中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的認識、實踐與思考

1、中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的認識、實踐與思考江蘇省贛榆縣羅陽中學(xué) 邵長亮【摘 要】 本文首先依據(jù)有關(guān)文獻界定了數(shù)學(xué)實驗的概念和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的內(nèi)涵，結(jié)合具體實例指出了中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的六個環(huán)節(jié)：情境創(chuàng)設(shè)、確定主題和研究步驟、探索性試驗、發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想、猜想的論證與數(shù)學(xué)化、分享與交流，分析了各個環(huán)節(jié)在整個實驗教學(xué)中的作用、主要目的和基本特征。在此基礎(chǔ)上，以勾股定理的探索為例系統(tǒng)地實踐了中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，最后提出了在中學(xué)開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)存在的困惑和思考?！娟P(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)實驗 數(shù)學(xué)實驗教學(xué) 1 引言長期以來的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念認為：數(shù)學(xué)是一種具有嚴謹系統(tǒng)的演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)活動是高度抽象的思維活動，即使需要實驗，

2、也只不過是紙上談兵式的所謂的“思想實驗”（歐拉稱之為“準實驗”）。但著名的數(shù)學(xué)教育學(xué)家G波利亞指出：創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學(xué)?！? 美 G波利亞.怎樣解題M，閻育蘇譯.北京：科學(xué)出版社，1982.1977年阿沛爾和黑肯成功地利用計算機解決了“四色問題”，對數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了巨大影響；20世紀70年代末，我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生從中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)機械化思想出發(fā)，創(chuàng)立了幾何定理機器證明的“吳方法”，實現(xiàn)了利用計算機進行推理證明的突破。2 王樹禾.數(shù)學(xué)思想史M.北京：國防工業(yè)出版社，2001.正是由于這一成果的出現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)實驗從大學(xué)和科研機構(gòu)的“深閨”走了出來，走進了中學(xué)數(shù)學(xué)的

3、課堂，并逐漸引起重視。2 數(shù)學(xué)實驗概念的界定和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的內(nèi)涵2.1 數(shù)學(xué)實驗概念的界定根據(jù)物理實驗、化學(xué)實驗等科學(xué)實驗的定義，并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，我們采用曹一鳴先生對數(shù)學(xué)實驗的概念界定：為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗?zāi)撤N數(shù)學(xué)思想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動的積極參與下，在特定的實驗環(huán)境中所進行的探索、研究活動。3 曹一鳴.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式探究J.課程教材教法，2003（1）：46.過去在數(shù)學(xué)教學(xué)中所運用的測量、手工制作、實物或教具演示等形式屬于數(shù)學(xué)實驗的初級形式，其主要目的在于幫助學(xué)生理解和把握數(shù)學(xué)概念、定理，如利用直尺和三角尺畫平行線探索直線平行的條件（如

4、下圖）。而現(xiàn)代數(shù)學(xué)實驗則以計算機軟件為應(yīng)用平臺，充分運用現(xiàn)代信息技術(shù)，模擬實驗環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、實踐、試驗來探索數(shù)學(xué)問題的解決，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力及創(chuàng)新精神為主要目的。2.2 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的內(nèi)涵數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式，通常由教師或?qū)W生自己提出明確的教學(xué)情境，教師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)，依靠一定的實驗工具讓學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)、探究，進而獲得相關(guān)的過程體驗、情感體驗，開發(fā)學(xué)生的潛能。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式強調(diào)學(xué)生的實踐與活動，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也符合數(shù)學(xué)新課程標準的要求，能夠從根本上解決知識經(jīng)濟時代對人才的需求與數(shù)學(xué)教育中忽視創(chuàng)造性能力培養(yǎng)之間的矛盾，與當(dāng)前社會對數(shù)學(xué)教育的要求相一致。3 數(shù)

