高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法_全(講解+例題+鞏固+測(cè)試)

1、高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法(1)-講解篇一、知識(shí)要點(diǎn)概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，所有的數(shù)學(xué)問題都是圍 繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常 可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間 的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，提示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含 義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到 解決的方法，簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合

2、起來加以考察的處理數(shù)學(xué)問題的方 法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù) 的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作 為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的 相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底

3、明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分 析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù) 形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。二、解題方法指導(dǎo)1 .轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑： 通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。 轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。 構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法： “由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何

4、圖形內(nèi)在的屬性。 “由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。 “數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。三、數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用(一) 解析幾何中的數(shù)形結(jié)合解析幾何問題往往綜合許多知識(shí)點(diǎn)， 在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，備受出題者的青睞，求解中常常通過 數(shù)形結(jié)合的思想從動(dòng)態(tài)的角度把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，達(dá)到研究、解決問題的目的1. 與斜率有關(guān)的問題【例1】已知：有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q坐標(biāo)分別

5、為P( -1, 1), Q( 2, 2).若直線I : x+my+m=O 與有向線段PQ延長(zhǎng)相交，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.丄解：直線I的方程x+my+m=O可化為點(diǎn)斜式：y+仁(x-0)，易知直線I過定點(diǎn)M (0, -1)，且1斜率為-.I與PQ的延長(zhǎng)線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過M且與PQ平行時(shí)，直線I的斜率趨近于最小;當(dāng)過點(diǎn)M、Q時(shí)，直線I的斜率趨近于最大2-1 _1 ,滬牙F 一丁廿一I-設(shè)I的斜率為乩由k疝耐得亠豐3高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法【點(diǎn)評(píng)】含有一個(gè)變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程本題是化為點(diǎn)丄斜式方程后，可看出交點(diǎn) M (0,

6、 -1)和斜率-此類題目一般結(jié)合圖形可判斷出斜率的取值范圍2. 與距離有關(guān)的問題【例 2】求：y= (cos 0cos a +3 + (sin $in a)的最大(小)值【分析】可看成求兩動(dòng)點(diǎn)P (cos 0, sin 0與Q ( cos a-3, sin a +)之間距離的最值問題解：兩動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：x2+y2=1和(x+3) 2+ ( y-2) 2=1，轉(zhuǎn)化為求兩曲線上兩點(diǎn)之間距離的最值問題如圖：PQ 1=#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法I PQ I 鋅 A D | =Vl3 -2.3. 與截距有關(guān)的問題【例3】若直線y=x+k與曲線x=、-恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求

7、k的取值范圍解：曲線x= V】-獷是單位圓x2+y2=1的右半圓(x 0 , k是直線y=x+k在y軸上的截距由數(shù)形結(jié)合知：直線與曲線相切時(shí)，k=-：，由圖形：可得k= -,或-1k 1.4. 與定義有關(guān)的問題【例4】求拋物線y2=4x上到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn) A (3, 2)的距離之和為 最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求這個(gè)最小值 【分析】要求PA+PF的最小值，可利用拋物線的定義，把PF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，化曲為直從而借助數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問題解：P是拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，過 P作拋物線的準(zhǔn)線I的垂線，垂足為 D，連P F(F為拋物 線的焦點(diǎn))，由拋物線的定義可知：過A作準(zhǔn)線I的垂線，交拋物

8、線于 P,垂足為Q,顯然，直線 AQ之長(zhǎng)小于折線 APD之長(zhǎng)，因而 所求的點(diǎn)P即為AQ與拋物線交點(diǎn)/ AQ直線平行于x軸，且過A ( 3, 2)，所以方程為y=2，代入y2=4x得x=1. P (1, 2)與F、A的距離之和最小，最小距離為4.【點(diǎn)評(píng)】 (1)化曲線為直線是求距離之和最有效的方法，在橢圓，雙曲線中也有類似問題(2)若點(diǎn)A在拋物線外，則點(diǎn) P即為AF與拋物線交點(diǎn)(內(nèi)分 AF ).(二) 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用1. 利用數(shù)形結(jié)合解決與方程的根有關(guān)的問題方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問題，從而把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來，使問題的解決得到簡(jiǎn)化.【例5】已知方程x2-4x+3=m有4

