shù)列收斂的判別法；單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則；子數(shù)列及其收斂性。重點(diǎn)和難點(diǎn)：數(shù)列極限概念，N 方法的運(yùn)用，數(shù)列收斂的判別。（三）函數(shù)極限x時函數(shù) f（X）的極

17、限，xa 時函數(shù) f（X）的極限 ，單側(cè)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限 與數(shù)列極限的關(guān)系，函數(shù)極限存在判別法，無窮小，無窮大，無窮小的比較。重點(diǎn)和難點(diǎn)：函數(shù)極限概念，- 方法的運(yùn)用，函數(shù)極限存在判別法。2009 年編制9（四）連續(xù)函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性，函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性，單側(cè)連續(xù)性，間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性，最值性，介值性，一致連續(xù)性；連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的連續(xù)性。重點(diǎn)和難點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)的概念，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一致連續(xù)性。（五）實(shí)數(shù)的連續(xù)性實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理：閉區(qū)間套定理，確界定理，有限復(fù)蓋定理，聚點(diǎn)定理 ，致密性定理，柯西

18、收斂準(zhǔn)則；閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。重點(diǎn)及難點(diǎn)：柯西收斂準(zhǔn)則，實(shí)數(shù)完備性定理的等價性。（六）導(dǎo)數(shù)與微分引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例，導(dǎo)數(shù)概念；求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式;隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則；微分概念及運(yùn)算，近似計算；高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。重點(diǎn)和難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念及其計算，復(fù)合函數(shù)微分法。（七）微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用微分中值定理；待定型計算的洛必達(dá)法則；泰勒公式；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用：單調(diào)性的判定，極限與最值，曲線凹凸性，拐點(diǎn)，漸進(jìn)線；函數(shù)圖象的描繪。重點(diǎn)與難點(diǎn)：拉格朗日中值定理及其證明方法，極值的判定。（八）不定積分原函數(shù)與不定積分的概念，基本初等函數(shù)的積分公式；換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)的積分法，三角

19、函數(shù)及簡單無理函數(shù)的不定積分。重點(diǎn)與難點(diǎn)：不定積分的概念與計算，第一類換元積分法。（九）定積分引出定積分概念的實(shí)例，定積分概念；可積準(zhǔn)則：可積必要條件，小和與大和，可積充要條件，三類可積函數(shù)；定積分性質(zhì)；定積分的計算：積分上限函數(shù)，定積分基本公式，換元積分與分部積分法；定積分的應(yīng)用：微元法，平面面積，體積，弧長，旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算，定積分在物理上的應(yīng)用。重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分概念，定積分性質(zhì)，積分上限函數(shù)，定積分的應(yīng)用。(十)無窮級數(shù)1數(shù)值級數(shù)：級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，收斂級數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性的判定；交錯級數(shù)，任意項(xiàng)級數(shù)，絕對收斂，條件收斂。2函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：函數(shù)級數(shù)的收斂域，一致收斂的概念與

20、判定；函數(shù)列的一致收斂，2009 年編制10和函數(shù)的分析性質(zhì)。3冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，泰勒級數(shù)，基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開，冪級數(shù)的應(yīng)用。4付立葉級數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)審斂法，函數(shù)級數(shù)一致收斂的概念與判定，冪級數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)求法，初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。（十一）多元函數(shù)微分學(xué)1. 多元函數(shù)：平面點(diǎn)集，坐標(biāo)平面的連續(xù)性，多元函數(shù)的概念。2. 二元函數(shù)的極限與連續(xù)。3. 多元函數(shù)微分法：偏導(dǎo)數(shù)，全微分定義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)微分法，方向?qū)?shù)。4. 高階導(dǎo)數(shù)與二元函數(shù)的泰勒公式重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重極限，累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性，多元復(fù)合函數(shù)的微分法（十二）隱函數(shù)存在性定理

21、及其應(yīng)用1隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性定理，隱函數(shù)求導(dǎo)法則；隱函數(shù)組，隱函數(shù)組的存在性定理及求導(dǎo)法則。2函數(shù)行列式及其性質(zhì)。3幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；條件極值。重點(diǎn)與難點(diǎn)：隱函數(shù)存在性定理及求導(dǎo)法則。（十三）廣義積分與含參變量的積分1. 無窮積分：無窮積分收斂與發(fā)散的概念，無窮積分的性質(zhì)，無窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸ā?. 瑕積分：瑕積分收斂與發(fā)散的概念，瑕積分?jǐn)可⑿缘呐卸ā?. 含參變量的有限積分，含參變量的無窮積分，函數(shù)與函數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：無窮積分、瑕積分收斂與發(fā)散的概念，判定，含參變量的無窮積分的一致收斂性。（十四）重積分1. 二重積分：引出二重積

