中國古代數(shù)學(xué)問題

1、文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持一 板凳鏊子問題板凳鏊子三十三，一百條腿都朝天，問幾個板凳幾個鏊子？板凳和鏊子（烙餅用的，有三條腿；板凳，四條腿）一共三十三個。問幾個板凳幾個鏊子？二隔墻分銀隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀。七兩分之多四兩，九兩分之少半兩。問多少銀子多少人？（古時16 兩 1 斤）三 一百饅頭一百僧我國明代珠算家程大位的名著直指算法統(tǒng)宗里有一道著名算題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁?譯成白話文，其意思是：有 100 個和尚分 100 只饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3 只，小和尚 3 人分一只，試問大小和尚各有幾人

2、?方法一，用方程設(shè)大和尚有x人，則小和尚有（100 x）人，根據(jù)題意列得方程：3x+1/3（100 x）=100解方程得： x=25小和尚：10025= 75人方法二，雞兔同籠法：（1）假設(shè)100 人全是大和尚，應(yīng)吃饅頭多少個?3X100=300（個）.（2）這樣多吃了幾個呢?300 100=200（個） （3） 為什么多吃了200 個呢 ?這是因?yàn)榘研『蜕挟?dāng)成大和尚。那么把小和尚當(dāng)成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭 ?3 1/3=8/3（4） 每個小和尚多算了8/3 個饅頭，一共多算了 200 個，所以小和尚有：2008/3=75 （人）大和尚：10075= 25 （人）方法三，分組法：由

3、于大和尚一人分3 只饅頭，小和尚 3 人分一只饅頭。我們可以把3 個小和尚與1 個大和尚編為一組，這樣每組 4個和尚剛好分4個饅頭，那么100個和尚總共分為100 + （3+1） =25組，因?yàn)槊拷M有1個大和尚，所以有25個大和尚；又因?yàn)槊拷M有3個小和尚，所以有25W=75個小和尚這是直指算法統(tǒng)宗里的解法，原話是：”置僧一百為實(shí)，以三一并得四為法除之，得大僧二十五個。 ”所謂 “實(shí)”便是 ”“被除數(shù) ” ， “法”便是 “除數(shù) ”。列式就是：100+ (3+1) =25, 100-25=75。我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑。四 雞兔同籠問題雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露。數(shù)清腳共五十雙，各

4、有多少雞和兔？一隊(duì)強(qiáng)盜一隊(duì)狗，二隊(duì)拼作一隊(duì)走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腿一共八百九，問有多少強(qiáng)盜多少狗？1. 雞兔同籠，共17個頭， 42條腿。問：雞有幾只，兔有幾只？2. 小明的儲蓄罐里有1 角和 5 角的硬幣共27 枚，價值 1。 5 元。問：一角的硬幣有幾枚， 5角的硬幣有幾枚？3. 用大小卡車往城市運(yùn)送29 噸蔬菜，大卡車每輛每次運(yùn)5 噸，小卡車每輛每次運(yùn)3 噸，問：大小卡車各用幾輛一次能運(yùn)完 ?(注意有多解)4. 每校有 100 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，平均分是63 分，其中男生平均分是60 分，女生平均分是 70 分。問：男生比女生多幾人?5. 學(xué)校買回 4 個籃球和 5 個排球，一共用了

5、185 元，一個籃球比一個排球貴8 元。問：籃球的單價是多少？6. 解放軍進(jìn)行野營拉練。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米， 11 天一共走 350千米。求這期間晴天共有多少天？7. 小強(qiáng)集郵，他用一元錢買了 4 分和 8 分的郵票共20 張。問：小強(qiáng)買了 4 分郵票幾張？8. 一堆 2 分和 5分的硬幣共299分，其中 2 分硬幣的個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的 4倍。問： 5分硬幣有幾枚？9. 某人領(lǐng)得獎金 240 元，有 2 元 5 元 10 元三種人民幣共50 張，其中 2 元和 5 元的張數(shù)一樣多。問： 10元的張數(shù)是多少？10. 小明買了4分和 8分的郵票共花去6元 8角錢，已知 8分的