9、個(gè)根，則實(shí)數(shù) m的取值范圍 .【分析】此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程的根的個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來解決解：方程x2-4x+3 = m根的個(gè)數(shù)問題就是函數(shù) y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).作出拋物線y=x2-4x+3= (x-2) 2-1的圖象，將x軸下方的圖象沿 x軸翻折上去，得到 y=x2-4x+3的圖象， 再作直線y=m，如圖所示：由圖象可以看出，當(dāng)0m1時(shí)，兩函數(shù)圖象有4交點(diǎn)，故m的取值范圍是(0,1) 數(shù)形結(jié)合可用于解決方程的解的問題，準(zhǔn)確合理地作出滿足題意的圖象是解決這類問題的前提2. 利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的單調(diào)性問題函數(shù)的單

10、調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高考中的熱點(diǎn)問題之一 決有關(guān)問題時(shí)，我們常需要先確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合是 確定函數(shù)單調(diào)性常用的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù) 的圖象中.【例6】確定函數(shù)yJ T 卜 的單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)的草圖，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-汽0, 1,+，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為】0，1.3. 利用數(shù)形結(jié)合解決比較數(shù)值大小的問題【例7】已知定義在 R上的函數(shù)y=f ( x)滿足下列三個(gè)條件：對(duì)任意的x R都有f (x+4) =f (x);笑對(duì)任意的0WKX2W2,都有f (xi) f (X2):y=f (x+2 )的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.則f (4.5),

11、 f (6.5), f(7)的大小關(guān)系是解：由：T=4 ;由：f (x)在0,2上是增函數(shù)；由： f ( x-2)= f (x +2)，所以f (x) 的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.由此，畫出示意圖便可比較大小 .4.利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)問題顯然,f (4.5) f ( 7) 0,且 f (x) g (x)有最小值5 .則函數(shù)y=f (x) g (x)在區(qū)間b，-a().A. 是增函數(shù)且有最小值5B. 是減函數(shù)且有最小值-5C .是增函數(shù)且有最大值5D.是減函數(shù)且有最大值5【解析】f (x) g (x) +f (x) g(x) = :f (x) g (x) 0. y=f (x) g (x)在區(qū)

12、間a, b( ab0)上是增函數(shù)，又 f (x), g (x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù). y=f (x) g (x)是奇函數(shù).a, b( abax的解集是 x|0x ax的解集是 x|0x 4 ,即要求半圓在直線的上方，由圖可知a0,所以選C .【點(diǎn)評(píng)】本題很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的妙用【例10】2 _若x (1,2 )時(shí)，不等式(x-1) logax恒成立，貝U a的取值范圍是().A.(0,B .(1,2)C .(1,2D . 1,2解：設(shè) y1= (x 1) 2 (1x1.由圖可知若yiy2 (1x2)，則1)點(diǎn)，當(dāng)y2=logax 也過(2,1 )點(diǎn)，即 a=2 時(shí)，

13、恰有 yiy2 (1x2 得2 = L r I=2 1 . b*J 14$設(shè) s|i*l |- 11-J | -2Ok】二2Jl 玄x】)2S)也作團(tuán)數(shù)團(tuán)第，由惘數(shù)圖象知試工)鼻兀(H得JJ墓右.解法劉由X2VT得曲】I- |葉|二斗，得|工門|亠尹|“】|.設(shè)貞告)= |a；*|上右)二斗4 |-】分別作出誡應(yīng)也的圖象.為(二，二h所以丘門l-k-i匸二成2易求出g (x)和h (x)的圖象的交點(diǎn) J- 立時(shí)，x的取值范圍為|+呵.【解法3】 由_ J 的幾何意義可設(shè)F i (1,0),F 2 (1,0),M( x, y),|仲 -MF2 I二斗I則-，可知M的軌跡是以F 1、F 2為焦點(diǎn)的

14、雙曲線的右支， 其中右頂點(diǎn)為(I ,I 10),由雙曲線的圖象和 x+1 x-1知x .【點(diǎn)評(píng)】本題的三種解法都是從不同角度構(gòu)造函數(shù)或不等式的幾何意義，讓不等式的解集直觀地表現(xiàn)出來，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，給我們以柳暗花明”的解題情境(三) 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解三角函數(shù)題縱觀近三年的高考試題，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決一些問題，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，節(jié)省時(shí)間，提高考試效率，起到事半功倍的效果8高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法【例 13】函數(shù) f (x) =sinx+2sinx , x0,2 n的圖象與直線y=k有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是【分析】本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫出圖象,可以直觀而簡(jiǎn)明地

