2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專(zhuān)用)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第二章2.1函數(shù)及其表示(含解析)

1、爻.1函數(shù)及其表示函數(shù)兩個(gè)集合A, B設(shè)A, B是兩個(gè)非空數(shù)集對(duì)應(yīng)法則f: A-B如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的每一個(gè)兀素x,在集合B中都有唯一的元素 y和它對(duì)應(yīng)名稱(chēng)稱(chēng)y=f (x), xCA為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)函數(shù)記法函數(shù) y= f (x), xC A2 .函數(shù)的三要素(1)定義域在函數(shù)y=f (x), xC A中，x叫做自變量，所有的輸入值 x組成的集合 A叫做函數(shù)y=f(x)的疸 義域.(2)值域?qū)τ贏中的每一個(gè)x,都有一個(gè)輸出值y與之對(duì)應(yīng).我們將所有輸出值y組成的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域.對(duì)應(yīng)法則f: A-B.3 .函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4

2、.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)法則不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示,這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).概 念 方 法 微1 .分段函數(shù)f （x）的對(duì)應(yīng)法則用兩個(gè)式子表示，那么f （x）是兩個(gè)函數(shù)嗎?提示分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù).2 .請(qǐng)你概括一下求函數(shù)定義域的類(lèi)型.提示 （1）分式型；（2）根式型；（3）指數(shù)式型、對(duì)數(shù)式型；（4）三角函數(shù)型.3 .請(qǐng)思考以下常見(jiàn)函數(shù)的值域：(1)y=kx+b(kw 0)的值域是 R.(2)y= ax2+bx+c(aw 0)的值域：當(dāng)a>

3、;0時(shí)，值域?yàn)?ac b2, +°° ;當(dāng) a<04a，值域?yàn)?ac b24ak(3)y=(kw 0)的值域是y*0. x、(4)y= ax(a>0 且 aw 1)的值域是(0, 4 8 ).(5)y= logax(a>0 且 a w 1)的值域是 R.題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)(1)若A=R, B=x|x>0, f: x-y=|x|,其對(duì)應(yīng)是從 A 至 ijB 的函數(shù).(X )(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等. (X )(3)已知 f (x)=5(xC R),則 f (x2)=25.( X

4、)(4)函數(shù)f (x)的圖象與直線x=1最多有一個(gè)交點(diǎn).(,)題組二教材改編2 .以下屬于函數(shù)的有 .(填序號(hào))y= ±jx；y2=x 1;丫=”2 + 5x; y= x22(x C N).答案3 .函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示，那么，f (x)的定義域是 ;值域是 ;其中只 有唯一的x值與之又應(yīng)的y值的范圍是 .答案3,0 U 2,3 1,5 1,2) U (4,5題組三 易錯(cuò)自糾4 .下列圖形中可以表示以M=x|0w xw 1為定義域，N=y|0WyWl為值域的函數(shù)的圖象是()答案 C解析 A選項(xiàng)中的值域不滿足，B選項(xiàng)中的定義域不滿足，D選項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知選

5、項(xiàng)C正確.5 .(多選)(2019山東省濟(jì)南市歷城第二中學(xué)月考)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()A . f (x) = x22x1 與 g(s) = s22s1B . f (x) = >/-x3與 g(x)= xXC. f (x)=1g(x) = -10 xxD . f (x) = x 與 g(x) = Vx2答案 AC6 .函數(shù)y=>/x 2 Qx+ 2的定義域是 .答案 2, +8 )7 .已知 f(Jx)=x 1,則 f (x) =.答案x2-1(x>0)解析 令 t=>/x,則 t>0, x=t2,所以 f (t)= t2 1(t>0),即 f (x)

6、 = x2 1(x> 0).x+ 1 , x< 0,8 . (2019湖北黃石一中模擬)已知函數(shù)f(x)= 2x_ 1 x>0 則f(f (0)的值為；方程f (-x)=1的解是.答案 1 0或1解析 -.-f (0)=1, .""0)=1)=1.當(dāng)一*忘 0 時(shí)，f( x) = x+1=1,解得 x= 0;當(dāng)一x>0 時(shí)，f (-x)=2 x-1 = 1,解得 x= 1.題型突破菜鹿深度削折重點(diǎn)褰維探究第1課時(shí)函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的概念1 .下列各曲線表示的 y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）答案 C2 . (2019武漢*II擬)下列五

