2019廣西中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練二次函數(shù)壓軸題

1、二次函數(shù)壓軸題1.如圖，拋物線y=ax2+(a+2)x + 2(a*0)與x軸交于點A(4, 0),與y 軸交于點B,在x軸上有一動點P(m, 0)(0m4).過點P作x軸的垂線交 直線AB于點N,交拋物線于點M.(1)求a的值；若PN ： MN = 1 ： 3,求m的值；(3)如圖，在(2)的條件下，設(shè)動點P對應(yīng)的位置是Pi,將線段OPi繞點O3逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為M0 芯90 ),連接AP2、BP2,求AP2+2BP2 的最小值.第1題圖解：(1)：A(4, 0)在拋物線上，1 .0= 16a+4(a + 2) + 2,解得 a=2；(2)由(1)可知拋物線解析式為y= 1x2

2、+ 2x+2,令x=0可得y= 2, .OB = 2,; OP=m, . AP=4 m,.PM，x 軸, .OABsPAN, 01T哈普1,.、 . PN = 2（4 m）,.M在拋物線上，-1 9 3 PM =產(chǎn) 2+ 2m+2,VPN : MN=1 : 3,.PN : PM=1 : 4,1 0 3 一 1 一 2m2 + 2m+2= 4 x 2（4- m）,解得m=3或m= 4（舍去），即m的值為3;（3）如解圖,在y軸上取一點Q,使器=3,第1題解圖由(2)可知 巳(3, 0),且0B=2, 05p2=3,且/ P2Ob=/Q0P2,.P2OBszQOP2,.QP2 OP2 3 =，BP

3、2-OB-2,當(dāng) Q(0, 9)時，QP2 = 2BP2,一 3_ AP2+2BP2 = AP2+QP24AQ,當(dāng)A、P2、Q三點在一條直線上時，AP2+QP2有最小值，一9又. A(4, 0), Q(0, 2),.AQ = 42+ (9) 2=245,即ap2+ |bp2的最小值為72452.如圖，已知二次函數(shù)y = ax2+ bx+ 4的圖象與x軸交于A( 2, 0), B(4, 0)兩點，與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,點P是x 軸上方拋物線上的一個動點，過 P作PNx軸于N,交直線BC于M.求二次函數(shù)表達式及頂點D的坐標；(2)當(dāng)PM=MN時，求點P的坐標；(3)設(shè)拋物線對稱軸與x軸

4、交于點H,連接AP交對稱軸于E,連接BP并延 長交對稱軸于F,試證明HE+HF的值為定值，并求出這個定值.第2題圖解：(1)A( 2, 0), B(4, 0)在二次函數(shù)的圖象上,將 A,數(shù)表達式中，B點代入二次函f4a+ (2) b + 4=0得，”, c ,116a+4b+4=01/口 a= - o解得 2,lb = 11 c二次函數(shù)的表達式為 y = 2x2 + x+4, 1c 9將其化為頂點式為y= 2(x1)2+2，9頂點D的坐標為(1, 9);(2)由拋物線表達式得點C的坐標為(0, 4),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+ c(k?0),將點B(4, 0),點C(0, 4)代入得4k+

5、 c= 0 c=4k= 1,解得c = 4直線BC的解析式為y=-x+ 4, (5分)點P在x軸上方的拋物線上,1 9設(shè)點 P 的坐標為(t, 2t2+t+4)( 2t4),.PN，x軸于 N,點N的坐標為(t, 0),. PN 交 BC 于 M,點M的坐標為(t, t + 4), (7分).PM = MN,點 P 在點 M 的上方，PN=2MN, 一 1 c即一/ + t + 4=2（ 1+ 4）,解得ti=2, t2=4（與B重合舍去）， 當(dāng)PM = MN時，點P的坐標為（2, 4）; （8分）第2題解圖1c(3)如解圖，過點P作PG，x軸于點G,設(shè)點P的坐標為(t, -2t2 + t+4