22、分定義的實(shí)例，二重積分的概念，性質(zhì)，二重積分的計算，二重積分的換元，曲面面積。2009 年編制112.三重積分：三重積分的定義，計算，換元及簡單應(yīng)用。重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分的概念與計算，三重積分的換元。（十五）曲線積分與曲面積分1曲線積分：第一、二型曲線積分的概念與計算；格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件。2曲面積分：第一、二型曲面積分概念與計算，奧高公式，斯托克斯公式。3場論初步：梯度，散度，旋度。重點(diǎn)和難點(diǎn)：兩類曲線積分的概念及計算，格林公式及曲線積分與路徑無關(guān)的條件。四、學(xué)時分配表四、學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配表章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備注一函數(shù)628二數(shù)列極限8412三

23、函數(shù)極限12416四連續(xù)函數(shù)8210五實(shí)數(shù)連續(xù)性628六導(dǎo)數(shù)與微分10414七中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用16622八不定積分10414九定積分18826十無窮級數(shù)28836十一多元函數(shù)微分學(xué)20626十二隱函數(shù)10414十三廣義積分與參量積分8614十四重積分16622十五線面積分16622合 計19272264五、教材與教學(xué)參考書五、教材與教學(xué)參考書1 數(shù)學(xué)分析講義上下冊，劉玉璉編，高等教育出版社。2009 年編制122 數(shù)學(xué)分析 （第二版）華東師范大學(xué)編,高教出版社。3 數(shù)學(xué)分析上下冊，江澤堅(jiān)、吳智全、周光亞編,人民教育出版社。4 數(shù)學(xué)分析原理第一、二卷 菲赫金哥爾茨著,人民教育出版社。5 數(shù)學(xué)分

24、析習(xí)題集吉米多維奇著。 返回目錄解析幾何解析幾何課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱ANALYTIC GEOMETRY（2009 年修訂，王小梅執(zhí)筆）年修訂，王小梅執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，60 學(xué)時，4 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)解析幾何是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課。通過學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生系統(tǒng)掌握向量代數(shù)、平面與空間直線，二次曲面以及常用的一些特殊曲線和曲面等空間解析幾何的基本知識，掌握以向量為工具運(yùn)用代數(shù)知識解決幾何問題的基本思想方法，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，提高空間想象能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程和從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育打下基礎(chǔ)。三

25、、與其他課程的聯(lián)系本課程是數(shù)形結(jié)合的典型學(xué)科，是從學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)進(jìn)入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)其他課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)物理及工程技術(shù)的基礎(chǔ)。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）向量與坐標(biāo)（一）向量與坐標(biāo)（2020 學(xué)時）學(xué)時）1.向量的概念；2.向量的加法；3.數(shù)量乘向量；4.向量的線性關(guān)系與向量的分解；2009 年編制135.標(biāo)架與坐標(biāo)；6.向量在軸上的射影；7.兩向量的數(shù)量積；8.兩向量的向量積；9.三向量的混合積；重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)向量的各種運(yùn)算及運(yùn)算律，尤其要注意的是向量的數(shù)量積和向量的向量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律；兩向量的向量積不滿足交換律等。向量在軸上的射影的概念，向量的

26、線性關(guān)系與向量的分解的有關(guān)結(jié)論。（二（二）軌跡與方程）軌跡與方程 （8 8 學(xué)時）學(xué)時）1.平面曲線的方程；2.曲面的方程；3.空間曲線的方程。重點(diǎn)及難點(diǎn)：曲面和空間曲線方程的建立；對于缺少某一坐標(biāo)的方程所代表的軌跡，必須首先明確它所討論的范圍。（三）平面與空間直線（三）平面與空間直線（1818 學(xué)時）學(xué)時）1.平面方程；2.平面與點(diǎn)的相關(guān)位置；3.兩平面的相關(guān)位置；4.空間直線的方程；5.直線與平面的相關(guān)位置；6. 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置；7. 空間兩直線的相關(guān)位置；8.平面束。重點(diǎn)及難點(diǎn)：平面和空間直線各種方程的求法；各種方程中系數(shù)的幾何意義；點(diǎn)、直線與平面的各種相關(guān)位置。（四）柱面、錐面

27、、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面（四）柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面（1414 學(xué)時）學(xué)時）2009 年編制141.柱面；2.錐面；3.旋轉(zhuǎn)曲面；4.橢球面；5.雙曲面；6.拋物面；7.單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。重點(diǎn)及難點(diǎn)：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)與二次曲面的定義及方程；特殊二次曲面方程所表示的圖形。從橢球面、拋物面、雙曲面的方程出發(fā)，利用平行截割法討論曲面的形狀及性質(zhì)；單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線方程。五、學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配章節(jié)主 要 內(nèi) 容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其他小計備注一向量與坐標(biāo)16420二軌跡與方程628三平面與空間直線14418四柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面12214合 計4812