5、學(xué)實驗教學(xué)模式的主要環(huán)節(jié)及各環(huán)節(jié)的主要目的和基本特征數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式主要包括以下六個環(huán)節(jié)：情境創(chuàng)設(shè)、確定主題和研究步驟、探索性試驗、發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想、猜想的論證與數(shù)學(xué)化、交流與分享。筆者結(jié)合一則高中解析幾何教學(xué)案例軌跡對上述六個環(huán)節(jié)加以分析說明，案例使用的軟件平臺是幾何畫板。3.1 情境創(chuàng)設(shè)從實際問題或數(shù)學(xué)問題出發(fā)進行情境創(chuàng)設(shè)是實驗教學(xué)的前提和條件，主要目的是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維場景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。這一環(huán)節(jié)以使學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生沖突、產(chǎn)生心理上的學(xué)習(xí)需要為基本特征。4 駱魁敏.高中數(shù)學(xué)虛擬實驗探究式教學(xué)模式J.現(xiàn)代教育技術(shù)，2003；13（3）：55-57.軌跡案例采用了利用數(shù)學(xué)

6、問題創(chuàng)設(shè)情境的方法，教師一開始就提出了問題（1）：過定點與定圓相切的動圓的圓心軌跡是什么？3.2 確定主題和研究步驟這一階段是情境創(chuàng)設(shè)階段的延伸和擴展，目的在于明確研究的方向并制定相應(yīng)的實施步驟，以使學(xué)生明晰研究目的要求為基本特征。學(xué)生經(jīng)過簡單討論后認為：定點位置可能位于圓內(nèi)、圓上，也可能位于圓外；相切可以是內(nèi)切，也可以是外切，從而確定應(yīng)對定點位置、相切類型進行分類組合討論。（由于軟件平臺無法對圖像進行分割處理，故將3.3、3.4、3.5三部分的案例集中于3.5后）3.3 探索性試驗探索性試驗是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的主題和核心，以使學(xué)生主動參與相應(yīng)實驗，獲得與所研究問題相關(guān)的數(shù)據(jù)并清晰描述為主要目

7、的和基本特征。3.4 發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想這一環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的高潮，是實驗?zāi)芊癯晒Φ年P(guān)鍵所在，主要目的是使學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗的操作、觀察、分析，獲得新的信息。它以充分體現(xiàn)學(xué)生的合情推理能力為基本特征。5 殷紅，李忠海.中學(xué)數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)模式探討J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001；10（3）：75.3.5 猜想的論證與數(shù)學(xué)化猜想的論證與數(shù)學(xué)化是得到正確結(jié)論、完成數(shù)學(xué)實驗的關(guān)鍵步驟，目的在于讓學(xué)生在教師必要的指導(dǎo)下嚴格論證猜想或舉反例否定猜想，從而得到可信的數(shù)學(xué)結(jié)論。這一階段以學(xué)生能夠表現(xiàn)求是的學(xué)習(xí)態(tài)度和嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰橹饕卣?。（案例部分）學(xué)生自己操作點B在圓A內(nèi)部、外部、圓上，進行實驗、觀察。（圖

8、1）觀察結(jié)論1：從數(shù)據(jù)和紅色的軌跡看出，點在圓內(nèi)部時是橢圓。（圖2）觀察結(jié)論2：從數(shù)據(jù)和演示的軌跡看，當(dāng)動圓P過點B與圓A內(nèi)切時，是雙曲線的右支，當(dāng)動圓P過點B與圓A外切時，是雙曲線的左支。這是很美妙和對稱結(jié)論。（圖3，圖4）結(jié)論3：當(dāng)點在圓上時，動圓圓心軌跡是兩條射線。（圖略）教師接著提出問題（2）：同時與兩定圓相切的動圓圓心軌跡是什么？此問題的實驗多樣性比問題（1）更加復(fù)雜，即兩定圓的位置以及相切的類型更多。由于學(xué)生對問題（1）得實驗探討取得初步成功，這個問題極大刺激學(xué)生探討結(jié)論的好奇心，以及觀察數(shù)學(xué)實驗的注意力。學(xué)生進入另一個數(shù)學(xué)實驗：結(jié)論4：兩圓外離時，動圓同時外切或同時內(nèi)切 的圓心軌