15、得出答案，在有時(shí)間限制的高考中就能大大地節(jié)約時(shí)間，提高考試的效率解:函數(shù)f (x)=3 sinsJ由圖象可知：1k3.【例TT14】當(dāng)0x .時(shí)，函數(shù)f (x )=亠的最小值為().si n2%2 B. 2】C . 4 D .解:y=則y為點(diǎn)Asi nZ%(0,5)與點(diǎn)B (- sin2x, 3cos2x)兩點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)x=-si n2xE的軌跡方程TT(0a )，即x2+； = 1( x0)，如圖，當(dāng)過點(diǎn)A的直線 I : y=kx+5k有最小值4,故選C .7T_【例 15】若 sin a +cos a =ta(n0aa )，貝Ua().解：令 f (x) =sinx+cosx= si

16、n (x+TTT)TT_0 a 車.再令 a=T，貝U si叮+co=了 1 .366, ta吁=7 1.7321.367 由圖象知9高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法1TxP應(yīng)小于p.故選C .【點(diǎn)評(píng)】 本題首先構(gòu)造函數(shù)f ( x ), g ( X),再利用兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)位置確定a ,淘汰了A、E兩選項(xiàng)，然后又用特殊值丁估算，結(jié)合圖象確定選項(xiàng)C，起到了出奇制勝的效果【例16】 已知函數(shù)f (x)是定義在(一3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)f (x)圖象如下圖所示，A.那么不等式f (x) cosx0的解集是().70/ 2U基芒FlK：1解：函數(shù)f (x)定義在(3,3)上，且是奇函數(shù)，根據(jù)奇函

17、數(shù)圖象性質(zhì)可知，f ( 乂)在(一3,0)上的圖象如圖所示，若使 f (x) cosx1時(shí)，關(guān)于x的方程ax=logax無實(shí)解正確與否 錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=ax及y=logax的圖象（a1）（如圖1）,ti 1可見它們沒有公共點(diǎn)，所以方程無實(shí)解，命題正確【評(píng)析】 實(shí)際上對(duì)不同的實(shí)數(shù) a, y=ax和y=logax的圖象的延伸趨 勢(shì)不同例如當(dāng)a=2時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解；而當(dāng) a=時(shí)，x=2是方程的 解.說明兩圖象向上延伸時(shí)，一定相交，交點(diǎn)在直線y=x上.2、注意圖象伸展速度”【例20】比較2n與n錯(cuò)解：令f （x） =x +2kx-3k，結(jié)合題意畫出圖象3中的（1），再由圖象列出不等

18、的大小，其中n2且n N+.錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x及y=x2的圖象（如圖2）.由圖可知，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng) x=2 時(shí)，2x=x2；當(dāng) x2 時(shí)，2x2,且 n N+ 時(shí)，2nn2.錯(cuò)因是沒有充分注意到兩個(gè)圖象在x2時(shí)的遞增 速度”要比較兩個(gè)圖象的遞增速度，確實(shí)很難由圖象直觀而得.本題可以先猜想，后用數(shù)學(xué)歸納法證明本題的正確答案是當(dāng) n=2、4 時(shí)，2n=n2；r, n 2當(dāng) n=3 時(shí)，2 5時(shí)，n N+ 時(shí)，2nn2證明略3、注意數(shù)形等價(jià)轉(zhuǎn)化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)在-1與3之間，求k的取值范圍解略【評(píng)析】事實(shí)上，不等式組（*）并不與題意等價(jià)，

19、圖象3中的（2）也滿足不等式組（*），但兩實(shí)根均大于 3,還可以舉出兩實(shí)根均小于 -1的反例. 若不等式組（*）與圖3中的（1）等價(jià)，需加上條件-3k1.因此，數(shù)形轉(zhuǎn) 化要注意等價(jià)性4、注意仔細(xì)觀察圖象m【例22】已知關(guān)于x、y的方程組15高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法注意到m-b，則a、b、m應(yīng)滿足的關(guān)系是m0時(shí)的示意圖視角二：由m0,先將原方程變形，得 x-仁占x，再視方程x-仁占x兩邊的代數(shù)式為兩（ab0）有四組實(shí)數(shù)解，求 a、b、m應(yīng)滿足的關(guān)系錯(cuò)解：已知方程組中的兩個(gè)方程分別是橢圓和拋物線的方程，原方程組有四組實(shí)數(shù)解等價(jià)于橢圓與拋物