28、60六、教材與教學(xué)參考書教材教材解析幾何 （第四版）呂林根、許子道編 高等教育出版社參考書參考書1、 解析幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書呂林根、張紫霞、孫存金編 高等教育出版社2、 解析幾何講義華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何教研室編 廣東高教出版社3、 空間解析幾何引論南開大學(xué)數(shù)學(xué)系編 人民教育出版社4、 空間解析幾何及其應(yīng)用蔣大為編著 科學(xué)出版社2009 年編制15 返回目錄近世代數(shù)近世代數(shù)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱MODERN ALGEBRA（2009 年年 10 修訂，潘慶年執(zhí)筆）修訂，潘慶年執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，68 學(xué)時，4 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任

29、務(wù)近世代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。通過本課的學(xué)習(xí)，能夠使學(xué)生掌握群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識，深刻理解和體會公化這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，同時掌握代數(shù)的一些基本方法：集合、運(yùn)算、運(yùn)算性質(zhì)，特殊元素，特殊子對象，商對象，同態(tài)同構(gòu)，為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)和方法保證，加深對中等數(shù)學(xué)中代數(shù)體系的理解。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的學(xué)習(xí)需要一定集合論和高等代數(shù)的基礎(chǔ)，對數(shù)論、組合論、離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有一定的幫助。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）基本概念 1、集合及其運(yùn)算。2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射擊，一一映射與可逆映射的關(guān)系。 3、代數(shù)運(yùn)算及其運(yùn)算

30、律。 4、同態(tài)，同構(gòu)，自同態(tài)，自同構(gòu)。 5、等價關(guān)系，集合元素的分類，二者的關(guān)系。重點(diǎn)及難點(diǎn)：同態(tài)、同構(gòu)等價關(guān)系與集合元素的分類（二）群1、群的定義及其等價條件。2009 年編制162、群的同態(tài)及其性質(zhì)。3、變換群，Cayley 定理。4、置換群，置換的循環(huán)表方法，交代群。5、循環(huán)群，整數(shù)加群 Z 和模 n 剩余類加群 Zn，結(jié)構(gòu)定理。6、子群及子群的陪集，Lagrange 定理。7、不變子群，商群，同態(tài)基本定理。重點(diǎn)及難點(diǎn)：群的定義，循環(huán)群與置換群，不變子群與商群，同態(tài)基本定理。（三）環(huán)與域1、環(huán)的定義及簡單性質(zhì)，幾類常用的環(huán)的實(shí)例。2、交換律，單位元，可逆元，零因子，正則元，整環(huán)。3、除環(huán)

31、和域，四元數(shù)除環(huán)，域中元的運(yùn)算。4、無零因子環(huán)的特征。5、子環(huán)，環(huán)的同態(tài)及同態(tài)映射的性質(zhì)。6、多項(xiàng)式環(huán)，同態(tài)及代入法，未定元的存在性。7、理想，剩余類（商）環(huán)，同態(tài)基本定理。8、極大理想，域的構(gòu)作。9、分式域的存在條件及其構(gòu)作方法重點(diǎn)與難點(diǎn)：環(huán)（域）的概念，幾類常用環(huán)的性質(zhì)，理想與商環(huán)，同態(tài)及同態(tài)基本定理。（四）整環(huán)的因子分解理論1、整除，因子與平幾因子，相伴元，素元，唯一分解。2、唯一分解環(huán)及其等價條件，最大公因子，互素。3、主理想環(huán)，升鏈條件，極大理想與素元的關(guān)系。4、歐氏環(huán)、唯一分解環(huán)、主理想環(huán)及其之間的關(guān)系。5、多項(xiàng)式環(huán)的因子分解，根。重點(diǎn)與難點(diǎn)：素元，唯一分解問題。（五）擴(kuò)域1、擴(kuò)域

32、，素域，最小擴(kuò)域 F（S）的構(gòu)造及其性質(zhì)。2、代數(shù)元與超越元，單代數(shù)擴(kuò)域的同構(gòu)定理，單超越擴(kuò)域的同構(gòu)定理。3、代數(shù)擴(kuò)域，有限擴(kuò)域，二者的關(guān)系4、多項(xiàng)式的分裂域，存在及其唯一性。5、有限域，有限域的階，多項(xiàng)式 xq-x 的分裂域。重點(diǎn)與難點(diǎn)：單擴(kuò) F（）的同構(gòu)定理，代數(shù)擴(kuò)域，分裂域的存在及唯一，有限域的性質(zhì)。五、學(xué)時分配表 各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配表章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備注2009 年編制17一基本概念8210二群論17320三環(huán)與域17320四整環(huán)里的因子分解10212五擴(kuò)域（選講）66 合 計581068六、教材與教學(xué)參考書 1張禾瑞. 近世代數(shù)基礎(chǔ). 北京:高教出版社, 20