9、跡是條雙曲線；（圖8，圖9）一個內(nèi)切，另一個外切時，動圓圓心軌跡也是一條雙曲線，但是兩條雙曲線不同（圖6，圖7）（圖9）學(xué)生繼續(xù)進行實驗，觀察由外離外切相交內(nèi)含同心圓軌跡的變化情況（圖10）：問題3：同時與一定圓和一定直線相切的動圓圓心軌跡是什么？ 教師不作任何解釋，學(xué)生自行操作課件做實驗： （圖13） （圖14） 在學(xué)生實驗觀察的基礎(chǔ)上，教師要求：對于第一個實驗，從橢圓與雙曲線以及射線的定義，將軌跡形成的原理寫出來；對于第二個實驗，根據(jù)定義說明為什么是雙曲線；對于第三個實驗，寫出看到的一種情形的軌跡的形成原因。3.6 交流與分享交流與分享是數(shù)學(xué)實驗過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，主要目的是讓學(xué)生進行包

10、括師生交流、同學(xué)交流、人機交流等多種形式的思想、方法、過程交流和成果展示，以學(xué)生的思維得到碰撞、認知和情感得到提升為主要特征。實驗結(jié)束后，教師要求學(xué)生將實驗結(jié)果的理論推理過程形成實驗報告，以文本方式或以電子郵件等方式上交。需要強調(diào)的是：上述六個環(huán)節(jié)并不是各自獨立的，它們是一個有機整體的不同組成部分，分別有著不同的功能和重要性，是斷不能將它們截然分開的。4 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的實踐探索筆者以楊裕前、董林偉主編的義務(wù)教育課程標準教材八年級數(shù)學(xué)（江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版）第二章第一節(jié)勾股定理為例，選用有張景中院士主持開發(fā)的Z+Z智能教育平臺為軟件平臺，對中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式進行了實踐。本節(jié)課的教學(xué)目標為

11、：1.經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識和主動探究的習(xí)慣，進一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系.2.探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單推理的意識及能力.教學(xué)重點和難點是勾股定理的實驗發(fā)現(xiàn)。（1）情境創(chuàng)設(shè) 多媒體展示北京ICM2002（北京2002年國際數(shù)學(xué)家大會）相關(guān)資料和希臘畢達哥拉斯誕辰紀念郵票（如右圖）：引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么我國主辦的國際數(shù)學(xué)家大會要選定這個圖形作為會徽呢？這個圖形是不是有什么特別之處呢？郵票中的三個正方形為什么以黑白方塊表現(xiàn)呢？它又為什么以直角三角形的三條邊為自身的邊呢？（2）確定研究主題和步驟 由創(chuàng)設(shè)

12、的情境確定研究主題是直角三角形三邊所構(gòu)成的三個正方形的面積關(guān)系，進而探索直角三角形三邊的關(guān)系，當(dāng)以“面積出入想補”的思想采取“割”或“補”的方法，利用Z+Z智能教育平臺的網(wǎng)格整點功能和數(shù)據(jù)統(tǒng)計功能進行研究。6 李傳中，左傳波.超級畫板范例教程M.北京：科學(xué)出版社，2004（3）探索性試驗 筆者給出了如下圖所示的基本框架，其中直角三角形的三個頂點可以在網(wǎng)格整點上變動，但始終保持為直角三角形。學(xué)生在基本框架的基礎(chǔ)上采用“割”、“補”不同的方法進行試驗，軟件的數(shù)據(jù)統(tǒng)計功自動將三個正方形的面積記錄到統(tǒng)計表格中。筆者作為一個合作者、咨詢者，積極參與到學(xué)生的實驗中去，學(xué)生在“割”與“補”兩種方法上都取得了