20、線有四個(gè)不同的公共點(diǎn)由圖4知，m-b，且4 a，即-a2m-b.【評(píng)析】 觀察圖象過于草率！事實(shí)上，圖5也是一種可能的情形，即當(dāng) v _=a時(shí)，仍有可能為四組解例如當(dāng) a=2, b=1, m=-4 時(shí)，可得解集為：（2, 0）,（2, 0） , （，. , ） , （ / ） 現(xiàn)用數(shù)形結(jié)合求解:考慮一元二次方程a2y2+b2y- （m+a2） b2=0, 令 =0（即相切情形），解得m=-結(jié)合圖象,個(gè)函數(shù)，分別畫出函數(shù) y=x-i , y=-x的圖象(如圖2),由圖易看出:當(dāng)0 1或-1一0，即m1時(shí)，圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根視角三：用分離參數(shù)法，先將原方程化為j=m.分別

21、作出函數(shù)y= 一T，y=m的圖象(如圖3)，由圖易看出，當(dāng) 時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根視角四：用分離參數(shù)法，先將原方程化為亠一-.當(dāng)x0時(shí)，得1-丁=一，當(dāng)x0時(shí)，得-1-丄=一.分別作出函數(shù)y=，y=.,的圖象(如圖4)，由圖易看出，當(dāng)0 1或-11或m-1時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根m1團(tuán)4可見，例1的各解雖同是數(shù)形結(jié)合，但大有簡(jiǎn)繁之分，視角二優(yōu)于視角一，視角一中兩函數(shù)中的都含有m，因而他們的圖象也是變化的，雖可以通過討論而獲得結(jié)論，但討論時(shí)容易因考慮不周而產(chǎn)生漏解，視 角三雖看圖直觀明了，但圖象不易作出，而視角四既比視角三作圖方便

22、，又比視角二簡(jiǎn)單，不用討論，這 是因?yàn)橐暯嵌€有一個(gè)函數(shù)中含有 m，而視角四中已不含 m，所以這里以視角四為最理想 2 .-.【例24】已知函數(shù)f (x) =ax +bx且2wf( 1) 4 1 wf(-1)三2求f (-2)的取值范圍. 這是我們常出錯(cuò)的題，其代數(shù)解法有待定系數(shù)法、特征函數(shù)法、三角代換法等，而眾所周知的數(shù)形結(jié)合法 是線性規(guī)劃法.這類問題可看作一個(gè)條件極值問題，即變量a、b在2 a+b4 1 -b 2 這兩個(gè)約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)y=4a-2b的最大(小)值問題.約束條件2 a+b41 -b2的解集是非空集，在坐標(biāo)平面上表 示的區(qū)域是由直線：a+b=4, a+b=2, a-b=

23、2, a-b=1所圍成的封閉 圖形(圖5中的陰影部分).y的大小又可以看作直線b=2a-y在b軸上截距的大小,從圖中易知當(dāng)直線 b = 2a- y經(jīng)過A (二，r), C ( 3 , 1 )時(shí)截距分別為最小f ( -2) =5和最大f ( -2 ) =10.所以 5(-2) 10.其實(shí)還可有如下數(shù)形結(jié)合法：要求f (-2)的取值范圍，只要確定 f (-2)的最大(小)值，即找到f (x) 的圖象在x=-2時(shí)的最高點(diǎn)F與最低點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，為此只要確定 f (x)2經(jīng)過E、F時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，由于f (x) =ax +bx是經(jīng)過原點(diǎn)(c=0)的拋物線系，所以只要再有兩點(diǎn)就可確定，由已知 2Wf( 1