33、00 年（選用教材）（選用教材）.2劉紹學(xué). 近世代數(shù)基礎(chǔ). 北京:高教出版社,2001 年. 3吳品三.抽象代數(shù).北京:高教出版社,1984 年.4楊子胥.近世代數(shù).北京:高教出版社,2001 年.5韓士安,林磊.近世代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008 年.6樊輝,劉宏偉.抽象代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008 年.7聶靈沼，丁石孫代數(shù)學(xué)引論北京：高等教育出版社， 19888T .W .Hungerford . Algebra. Berlin: Springer_verlag,1 974.9Nathan Jacobson Basic Algebra (I) New York ：W. H. Fre

34、eman and Company ， 198510Joseph. J. Rotman. 抽象代數(shù)基礎(chǔ)教程 ( 英文版). 第 2 版. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社 ,2004 年11Joseph A Gallian Contemporary abstract algebra Boston :New York Houghton Mifflin Company ， 1998 返回目錄2009 年編制18常微分方程常微分方程課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS (2009 年修訂年修訂 王宗毅執(zhí)筆王宗毅執(zhí)筆)一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為

35、：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，68 學(xué)時，4 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確理解微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學(xué)習(xí)本學(xué)科的近代內(nèi)容和后繼課程打下基礎(chǔ)，同時使學(xué)生認(rèn)識到微分方程在解決實(shí)際問題的重要性，以及數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，從而有助于樹立辨證唯物主義觀點(diǎn)。實(shí)施本大綱請注意：.貫徹理論聯(lián)系實(shí)際的原則，力求反映微分方程的實(shí)際背景及其應(yīng)用，各章安排適當(dāng)?shù)膽?yīng)用例題。.要抓住基本內(nèi)容，重點(diǎn)放在系統(tǒng)地介紹線性方程(組)的基本理論與主要方法上。.注意通過典型例題的介紹，使學(xué)生理解與掌握基

36、本概念領(lǐng)會基本理論的作用與意義。.注意基本技能的訓(xùn)練，安排一定數(shù)量的練習(xí)題，以及難度適宜的證明題。.加強(qiáng)與有關(guān)課程的聯(lián)系與配合，通過對數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、普通物理等課程中已學(xué)得的知識的應(yīng)用，使學(xué)習(xí)得到鞏固和深化。2009 年編制19.適當(dāng)注意內(nèi)容現(xiàn)代化，如列入有關(guān)穩(wěn)定性理論的基本概念和問題，講授微分方程組的理論時，要注意多用矩陣工具。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的先修課是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)等課程。數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)為本課程打下基礎(chǔ)；后續(xù)課程，如數(shù)學(xué)模型、控制論、偏微分方程數(shù)等課程為其提供應(yīng)用和發(fā)展。故本課程應(yīng)安排在第三學(xué)期講授。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)(一)緒論內(nèi)容：內(nèi)容：某些物理過程的數(shù)

37、學(xué)模型?；靖拍睿?常微分方程和偏微分方程，線性和非線性， 通解和特解，解和隱式解，積分曲線和方向場。)基本要求：基本要求：要求掌握微分方程的一些物理背景和方程的建立問題，正確理解微分方程的最基本的概念。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)為基本概念；教學(xué)難點(diǎn)是積分曲線和方向場。教學(xué)重點(diǎn)為基本概念；教學(xué)難點(diǎn)是積分曲線和方向場。 (二)一階微分方程的初等解法 內(nèi)容：內(nèi)容：分離方程與變量變換；線性方程與常數(shù)變易法；恰當(dāng)方程與積分因子；一階隱方程與參數(shù)表示?；疽螅夯疽螅赫莆瘴宸N類型的方程的初等解法；理解和掌握變量分離方程和恰當(dāng)方程的聯(lián)系，對其它類型的方程要求掌握借助變量變換或積分因子化為變量分

38、離方程或恰當(dāng)方程。重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為解一階微分方程的幾個直接方法；教學(xué)難點(diǎn)是恰當(dāng)方程與重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為解一階微分方程的幾個直接方法；教學(xué)難點(diǎn)是恰當(dāng)方程與積分因子積分因子,一階隱方程與參數(shù)表示。一階隱方程與參數(shù)表示。(三)一階微分方程的解的存在定理內(nèi)容：內(nèi)容：解的存在唯一性定理與逐步逼近法; 解的延拓; 解對初值的連續(xù)性和可微性定理?；疽螅夯疽螅菏炀毢驼莆沼弥鸫伪平ㄗC明解的存在唯一性定理；熟練掌握用逐次逼近法求方程的近似解和誤差的估計；掌握解的一般性質(zhì)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為 Picard 逼近方法，解的延拓、連續(xù)性和可微性、唯一性和逼近方法，解的延拓、