6、), DH，x軸于點H, . PG / DH ,.AHEs/XAGP, BGPs BHF,.EH AH PG BG PG AG，F(xiàn)H BH，.a AH PG 1TLi BH PG 八、 .EH=AG, FH=BG，(10分)當(dāng)點G在BH上時，1. AH = BH = 3, AG = t+2, BG = 4-1, PG=2t2 + t + 4,PG PG14 t + t + 2-.EH + FH = 3G+）= 3 （2）（t+1解：(1)由2x+1 = 0,得 x= 2, .A(2, 0), t 1.i由2x+1 = 3,得 x=4,B(4, 3).）（t-4）（t+2）（4t） = 9，同理

7、，當(dāng)點G在AH上，由拋物線對稱性可知，結(jié)果相同.綜上可知，HE + HF的結(jié)果為定值，且這個定值為 9.（14分）3.如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=；x+1與拋物線y=ax2+bx 3交 于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3.點P是直線AB下方的拋 物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C, 作PDLAB于點D.（1）求 a、b 及 sin/ACP 的值；（2）設(shè)點P的橫坐標為m.用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；連接PB,線段PC把4PDB分成兩個三角形，是否存在適合的 m值，使 這兩個三角形的面積之比為9 ： 10?若存在，

8、直接寫出m的值；若不存在， 說明理由.y= ax2 + bx3 經(jīng)過 A、B 兩點,(-2) 2 - a 2b 3 = 0Sc,I42 a + 4b-3= 31 a=2解得，,b= 一2如解圖，設(shè)直線AB與y軸交于點E,則E(0, 1).PC/y 軸,./ACP=/AEO. sin/ Acp=sin/ aeo=oa=2j 12=255；(2)由(1)知，拋物線的解析式為 y=1x2-1x- 3,.P(m, 2m2 m 3), 1 ，,、C(m, 2m+1),1 c、 1 2 , 一2m 3)= 2m +m+4.2V5_V5(m- 1)2, ,_1 n在 RtAPCD 中，PD=PC sin/A

9、CP= (2m2+m+4)x,955 .5.一 5，當(dāng)m=1時，PD有最大值95存在，m=5或32. 29【解法提示】如解圖，分別過點D、B作DFPC, BGXPC,垂足分別為 點 F、G.第3題解圖由圖中幾何關(guān)系可知5=5，/FDP = / DCP=/AEO,cos/ FDP = cos/ AEO= OE= AE125(m2 2m 8).5在DF = cos/ FDpPD = D =又.BG = 4m,1 / 2ci- 一 匚(m - 2m- 8). o.Sa PCD _DF_ 5 _m2三-BG-4-m - 5 .當(dāng)UD=個=時，解得m=5；Sa pbc5102當(dāng)之迪二喈2：1時，解得m=

10、普.Sa pbc599-m= 5或 32. 294.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 OABC是矩形，OA=3, AB = 4,在OC上取一點E,使OA=OE,拋物線y=a/ + bx+c過A, E, B三點.(1)求B, E點的坐標及拋物線表達式;(2)若M為拋物線對稱軸上一動點，則當(dāng)|MAME|最大時，求M點的坐標；若點D為OA中點，過D作DNLBC于點N,連接AC,若點P為線段 OC上一動點且不與 C重合，PFXDN于F, PGLAC于G,連接GF,是 否存在點P,使4PGF為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的 P點 坐標；若不存在，請說明理由.第4題圖解：(1)OA=3, AB=4

11、, OA= OE, /. A(0, 3), B( 4, 3), E( 3, 0).將A, B, E三點坐標代入y=ax2+bx+ c中，3=La= 1得16a 4b+c= 3,解得 b=4,9a-3b+c=01c=3拋物線的表達式為y=x2 + 4x+3; (3分)拋物線y= x2 + 4x + 3的對稱軸為直線x= 2,點A關(guān)于對稱軸的對稱 點為點B,當(dāng)|MAME|最大時，M在直線BE與直線x= 2的交點處，即連接 BE 并延長交直線x= 2于點M, M點即為所求，如解圖，(5分)%第4題解圖設(shè)直線BE的解析式為y = kx+ b(k# 0),.直線過 B(4, 3), E(3, 0),14