24、) 4, 1f( -1) 2知f (x )在x=1時(shí)的最高點(diǎn)B (1, 4),最低點(diǎn) A (1 , 2), f (x)在x=-1時(shí)的最高點(diǎn) D (-1 , 2),最低點(diǎn) C (-1 , 1),(如圖6), 由拋物線的圖象特征易知經(jīng)過F點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過 0、B、D的圖象C2,經(jīng)過E點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過 0、A、C的圖象C1,于是：將 B (1, 4), D (-1, 2)坐標(biāo)代入 f (x) =ax2+bx 得a-A =2解得 a=3, b=1.2故圖象經(jīng)過 0、B、D的函數(shù)為C2 : f (x) =3x +x，所以fmax (-2) =10.將 A (1, 2), C (-1, 1)的坐標(biāo)代入 f

25、 (x) =ax2+bx 得 ai-bA a-b=2故圖象經(jīng)過 0、A、C的函數(shù)為C1 : f (x) =x2+丄x, fmin (-2) =5.所以 5f(-2) 10.a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cAk 2則可RM=B ,【例25】正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足本題的難度較大，用代數(shù)方法一時(shí)是無從下手的.若能數(shù)形結(jié)合，揭示其條件 a+A=b+B=c+C=k中隱含的幾何背景一一聯(lián)想到三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形， 得如下簡(jiǎn)捷的證法證明：如圖7,作邊長(zhǎng)為k的正三角形PQR,分別在各邊上取點(diǎn) L、M、N，使得QL=A , LR=a , NQ=c,則5僦F十5僭+二5息巒T18

26、高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法AaB-bC-cA ；后如果再觀察a+A=b+B=c+C=k這個(gè)代數(shù)條件，從三數(shù)相等的幾何圖形是等邊三角形，聯(lián)想到四數(shù)相等a+A=b+B=c+C=k的幾何圖形是正方形則又可作邊長(zhǎng)k的正方形(圖8).C由面積關(guān)系知其結(jié)論 aB+bC+cAk 2顯然成立僅舉三例，可見一斑，不但數(shù)形結(jié)合的確好，而且同是數(shù)形結(jié)合， 也有不好與好之分，只有把握住 結(jié)合”這一數(shù)形結(jié)合法的核心，才能把在由數(shù)到形這一變換、操作過程中的圖形選擇的多樣 性，變成解題的靈活性和創(chuàng)造性在實(shí)際學(xué)習(xí)中要結(jié)合具體問題掌握一些常規(guī)的操作策略，例如要畫的若是函數(shù)圖象，那就要設(shè)法讓要畫圖象的

27、函數(shù)盡可能少含參變量，最好不含參變量，如果一定要含有，也要設(shè) 法讓它在較低次的函數(shù)(如一次函數(shù))或在簡(jiǎn)單函數(shù)中含有只有這樣，才能從一個(gè)新的層面上去理解、掌握、運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合法【結(jié)束語】 在數(shù)形結(jié)合法的學(xué)習(xí)中，我們還應(yīng)進(jìn)一步看到運(yùn)算、證明的簡(jiǎn)捷化與嚴(yán)格化是密切相關(guān) 的，數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)步都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)展密切聯(lián)系著，這些工具和方法同 時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的復(fù)雜的東西拋到一邊數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的 ”把“證明的嚴(yán)格化與簡(jiǎn)捷化絕對(duì)對(duì)立起來是錯(cuò)誤的相反，我們可以通過大量的例子來證實(shí)；嚴(yán)格的方法同時(shí)也是比較簡(jiǎn)捷比較容易理解的方法正是追求嚴(yán)格化的努力驅(qū)使我們?nèi)?/p>

28、尋求更簡(jiǎn)捷的推理方法”.19高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合的思想方法（2）-高考題選講數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)與形是事物的兩個(gè)方面，正是基于對(duì)數(shù)與形的抽象研究才 產(chǎn)生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才能使人們能夠從不同側(cè)面認(rèn)識(shí)事物，華羅庚先生說過：數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微 ”把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決 問題過程中數(shù)”與形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言 與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來在使用過程中，由形”到 數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，

29、而由 數(shù)”到 形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此,數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由數(shù)”到 形”的轉(zhuǎn)化考試中心對(duì)考試大綱的說明中強(qiáng)調(diào)：在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點(diǎn)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識(shí)，而在 解答題中，考慮到推理論證的嚴(yán)密性，對(duì)數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而不提倡使用幾何的方法，21高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查以由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化為主1. 注重圖形的內(nèi)涵與拓展，突出對(duì)數(shù)字直覺能力的考查S也屈& 【例1】圖1有面積關(guān)系.-PAr*PBf則由圖2有體積關(guān)系:BPA*PB*PC【點(diǎn)評(píng)】本