39、連續(xù)性和可微性、唯一性和奇性；教學(xué)難點(diǎn)是解的存在唯一性定理的證明。奇性；教學(xué)難點(diǎn)是解的存在唯一性定理的證明。(四)高階方程(講授 12 學(xué)時，習(xí)題 2 課學(xué)時)內(nèi)容：內(nèi)容：線性微分方程的一般理論; 常系數(shù)線性方程的解法;高階方程的降階和冪級數(shù)2009 年編制20的解法?；疽螅夯疽螅赫_理解線性方程的基本理論；熟練掌握求常系數(shù)齊線性方程的基本解組的特征根法，常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，一般非線性方程的常數(shù)變易法，求一般二階齊線性方程特解的冪級數(shù)解法和高階方程可降階的一些方程類型的解法。重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為齊次和非齊次方程解之間的關(guān)系，解的結(jié)構(gòu)和形式，求解重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為

40、齊次和非齊次方程解之間的關(guān)系，解的結(jié)構(gòu)和形式，求解方法；教學(xué)難點(diǎn)是求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，求一般非線性方程的常數(shù)方法；教學(xué)難點(diǎn)是求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，求一般非線性方程的常數(shù)變易法。變易法。 (五)線性微分方程組(講授 16 學(xué)時，習(xí)題課 2 學(xué)時)內(nèi)容：內(nèi)容：存在唯一性定理;線性微分方程組的一般理論; 常系數(shù)線性微分方程組; 利用首次積分求解常微分方程?；疽螅夯疽螅豪斫饩€性方程組解的存在唯一性定理；熟悉和掌握逐步逼近法；熟悉向量與矩陣的表述方法；正確理解線性方程組的一般理論熟練掌握常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法和應(yīng)用常數(shù)變易公式求非齊次線性方程組的解

41、法；掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系；熟練掌握利用首次積分求解常微分方程。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)為基解矩陣，Picard 逼近方法，求解公式，級數(shù)解；教學(xué)難點(diǎn)是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法;利用首次積分求解常微分方程。(六)非線性微分方程和穩(wěn)定性（講授 12 學(xué)時，習(xí)題 2 課學(xué)時） 內(nèi)容：內(nèi)容：本章介紹相平面；介紹按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性; 李雅普諾夫第二方法；周期解和極限圈；二次型 V 函數(shù)的構(gòu)造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。基本要求：基本要求：掌握穩(wěn)定性理論要求掌握特殊或一般的非線性徽分方程組的解的穩(wěn)定性態(tài)，包括局部或全局的穩(wěn)定性。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重

42、點(diǎn)為線性和非線性的本質(zhì)區(qū)別，穩(wěn)定性的基本概念和方法；教學(xué)難點(diǎn)是周期解和極限圈；二次型 V 函數(shù)的構(gòu)造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。五、學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備注一緒論4116二一階微分方程的初等解法82212三一階微分方程解的存在定理82212四高階方程1022142009 年編制21五線性微分方程組82212六非線性微分方程和穩(wěn)定性82212合 計46111168六、考核方式 筆試(閉卷) 各教學(xué)環(huán)節(jié)占總分的比例:作業(yè)及平時測驗(yàn):30%,期末考試:70%七、建議教材和教學(xué)參考書1.常微分方程 第三版 王高雄等編 人民教育出版社2.常微分方程講義 葉彥謙

43、 編 人民教育出版社3. 常微分方程解題方法 ，錢詳征， 湖南科學(xué)技術(shù)出版社， 19844. 常微分方程 ， M.羅梭著、葉彥謙譯 ，上海科學(xué)技術(shù)出版社 ， 1984 返回目錄2009 年編制22復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱COMPLEX VARIABLE FUNCTION(2009 年修訂年修訂 王宗毅執(zhí)筆王宗毅執(zhí)筆)一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，68 學(xué)時，4 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是數(shù)學(xué)分析的后繼課程。復(fù)變函數(shù)的主要研究對象是復(fù)變解析函數(shù)，其理論與方法在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著

44、廣泛的應(yīng)用。通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生正確理解和掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論，掌握復(fù)變函數(shù)論中的論證方法和基本演算方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)課程打下必要的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，要使學(xué)生理解本課程與數(shù)學(xué)分析有關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別，同時使學(xué)生認(rèn)識復(fù)變函數(shù)在解決實(shí)際問題的重要性，并深刻理解本課程與中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，以指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的學(xué)習(xí)需要數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，對微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論的學(xué)習(xí)有一定的幫助。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)2009 年編制231、復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；復(fù)平面，復(fù)數(shù)的模與輻角，復(fù)數(shù)的幾何表示、三角表示，復(fù)數(shù)加、減法的幾

