高等數(shù)學(xué)方明亮版第九章答案曲線積分與曲面積分習(xí)題詳解

1、高等數(shù)學(xué)方明亮版第九章曲線積分與曲面積分習(xí)題詳解習(xí)題9.11計(jì)算下列對弧長的曲線積分:(1)yds，其中L是圓x2y2=1中 A(0,1)到 B()之間的段劣弧;22 2_cos(_sin r)cos rdr.二 解:則有L是分段光滑的閉曲線，如圖 9-2所示，根據(jù)積分的可加性,|JL(x y 1)dshOA(x y 1)ds ab(x y 1)ds - .BO(x y 1)ds ,L = AB的參數(shù)方程為:x = cos ), y =sin J ()，于42(2) 口(x y1)ds，其中L是頂點(diǎn)為0(0,0), A(1,0)及B(0,1)所成三角形的邊界;由于OA:y=0 , 0_x_1，

2、于是ds =、：(¥)2 +(¥)2dx =訥2 +02dx =dx ,13OA(x y 1)ds = 0(x 0 1)dx ,而AB:=1 -x , 0 込x1，于是ds =(f)2+(¥)2dx=$12 +(1)2dx=V5dx .AB“(x y 1)ds = ；x (1 x) 1 2dx = 2 2 ,同理可知BO:x=0 ( 0蘭y蘭1), s(畀2Ky =0補(bǔ)y d，則 y y13bo(x y 1)ds»00y 1dy 匕綜上所述mXy+1)ds=l+M+l=3+M (3).x2 y2ds，其中 L 為圓周 x2 y2 = x ；直接化為定積分

3、.Li的參數(shù)方程為1X =-2cosx y inr ( 0_二_2二),2 2. 2 2 1 ds“x y(“ d-2d，(4)Lx2yzds，其中L為折線段ABCD，這里A(0,0,0),B(0,0,2), C(1,0,2),D(1,2,3)解如圖所示,Lx2yzdsABx2 2yzds 亠 ibcx yzds 亠 icd x yzds 線段AB的參數(shù)方程為x =0,y = 0,z =2t(0 _t _1)，ds= 叮廠2=02 0222dt =2dt ,2 1x yzds 二 o° 0 2t 2dt=0 線段BC的參數(shù)方程為x = t, y = 0, z = 2(0 _ t -

4、1)，則ds= 12 02 02dt 二 dt,2 1 2bcx yzd .t ° 2dt=0，線段Cd的參數(shù)方程為x =1,y=2t,z=2 7 （0乞乞1），則ds= .02 22 12dt 八,5dt ,2 1CDXyzdSj。12t (2 t)、5dt =2 5 o(21 t2 )dt=.5,3d Z. y XSzd8 8X3(5) lx ds, 2 2 2L為球面x y z = 1與平面x y 0的交線。解 先將曲線L用參數(shù)方程表示，由于 L是球面 x2 y2 z2 =1與經(jīng)過球心的平面 x y z=0的交線，如圖所示,因此是空間一個半徑為1的圓周，它在xOy平面上的投影為

5、橢圓， 其方程可以從兩個曲面方程中消去z而得到，即以z=（x - y）代入x2y2z21=1有x xy y，將其化為參2數(shù)方程,.312x 1T.2cost，即 x3cost，2；2sint，即有1 1yFsin；62 2 2cost，代入 x y - z =1 (或 x y 0 中)1-一si nt - cost，從而L的參數(shù)方程為2 6y = 1 sint - 1 cost，z = - 1 sint - 1 cost (0 _t _2二). V2 V6V2V6則ds=.x(t)f y(t)2 z(t)2dt所以2 2二2 2 2 2二 2 2L x ds = I cos tdt = 0 c

6、os tdt = 兀.3332設(shè)一段曲線 y = In x （0 ： a豈x乞b）上任一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的 平方，求其質(zhì)量.解 依題意曲線的線密度為P = x2，故所求質(zhì)量為 M = J x2ds，其中L: y =ln x （0 ： a _x _b）.則L的參數(shù)方程為X =x(0 : a _ X _ b),y =1 nxds =+包dx = ( + 4dxJi +x2 dx ,>dx 丿 Y x x所以x l 212 -3 b 12 22 -3M ，、”1 x dx=(1 x )1(1 b )" -(1 a )訂.a x332 2 23求八分之一球面 x y z