6、郵票比4分的多 40 張。問： 8分的郵票是幾張？11. 雞兔同籠，共200只，雞的腳比兔的腳少56只。問：雞有幾只，兔有幾只？12. 有一輛貨車運(yùn)送2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時完好瓶子計(jì)算每只 2 角，如有破損，則破損一個瓶子要倒賠1 元。結(jié)果運(yùn)費(fèi) 379。 6 元。問：運(yùn)送中損壞了幾只瓶子？13. 某數(shù)學(xué)測驗(yàn)共20 題，做對一題得 5 分，做錯一題倒扣 1 分，不做不扣分。小華得了 76分。問：小華做對幾題？14. 雞兔同籠，共有頭100個，足 316只。問：雞有幾只，兔有幾只？15. 小明花了 34元錢買賀卡和明信片，一共買了 14 張。賀卡每張3 角 5分，明信片每張2角5 分。問：

7、小明買了幾張賀卡，幾張明信片 ?16. 濰坊盲童學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競賽，共20道試題，做對一題得 5分，做錯或沒有做的題，每題倒扣 3分。劉剛得了 60分。問：他做對了幾題？17. 雞兔同籠，共有腳 100只。若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳 92 只，問：雞有幾只， 兔有幾只？18. 雞兔共有 100 只，雞腳比兔腳多 80 只，問：雞兔各有多少？19. 雞兔同籠，共有30 個頭， 88 只腳。求籠中雞兔各有多少只？20 小明用10 元錢正好買了 20 分和 50 分的郵票共35 張，求這兩種郵票名買了多少張？21小紅用 13 元 6角正好買了 50分和 80分郵票共計(jì)20 張，求兩種郵票各買了多

8、少張？22小剛的儲蓄罐里共2 分和 5 分硬幣 70 枚，小剛數(shù)了一下，一共有194 分，求兩種硬幣各有多少枚？23 三年一班30 人共向北京奧運(yùn)會捐款205 元，同學(xué)每人了捐了 5 元或 10 元，你知道捐 5元和 10 元的同學(xué)各有多少人嗎？24松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20 個，雨天每天只能采12 個。它一連8 天共采了112個松籽，這八天有幾天晴天幾天雨天？25某校有一批同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，平均得63 分，總分是3150 分。其中男生平均得60 分，女生平均得70 分。求參加競賽的男女各有多少人？26. 一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得5分，做錯一題倒扣3分，劉冬考了52分，你

9、知道劉冬做對了幾道題？27. 一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得8分，做錯一題倒扣4分，劉冬考了112分，你知道劉冬做對了幾道題？28. 52名同學(xué)去劃船，一共乘坐 11 只船，其中每只大船坐 6人，每只小船坐 4 人。求大船和小船各幾只？29. 在一個停車場上，停了小轎車和摩托車一共32 輛，這些車一共108 個輪子。求小轎車和摩托車各有多少輛？雞兔同籠問題 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)一解答題3 一般雞兔同籠例 1：雞兔同籠，共17 個頭， 42 條腿。問：雞有幾只，兔有幾只？【答案】 4只， 13只【解題關(guān)鍵點(diǎn)】不加注的都是雞兔同籠模板，套公式兔：（42-17 次）/2=4 只；雞： 17-4=13 只

10、【結(jié)束】4 一般雞兔同籠例 2：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8 個頭，從下面數(shù)，有26 只腳，雞和兔各有幾只？【答案】兔有5只，雞有 3 只?！窘忸}關(guān)鍵點(diǎn)】解法1:假設(shè)的方法。如果假設(shè)籠子里都是雞，就有8>2=16只腳，這樣就多出26 16=10只腳，一只兔比一只雞多 2只腳，也就是有10e=5只兔。所以籠子里有 3只 雞， 5 只兔。解法2：如果假設(shè)籠子里都是兔，那么也可以列式：雞：（8M26） + （42） =3 （只）兔：8-3=5 （只）解法3：用方程解的。解：設(shè)兔有x 只，那么就有（ 8 x ）只雞，雞兔共有26 只腳，就是4x 2（ 8 x） =262x+16=26x=

11、58 5=3 （只）【結(jié)束】5 另一類， “三者同籠 ” 問題【答案】1：把他們看成一個整體，把3者間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換成2類物體間諜關(guān)系2：三個未知數(shù)列三個方程【結(jié)束】6 另一類雞兔同籠例 1：有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動物共18 只，共有腿118 條，翅膀 20 對（蜘蛛 8 條腿；蜻蜓6 條腿， 2 對翅膀；蟬6 條腿， 1 對翅膀），三種動物各幾只？【答案】蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蟬是 6 只。【解題關(guān)鍵點(diǎn)】方程假設(shè)蜘蛛為x,蜻蜓為y,蟬為Z那么 x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出 x=5y=7z=6 所以蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蟬是 6 只。1 雞兔同籠，共1

