全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀

1、全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀IP講座講稿東北師范大學(xué) 李淑文第二講 標(biāo)準(zhǔn)的基本理念與核心概念標(biāo)準(zhǔn)的理念是構(gòu)建整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的基石，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和理解從它的基本理念開(kāi)始。一、標(biāo)準(zhǔn)的基本理念1、對(duì)數(shù)學(xué)課程的認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)指出：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”這一提法反映了義務(wù)教育階段面向全體學(xué)生，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的基本精神，代表著一種新的數(shù)學(xué)課程理念和實(shí)踐體系。（1）人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)是指作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)，應(yīng)滿足學(xué)生未來(lái)社會(huì)生活的需要，能適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的要求，并有益于啟迪思維、開(kāi)發(fā)智力。就內(nèi)容來(lái)講“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”應(yīng)包括基本的數(shù)學(xué)的概念與運(yùn)算，

2、空間與圖形的初步知識(shí)，與信息處理、數(shù)據(jù)處理有關(guān)的統(tǒng)計(jì)與概率初步知識(shí)等第，還包括在理解與掌握這些內(nèi)容的過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)概念和能力，如數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、推理能力和應(yīng)用意識(shí)等等。（2）人人都獲得必需的數(shù)學(xué)是指“有價(jià)值”的數(shù)學(xué)應(yīng)該、也能夠?yàn)槊恳粋€(gè)學(xué)生所掌握。它意味著標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的內(nèi)容及教學(xué)要求是最基本的，是每一個(gè)普及義務(wù)教育的地區(qū)、每一個(gè)智力正常的兒童，在教師的引導(dǎo)和學(xué)生自身的努力下，人人都能夠獲得成功體驗(yàn)的。（3）不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展是指數(shù)學(xué)課程要面對(duì)每一個(gè)有差異的個(gè)體，適應(yīng)每一個(gè)學(xué)生的不同發(fā)展需要。因此，數(shù)學(xué)課程涉及的領(lǐng)域應(yīng)該是廣泛的，這些領(lǐng)域里既有可供學(xué)生思考

3、、探究和具體動(dòng)手操作的題材，也接觸、了解、鉆研自己感興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最大限度地滿足每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)需要，最大限度地開(kāi)啟每一個(gè)學(xué)生的智慧潛能，為有特殊才能和愛(ài)好的學(xué)生提供更廣闊的活動(dòng)領(lǐng)域和更多的發(fā)展機(jī)會(huì)。2、對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅是一門知識(shí)，更是人類實(shí)踐活動(dòng)創(chuàng)造的產(chǎn)物，是有諸多元素構(gòu)成的多元結(jié)構(gòu)；社會(huì)與文化不僅推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)數(shù)學(xué)也是推動(dòng)社會(huì)與文化發(fā)展的關(guān)鍵性因素；對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不僅要從數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點(diǎn)中去領(lǐng)悟，更要從數(shù)學(xué)活動(dòng)的親身實(shí)踐中去體驗(yàn)；因此，標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有采取簡(jiǎn)單定義的方法，而是從數(shù)學(xué)與人類社會(huì)生活、數(shù)學(xué)與人類文化等方面指出，數(shù)學(xué)是人類生活的工具；數(shù)學(xué)是人類用于交流的語(yǔ)言；數(shù)學(xué)

4、能賦予人創(chuàng)造性；數(shù)學(xué)是一種人類文化等。（1）標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)充分體現(xiàn)人類生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系；（2）標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)也要作為一種人類活動(dòng)來(lái)對(duì)待。3、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)（1）數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容不僅要包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還要包括這些結(jié)果的形成過(guò)程；（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。4、對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)（1）數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要關(guān)注學(xué)生的個(gè)人知識(shí)和直接經(jīng)驗(yàn)；（2）教師的角色要作相應(yīng)改變。5、對(duì)數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)的認(rèn)識(shí)（1）要把過(guò)程納入評(píng)價(jià)的視野；（2）拓展多樣化的評(píng)價(jià)目標(biāo)和方法；（3）促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)。6、對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課程中的作用的認(rèn)識(shí)（1）樹(shù)立數(shù)學(xué)課程與