7、 =1(x _ 0, y _ 0, z _ 0)的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密解 設(shè)曲線在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面內(nèi)的弧段分別為L1、L2、L3，曲線的重心坐標(biāo)為x, y, z，則曲線的質(zhì)量為 Mr ds = 3 ds =3匯互=竺.由對稱性可得重心坐標(biāo) 丄 1423L1Clxds=M(kxdsrL2xdsrL3xds)1 xds 0 亠 I xds =ML1L3M L12_ M! xds故所求重心坐標(biāo)為1 xdx _ 2 _ 4 0 . 1 x2M±,±,±3 二'3 二'3 二習(xí)題9.21設(shè)L為xOy面內(nèi)一直線y = b ( b為常數(shù))，證

8、明LQ(x,y)dy =0。證明：設(shè)L是直線y二b上從點(diǎn)(anb)到點(diǎn)(a2,b)的一段，其參數(shù)方程可視為y = y(x) =b ,(印豈 x 乞 a?),于是a2Q(x, y)dy Q(x,b) 0 dx =0。L a2計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分：(1) Lxydx，其中L為拋物線y2二x上從點(diǎn)A(1,_1)到點(diǎn)B(1,1)的一段弧。2 2解 將曲線L的方程y二x視為以y為參數(shù)的參數(shù)方程 x二y，其中參數(shù)y從-1變到1。因此1 1Lxydx二y2y(y2)dy =2y4dy 二4。5(2)L(x2 y2)dx (X2 - y2)dy，其中L是曲線y=1-1_x從對應(yīng)于x = 0時(shí)的點(diǎn)到X二2時(shí)

9、的點(diǎn)的一段??；解L!的方程為y =x (0乞x乞1)，則有(x2y2 )dx (x2 -yLiL2 的方程為 y =2 x (1 _x _2)，貝U(x2y2)dx (x2L2-y2)dy)dy= i 2x2dx=? 3所以(3)22 2 21 x (2-x) dxc2222(2 -x) dx =3 3-y2)dyL(x2 y2)dx (x2L ydx + xdy, L 是從點(diǎn)2x (2 x) (1)dxA(-a,0)沿上半圓周x2y2二a2到點(diǎn)B(a,0)的一段弧;利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算.L的參數(shù)方程為：x=acosny =asinr，在起點(diǎn)A(_a,O)處參數(shù)值取二，在終點(diǎn)B(a,0)處參

10、數(shù)值相應(yīng)取 0,故二從二到0貝U0 2 0,ydx xdy a sin nd (a cos t1) acod(asinv)=acos2 nd v - 0 L(4) Lxy2dyx2ydx，其中L沿右半圓x2 y2二a2以點(diǎn)A(0, a)為起點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)C(a,0) 到終點(diǎn)B(0, -a)的路徑；解 利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算.L的參數(shù)方程為：x = acosny =asinr，在起點(diǎn)A(0,a)處參數(shù)值取二，在終點(diǎn)B(0, -a)處參數(shù)值相應(yīng)取，則2 2 2 2xy'dy-x'ydxhCacosTljasinT) d(asinO)-(acosT) asinOd(acosT)JT-TF

11、七T2sin%osF(5) l x'dx 3zy2dy-x2ydz,其中 L 為從點(diǎn) A(3, 2,1)到點(diǎn) B(0,0,0)的直線段 AB ；解直線AB的方程為 =_y3 一 2化成參數(shù)方程得x=3t, y=2t , z=t , t 從 1 變到 0。所以宀八1，且從z軸X- y z=2,x3dx +3zy2dy x2ydz = f (3t)2b+3t(2t)2 工(3t)2j2tdt(6) I =y(z-y)dx (x-z)dy (x-y)dz, L 為橢圓周 正方向看去，L取順時(shí)針方向。解L的參數(shù)方程為x = cost, y = sin t, z = 2 - cost sint,

12、 t 從 2-變到 0 ,I 二Q(z y)dx (x z)dy (x y)dz0 2 2(3cos t -sin t 2sin t 2cost)dt - -2二。2 二3設(shè)z軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置（人，力憶）沿直線移 到（X2, y2,Z2）時(shí)重力所作的功。解因?yàn)榱 -(0,0, mg)所以Wmgdz 二 mg(z2 _乙)。zl習(xí)題9.31.利用曲線積分求下列平面曲線所圍成圖形的面積r3x = a cos t , c 八八（1）星形線«3（0Et蘭2兀）；）=asin t ,1 1J!3丄2丄“232cos t sin tdt a。8- (xdy ydx =