45、何意義；復(fù)數(shù)積的幾何意義；復(fù)數(shù)的乘冪與方根，共軛復(fù)數(shù)；曲線的復(fù)數(shù)方程。2、復(fù)平面上的點(diǎn)集，點(diǎn) Z0的 鄰域；聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)；開集、閉集、區(qū)域；簡單曲線，光滑曲線。3、復(fù)變函數(shù)、單值函數(shù)、多值函數(shù)，反函數(shù)；復(fù)變函數(shù)的極限，復(fù)變函數(shù)極限 與其實(shí)部與虛部極限的關(guān)系；復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性，復(fù)變函數(shù)在點(diǎn) Z0連續(xù)的等價條件；連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4、復(fù)球面、擴(kuò)充復(fù)球面的幾個概念。重點(diǎn)和難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模與輻角，復(fù)數(shù)的乘冪與方根，共軛復(fù)數(shù)。（二）解析函數(shù)1、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)，柯西黎曼條件，函數(shù)解析的第一個等價定理。2、指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)。3、根式函數(shù)、冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)

46、域、根式函數(shù)的單值解析分支，函數(shù)的支點(diǎn)與割線；對數(shù)函數(shù)，復(fù)對數(shù)函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域，對數(shù)函數(shù)的單值解析分支，一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)；具有多個有限支點(diǎn)的函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)，柯西黎曼條件，具有多個有限支點(diǎn)的函數(shù)。（三）復(fù)變函數(shù)的積分1、復(fù)變函數(shù)積分的定義，復(fù)變函數(shù)積分的計算方法，復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)。2、柯西積分定理，柯西積分定理的古莎證明，不定積分，柯西積分定理的推廣。3、柯西積分公式，解析函數(shù)平均值定理，解析函數(shù)的無窮可微性，柯西不等式與劉維爾定理，解析函數(shù)的第二個等價定理，摩勒拉

47、定理。解析函數(shù)第三個等價定理。4、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。5、流量與環(huán)量，無源、漏的無旋流動，復(fù)勢。重點(diǎn)與難點(diǎn)：柯西積分定理，柯西積分定理的古莎證明，柯西積分公式。（四）解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。2009 年編制242、冪級數(shù)的斂散性，收斂半徑的求法?？挛靼⑦_(dá)瑪公式，冪級數(shù)的解析性。3、泰勒定理，解析函數(shù)的第四個等價定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，一些初等函數(shù)的泰勒展式。4、解析函數(shù)零點(diǎn)孤立性及唯一性定理，最大模原理。重點(diǎn)和難點(diǎn)：冪級數(shù)的斂散性，收斂半徑，泰勒定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況，解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定

48、理，最大模原理。（五）解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn)1、雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式，羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系，解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展式。2、孤立奇點(diǎn)的三種類型，可去奇點(diǎn)，席瓦爾莎引理，極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)，畢卡定理。3、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。4、整函數(shù)，亞純函數(shù)。5、奇點(diǎn)的流體力學(xué)意義，在電場中的應(yīng)用。重點(diǎn)與難點(diǎn)：解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，整函數(shù)，亞純函數(shù)。（六）殘數(shù)理論及其應(yīng)用1、殘數(shù)的定義及殘數(shù)定理，殘數(shù)的求法，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)。2、用殘數(shù)定理計算實(shí)積分，計算02R(cos,sin)d 型積分，計算p(x)/dx型積分，計算P（X）/dx 型積分，計算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分，應(yīng)用)

49、(xQ)(xQ多值函數(shù)的積分。3、對數(shù)殘數(shù)，輻角原理，儒歇定理重點(diǎn)與難點(diǎn)：殘數(shù)定理及殘數(shù)定理的應(yīng)用，輻角原理及其推論。（七）保形變換1、解析函數(shù)的保域性，解析函數(shù)的保角性導(dǎo)數(shù)的幾何意義，單葉解析變換的保形性。2、線性變換及其分解，線性變換的保形性，線性變換的保交比性，線性變換的保圓周（圓）性，線性變換的保對稱點(diǎn)性，線性變換的應(yīng)用。3、冪級數(shù)與根式函數(shù)，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的保形變換，儒可夫斯基函數(shù)的單葉性區(qū)域。4、黎曼存在定理，邊界對應(yīng)定理。重點(diǎn)與難點(diǎn)：解析變換的特性，線性變換及其分解，線性變換的保形性、保交比性，2009 年編制25保圓周性、保對稱性（八）解析開拓1、解析開

50、拓的概念，解析開拓的冪級數(shù)方法。2、透弧直接解析開拓，黎曼度瓦爾茲對稱原理。3、完全解析函數(shù)及黎曼面的概念，單值性定理。重點(diǎn)與難點(diǎn)：解析開拓的冪級數(shù)方法，透弧直接解析開拓及對稱原理，完全解析函數(shù)，單值性定理，黎曼面的概念。（九）調(diào)和函數(shù)1、平均值定理，極值原理。2、波阿松積分公式，狄利克萊問題，單位圓內(nèi)狄利克萊問題的解，上半平面內(nèi)狄利克雷問題的解。重點(diǎn)與難點(diǎn)：平均值定理，極值定理，波阿松積分公式，狄利克萊問題的解。五學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備注一復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)628二解析函數(shù)8210三復(fù)變函數(shù)的積分628四解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法628五解析函數(shù)的羅朗