7、組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 .(填序號(hào))x+ 1f (x) = x- 1 與 g(x) = x-1;f (x)=lg x2 與 g(x)=2lg x;f (x) = x+ 2, xCR 與 g(x)=x+ 2, xC Z；N= f (x)與 y= f (x+ 1).答案3 .已知A=x|x=n2, nCN,給出下列關(guān)系式：f (x) = x; f(x) = x2; f (x)=x3; f(x)=x4; f(x) = x2 + 1,其中能夠表示函數(shù)f: A-A的是.答案解析 對(duì)于，當(dāng)x=1時(shí)，x2+1?A,故錯(cuò)誤，由函數(shù)定義可知 均正確.思維升華 (1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)數(shù)集 A中的任何一個(gè)元

8、素在第二個(gè)數(shù)集 B中有且只有一 個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以 “多對(duì)一 ”，不能“一對(duì)多”，而B(niǎo)中有可能存在與 A中元素不對(duì) 應(yīng)的元素.(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，則值域一定相同.求函數(shù)的解析式例1求下列函數(shù)的解析式:(1)已知 f (1 sin x)=cos2x,求 f (x)的解析式;(2)已知 f x2 + x12 =x4+/，求f(x)的解析式;(3)已知f (x)是一次函數(shù)且3f (x+1)-2f (x-1) = 2x+ 17,求f (x)的解析式；定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)f (x)滿足2f (x)-f (-x)=lg(x+1),求f(x)的解析式.解 (1)(換元法

9、)設(shè) 1 - sin x= t, t C 0,2,則 sin x= 1 -1, , f(1 sin x) = cos2x= 1 -sin2x, .f (t)=1-(1-t)2 = 2t-t2, tC0,2.即 f(x)=2x x2, xC 0,2.(2)(配湊法)£ x2+x12 = x2+x12 2-2,1. f (x) = x22, xC 2, +8).(3)(待定系數(shù)法)因?yàn)閒 (x)是一次函數(shù),可設(shè) f (x) = ax+b(aw 0),3a(x+ 1)+ b -2a(x- 1)+ b = 2x+17.即 ax+(5a+b)=2x+ 17,a = 2,5a+b=17,解得a=

10、2, b=7.f (x)的解析式是 f (x) = 2x+7.(4)(消去法)當(dāng) xC (1,1)時(shí)，有 2f (x)-f (-x)=lg(x+ 1).以一x 代替 x 得，2f ( x)f (x)=lg(x+1).21由消去 f(x)得，f (x)=-lg(x+ 1) + -lg(1 x), 33xC (-1,1).思維升華函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系數(shù)法.(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù) f (g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)配湊法：由已知條件f (g(x)= F (x),可將F (x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替彳tg(

11、x),便得f(x)的解析式.(4)消去法：已知f (x)與f 1或f ( x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式 x組成方程組，通過(guò)解方程組求出f (x).1 x跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2020濟(jì)南月考)若£ -=不二工，則當(dāng)xW0,且xw1時(shí)，f (x)等于()1 A. x1B- x- 1C.六1 -x1D.-x答案 B1x 1 一斛析 f (x)="=7(xw 0 且 xw 1).1 x- 1、/1 _x(2)已知 f (x)是二次函數(shù)且 f (0) = 2, f(x+ 1)-f (x)=x1 ,則 f (x)=.答案2x2-3x+ 2解析 設(shè) f (x)=

12、ax2 + bx+ c(a 半 0),由 f(0) = 2,得 c=2,f(x+ 1) f(x)=a(x+1)2+b(x+1) + 2 ax2bx 2= x- 1,即 2ax+a+b= x 1,2a= 1,a+ b= 1,a=1, a 23b= 一 2-f (x) = 1x22x+2.,1(3)已知 f (x)滿足 2f (x) + f ； =3x1,求 f (x). x一，1解已知 2f (x)+f - =3x-1,x1 , ,一 ，I以1代替中的X(XW0),得X2f 1 +f (x)=3-1, xX3X 2，得 3f (x)=6x 31, x故 f (x)=2x 1；(xw0). x 3

13、分段函數(shù)命題點(diǎn)1求分段函數(shù)的函數(shù)值3x+1, x<2,2例2 (1)已知函數(shù)f (x)= 2+ax x>2 若f f 3 =6,則實(shí)數(shù)a的值為, f (2) .答案 5 -6解析由題意得，f 2 =32+1 = 3, 33所以 f f 2 =f (3)=9 + 3a= 6, 3所以 a=- 5, f (2) = 45X2 = 6.(2)已知 f (x)=2 '' 則 f (2) =.f x- 1 + 1, x>0,答案 3A兀解析 f (2) = f (1) + 1 = f (0) + 2= cos 2*0 +2= 1 + 2=3.命題點(diǎn)2分段函數(shù)與方程、不等