12、k+ b=3II-3k+ b=0k= - 3 1,b= - 9直線BE的解析式為y=-3x-9.當(dāng) x= - 2 時，y= 3, .M(2, 3); (7 分)(3)設(shè)P(x, 0)(x0),如解圖，過點 P分別作PFLDN于點F, PGXAC于點G,過點G作GHOC于點H,交DN于點Q,連接GF,B.7 AC II P 0第4題解圖. OA=3, AB=4, /AOC=90 , .AC=5, .D 為 OA 的中點，DNBC, .PF = |, sin/1PG OA= _PC ACPG 3x+ 4 5PG =3 (x+4)5CG OC= 二PC ACCG 4 =二 x+ 4 5CG =4 (

13、x+ 4)5.CGHsCAO,GH CG CH=-=AO CA COGH CG CH _ = =354 33 4 (x+4)gh=3cg=5xr-12 (x+ 4)一 25，44 4 (x+4)CH = 5CG = 5X也J, (9分)25PH = QF = OC-CH_OP=4_16 n4)+x=9 寸4), 2525GQ=GH-QH12 (x+4)3= 一 一二252 在 RtzGQF 中,9 + 4.- J2 (x+ 4)3 2 , 81 (4 + x) 2 9 (x+ 4) 2 36 (x+4)GF =25 2 +625=2525要使 PGF為等腰三角形，可分三種情況討論:(i)當(dāng) G

14、F = GP 時，GF2=GP2,9 (x + 4) 2 36 (x+ 4) 9 9 (x+4) 2 -2525+4=25，3916 PL而，S；(11 分)(ii)當(dāng) FG = FP 時，F(xiàn)G2=FP2,一，2.9 (x + 4)36 (x+ 4)9 9一 2525+4= 4, x1 = 4, x2= 0.點P不與C重合，.x= 4(舍去)，.P2(0, 0);(12 分)(iii)當(dāng) PG = PF 時，3(x54)=3, 5231 x= 2,3八2 .P3( 2, 0). (13 分)(14綜上所述，存在P39,0),P2(0,0),P3( 2，。)使4PFG為等腰三角形.分)5.已知：

15、直線y=$3與x軸、y軸分別交于 A、B,拋物線y=3x2+bx + c經(jīng)過點A、B,且交x軸于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)點P為拋物線上一點，且點P在AB的下方，設(shè)點P的橫坐標為m.試求當(dāng)m為何值時， PAB的面積最大；當(dāng)APAB的面積最大時，過點P作x軸的垂線PD,垂足為點D,問在直 線PD上是否存在點Q,使4QBC為直角三角形？若存在，直接寫出符合 條件的Q點的坐標，若不存在，請說明理由.第5題圖備用圖1解：(1):直線y=x 3與x軸、y軸分別交于A、B,則 A(6, 0), B(0, 3),又拋物線y=1x2+bx+ c經(jīng)過點A、B,w0=1x62 + 6b + cb=-3則

16、3,解得2,、3= c、c= - 3拋物線的解析式為y=3x2-2x-3；1 o 3(2)二點 P 的橫坐標為 m,P(m, 3m -2m-3),點P在直線AB下方，. 0m6,第5題解圖如解圖，過點P作x軸的垂線，交AB于點E,交x軸于點D,1則 E(m, /m3),二 & PAB= Sz bpe1- . PE=2m 3一3-1 2 一/m3)=3m +2m,-1一+ Sa pea =2PE , OA第5題解圖1當(dāng)/CBQ=90時，如解圖，易知 Q在AB上，將x= 3代入直線y=x3-33,侍 y= 2，Q(3, 2);第5題解圖9當(dāng)/BQC=90時，如解圖，易證CDQszqrb,則CDMD