51、展式與孤立奇點(diǎn)628六殘數(shù)理論及其應(yīng)用8210七保形變換8210八解析開拓426九調(diào)和函數(shù)*不講合 計521668六教材與教學(xué)參考書2009 年編制261 復(fù)變函數(shù)論 （第三版）：鐘玉泉編，高等教育出版社（選用教材）2 復(fù)變函數(shù)論：余家榮編，高等教育出版社。3 復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書：鐘玉泉編，高等教育出版社。4 解析函數(shù)論簡明教程：【蘇】A.N.馬庫雪維奇編,高等教育出版社。 返回目錄組合數(shù)學(xué)組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱combinatoral mathmatics（2009 年修訂，仇鵬翔執(zhí)筆）年修訂，仇鵬翔執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，50

52、學(xué)時，3 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門專業(yè)課,內(nèi)容豐富,應(yīng)用廣泛,生命力強(qiáng).通過本課的學(xué)習(xí),它的巧妙的解法,靈活的思路能督促學(xué)生勤于思考,努力發(fā)揮自己的聰明才智,有利于增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力,提高他們的智力和分析問題,解決問題的能力.同時加深對中等數(shù)學(xué)中排列、組合、恒等式、分配問題的理解與解題能力.三、課程教學(xué)的基本要求(一)排列和組合1.熟悉計數(shù)的基本原理,組合數(shù)的基本性質(zhì)。2.掌握幾種排列和組合的計數(shù)方法與公式。3.掌握多項(xiàng)式定理及其在恒等證明中的應(yīng)用。4.掌握二項(xiàng)式反演公式及應(yīng)用。(二)容斥原理及其應(yīng)用1.掌握容斥原理的幾種表達(dá)形式及其應(yīng)用。2009

53、年編制272.掌握容斥原理在幾個典型的問題中的應(yīng)用。(三)遞推關(guān)系1.熟悉差分的概念。2.掌握各種遞推關(guān)系式的解法、牛頓公式。3.掌握 s1(n,k)和 s2(n,k)計數(shù)及組合定義。(四)生成函數(shù)1.掌握常生成函數(shù)和指數(shù)生成函數(shù)及其應(yīng)用。2.理解車問題及其運(yùn)算。(五)整數(shù)的分拆掌握各種分拆的計數(shù)公式。(六)鴿籠原理和 Ramsey 定理1.掌握鴿籠原理的幾種表達(dá)形式及其運(yùn)用。2.掌握 Ramsey 定理及其計數(shù)原理。四、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)(一)排列和組合主要內(nèi)容：1.計數(shù)的基本原理2.排列3.組合4.T 路的計數(shù)5.二項(xiàng)式反演公式重點(diǎn):計數(shù)的基本原理;排列、組合的計數(shù)方法,組合數(shù)的基

54、本性質(zhì)。難點(diǎn):T 路的計算。(二)容斥原理及應(yīng)用主要內(nèi)容：1.容斥原理。2.容斥原理的應(yīng)用。重點(diǎn):容斥原理及其應(yīng)用。難點(diǎn):容斥原理的應(yīng)用。(三)遞推關(guān)系主要內(nèi)容：2009 年編制281.差分2.遞推關(guān)系3.Fibonacci 數(shù)4.兩類 Stirling 數(shù)重點(diǎn)：遞推關(guān)系式的解法,兩類 Stirling 數(shù)及組合定義。難點(diǎn): Fibonacc 數(shù)；遞推關(guān)系式的解法。(四)生成函數(shù)主要內(nèi)容：1.常生成函數(shù)及其應(yīng)用。2 車問題。3.指數(shù)生成函數(shù)及其應(yīng)用。重點(diǎn):常(指數(shù))生成函數(shù)及其應(yīng)用。難點(diǎn):常(指數(shù))生成函數(shù)的應(yīng)用原理。(五)整數(shù)的分折主要內(nèi)容：1.分折的計數(shù)2.完備分折重點(diǎn):Pr(n)的計數(shù)公

55、式,生成函數(shù)在分折計數(shù)中的應(yīng)用.難點(diǎn):Pr(n)的計數(shù)公式；完備分折.(六)鴿籠原理和 Ramsey 定理主要內(nèi)容1.鴿籠原理的三種表達(dá)方式。2. Ramsey 定理及其運(yùn)用, Ramsey 數(shù)重點(diǎn):(難點(diǎn))鴿籠原理; Ramsey 定理； Ramsey 數(shù)。五、學(xué)時分配表各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配表章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計備注一排列和組合8210二容斥原理及應(yīng)用516三遞推關(guān)系122142009 年編制29四生成函數(shù)819五套數(shù)的分拆415六鴿籠原理和 Ramsey 定理516合 計42850六、教材與教學(xué)參考書1.組合數(shù)學(xué)曹汝成編 ， 華南理工大學(xué)出版社， 2000（選用教材）2.