5、現(xiàn)代信息技術(shù)融合的觀念；（2）現(xiàn)代信息技術(shù)要致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。二、標(biāo)準(zhǔn)的核心概念1、數(shù)感標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”。并且在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)階段都闡述了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的問(wèn)題，明確地把數(shù)感作為學(xué)習(xí)內(nèi)容提出來(lái)?？梢?jiàn)，重視數(shù)感、強(qiáng)調(diào)使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立數(shù)感，是標(biāo)準(zhǔn)中一個(gè)值得重視的問(wèn)題。（1）對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí) 數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問(wèn)題作出有用的策略。在人們的學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐中經(jīng)常要和各種各樣的數(shù)打交道，人們常常會(huì)有意識(shí)地將一些現(xiàn)象與數(shù)量建立起聯(lián)系如走進(jìn)一個(gè)

6、會(huì)場(chǎng)，在我們面前的是2個(gè)集合，一個(gè)是會(huì)場(chǎng)的座位，一個(gè)是出席的人，有人會(huì)自然地將這2個(gè)集合作一下估計(jì)，不用計(jì)數(shù)，就可以知道這2個(gè)集合是否相等，哪個(gè)集合大一些，這就是一種數(shù)感。在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指，使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運(yùn)算，有能力進(jìn)行計(jì)算，并具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缧乃?、筆算、使用計(jì)算器）實(shí)施計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)；能依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推論，并對(duì)數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)建立數(shù)感可以理解為會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考。我們沒(méi)有必要讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個(gè)公民都在一定程度上會(huì)數(shù)學(xué)地思考。美國(guó)學(xué)者格勞斯（Grouws）認(rèn)為，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考就是形成

7、數(shù)學(xué)化和抽象化的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行預(yù)測(cè)的能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。具有數(shù)感的人，常常將有關(guān)問(wèn)題與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用數(shù)學(xué)的方式思考問(wèn)題。數(shù)感強(qiáng)的人眼中看到的世界，可能與其他人不同，遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問(wèn)題時(shí)，能自然地、有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理和解釋。因此，數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)。數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。它是建立明確的數(shù)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立聯(lián)系的橋梁。（2）標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)感的涵義 標(biāo)準(zhǔn)在關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的說(shuō)明中，描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示

8、數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋”這是對(duì)數(shù)感的具體描述，是義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的主要內(nèi)容。 理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。在義務(wù)教育階段學(xué)生要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)等數(shù)概念這些概念本身是抽象的，需要為學(xué)生提供充分的可感知的現(xiàn)實(shí)背景，才能使學(xué)生真正理解。學(xué)生能將這些數(shù)概念與它們所表示的實(shí)際含義建立起聯(lián)系，了解數(shù)概念的實(shí)際含義，是理解數(shù)的標(biāo)志，也是建立數(shù)感的表現(xiàn) 用多種方法表達(dá)數(shù)既是理解數(shù)概念的需要，也使學(xué)生了解數(shù)的發(fā)展過(guò)程抽象的數(shù)字符號(hào)不是表示數(shù)的唯一方式，人們可以用不同的方式

9、表示數(shù)。人類早期對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是從實(shí)物、代替物、圖像，逐漸發(fā)展為數(shù)字符號(hào)的，學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)也有一個(gè)由具體到抽象的過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表示數(shù)，會(huì)使學(xué)生切實(shí)了解數(shù)的發(fā)展過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感如通過(guò)數(shù)學(xué)故事向?qū)W生介紹古代人們用“結(jié)繩記數(shù)”等方式表示數(shù)，用算籌進(jìn)行計(jì)算等 在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，不僅是理解數(shù)概念的需要，同時(shí)也會(huì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)的實(shí)際意義的理解如標(biāo)準(zhǔn)中列舉的例子，對(duì)于“50，98，38，10，51”這些數(shù)，能用大一些、小一些、大得多、小得多等語(yǔ)言描述它們之間的大小關(guān)系，并用“>”或“<”表示它們的大小關(guān)系分?jǐn)?shù)和有理數(shù)的大小更是具有相對(duì)性，在具體的情境中，學(xué)生才會(huì)深入地理解它