17、Q,即三QR BR 3一 DQDQ =飛-,無解.第5題解圖綜上所述，在直線PD上存在點Q,使4QBC為直角三角形，點Q的坐標、，一 9 ,、3為(3, 4)或(3, 2).6.如圖，拋物線y= x2-4x5與x軸交于A, B兩點（點B在點A的右側(cè)）, 與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求A, B, C三點的坐標及拋物線的對稱軸;(2)如圖，點E(m, n)為拋物線上一點,且 2m5,過點E作EF/x軸, 交拋物線的對稱軸于點F,作EH，x軸于點H,求四邊形EHDF周長的最 大值； 如圖，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點 P,使以點P, B, C 為頂點的三角形是直角三角

18、形？若存在，請求出點 P的坐標；若不存在， 請說明理由.第6題圖解：（1）把 y=0代入 y= x2 4x5,得 x2 4x5= 0,解得 xi = 1, X2=5, 點B在點A的右側(cè)，.A, B兩點的坐標分別為（1, 0）, （5, 0）,把 x=0 代入 y = x24x5,得 y= 5, 點C的坐標為（0, 5）,; y= x24x 5= （x 2）29, 拋物線的對稱軸為直線x=2; (4分)(2)由題意可知，四邊形EHDF是矩形, .拋物線的對稱軸為直線x=2,點E坐標為(m, m2-4m 5), .EH = m2+4m+ 5, EF = m2, .矩形 EHDF 的周長為 2(EH

19、 + EF) = 2(-m2 + 4m+5+m-2)=- 2(m2-5m 3)= _ 2(m-2)2+-2,20, 2m/52 + 52 =5也，當(dāng)/ CBP = 90時，.BC2+BP2=CP2, . (5 亞)2 + (5-2)2 + (- k)2= 22+ (k+ 5)2,解得k= 3, Pi(2, 3); (10 分)當(dāng)/ PCB = 90 , .BC2+PC2=BP2, . (5 也)2 + 22+(k+ 5)2 = (5-2)2 + (- k)2,解得k= 7, .P2(2, 7); (12 分)當(dāng)/ CPB = 90時， .PC2+PB2=BC2, . 22 + (k+5)2+

20、(5-2)2+ k2 = (5/3, .AOQ 邊 OA 上的高為 2,9如解圖，過點O作OMLOA,截取OM = 9,第8題解圖過點M作MN / OA交y軸于點N,. AC = OA=2弧 ./AOC=30 ,又 MN / OA ./ MNO = / AOC= 30 , 在 RtAOMN 中，ON = 2OM=9,即 N(0, 9),過點 M 作 MH，x 軸交 x軸于點H,199 3 一 9 3 . /MNO = 30 , /MOH = 30 , . MH =2OM =. OH=-4-,即 M(,4),設(shè)直線MN的解析式為y=kx+ 9(k# 0),把點M的坐標代入得4=94k+ 9,即k

21、=- 四 y= - /3x + 9,y= 3x+ 9聯(lián)立得12乳3 , y= 2x 2 xx=373x= - 2J3解得g或5,即 Q(3小,0)或(2，3, 15).9.如圖，拋物線經(jīng)過原點 0(0, 0),與x軸交于點A(3, 0),與直線l交于點 B(2, -2).(1)求拋物線的解析式；(2)點C是x軸正半軸上一動點，過點 C作y軸的平行線交直線l于點E,交拋物線于點F,當(dāng)EF = 0E時，請求出點C的坐標； (3)點D為拋物線的頂點，連接0D,在拋物線上是否存在點P,使得/ B0D= /A0P?如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.第9題圖備用圖解：(1)由題意可設(shè)

22、拋物線的解析式為y=ax2+bx, 將 A(3, 0), B(2, 2)代入 y= ax2 + bx 中,a= 1解得；，lb=-3(9a +3b=0得1,l4a + 2b=-2拋物線的解析式為y=x2-3x;(2)設(shè)直線l的解析式為y= kx,將 B(2, 2)代入 y=kx 中，得一2 = 2k,解得k= 1,直線l的解析式為y= x,設(shè)點C的坐標為（n, 0）,則點E的坐標為（n, n）,點F的坐標為（n, n2 3n）.當(dāng)點C在點A的左側(cè)時，如解圖所示，EF=-n-（n2-3n） = -n2 + 2n, OE=、n2+ （ n） 2 = 6, .EF = OE, a /+ 2門=y2門