13、?況4acos3t3asin21 cost asin3t3acos2t(sin t)dt= 6a2 02 cos4tsin 2 sin t4cos tfdt =6a. 2 2圓 x y =2by，( b 0)；解 設(shè)圓的參數(shù)方程為 x=bcost,y =b bsint ,t從0變到2二那么A = xdy 一 ydx = £ o bcostLbcost(b bsin t)b( sin t)dt122 二2b2 o (1 s i ti c)t 二b2。(3)雙紐線(x2 y2)2 =a2(x2 -y2)，( b 0)。解 把雙紐線的參數(shù)方程代入到公式A = 1 口_ xdy - ydx即

14、可求得所要求的面積2利用格林公式計(jì)算下列曲線積分(1) |_(y x)dx (3x - y)dy，其中 L 是圓(x 1)2 - (y 4)2 = 9，方向是逆時(shí)針方向；解 設(shè)閉曲線L所圍成閉區(qū)域?yàn)?D，這里占QWPP=y-x, Q = 3x y ,3,1 ,excy由格林公式，得(y-x)dx (3x y)dy H(3-1)dxdy=2 w dxdy = 18二。D(2) l ydx (3siny -x)dy，其中 L是依次連接 A(_1,0), B(2,1), c(1,0)三點(diǎn)的折線段，方向是順時(shí)針方向。解 令 P(x, y) = y , Q(x, y) = 3 sin y - x y 衛(wèi)

15、一蘭=_11 = _2，且線段 CA: y = 0 , txcyx由1變化到-1，故有L ydx C sin y _x)dy二LABCAydx (3siny x)dy CAydx (3 siny x)dy-(_2)dxdy -，0 dx =2 dxdy =2 .DD其中D為ABCA所圍成的閉區(qū)域.L(ex sin ymy)dx (ex cosym)dy ,其中 m 為常數(shù),L 為圓 x2 y2 二 2ax上從點(diǎn)A(a,O)到點(diǎn)0(0,0)的一段有向弧;解如右圖所示，設(shè)從點(diǎn) O到點(diǎn)A的有向直線段的方程為OA: y =0, x 從 0 變到 2a。則OA與曲線L構(gòu)成一閉曲線，設(shè)它所圍成閉區(qū)域?yàn)镈，

16、令xxP = e sin y - my, Q = e cos y - m ,二excosy ,二excosy-m ,x:y由格林公式，得Q oa(exsin y -my)dx (ex cosy -m)dy 二 mdxdyD2a x二 m ! dxdy 二丄 m二 a2。D2LA(exsin y my)dx + (ex cosym)dy = (exsin0 m|_0)十(ex cos0 m)_0dx=0,(exsiny-my)dx (excosy-m)dy(exsiny-my)dx (excosy-m)dyLL OA_J (exsiny_my)dx +cosy_m)dyJma2 -oJm二a2。

17、2 22 2y x222 ，(x y ).:yjx7 xdy 一于，其中L為橢圓4x2 + y2 =1，取逆時(shí)針方向; L_l x +y解 令 P(x,y)二,Q(x,y)，則當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),x + yx + y但積分曲線L所圍區(qū)域包含點(diǎn)(0,0) , P(x, y), Q(x,y)在該點(diǎn)不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)(0,0)去掉，為此作半徑足夠小的圓C : x2 y：.2 ,使C位于L的內(nèi)部，如圖右所示.C的參數(shù)方程為x =、cos71 , y = sin 二，：三0,2 二,C取逆時(shí)針方向于是干 xdy - ydx-L x2 +y2壬一xdy -

18、ydxy2xdy - ydx'x2 y2其中C 一表示C的負(fù)方向由格林公式則有110 dxdy = 0 ,D口xdy ydxL七 2*2 i_l七 x十y其中D為L與C所圍成的閉區(qū)域故x2y2-y xdy - ydx 斤 xdy ydx 阡 xdy ydx 丄 J+,2 _乜_ x2+y2 _Uc x2+y2cos 陽(、sin v) -、sin vd (、cost)cos2 ；： lYsin2 t1: CU2222"""Ufds ,其中u(x, y) = x + y , L為圓周x + y = 6x取逆時(shí)針方向， 是 亦cnu沿L的外法線方向?qū)?shù)。解由于