30、題注重考查圖形分析能力 思維方式上從平面向空間 拓展，面積與體積類比，直觀類比與猜想并舉體現(xiàn)了高考題以能力 立意考查注重素質(zhì)的命題原則 尤2【例2】女口圖所示，已知橢圓| ,-16Fi, F2,點(diǎn)P在橢圓上，若Fi, F2, 點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（） =1的左、右焦點(diǎn)分別為P是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂可知此圓與橢圓無交點(diǎn)， 則AF注2P中ZPF iF 2 （或ZPF 2F i ）22高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法為直角，如此求出p點(diǎn)坐標(biāo)即得yp=.，故選d .【點(diǎn)評(píng)】 本題以作圖直觀判斷為突破口，直覺與邏輯推理互動(dòng)，化解析幾何問題為平面幾何問題，化計(jì) 算為判斷，在理性

31、的高度認(rèn)識(shí)問題【例3】某城市各類土地租價(jià)y （萬元）與該地段和市中心的距離 x （ km）關(guān)系如圖所示其中l(wèi)i表示商業(yè)用地，12表示工業(yè)用地，13表示居住用地要使各類用地租金收入最高，應(yīng)將工業(yè)用地劃在（）A 與市中心距離分別為 3km和5km的圓環(huán)型區(qū)域上B 與市中心距離分別為 1km和4km的圓環(huán)型區(qū)域上C 與市中心距離為5 km的區(qū)域外D 與市中心距離為5km的區(qū)域內(nèi)解：由函數(shù)y的實(shí)際意義知：在區(qū)間（1，4）上，即在與市中心距離分別為1km和4 km的圓環(huán)型區(qū)域上，工業(yè)用地的租金大于商業(yè)用地的租金和居住用地的租金，為了獲取最高的租金，因此這個(gè)區(qū)域應(yīng)租 用給工業(yè)，故選B.【點(diǎn)評(píng)】 這道題考查

32、的是閱讀理解能力，提醒我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中，要注意訓(xùn)練直覺思維，養(yǎng)成整體觀 察、檢索信息、把握問題實(shí)質(zhì)的良好習(xí)慣2. 注重繪圖，突出對(duì)動(dòng)手能力和探究性學(xué)習(xí)的考查【例4】設(shè)奇函數(shù)f (x)定義域?yàn)?,5，若當(dāng)x0,5 時(shí)，f (x)圖象如下圖，則不等式f (x) 0的解集是 .解：由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，完成f (x)在定義域內(nèi)的圖象，再由 f (x) 0找出使f (x)圖象在x軸下方的區(qū)域，從而得到不等式f (x) 0 ,B=(x,y)x + y-n 0 和x+y-50所共同確定的區(qū)域，平移兩直線得到答案A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了集合、二元一次不等式表示的區(qū)域、充要條件等知識(shí).以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系

33、的觀點(diǎn)考慮問題，變靜態(tài)思維方式為動(dòng)態(tài)思維方式，強(qiáng)調(diào)辨證思維能力3. 注重對(duì)思維的靈活性和創(chuàng)造性的考查【例6】已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 1,F 2分別是左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，貝U的取值范圍是(A.B. Of2D. Ot/2#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法解：此題的一種解法是：在APFiF 2中，根據(jù)中線定理得：PF12+PF2 2 = 2 O P2+2F1O2，再由橢圓定義，得到(PFi-PF 2) 2 = O P2 I6，由2O P500 )或由直線CD的斜率的實(shí)際意義知方案B從500分鐘以后每分 鐘收費(fèi)0.3元.(3) 由圖知：當(dāng) 0W x 6時(shí) fA (x) 50