12、7 個頭， 42 條腿。問：雞有幾只，兔有幾只？2 小明的儲蓄罐里有1 角和 5 角的硬幣共27 枚，價值 1。 5 元。問：一角的硬幣有幾枚， 5 角的硬幣有幾枚？3 用大小卡車往城市運(yùn)送29 噸蔬菜，大卡車每輛每次運(yùn)5 噸，小卡車每輛每次運(yùn)3 噸，問：大小卡車各用幾輛一次能運(yùn)完?（注意有多解）4 每校有 100 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，平均分是63 分，其中男生平均分是60 分，女生平均分是 70 分。問：男生比女生多幾人?5 學(xué)校買回 4 個籃球和 5 個排球，一共用了 185 元，一個籃球比一個排球貴8 元。問：籃球的單價是多少？7 小強(qiáng)集郵，他用一元錢買了 4 分和 8 分的郵票共20

13、張。問：小強(qiáng)買了 4 分郵票幾張？8 一堆 2 分和 5 分的硬幣共299 分，其中 2 分硬幣的個數(shù)是5 分硬幣個數(shù)的 4 倍。問： 5 分硬幣有幾枚？9某人領(lǐng)得獎金240元，有 2元 5元 10元三種人民幣共50 張，其中 2元和 5元的張數(shù)一樣多。問： 10元的張數(shù)是多少？10 小明買了 4 分和 8 分的郵票共花去6 元 8 角錢，已知 8 分的郵票比4 分的多 40 張。問： 8分的郵票是幾張？11 雞兔同籠，共200只，雞的腳比兔的腳少56 只。問：雞有幾只，兔有幾只？12 有一輛貨車運(yùn)送2000 只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時完好瓶子計(jì)算每只 2 角，如有破損，則破損一個瓶子要倒賠1 元

14、。結(jié)果運(yùn)費(fèi) 379。 6 元。問：運(yùn)送中損壞了幾只瓶子？13某數(shù)學(xué)測驗(yàn)共20題，做對一題得5分，做錯一題倒扣 1 分，不做不扣分。小華得了 76分。問：小華做對幾題？14 雞兔同籠，共有頭100 個，足 316 只。問：雞有幾只，兔有幾只？15小明花了 34元錢買賀卡和明信片，一共買了 14 張。賀卡每張3 角 5分，明信片每張2角5 分。問：小明買了幾張賀卡，幾張明信片 ?16 東湖小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共20 道試題，做對一題得 5 分，做錯或沒有做的題，每題倒扣 3 分。劉剛得了 60 分。問：他做對了幾題？17 雞兔同籠，共有腳 100 只。若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳 92 只

15、，問：雞有幾只，兔有幾只？18100個饅頭 100個和尚吃，大和尚每人吃 3個，小和尚三人吃 1 個，問：大和尚有幾個，小和尚有幾個？19 雞兔共有 100 只，雞腳比兔腳多 80 只，問：雞兔各有多少？1雞兔同籠，共有30 個頭， 88 只腳。求籠中雞兔各有多少只？2雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露。數(shù)清腳共五十雙，各有多少雞和兔？3小明用 10 元錢正好買了 20 分和 50 分的郵票共 35 張，求這兩種郵票名買了多少張？4小紅用 13元 6角正好買了 50分和 80分郵票共計(jì)20 張，求兩種郵票各買了多少張？5小剛的儲蓄罐里共2 分和 5 分硬幣 70 枚，小剛數(shù)了一下，一共有194 分

16、，求兩種硬幣各有多少枚？6三年一班30人共向北京奧運(yùn)會捐款205元，同學(xué)每人了捐了 5元或 10 元，你知道捐 5元和 10 元的同學(xué)各有多少人嗎？7松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20 個，雨天每天只能采12 個。它一連8 天共采了 112個松籽，這八天有幾天晴天幾天雨天？8某校有一批同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，平均得63 分，總分是3150 分。其中男生平均得 60分，女生平均得70 分。求參加競賽的男女各有多少人？9一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得5分，做錯一題倒扣 3分，劉冬考了 52分，你知道劉冬做對了幾道題？10一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得 8 分，做錯一題倒扣 4分，劉冬考了