10、們1/3這個(gè)數(shù)，對(duì)于不同的整體所代表的實(shí)際大小是不同的一個(gè)蘋果的1/3是1/3個(gè)蘋果，一筐蘋果的1/3可能是10個(gè)蘋果。讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息會(huì)使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，也是數(shù)感的具體表現(xiàn)觀察身邊的事物，有哪些是用數(shù)字描述的，有哪些可以用數(shù)或數(shù)碼來(lái)描述學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，?duì)運(yùn)算結(jié)果的合理性作出解釋，也是形成數(shù)感的具體表現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于解決問(wèn)題，運(yùn)算是解決問(wèn)題的工具，學(xué)生遇到具體問(wèn)題時(shí)首先要想到用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題，選擇什么算法解決，然后再算出具體的結(jié)果同樣一個(gè)問(wèn)題可以用不同的方法解決，同樣一個(gè)算式，也可以有不同的計(jì)算方法有些問(wèn)題的解法是唯一的，有些問(wèn)題可能會(huì)有多種

11、不同的解法為學(xué)生適當(dāng)提供一些開(kāi)放式的問(wèn)題，有助于這種意識(shí)和能力的培養(yǎng)（3）數(shù)感在數(shù)學(xué)教育中的作用標(biāo)準(zhǔn)將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感作為一個(gè)重要的目標(biāo)，在不同學(xué)段中都有明確的要求，這是數(shù)學(xué)課程改革的需要，也符合義務(wù)教育階段學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大多數(shù)學(xué)生將來(lái)不會(huì)成為數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)工作者，但每一個(gè)學(xué)生都應(yīng)建立一定的數(shù)感，這對(duì)他們將來(lái)的生活和工作都是有價(jià)值的。中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的目的在于使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)感的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中起著重要的作用數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要為

12、每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展著想，適應(yīng)每一個(gè)人的需要作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不只是用計(jì)算能力的高低和解決書本問(wèn)題能力的大小來(lái)衡量學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實(shí)際問(wèn)題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中看出數(shù)學(xué)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志一個(gè)小學(xué)或初中畢業(yè)生，學(xué)習(xí)了那么多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但不會(huì)估計(jì)一個(gè)學(xué)校操場(chǎng)大約有多大，不知道如何用最恰當(dāng)?shù)姆绞较騽e人說(shuō)明自己所在的位置，不能在需要的時(shí)候用數(shù)學(xué)的方式解釋某些現(xiàn)象這能說(shuō)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高嗎？這樣的數(shù)學(xué)教育能說(shuō)是成功的數(shù)學(xué)教育嗎？注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，正是針對(duì)以往的數(shù)學(xué)教育過(guò)分強(qiáng)調(diào)單一的知識(shí)與技能訓(xùn)練，忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用這種傾向提出來(lái)的。數(shù)感的建立

13、也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的需要。學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)接觸和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，表達(dá)自己對(duì)問(wèn)題的看法，用不同的方式思考和解決問(wèn)題，這無(wú)疑會(huì)有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。數(shù)感的培養(yǎng)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)地理解和解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)社會(huì)、認(rèn)識(shí)自然和日常生活的工具學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，另一方面是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法認(rèn)識(shí)周圍事物和發(fā)現(xiàn)客觀世界的規(guī)律，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法自覺(jué)地、有意識(shí)地觀察、認(rèn)識(shí)和理解周圍的事物，處理有關(guān)的問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系建立起聯(lián)系例如，一個(gè)學(xué)校有500人，如果所有的學(xué)生都在學(xué)校用午飯，每次都用一