19、3二in：xcos(n,x) +色cos(n y) =2xcos3 _2ycosa，其中 a是在曲線 L 上點(diǎn)7(x, y)處的切線的方向角，故JL竺ds=d (2xcosB 2ycosot)ds 根據(jù)兩類曲線積分之間的聯(lián)系及格林公式，有了Lfds=(-2ycosa +2xcos)ds =口(-2y)dx+2xdy = $4dxdy .因?yàn)長為圓周x2 y2 =6x，所以L所圍成的圓的面積=9二，因此= Jfdxdy =4 =36兀。3證明下列曲線積分在整個 xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值(2,1),(0,0) (2x y)dx (x-2y)dy;FPrQ解令 P =2x y , Q =

20、x-2y U 工=1 Q 在整個 dyex(2,1)xOy面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分.(oo)(2x y)dx (x-2y)dy在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有(2,1)(0,0) (2x y)dx (x-2y)dy二(2x y)dx (x-2y)dy ab(2x y)dx (x-2y)dyxoAAB21= .0(2x 0) (x-2S)Sdx0(2 2 y)L0 (2-2y)dy=4 1 =5。(x,y)22(2)(00)(2xcosy-y sin x)dx (2ycosx-x sin y)dy ;解令 P = 2xcosy -y2 sin x ,

21、 Q = 2y cosx -x2 sin y ,則 -2(ysi nx xsin y) =在整個xOy面內(nèi)恒成立，因 ；yx(x,y)22此， (2xcosyy sin x)dx (2ycosxx sin y)dy在整和yB(2,1)A(2,0)“ yB(x, y)A(x,0)個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有(x, y)22扁)(2xcosy-y sinx)dx + (2ycosx-x sin y)dy22二 oA(2xcosy-y sin x)dx (2ycosx-x sin y)dy22+ LB(2xcosy y sin x)dx+ (2y cosx

22、x sin y)dy二 ° (2 xcos002sinx) (2L0_cosxx2sin 0)|_0dxy2|2亠 i (2 xcosy - y sin x)|_0 (2 y cosx - x sin y)dyxy2=o 2xdx 亠 i (2ycosx-x sin y)dy=x2 ( y2 cosx x2 cos y -x2) = x2 cos y y2 cosx。(3)(1,2)(x)dx："T(y)dy，其中(x) 和' (y)為連續(xù)函數(shù)。C2,1)P =(x) , Q =(y)，則 =0 = 在整個xOy面內(nèi)恒成立，因此，曲線 內(nèi)ex(1,2)積分i(x)d

23、 v (y)dy在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)。所示的積分路徑，則有(1,2)(2,1 (x)d - (y)dy為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖C(1,2)二 ab “x)dx - (y)dy BC(x)dx -(y)dy1 22 (x)dx / (y)dy。B(1,1)A(2,1)x4驗(yàn)證下列P(x, y)dx Q(x, y)dy在整個xOy面內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分，并求出這樣的一個u(x, y):(1) (2x sin y)dx xcos ydy ；解令 P = 2x sin y ， Q 二 xcos y:Q；Pcos y ,cosy.x:y原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取(X。，

24、yo) =(0,0),(x,y)xy2u(x, y) =(00)Pdx Qdy= p 2xdx 亠 i xcos ydy =x xsin yB(x,y)A(x,0) x(2) (x2 2xy-y2)dx (x2-2xy -y2)dy ；解 因?yàn)?P = x2 2xy - y2 , Q = x2 -2xy - y2，所以=2x-2y = ex222xOy面內(nèi)恒成立，因此，：在整個xOy面內(nèi)，(x 2x y )dx (x -2xy -一函數(shù)u(x, y)的全微分，即有(x2 2xy -y2)dx (x2 -2xy - y2)dy = du。于是就有由（4）式得將（6）式代入.:u:x二 x2 2x

25、y _ y2_2xy _ y2u(x, y)二(x2 2xy -y2)dx5 )式，得-1x3 x2y xy2(y)x2 _2xy (y) =x2 _2xy _ y2:P在整個y2)dy是某(4)(5)(6)(7)比較（7）式兩邊，得于是(y) <y3 c（其中C是任意常數(shù)）代入（6）式便得所求的函數(shù)為u(x,y)x3 x2y-xy2y3 C。33(3) ex(1 sin y)dx (ex 2sin y)cos ydy。解 令 P(x,y) =ex(1 sin y)， Q(x, y) =(ex2sin y)cos y，則在全平面上有Q.x:P= ex cos y，滿足全微分存在定理的條件