17、 112分，你知道劉冬做對了幾道題？11 52名同學(xué)去劃船，一共乘坐11 只船，其中每只大船坐 6人，每只小船坐4 人。求大船和小船各幾只？12在一個停車場上，停了小轎車和摩托車一共32 輛，這些車一共108 個輪子。求小轎車和摩托車各有多少輛？13解放軍進(jìn)行野營拉練。晴天每天走35 千米，雨天每天走28 千米， 11 天一共走了350 千米。求這期間晴天共有多少天？14 100 個和尚吃了 100 個面包，大和尚 1 人吃 3 個，小和尚 3 人吃 1 個。求大小和尚各有多少個？15一隊(duì)強(qiáng)盜一隊(duì)狗，二隊(duì)拼作一隊(duì)走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腿一共八百九，問有多少強(qiáng)盜多少狗？雞兔同籠問題 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)一解

18、答題3 一般雞兔同籠例 1：雞兔同籠，共17 個頭， 42 條腿。問：雞有幾只，兔有幾只？【答案】 4只， 13只【解題關(guān)鍵點(diǎn)】不加注的都是雞兔同籠模板，套公式兔：（42-17 玄）/2=4 只；雞： 17-4=13 只【結(jié)束】4 一般雞兔同籠例2：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8 個頭，從下面數(shù)，有26 只腳，雞和兔各有幾只？【答案】兔有5只，雞有 3 只?！窘忸}關(guān)鍵點(diǎn)】解法1:假設(shè)的方法。如果假設(shè)籠子里都是雞，就有8>2=16只腳，這樣就多出26 16=10只腳，一只兔比一只雞多 2只腳，也就是有10e=5只兔。所以籠子里有 3只 雞， 5 只兔。解法2：如果假設(shè)籠子里都是兔，那

19、么也可以列式：雞：（8M26） + （42） =3 （只）兔：8-3=5 （只）解法3：用方程解的。解：設(shè)兔有x 只，那么就有（8 x ）只雞，雞兔共有26 只腳，就是4x 2（ 8 x） =262x+16=26x=58 5=3 （只）【結(jié)束】5 另一類， “三者同籠 ” 問題【答案】 1：把他們看成一個整體，把3者間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換成2類物體間諜關(guān)系2：三個未知數(shù)列三個方程【結(jié)束】6 另一類雞兔同籠例 1：有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動物共18 只，共有腿118 條，翅膀 20 對（蜘蛛 8 條腿；蜻蜓6 條腿， 2 對翅膀；蟬6 條腿， 1 對翅膀），三種動物各幾只？【答案】蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只

20、，蟬是 6 只。【解題關(guān)鍵點(diǎn)】方程假設(shè)蜘蛛為x,蜻蜓為y,蟬為Z那么 x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出 x=5y=7z=6 所以蜘蛛是5 只，蜻蜓是7 只，蟬是 6 只。百雞問題張邱建算經(jīng)中，是原書卷下第38 題，也是全書的最后一題： “今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞雛七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞雛八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四值錢十二；雞雛八十四，值錢二十八。 ”該問題導(dǎo)致三元不定方程組，其重要之處

21、在于開創(chuàng) “一問 多答 ” 的先例，這是過去中國古算書中所沒有的。秦王暗點(diǎn)兵問題和韓信亂點(diǎn)兵問題，都是后人對物不知其數(shù)問題的一種故事化。物不知其數(shù)問題出自一千六百年前我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)。原題為： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問物幾何？ ”這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數(shù)，就會剩下兩件；如果五件五件地數(shù)，就會剩下三件；如果七件七件地數(shù)，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件？變成一個純粹的數(shù)學(xué)問題就是：有一個數(shù)，用 3 除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余 2。求這個數(shù)。這個問題很簡單：用 3 除余2，用7 除也余2，所以用3 與 7

22、的最小公倍數(shù)21 除也余2，而用 21 除余 2 的數(shù)我們首先就會想到 23； 23 恰好被 5 除余3，所以23 就是本題的一個答案。這個問題之所以簡單，是由于有被3 除和被 7 除余數(shù)相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那么簡單了，也更有趣得多。我們換一個例子：韓信點(diǎn)一隊(duì)士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問：這隊(duì)士兵至少有多少人？這個題目是要求出一個正數(shù)，使之用 3除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。如果一位同學(xué)從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗(yàn)加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案。例如我們從用3除余2這個條件開始