56、組合數(shù)學(xué)(第二版)盧開澄編， 清華大學(xué)出版社 1998 返回目錄初等數(shù)論初等數(shù)論課程教學(xué)大綱課程教學(xué)大綱ELEMENTARY NUMBER THEORY（2009 年修訂，鐘甲祥執(zhí)筆）年修訂，鐘甲祥執(zhí)筆）一、課程適用的專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分一、課程適用的專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程適用的專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，50 學(xué)時，3 學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)初等數(shù)論是以整數(shù)為主要研究對象的一個數(shù)學(xué)分支。近代，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，初等數(shù)論已成為離散數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 在許多數(shù)學(xué)分支以及科學(xué)領(lǐng)域，如計算數(shù)學(xué)，編碼學(xué)，計算機(jī)科學(xué)，通訊技術(shù)等等，都有重要的應(yīng)用。初等數(shù)論也是與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)

57、系最密切的課程之一。本課程的內(nèi)容主要包含三部分：（1）整除理論；（2）同余理論；（3）二次剩余理論。本課程的主要目的是：學(xué)習(xí)初等數(shù)論的基本概念，基本性質(zhì)，基本理論和技巧，加深對整數(shù)性質(zhì)的理解，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng); 為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)課程打下必要的基礎(chǔ)。三、與其它課程的聯(lián)系三、與其它課程的聯(lián)系本課程與近世代數(shù)，組合數(shù)學(xué)，高等代數(shù)有著緊密的聯(lián)系，近世代數(shù)的一些內(nèi)容源于初等數(shù)論，本課程將為學(xué)習(xí)近世代數(shù)提供一些直觀背景和具體實(shí)例。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)本課程的基本內(nèi)容包含四個部分：（一）整除理論2009 年編制30(1)整除，因數(shù)，倍數(shù)，最大公因數(shù)，最小公倍數(shù)，互素，兩兩互

58、素; 帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法;(2)素數(shù)，合數(shù)，正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)素數(shù)分解式與素數(shù)分解式; 算術(shù)基本定理; 的標(biāo)準(zhǔn)素! n數(shù)分解式;(3)正整數(shù)的正因數(shù)的個數(shù)（除數(shù)函數(shù)） 、正整數(shù)的正因數(shù)的和及函數(shù); n nn nS n(4)與素數(shù)有關(guān)的若干數(shù)論問題; Eratosthenes 篩法與素數(shù)無窮; 實(shí)數(shù)的整數(shù)部分x和小數(shù)部分; xx(5)二元線性不定方程與元線性不定方程的求解; nbyaxkkjjjknxa13(6)勾股數(shù)與 Fermat 大定理。（二）同余理論(1)同余，同余類，與?；ニ氐耐囝? (2)完全剩余系，簡化剩余系; Euler 函數(shù); Euler 定理與 Fermat 小定理; n(3)

59、同余方程及其解數(shù); 線性同余方程的求解; 中國剩余定理; 一元高mbaxmod次同余方程的求解原理; (4)Lagrange 定理，Wilson 定理; 指數(shù)，原根，指標(biāo); Gauss 原根存在定理。（三）二次剩余理論(1)二次剩余與二次非剩余; Legendre 符號和 Jacobi 符號; pama(2)Euler 判別準(zhǔn)則; Gauss 二次互反律; (3)二次同余方程的求解; 將奇素數(shù)表示為兩個整數(shù)平方之和。mcbxaxmod02（四）數(shù)論函數(shù)(1)數(shù)論函數(shù)，可乘函數(shù)，完全可乘函數(shù); Mobius 函數(shù); n(2) 數(shù)論函數(shù)的 Dirichlet 乘積; Mobius 反演公式。重點(diǎn)與

60、難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：整除理論部分：整除理論部分：(1)帶余除法的兩種形式及其應(yīng)用；算術(shù)基本定理；互素的基本性質(zhì)及其應(yīng)用求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法；(2)證明整除的基本方法；二元線性不定方程的求解；nbyax(3)將有關(guān)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元線性不定方程問題并加以求解；的本原解222zyx公式。同余理論部分：同余理論部分：(1)簡化剩余系；Euler 函數(shù)的計算；Euler 定理與 Fermat 小定理及其應(yīng)用；線 n2009 年編制31性同余方程的求解；中國剩余定理。mbaxmod(2)素數(shù)模的一元高次同余方程的求解；Gauss 原根存在定理；求原根的方法。二次剩余理論部分：二次剩余理論部分：(