14、次性筷子，估計(jì)一下一年要用多少雙這樣的筷子？這大約需要多少棵普通的樹(shù)？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中逐步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地理解和認(rèn)識(shí)事物。數(shù)感的培養(yǎng)有利于學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提高。解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)關(guān)鍵是在具體的問(wèn)題情境中讓學(xué)生去探索、去發(fā)現(xiàn)，解決一個(gè)問(wèn)題可能需要一種以上的策略，不只是簡(jiǎn)單地套用公式解固定的模式化的問(wèn)題要使學(xué)生學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問(wèn)題，從一個(gè)復(fù)雜的情境中提出問(wèn)題，找出數(shù)學(xué)模型，就需要具備一定的數(shù)感學(xué)會(huì)將一個(gè)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種思維的方式，與一般的解決書本上現(xiàn)成問(wèn)題的思維方式有著明顯的差異學(xué)生要在遇到具體問(wèn)題時(shí)，自覺(jué)地、主動(dòng)地與一定的數(shù)

15、學(xué)知識(shí)和技能建立起聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型具備一定的數(shù)感是完成這類任務(wù)的重要條件例如，怎樣為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)？這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，沒(méi)有固定的解法，你可以用不同的方式編，而不同的編排方案可能在實(shí)用性和便捷性上是不同的，如何從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，或很快地知道這名運(yùn)動(dòng)員是參加哪類項(xiàng)目等。（4）注重在教學(xué)過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)感 學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體驗(yàn)和建立起來(lái)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，把數(shù)感的培養(yǎng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中 在數(shù)概念教學(xué)中重視數(shù)感的培養(yǎng)。數(shù)概念的切實(shí)體驗(yàn)和理解與數(shù)感密切相關(guān)，數(shù)概

16、念本身是抽象的，數(shù)概念的建立不是一次完成的，學(xué)生理解和掌握數(shù)概念要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)的過(guò)程中，更多地接觸和經(jīng)歷有關(guān)的情境和實(shí)例，在現(xiàn)實(shí)背景下感受和體驗(yàn)，會(huì)使學(xué)生更具體、更深刻地把握數(shù)概念，建立數(shù)感。標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)，“要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過(guò)觀察、操作、解決問(wèn)題等豐富的活動(dòng)，感受數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)用來(lái)表示和交流的作用，初步建立數(shù)感”（第一學(xué)段）在認(rèn)識(shí)數(shù)的過(guò)程中，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己身邊的數(shù)，生活中用到的數(shù)，如何用數(shù)表示周圍的事物等，會(huì)使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在自己身邊，運(yùn)用數(shù)可以簡(jiǎn)單明了地表示許多現(xiàn)象說(shuō)一說(shuō)自己的學(xué)號(hào)，自己家所在的街道號(hào)碼，住宅的門牌（或單元）號(hào)碼，汽車和自行車牌的號(hào)碼

17、；估計(jì)一頁(yè)書有多少字，一本故事書有多少字，一把黃豆有多少粒等對(duì)這些具體數(shù)量的感知與體驗(yàn)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)的意義會(huì)有很大的幫助。標(biāo)準(zhǔn)中在不同學(xué)段都對(duì)學(xué)生數(shù)概念的建立提出具體的目標(biāo)，“結(jié)合現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)”（第一、二學(xué)段），“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示一些日常生活中的問(wèn)題”（第二學(xué)段），“理解有理數(shù)的意義和運(yùn)算”，“能對(duì)含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷”（第三學(xué)段）。有效地組織這些內(nèi)容的教學(xué)，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)如，認(rèn)識(shí)大數(shù)目時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會(huì)大數(shù)的情境，了解大數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)的意義，建立數(shù)感國(guó)慶游行時(shí)的