14、式問(wèn)題2x, xW0,1例3 設(shè)函數(shù)f(x)=1J 0 則使f(x)=2的x的集合為 答案 1, 孝1 . 一 解析由題意知，若xW0,則2x=2,解得x=1;11若 x>0,則 110g兇=1,解得 x= 22 或 x= 2 2.故所求x的集合為1, 中,孝.1 .本例中，則使f (x)>2的x的集合為 答案 x 1<x<g或x>或1 1解析當(dāng)xw 0時(shí)，由2x>2得一1<xw 0；當(dāng) x>0 時(shí)，由 110g2x|>1 得 0<x<g或 x>也.綜上，所求x的集合是x 1<x<2或x>42 .思維升華

15、(1)分段函數(shù)的求值問(wèn)題的解題思路 求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值, 切記要代入檢驗(yàn).(2)分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類(lèi)討論求解，最后將討論結(jié)果并起來(lái).x+1, x>0, 跟蹤訓(xùn)練2 (1)設(shè)函數(shù)f(x)= 1則f(f( 1) =乎 x<0, 答案 31 解析.f(-1)=214 =2, f (f (-1)=f(2)=3.2 x, x< 0, (2)(2018全國(guó)I改編)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f (x+1)<f(2x)的x的取值范圍是

16、1, x>0,答案 ( 8, 0)x+1 w 0_ ,_解析 方法一 當(dāng)即 xw1 時(shí)，f (x+1)<f (2x)即為 2(x+1)<2 2x,即(x+ 1)<2x<0,-2x,解得x<1.因此不等式的解集為(一8, - 1.x+1<0,當(dāng)時(shí)，不等式組無(wú)解.2x>0x+1>0,當(dāng)即1<xW0時(shí)，f(x+ 1)<f(2x)即1<2 2x,解得x<0.因此不等式的解集為( 1,0).2x<0,x+ 1>0,當(dāng)即x>0時(shí)，f(x+1)=1, f (2x)=1,不合題意.2x>0, 綜上，不等式f

17、(x+ 1)<f (2x)的解集為(一8, 0).2 x, x< 0,方法二.f(x) =1, x>0,函數(shù)f (x)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)x+1W0且2xW0時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x+1)<f (2x)轉(zhuǎn)化為x+1>2x.此時(shí)x< - 1.當(dāng) 2x<0 且 x+1>0 時(shí)，f(2x)>1, f (x+1)=1,滿足 f (x+1)<f (2x).此時(shí)1<x<0.綜上，不等式 f(x+ 1)<f (2x)的解集為(一8, -1U(-1,0) = (-oo? 0).求下列函數(shù)的定義域:第2課時(shí) 函數(shù)的定

18、義域與值域函數(shù)的定義域y=#+.1(3)y=1 一 一(4)y= ,=+ (2x 5)0.y iogo.5 x 2由2一|x|"x2 1 > 0,x< 1或 x> 1.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤xw 1或x>1且xwi2.25-x2>0,由 cosx>0,5< x< 5,得 兀 兀2k%-2<x<2kTt+ 2 kC Z .所以函數(shù)的定義域?yàn)橐?, 2兀u 2t，2 U 至 5 .x 12x>0,(3)要使函數(shù)有意義，必須xw 0,4 x2>0,解得2vx<0 或 1W x<2,，函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）

19、U 1,2）.由logo.5 x 2 >0,2x5W02vx<3,得 5 xw2， 55.函數(shù)的定義域?yàn)?, 2 U 5, 3 .思維升華（1）給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域的依據(jù)是使解析式有意義，如分式的分母不等于零，偶次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，零指數(shù)哥的底數(shù)不為零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零且底數(shù) 為不等于1的正數(shù)以及三角函數(shù)的定義域等.（2）求函數(shù)的定義域往往歸結(jié)為解不等式組的問(wèn)題.在解不等式組時(shí)要細(xì)心，取交集時(shí)可借助 數(shù)軸，并且要注意端點(diǎn)值或邊界值.函數(shù)的值域例1 （2019長(zhǎng)沙月考）求下列函數(shù)的值域:(1)y = x2-2x+3, xC 0,3);(2)y=2x+ 1x 3(3)