26、，故在全平面上， yex(1 sin y)dx (ex2sin y)cos ydy是全微分.F面用三種方法來求原函數(shù):解法1運(yùn)用曲線積分公式，為了計(jì)算簡單，如圖 9 - 10 所示，可取定點(diǎn)0(0,0)，動點(diǎn)A(x,0)與M(x,y)，于是原函數(shù)» M (x, y)(x, y) xxu(x, y)=爲(wèi) e (1 +sin y)dx +(e +2sin y)cos ydy A(x,0)廠取路徑：OA AM，得/ xry x. x 2u(x, y)二 0 e (1 0)dx 0 (e 2sin y)cos ydy = e -1 e sin y sin y .解法2從定義出發(fā)，設(shè)原函數(shù)為u

27、(x, y)，則有®=p(x,y)=ex(1+sin y)，兩邊對x積分(y此時(shí)看作參數(shù))，得xu(x, y)二e (1 sin y) g(y)(*)待定函數(shù)g(y)作為對x積分時(shí)的任意常數(shù)，上式兩邊對y求偏導(dǎo)，又=Q(x, y)，于:yex cosy g (y) =(ex 2sin y)cos y ,即 g(y)=2si ny cosy，從而 g(y)二si n2y，C ( C 為任意常數(shù))，代入(* )式，得原函數(shù) u(x, y) =exex sin y sin2 y C .5可微函數(shù)f(x,y)應(yīng)滿足什么條件時(shí)，曲線積分Lf (x,y)(ydx xdy)與路徑無關(guān)？解令 P =

28、 yf(x, y), Q =xf (x, y)，則.:Pf (x, y) yfy(x,y),y=f (x, y)xfx(x, y)滬cQ當(dāng)，即 f(X, y) yfy (x, y)二 f (x, y) xfx (x, y)或 yfy(x, yxfx(x, y)在整個-y :xxOy面內(nèi)恒成立時(shí)，曲線積分l f (x, y)(ydx xdy)在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)。習(xí)題9.41當(dāng)三為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時(shí)，曲面積分?。ゝ（x,y,z）dS與二重積分有什么關(guān)系 ？答 當(dāng)匕為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域 D時(shí)，匕在xOy面上的投影就是 D，于是有f （x,y,z）dS f（x, y,0）dxdy。工

29、D2計(jì)算曲面積分.（x2 y2）dS，其中匕是y（1）錐面x2 y2及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面;錐面x2 y2與平面z二1的交線為x21，即錐面在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域Dxy八(x, y) x2 + y2 蘭 1。而czxczyx , x2y2:：yx2y22 2cz1十十+占M，x y x y因此11(x2 y2)dS 二、2(x2 y2)dxdy 亠 n£(x2 y2)dxdyDxyDxy= (V2+1)"(x2 +y2)dxdy =(T2 + 1)rd 日 f r2rdrDxyz = y(2)yOz面上的直線段y （0乞z乞1）繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋

30、轉(zhuǎn)曲面。A =0旋轉(zhuǎn)曲面為z= - x2 y2(0 _z _1)，故心.（了（了呪廠,1 （十丿十x)2 ( 2_ )2dxdy= 2dxdy，2y )dxdy ，所以.(x2 y2)dS. .2(x2ydxy其中Dxy »：（x,y）|x2 y2 是匕在xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，利用極坐標(biāo)計(jì)算此二重積分,于是222 12. 2(x y )dS=2 o dr 0r rdrI23計(jì)算下列曲面積分： 2 2(1) dS,其中匕是拋物面在xOy面上方的部分：z=2-(xy),z_0 ； X22解 拋物面z =2 -(X y )在xOy面上方的部分 在xOy面上的投 影Dxy為圓域x2 y2

31、乞2,三=容土 =冷,故次dyI idS -. 1 (_2x)2 (-2y)2dxdy 二,1 4(x2 y2)dxdyIDxyDxy=o"d=o'r77rdr =. (x y z)dS，其中匕是上半球面X2 y2 Z2 =a2, z _ 0 ；解 上半球面z二a2 - x2 - y2在xOy面上的投影Dxy為圓域x2 仁 a2,cz-x&-yxa2 -x2 -y2a2 x2 y2dS=.1 (32(z)2dxdydxdyY<xty-y2.2、,2dxdy =i i(x y z)dS 二 x ya2 _ x2 _ y21Dxy+ r sin 日 + 丁1 _r2