18、一個(gè)方隊(duì)的人數(shù)，體育場(chǎng)一面的看臺(tái)上能坐多少人？學(xué)校操場(chǎng)能容納多少人？通過(guò)這樣一些具體的情境，會(huì)使學(xué)生切實(shí)感受到大數(shù)在學(xué)生頭腦中一旦形成對(duì)大數(shù)的理解，就會(huì)有意識(shí)地運(yùn)用它們理解和認(rèn)識(shí)有關(guān)的問(wèn)題，逐步強(qiáng)化數(shù)感在第三學(xué)段，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，數(shù)的認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)大，可以逐步呈現(xiàn)較復(fù)雜的情境，讓學(xué)生作解釋和判斷如存款利率，國(guó)民生產(chǎn)總值，生產(chǎn)成本與價(jià)格等問(wèn)題的探索和研究。在數(shù)的運(yùn)算中加強(qiáng)數(shù)感的培養(yǎng)對(duì)運(yùn)算方法的判斷，運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)，都與學(xué)生的數(shù)感有密切的聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)中提出，“應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計(jì)算和程式化地?cái)⑹鏊憷肀苊鈱⑦\(yùn)算與應(yīng)用割裂開(kāi)來(lái)”（第一、二學(xué)段）“使學(xué)生

19、經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型、估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過(guò)程”，“能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍，了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念”（第三學(xué)段）等目標(biāo)和要求。這些都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的需要。結(jié)合具體的問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ǎ瑫?huì)增強(qiáng)對(duì)運(yùn)算實(shí)際意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。學(xué)習(xí)運(yùn)算是為了解決問(wèn)題，不是單純地為了計(jì)算而計(jì)算，為了解題而解題以往的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生運(yùn)算技能的訓(xùn)練，簡(jiǎn)單地重復(fù)練習(xí)沒(méi)有意義的題目，學(xué)生不僅感到枯燥無(wú)味，而且不了解為什么要計(jì)算，為什么一定要用固定的方法計(jì)算一個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)不同的方法找到答案，一個(gè)算式也可以用不同方式確定結(jié)果用什么方式更合適，得到的結(jié)果是否合理，與問(wèn)題的實(shí)際

20、背景有直接關(guān)系解決問(wèn)題，并不是只用一種方法找到答案，也不是只有一個(gè)唯一的答案學(xué)生在探索實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，會(huì)切實(shí)了解計(jì)算的意義和如何運(yùn)用計(jì)算的結(jié)果 隨著學(xué)生的年齡增長(zhǎng)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)、形及實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)涵的關(guān)系和規(guī)律，初步掌握一些有效地表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的工具，會(huì)進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感把數(shù)感的建立與數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用結(jié)合起來(lái)，與符號(hào)感的建立和初步的數(shù)學(xué)模型的建立結(jié)合起來(lái)，將有助學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高估計(jì)方程的解。首先畫出函數(shù)的圖象（下圖），可以看出方程的兩個(gè)根分別在-4.5與-4之間和2與2.5之間。以正根為例，可以先把，2.3，2.4代入，用計(jì)算器計(jì)算出函數(shù)值

21、，然后把結(jié)果填入表中：x2.22.32.4y-0.76-0.110.56根據(jù)第一步計(jì)算結(jié)果，方程的正根在23與24之間。如果結(jié)果只要求一位小數(shù)的話，近似解取23即可。 如果精確度要求較高，可以繼續(xù)把=2.31，2.32，2.33等代入。x2.32.3y-0.04390.0224根據(jù)第二步計(jì)算結(jié)果，方程的正根在2.31與2.32之間。如果結(jié)果只要求兩位小數(shù)的話，近似解取2.32即可。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感應(yīng)當(dāng)成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一，標(biāo)準(zhǔn)中確定這方面的目標(biāo)與要求，在實(shí)際教學(xué)中需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地設(shè)計(jì)具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)感的評(píng)價(jià)方式，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的建立