20、y=2x4x 1;(4) y = x+ 1 + 也1.解 (1)(配方法)y=x2-2x+ 3=(x- 1)2+2, 由 xC 0,3), 再結(jié)合函數(shù)的圖象（如圖所示），可得函數(shù)的值域?yàn)?,6）.(2)(分離常數(shù)法)y=等，=2xx 33+ 7 = 2十六， X3 X3X3顯然 0,，yw2. x 3故函數(shù)的值域?yàn)?00, 2) U (2, + 8).(3)(換元法)設(shè) i=!X1,則 x=t2+1,且 t>0,c1 15.y=2(t2+1)-t=2 t4 2+學(xué)由t>0,再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)?85, +8函數(shù)的定義域?yàn)?, +8),= y=由+ 1與v=

21、x 1在1, + 8)上均為增函數(shù)，y=1 +1x 1在1 , + °°)上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)X=1時(shí)，ymin= -72,即函數(shù)的值域?yàn)榇?, + 8).結(jié)合本例（4）求函數(shù)y = yjx+ 1 yjx 1的值域.解函數(shù)的定義域?yàn)?, 十°°）, 片g-g R "1由本例(4)知函數(shù)y =1 + 小1的值域?yàn)槿?+ 00),1 -1x+ 1 +，x- 122.0<g+G M ，函數(shù)的值域?yàn)椋?,取.思維升華求函數(shù)值域的一般方法 分離常數(shù)法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）單調(diào)性法；（6）換元法；（7）數(shù)形結(jié)合 法；（8

22、）導(dǎo)數(shù)法.跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的值域:(1)y=1 x21 + x2'(2)y = x+ 441 x;2x2-x+11(3)y='丁 x>2.一 、一1 x22斛(1)方法一y= 1 + x2= - 1 +1 + 產(chǎn)2因?yàn)?x2>0,所以 x2+1>1,所以 0<：2W2.所以一1< 1 +，W1.1 + x2即函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1.1 x2c萬(wàn)法二由丫=市2,得* =i-y1 + y.因?yàn)閤2>0,所以3>0.1 + y所以一1<yW1,即函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?,1.(2)設(shè)1=/?, t>0,則 x= 1-t2,所以原函數(shù)

23、可化為y=1-t2+4t=- (t-2)2+5(t>0), 所以y<5, 所以原函數(shù)的值域?yàn)椋ㄒ?, 5,2x2-x+ 1 x 2x- 1 + 12x 11= x-2+7+? i因?yàn)閤>；1,即1所以x-2+x= 上乎時(shí)取等=2X 2，12當(dāng)且僅當(dāng)x-1= 21所以y>V2+2,即原函數(shù)的值域?yàn)槔?1, +8 .定義域與值域的應(yīng)用 例2 (1)(2020廣州模擬)若函數(shù)f (x)=qax2 + abx+b的定義域?yàn)閤|1WxW 2,則a+b的值為,9答案2解析 函數(shù)f(x)的定義域是不等式 ax2+abx+bn0的解集.不等式 ax2+abx+b>0的解集為x|1

24、<x< 2,a<0,_3所以a+ab+b=0, 解得a 2'4a+2ab+b= 0,b=3，所以 a+b=-2-3=9.(2)已知函數(shù)y= Rx2+ ax1+2a的值域?yàn)?,十),求a的取值范圍.解 令 t= g(x)=x2+ax- 1+2a,要使函數(shù) y=#的值域?yàn)?, +°°),則說(shuō)明0, + oo)? y|y = g(x),即二次函數(shù)的判別式 A>0,即 a2-4(2a-1)>0,即 a2-8a+4>0,解得 a>4+2/3 或 aw 4 2y3,，a 的取值范圍是a|a>4+2艱或 aw 4 2/3.思維升華

25、已知函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)問(wèn)題.可通過(guò)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合函數(shù)的圖象、性質(zhì)、轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程、不等式(組)，然后求解.跟蹤訓(xùn)練2 若函數(shù)f (x) = /ax 2 021在2 021,)上有意義，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為答案1 , +00 )解析 由于函數(shù)f (x)=1ax2 021在2 021 , + 00)上有意義，即ax2 021 >0在2 021 ,十)上恒成立 即a2021在2 021 , 十 )上恒成立 而 0<2四 xx< 1,故 a>1.1(2)已知函數(shù)f (x) = 2(x1)2+1的定義域與值域都是1, b(b>1),則實(shí)數(shù)b=.答案 31解析 f (x)= 2(x- 1)2+ 1, xC1, b且 b>1,一1c則 f (1)=1, f (b)=11(b1)2+1,. f (x)在1, b上為增函數(shù),函數(shù)值域?yàn)?, 2 b 1 2 + 11由已知得