23、。滿足這個條件的數(shù)是3n+2,其中n是非負(fù)整數(shù)。要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1, 2, 3,代入來試。當(dāng)n=1時， 3n+2=5， 5 除以 5不用余3，不合題意；當(dāng)n=2 時， 3n+2=8， 8除以 5正好余3，可見8這個數(shù)同時滿足用 3除余 2和用 5除余 3這兩個條件。最后一個條件是用 7 除余 4。 8 不滿足這個條件。我們要在8 的基礎(chǔ)上得到一個數(shù)，使之同時滿足三個條件。為此，我們想到，可以使新數(shù)等于 8 與 3 和 5 的一個倍數(shù)的和。因?yàn)?8 加上 3 與 5 的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3。于是我們讓新數(shù)為 8+15m,分別把m=1

24、, 2,代進(jìn)去試驗(yàn)。當(dāng)試到 m=3時，得到8+15m=53, 53除以7恰好余4,因而53合乎題目 要求。我國古代學(xué)者早就研究過這個問題。例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的算法統(tǒng)宗（ 1593 年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。“正半月 ”暗指15。“除百零五 ”的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比 105大時，就 105105地往下減，使之小于105；這相當(dāng)于用105 去除，求出余數(shù)。這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是357 時，用 70 乘以用 3 除的余數(shù)，用 21 乘以用 5除的余數(shù)，用 15 乘以用 7 除的余數(shù)，然后把這三

25、個乘積相加。加得的結(jié)果如果比 105 大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。按這四句口訣暗示的方法計(jì)算韓信點(diǎn)的這隊(duì)士兵的人數(shù)可得：70 >2+21 >+15X4=263, 263=2X105+53,所以，這隊(duì)士兵至少有53 人。在這種方法里，我們看到：702115這三個數(shù)很重要，稍加研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的特點(diǎn)是：70是5與7的倍數(shù)，而用3除余1；21 是3與7的倍數(shù)，而用5除余1；15是3與5的倍數(shù)，而用7除余1。因而70>2是5與7的倍數(shù)，用3除余2;21 >3是3與7的倍數(shù)，用5除余3;15>4是3與5的倍數(shù)，用7除余4。如果一個數(shù)除以a余

26、數(shù)為b,那么給這個數(shù)加上 a的一個倍數(shù)以后再除以 a,余數(shù)仍然是b。 所以，把70X221 >3與15 >4都加起來所得的結(jié)果能同時滿足用3除余2用5除余3用7除余4”的要求。一般地，70m+21n+15k(1 <iK 3,1<K 5, KR 7)能同時滿足 用3除余m用5除余n用7除余k”的要求。除以105取余數(shù)，是為了求合乎題 意的最小正整數(shù)解。我們已經(jīng)知道了 702115 這三個數(shù)的性質(zhì)和用處，那么，是怎么把它們找到的呢？要是換了一個題目，三個除數(shù)不再是357，應(yīng)該怎樣去求出類似的有用的數(shù)呢？為了求出是5與 7的倍數(shù)而用 3除余 1 的數(shù)，我們看看5與 7的最小公

27、倍數(shù)是否合乎要求。 5與7的最小公倍數(shù)是5X7=35, 35除以3余2, 35的2倍除以3余2, 35的2倍除以3就能余1 了，于是我們得到了 “三人同行七十稀 ” 。為了求出是3與 7的倍數(shù)而用 5除余 1 的數(shù)，我們看看3與 7的最小公倍數(shù)是否合乎要求。 3與7的最小公倍數(shù)是3X7=21, 21除以5恰好余1,于是我們得到了五樹梅花甘一枝為了求出是3與 5的倍數(shù)而用 7除余 1 的數(shù)，我們看看3與 5的最小公倍數(shù)是否合乎要求。 3與5的最小公倍數(shù)是3X5=15, 15除以7恰好余1,因而我們得到了 七子團(tuán)圓正半月357 的最小公倍數(shù)是105，所以 “除百零五便得知 ” 。例如：試求一數(shù)，使之用 4 除余3，