22、和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高2、符號(hào)感用符號(hào)進(jìn)行表示是社會(huì)文明得以發(fā)展的最強(qiáng)有力的工具之一，數(shù)學(xué)課程的任務(wù)就是使學(xué)生感受和擁有這種能力，掌握和運(yùn)用這個(gè)工具標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科和課程的特點(diǎn)，把在解決問(wèn)題過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的“符號(hào)感”作為義務(wù)教育階段的一個(gè)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。（1）符號(hào)感的含義符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，是人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理、交流和解決問(wèn)題的工具。學(xué)校數(shù)學(xué)教育的目的之一是要使學(xué)生懂得符號(hào)的意義、會(huì)運(yùn)用符號(hào)解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感，并指出：“符號(hào)感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示；理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)

23、換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問(wèn)題”例如，在解決“一張桌子最多可以圍坐6人，15人至少需要多少?gòu)堊雷樱俊? # # # # # # # # # # # # # # #· 能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律并用符號(hào)表示引進(jìn)字母表示，是用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“代數(shù)開(kāi)始的典型特征是文字演算字母作為數(shù)學(xué)符號(hào)有2種作用。首先，字母可作為專用名詞，如是個(gè)完全確定的數(shù)，或用A表示2直線交點(diǎn)。顯然特定集合需要使用標(biāo)準(zhǔn)的專用名詞，如Z，N。其次，字母可作為不確定的名詞，就像日常生活中的人，可以表示所有的人?！庇梅?hào)來(lái)表示具體情境中

24、的數(shù)量關(guān)系，也像普通的語(yǔ)言一樣，首先需要引進(jìn)基本的字母在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，像數(shù)字以及表示數(shù)的字母，表示運(yùn)算的符號(hào)和表示關(guān)系的符號(hào)等等，是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基礎(chǔ)。從第二學(xué)段開(kāi)始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)的重要一步。從研究一個(gè)個(gè)特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，初學(xué)時(shí)學(xué)生往往會(huì)感到困難，有些學(xué)生是形式主義地死記硬背，而不理解其意義因此，要盡可能從實(shí)際問(wèn)題中引入，使學(xué)生感受到字母表示數(shù)的意義。用字母表示運(yùn)算法則、運(yùn)算律以及計(jì)算公式。這種一般化是基于算法的，常常開(kāi)始于小學(xué)算術(shù)中數(shù)的運(yùn)算。算法的一般化，深化和發(fā)展了對(duì)數(shù)的運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。如加法交換律；乘法結(jié)合律；完全平方公式（）

25、。代數(shù)中用字母表示數(shù)，把人們對(duì)數(shù)的知識(shí)上升到更一般化的水平，使得算術(shù)中關(guān)于數(shù)的理論有了一般化、普遍化的意義，這是從算術(shù)向代數(shù)抽象的一個(gè)飛躍用符號(hào)表示數(shù)也是學(xué)生學(xué)習(xí)一般化、形式化地認(rèn)識(shí)和表示研究對(duì)象的開(kāi)始。用字母可以表示現(xiàn)實(shí)世界和各門學(xué)科中的各種數(shù)量關(guān)系例如，勻速運(yùn)動(dòng)中的速度v、時(shí)間 t和路程s的關(guān)系：s=vt等等。用字母表示數(shù)，便于從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并確切地表示出來(lái)，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題。例如，我們用字母表示實(shí)際問(wèn)題中的未知量，利用問(wèn)題中的數(shù)量相等關(guān)系列出方程；我們用字母（例如x，y）表示某一變化過(guò)程中相關(guān)的2個(gè)變量，利用問(wèn)題條件給出的變量間的相互關(guān)系，列出函數(shù)表