32、 ) . a rdr-r2r2(cos)sinv).1 r2+ r dr=ar22 n a33=070二掃(3) (x 屯 -)dS，其中匕為平面丄芒=1在第一卦限的部分;22234解將曲面的方程改寫為.x：y從而dS = * +(空)2 +(空)2dxdy udxdy， dxdy3二在xOy上的投影區(qū)域?yàn)镈xy 二(x,y) |0 Ex 乞2,0 空y 乞3 -x,3y z3)dS 二x ；y 2(1 22d2xyx2dxdy61_ 323篤x°dx.o (27 6161(4)2 dS ,其中匕是柱面x2 yR2被平面z = 0、z = H所截得的部分zx y解 將曲面i分成丙個曲

33、面：二：x = . R2 - y2和乙：x；R2 - y2 , 11、Z2在yOz1面上的投影區(qū)域都為 Dyz珂(y,z) -R_y _R,0 _z _H,先算 2 dS.由于云x+y從而dS 彳 1+(爭 +$2dyd叫+0dydz同理可求得所以.R2-y2d"Rzdydz ,dydz、R2 - y2,1 dyf dzRR2_y2 y'0niRnHR_21_rdS =T x y? x yx yR1 2 2 _4求拋物面殼z = q(x +y ) ( 0<z<1)的質(zhì)量，此殼的密度為P = z。1 2 2解 在拋物面殼z (x y ) ( 0乞z1)上取一小塊微小

34、曲面 dS,其質(zhì)量dm = zdS整個拋物面殼的質(zhì)量為m二zdS.匕在xOy面上的投影Dxy為圓域x2 y2 _2,送=x,M =y ,故y2)dxdy=JJzdS= jG(x2 +y2)J+(x2工Dxy 21：d=o1 r2r3dr 峯(6 3 1).215習(xí)題9.51當(dāng)匕為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時(shí)，曲面積分II R(x,y,z)dxdy與二重積分有什么關(guān)系X答 當(dāng)匕為xOy面內(nèi)的一個閉區(qū)域時(shí)，二的方程為z=0。若匕在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?。紐，那么R(x, y, z)dxdy 二 R(x, y,0) dxdy ,IDxy當(dāng)匕取上側(cè)時(shí)，上式右端取正號；當(dāng)匕取下側(cè)時(shí)，上式右端取負(fù)號。2計(jì)算下

35、列對坐標(biāo)的曲面積分：(1) ii(x ' y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy，其中I是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，邊長為2的y立方體整個表面的外側(cè)；解把三分成下面六個部分：L：z=1 (-1_x_1,-1_y_1)的上側(cè)；二 2：z = T (M,0 1y_ 的下側(cè)； 二3 ： x =1 ( T - y _ 1, T _ z _ 1)的前側(cè);4：x =. -1(-1 y <1 , -1z_ 的后側(cè)；15: y =1 (-1広<11龍 的右側(cè)；二：y = 1(1 _x _1,1 _z_1)的左側(cè).因?yàn)槌?3、匕處,其余四片曲面在yOz面上的投影都為零，故有(x y)d

36、ydz = (x y)dydz 亠 i i(x y)dydz 亍壬i4二(1+y)dydz - (-1+y)dydzDyzDyz二 4 -( -4)二 8 ;同理可得11(y z)dzdx =8 ；ii(z x)dxdy =8 .于是所求的曲面積分為ii(x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy =24. y2(2)!(z x)dydz-zdxdy ,y分的下側(cè)。解 由兩類曲面積分之間的聯(lián)系,ii(z2 x)dydzX在曲面三上，有其中3為旋轉(zhuǎn)拋物面 z = 】(x2y2)介于z=0,z2可得= (z2 x)cos : dS = (z2 - x) C0S - dxdy ,cos

37、2之間部cos_ ：2cos2。J1 +x2 +y2J1 +x +yi i(z2 x)dydz _ zdxdy = (z2 x)( _x) _ zdxdy。X再依對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法，得! !(z2 x)dydz - zdxdy ! ! | 1 x2y21 1(-X)-? x2 y2 dxdy。注意到d I x2xy2 2y dxdy =0 ,2n2dr 21 i：2cos2d - ；-202(3) !jxdydz ydxdz zdxdy,其中 ' 為 x2 - y2 z2 =a2, z _ 0的上側(cè)； y解7在yOz面上的投影為半圓域 y2 z2豈a2, z丄0, x= a2-