34、0 時(shí) fA (x) fB (x);當(dāng) 60fB380S80(X)得x .，即通話時(shí)間為(:、,+8)時(shí)萬案B較優(yōu)惠.【評(píng)析】此題在實(shí)際問題中融入函數(shù)，直線等知識(shí)，考查了閱讀理解能力，體現(xiàn)了在知識(shí)應(yīng)用過程中對(duì)能 力的考查.下面就高考中出現(xiàn)的一些相關(guān)題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)【例8】.若方程lg( x2 + 3x m)= lg(3 x)在x (0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍?！痉治觥繉?duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函 數(shù)的圖像進(jìn)行解決。3 _ x a 0【解】原方程變形為2-x +3x m = 3x3x 0即：2Jx-2) =1-m設(shè)曲線y1 = (x 2

35、) 2 , x (0,3)和直線y2 = 1-m圖像如圖所示。由圖可知： 當(dāng)1 m= 0時(shí)，有唯一解，m= 1; 當(dāng)1 1 m4時(shí)，有唯一解，即一 3mc 0,m = 1 或一30),橢圓中心D(2 +衛(wèi),0)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為 2,2 2短半軸為1,它的左頂點(diǎn)為 A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線 L的距離？【分析由拋物線定義，可將問題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題(研究方程組解的情況)?！窘庥梢阎茫篴= 2, b= 1, A(衛(wèi),0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：2l

36、y2 = 2px，消 y 得：x2 (4 7p)x + (2p +) = 0y24i2g(2 +41所以= 16 64p + 48p20,即 6p2 8p+ 20,解得：p1。32結(jié)合范圍(,4+)內(nèi)兩根，設(shè) f(x) = x 2 (4 7p)x + (2p + ),224所以 pZp4+P 即 p0、f(4+ )0 即 p 4 + 342。2 2 2 2 2 21結(jié)合以上，所以4+ 3.2p。3【注本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問題。一般地，當(dāng)給出 方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了 “判別式法”，其中特別要注意解的范圍。另外，“定義 法”、“數(shù)形結(jié)合

37、法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合運(yùn)用?！纠?10.設(shè) a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A= (x,y)|x = n, y = na+ b (n Z), B= (x,y)|x = m, y= 3m2 +15 (m Z), C= (x,y)|x2 + y2 12n21.n2 1tn為整數(shù) 上式不能取等號(hào)，故 a、b不存在?！咀ⅰ?集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集(即曲線)，而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問題的恰當(dāng)處理方法。本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：由 AQ BM $ 得：na+ b= 3n2 + 15 ,即 b= 3n

38、2 + 15 an(式)；由(a,b) C得，a2 + b2 144(式)；把式代入式，得關(guān)于 a的不等式：(1 + n 2)a 2 2n(3n 2 + 15)a + (3n 2 + 15) 2 144 0(式),它的判別式= 4n2(3n 2 + 15) 2 4(1 + n2)(3n 2 + 15) 2 144 = 36(n 2 3) 2因?yàn)閚是整數(shù)，所以n2 3工0,因而 0,故式不可能有實(shí)數(shù)解。所以不存在a、b,使得AQ Bm $與(a,b) C同時(shí)成立【例 11】已知 f ( x) =ax+b, 2a2+6b2=3，證明對(duì)任意 x 1,1恒有 f (x) .【點(diǎn)撥】從等式2a2+6b2

39、=3聯(lián)想到幾何圖形：橢圓于是一個(gè)好解法出現(xiàn)了 2加斗呼13這27高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法珀叔橢圓的參數(shù)方程人 /.| = axA-b3這#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法3這#高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想方法sin（040，求 x 的范圍.【點(diǎn)撥】初讀，無論如何與圖形掛不起鉤來，但t的范圍不是確定了嗎？而且發(fā)現(xiàn) p是關(guān)于t的一次函數(shù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)好極了，一次函數(shù)的圖象太簡(jiǎn)單了，于是按t降幕排列：p=f ( t) = ( log2x-1 ) t+log22x-2log 2X+1 , t2,2 時(shí) p0恒成立(如圖2),f (2)0 且 f (2)0,丄x8 或 0x1,求點(diǎn)A( x+卅,X-卅)與點(diǎn)B(l, 0)之間的距離的最小值【點(diǎn)撥】A是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的軌跡圖形是什么呢?J_ J_令 z=x+ , y=x- ,則 y -z =-4 (z2 .這個(gè)表達(dá)式太熟悉了，它的圖象是雙曲線的一支mi n=1.用不著畫出圖形來，在腦子里做想像，我們準(zhǔn)確地判斷AB已知在 A昶中a