23、，解得Q = 0（C, E, F三點均與原點重合，舍去），n2=2-V2, 點C的坐標為（2 ，2, 0）;當(dāng)點C在點A的右側(cè)時，如解圖所示，EF=n2-3n- （-n）=n2-2n,OE= yjn 2+ （ n）/2 n, .EF = OE, n2 2n=n,解得ni = 0（C, E, F均與原點重合，舍去），2=2 +爽， 點C的坐標為（2 +爽，0）;綜上所述，當(dāng)EF = OE時，點C的坐標為（2 收，0）或（2+作，0）;5，25) 1414 .16 16（3）存在點P使得/ BOD=/AOP,點P的坐標為（片,荷戚（三-二 5253 - 9【解法提示】拋物線的解析式為y=x2-3x

24、= （x3）29, 頂點D的坐標為(|, -9),設(shè)拋物線的對稱軸交直線l于點M,交x軸正 半軸于點N,過點D作DGLOB于點G,過點P作PH，x軸于點H,如解 圖所示， 直線l的解析式為y= x, ./ MON = 45 , .ONM 為等腰直角三角形，ON=MN = 2，OM = y2ON=322,9 3 3DM = 9 3 = 3，在 RtADGM 中，/ DMG = / NMO = 45 , RtA DGM為等腰直角三角形， .MG=DG=3x ， 428 3 .2 3 .2 15 12 .OG = OM + MG= 2 + 8 = 8 .設(shè)點P的坐標為(c, c2 3c),當(dāng)點P在x

25、軸下方時，如解圖所示，OH = c, HP = 3c-c2,./ HOP=/ BOD,第9題解圖tan/HOP = tan/ BOD,3.2.HP DG3c- c2 8 OH-OG，即 c -的也解得g = 0（P點與O點重合，舍去）,14c2 = M，1414.點P的坐標為（叫,14）;525當(dāng)點P在x軸上方時，如解圖所示,OH = c, HP =第9題解圖3 2 c23c8同 理可得 一;=yr7Z， c 15 12816解得c1 = 0（P點與O點重合，舍去），c2= ,5.P點的坐標為（16懸 5 25卷或婿，綜上所述，存在點P使得/BOD=/AOP，點P的坐標為魯1625）110.在

26、平面直角坐標系中，直線y=2x2與x軸交于點B,與y軸交于點C, 二次函數(shù)y=1x2 + bx+c的圖象經(jīng)過B, C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，連接DC, DB,設(shè) BCD的面積為S,求S的最大值；(3)如圖，過點D作DMLBC于點M,是否存在點D,使得 CDM中的某個角恰好等于/ ABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存 在，請說明理由.圖圖第10題圖解：(1)直線y= %2中，令y= 0,解得x= 4,令x=0,解得y= 2,.點 B(4, 0), C(0, 2),將點 B(4, 0), C(0, 2

27、)代入1 o,-18 + 4b + c=0y=7x2+ bx+ c 中，得 j,解得*c= -2c= 2二次函數(shù)的表達式為y=2x2 2x 2;第10題解圖(2)如解圖，過點D作DE/y軸，交BC于點E,1 0 3一一 1設(shè)點 D 的坐標為(x, 2。一2 2)(1x4)，則點 E(x，2),1 一 ，1 2 312c . DE = 2X 2 (2x 2x 2) = - 2x +2x,1 1 - S)= Sa cde + S. bde =2( 2x +2x)X4= x + 4x= (x 2) +4,.當(dāng)=2時，S有最大值，S的最大值為4;29(3)存在，滿足條件的點D的橫坐標為2或1r【解法提示】令y=0,則%23x 2 = 0,解得 x1 = 1, x2=4,A(T, 0),. B(4, 0), C(0, 2),AB2=52 = 25, AC2=12+( 2)2=5, BC2=42+22 = 20,AB2=AC2+BC2,.ABC是以/ACB為直角的直角三角形，如解圖，取 AB的中點P,第10題解圖.P(l, 0), -5.RA=PC=PB=|,.