38、y2-z2ixdydz=。甲 a2 y2 z2dydz (- °廠 a2 x2 y2dydz)! ：；a2 -dr222It=2 D a -y -z dydz = 2 0 dryzD yz022由對稱性 jj ydxdz=a3, i ；, zdxdy=a32二原式=二a3 3 = 2二a33(4 )卩 xydydzIyzdxdz zxdxdy,其中v是由平面x = 0 ,x y z =1所圍成的四面體的表面的外側(cè)。4取上解 如右圖所示，因?yàn)殚]曲面取外側(cè)，所以取下側(cè)，取后側(cè)，取左側(cè),側(cè)。于是Q xydydz yzdxdz zxdxdy二 xydydz yzdxdz zxdxdyA亠 1

39、1xydydz yzdxdz zxdxdy亠 11xydydz yzdxdz zxdxdy亠 11xydydz yzdxdz zxdxdy=-0 dxdy ii0 dydz ii0 dzdxDxyDyDzx亠 11X(1 -X - y)dxdy 亠 i 丨 y(1 -z - y)dydz 亠 ij z(1 -x - z)dzdxDxyD yzDzx由于Dxy , Dyz和Dzx都是直角邊為1的等腰直角三角形區(qū)域，故Tilxydydz十yzdxdz十zxdxdy=3 Hx(1_x_y)dxdy hsfxdxfdd x yjdy-1。 斗D'勺8y3把對坐標(biāo)的曲面積分I I P(x,y,z

40、)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdyX化成對面積的曲面積分，這里匕為平面3x 2y 2、3z =6在第一卦限的部分的上側(cè)。解 平面三的上側(cè)的法向量為n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是3-22 ,-cos,cos,cos3,555于是i iP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x,y,z)dxdyX=P(x, y,z)cos 二日 Q(x, y,z)cos 一： R(x,y,z)cos dS y=3P(x,y,z) 2Q(x,y,z) 2'空 R(x, y,z)dS習(xí)題9.61利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分:(1) L (x - y

41、)dxdy x(y -z)dydz,其中匕為柱面 x2 y2 =1 及平面 z = 0及 z = 3所圍成的空間閉區(qū)域 門的整個邊界曲面的外側(cè)。(高等數(shù)學(xué)P170例1)解 這里P=x(y_z)， Q=0，R=x-y，由高斯公式得滬rQFR(x -y)dxdy x(y -z)dydz 二 ()dxdydz2笄1二 (y -z)dxdydz 二 ° dr °rdr Qx：:y:z390 (r sin v - z)dz 二(2) (y -z)dydz (z-x)dzdx (x - y)dxdy，其中匕為曲面 z x2 y2 及平面z=0、z = h(h 0)所圍成的空間區(qū)域的整個

42、邊界的外側(cè)。解 這里P=y-z , Q=z-x , R=x-y，用高斯公式來計(jì)算，得0(y -z)dydz (z -x)dzdx (x -y)dxdyQ M)dv 二(0 0 0)dv =0,y工 門解 平面三的上側(cè)的法向量為n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是解 平面三的上側(cè)的法向量為n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是其中|是曲面z=： f 及平面z=h(h 0)所圍成的空間閉區(qū)域.(3)11 (x2 cos：亠 y2 cos ： z2cos )dS，其中 i 為錐面 x2 y2 = z2 介于平面yz =0、z = h(h 0)之間的部分的下側(cè)，cos、cos：、cos 是二

43、在點(diǎn)(x, y,z)處的法向量的方向余弦。解這里P=x , Q=y , R = z，由高斯公式得(x2cos/y2 cos,，1 z2 cos )dS = )dxdydz-.x 衣；：z3r:h 。2 hh=2 11 i(x y z)dxdydz =2 0 d j 0 rdr 0 (r cost r si nr z)dz 二2利用高斯公式計(jì)算三重積分iii(xy yz zx)dxdydz,Q其中門是由x_0 , y_0, 0空z空1及x21所確定的空間閉區(qū)域。解如下圖所示，的邊界由閉曲面所圍成，取2的外側(cè)。令P =Q =R =xyz,那么由高斯公 式得iii(xy yz zx)dxdydzQ=