26、達(dá)式等等。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)所說(shuō)的“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示”的意義在于這種表示常常開(kāi)始于探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后用代數(shù)式一般化地將它們表示出來(lái)。例如：把火柴棒象下圖那樣拼成正方形。那么，正方形的個(gè)數(shù)n和火柴棒的根數(shù)具有怎樣的關(guān)系？ 改變火柴棒的擺放方法，作成別的圖形（如下圖），圖形的個(gè)數(shù)n與火柴棒的根數(shù)具有怎樣的關(guān)系？ 從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示，是將問(wèn)題進(jìn)行一般化的過(guò)程。一般化超越了具體實(shí)際問(wèn)題的情景，深刻地揭示和指明存在于一類問(wèn)題中的共性和普遍性，把認(rèn)識(shí)和推理提到一個(gè)更高的水平。一般化和符號(hào)化對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)思考是本質(zhì)的，一般化是每一個(gè)人都要經(jīng)歷

27、的過(guò)程。 · 理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中能夠理解符號(hào)表示的意義并能解釋代數(shù)式的意義。 如代數(shù)式6p可以表示什么？學(xué)生可以解釋為：如果p表示正六邊形的邊長(zhǎng)，6p可以表示正六邊形的周長(zhǎng)；如果p表示一本書的價(jià)格，6p可以表示6本書的價(jià)格；6p也可以表示一張光盤的價(jià)格是一本書的價(jià)格的6倍；如果一條長(zhǎng)凳可以坐6個(gè)小朋友，6p表示p條長(zhǎng)凳可以坐6p個(gè)小朋友等。用關(guān)系式、表格、圖像表示變量之間的關(guān)系。如制成一個(gè)盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的問(wèn)題： 用一張正方形的紙，利用在它的4個(gè)角分別剪去一個(gè)小正方形的方法制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體，怎樣才能使制成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積最大？ 假設(shè)用邊長(zhǎng)為2

28、0的正方形紙，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)依次為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10時(shí)，折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積將如何變化？ 用表格表示（見(jiàn)表1）：正方形的邊長(zhǎng)12345長(zhǎng)方體的容積324 512588576500正方形的邊長(zhǎng)678910長(zhǎng)方體的容積384252128300表1通過(guò)表1，我們看到當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)為3時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積最大。我們把表1在小正方形的邊長(zhǎng)取2.5到3.5之間進(jìn)行細(xì)化，得到表2： 正方形的邊長(zhǎng)2.5 33.5長(zhǎng)方體的容積 562.5588591.5表2這時(shí)得到當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)為3.5時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積最大。我們還可以把表2在小正方形的邊長(zhǎng)取3到3.5之間進(jìn)行細(xì)化?？傊?，我

29、們可以根據(jù)所要達(dá)到的精確度繼續(xù)上述過(guò)程，直到滿意為止。用代數(shù)式表示： 仍設(shè)這張正方形紙的邊長(zhǎng)為a，所折無(wú)蓋長(zhǎng)方體的高為h，則無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積v與h的關(guān)系是：。會(huì)用符號(hào)進(jìn)行表示，也就是會(huì)把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用符號(hào)表示出來(lái)，這個(gè)過(guò)程叫做符號(hào)化符號(hào)化的問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，隨后就是進(jìn)行符號(hào)運(yùn)用和推理，最后得到結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)建模的思想事實(shí)上，我們所熟悉的方程和函數(shù)都是某種問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。能從關(guān)系式、表格、圖像所表示的變量之間的關(guān)系中獲取所需信息。表3是我國(guó)從1949年到1999年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（精確到0.01億）： 時(shí)間（年）194919591969197919891999人口（億）5.426.728.079.7511.0712.59表3表3中的數(shù)據(jù)表示了哪2個(gè)量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)一下我國(guó)2009年人口的總數(shù)，并說(shuō)明為什么。學(xué)生不僅要能獲得1949年到1999年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，而且要能分析每隔10年人口變化的趨勢(shì)，從而初步地作出一些預(yù)測(cè)。 · 會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換 這里所說(shuō)的符號(hào)間