44、7/ xyzdydz 十 xyzdzdx+xyzdxdy。4xyzdydz 二 xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz51在yOz面上，只有13和15的投影面積不為零，其它都為零。11xyzdydz 二 xyzdydz 11xyzdydz二 0，j211 xyzdydz 二 0 yzdydz 二 0 , 殳Dyzxyzdydz 二 1 - y2 yzdydz = ° . 1Dyz21 1-y y czd6，111 xyzdydz 二+ 6同理可得L1f f xyzdzdx =，左6所以11二。41 1iii (xy yz

45、 zx)dxdydz =Q6 63利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分:(1) (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz，其中 L 為平面 x y z=1 與三個 坐標(biāo)面的交線，其正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，與平面x y z=1上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則;解由斯托克斯公式得n 222222L(y z)dx(z x) d y ( x ) d z二(2y -2z)dydz (2z -2x)dzdx (2x -2y)dxdyy其中匕是平面x y(x _0,y _0,z _0)，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得11_y(2y2z)dydz二(2y-2z)dydz = °dy。(2y-2z

46、)dz=0，1D；L L11 _z(2z-2x)dzdx二(2z -2x)dzdx = 0dz o (2z-2x)dx=0， i©11 _x(2x -2y)dxdy 二(2x -2y)dxdy = dx o (2x -2y)dy =0 , i©''2 2 2 2 2 2If (y +z)dx+(z +x )dy+(x +y)dz=O。(2) Q(z-y)dx (x-z)dy (y-x)dz，其中 L 為以點(diǎn) A(a, 0, 0)、B(0, a,0)C(0,0, a)為頂點(diǎn)的三角形沿 ABCA的方向。解由斯托克斯公式得(z y)d 才(k z dp(予)x d

47、 zii2dydz 2dzdx 2dxdy其中匕是平面x y(x亠0, y亠0,z亠0)，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得1 ii2dydz 二 2dydz=2 a2 二a2 , 壬D；21 2 2i i2dzdx 二 2dzdx =2a 二 a ，tDz：21 2 2*2dxdy 二 2dxdy =2a 二a，iDx；2|2（y2 + z2） d對（z+ 旬 d申（2# 2y dB a習(xí)題9.71若球面上每一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質(zhì)量。解法1設(shè)球面方程為x2 y2 - z2 =a2，定直徑選在z軸，依題意，球面上點(diǎn)P(x,y,z)的密度為：?（x, y,zx2

48、y2，從而球面的質(zhì)量為 M = （x2 y2）dS .由對稱性可知Z2222M = （x y ）dS =2 （x y ）dS ,其中為上半球面z = a2 x y2z _-xx a2 x2 y2：y adS = |1 +（- 2 f ）2+（r2 ）2）2dxdy22 2 2 22 yja -x -y 寸a -x -y-a2 咋，a -x - y其中Dxy =( x, y)|x2y2乞a2是二在xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，利用極坐標(biāo)計(jì)算此二重積分，于是得22!（x y ）dS =2a y23rra rdrdr =4二 adr，0 -0 2 2-02 2Pa -rVa -r2 二.aa r3_22

49、 dr是一個無界函數(shù)的反常積分，按反常積分的計(jì)算方法可得.a r3a0 ：一2a2 -rdr_2£-3 ，的密度為Q（x, y,z） =x2 y2，從而得球面的質(zhì)量為M二（x2 y2）dS，由輪換對稱性可知:Xx2dS 二 y2dS 二 z2dS，故有x y y4M =- （x2 y2 z2）dS 厶2 dS =?a2 4二a2 二8 2 2 2Z ： x2 y_ a2( 0_ z _ h )3卡3 叮 332設(shè)某流體的流速為 v = （yz,zx,xy）,求單位時(shí)間內(nèi)從圓柱的內(nèi)部流向外側(cè)的流量（通量）。解通量：- yzdydz 亠zxdzdx 亠xydxdy = Odxdydz =0。2 2 23求向量場v = (x yz, y zx, z xy)的散度。解這里 P = x2 yz,Q = y2 zx, R = z2 xy，故 divv =王衛(wèi)壬=2(x y z)。exdy dz4求向量場A - -y i x j c k （ c為常數(shù)）沿有向閉曲線L： z",（從 z軸的正向看L依逆時(shí)針方向）的環(huán)流量。 解設(shè)所求的環(huán)流量Q,則Q =|Jl( -y)dx xdy c