13、突破（由于軟件將網(wǎng)格整點作為背景顯示，無法作為圖片拷貝，故上圖所采用的是屏幕截圖，以下的圖形中，將直接使用軟件前景的拷貝圖片，而省略了其中其余部分，包括網(wǎng)格整點）（4）發(fā)現(xiàn)規(guī)律并提出猜想 通過實驗觀察和數(shù)據(jù)統(tǒng)計，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)三個正方形面積之間的關(guān)系，聯(lián)想到正方形的面積計算公式，猜想：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（5）猜想的論證和數(shù)學(xué)化 鼓勵學(xué)生使用多種方法嚴格地證明勾股定理，同時強調(diào)嚴格論證對于數(shù)學(xué)命題成立的重要性。（6）交流與分享 利用校園網(wǎng)的BBS平臺交流自己的思想方法、探索過程、實驗成果和心得體會，并上交實驗報告或小論文。筆者作為交流對象之一為學(xué)生提供合作和咨詢，引導(dǎo)學(xué)生充

14、分發(fā)揮創(chuàng)造力，繼續(xù)深入挖掘勾股定理的內(nèi)涵。經(jīng)過本次實驗，學(xué)生對勾股定理的理解掌握超出了其他未進行實驗的學(xué)生，同時學(xué)生也加深了對“面積出入相補”這一思想方法的理解，這使得他們在隨后進行的單元過關(guān)測試中取得了優(yōu)異成績。但是，這次實驗也對學(xué)生產(chǎn)生了一些負向遷移，這一點將在5.5中詳細說明。5 在中學(xué)開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的困惑與思考5.1 如何處理數(shù)學(xué)實驗用時較多與中學(xué)數(shù)學(xué)課時偏少之間的矛盾？中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多、學(xué)時相對較少，為完成教學(xué)計劃以及應(yīng)付備受社會關(guān)注的中考、高考，時間就顯得異常寶貴。數(shù)學(xué)實驗不僅在于對知識本身的探求，還在于知識的應(yīng)用，因此歷時較長。一方面數(shù)學(xué)實驗需要教師事先開發(fā)出適合學(xué)生進行實驗

15、操作的半成品課件，另一方面也需要對學(xué)生進行一些方法和操作上的指導(dǎo)，這就與現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了十分明顯的矛盾，這個矛盾在應(yīng)如何解決呢？5.2 哪些內(nèi)容適宜開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)？中學(xué)的數(shù)學(xué)知識是歷史上經(jīng)歷了數(shù)百年乃至上千年探索結(jié)果的匯編，顯然不可能逐一讓學(xué)生去體驗、探索、發(fā)現(xiàn)。那么，應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標準篩選開展實驗教學(xué)的內(nèi)容呢？有調(diào)查顯示代數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何是進行數(shù)學(xué)實驗最多的內(nèi)容，它們占中學(xué)數(shù)學(xué)實驗的67.57%，同時70%左右進行數(shù)學(xué)實驗的教師將數(shù)學(xué)實驗用來“激發(fā)興趣”和“客體感知”，而對“概念形成”、“結(jié)論推理”和“復(fù)習(xí)鞏固”進行實驗的則微乎其微。但事實上，中學(xué)生對數(shù)

16、學(xué)知識的理解很大的障礙在恰恰在于上述三個方面。因此，我們應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標準選擇進行數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容仍是我們面臨的難題。5.3 選擇軟件平臺依據(jù)什么標準？現(xiàn)今適宜用作中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)軟件平臺的專門軟件很多，主要的有以下幾種：國內(nèi)中學(xué)教師較早接觸和使用的是幾何畫板，它幾乎涵蓋了整個中學(xué)數(shù)學(xué)課程的全部內(nèi)容，操作也較為簡單，本文的軌跡案例就是由這個軟件進行實驗的；由中國科學(xué)院張景中院士主持開發(fā)的Z+Z智能教育平臺融合了幾何畫板的優(yōu)勢，所不同的是它“是為中國基礎(chǔ)教育改革量身定做的”（張景中語），其中“超級”的含義是軟件所提供的各種功能可以像在超級市場購物一樣進行隨意的組合，加之其所具有的自動化推理功能使得它

17、的應(yīng)用前景非常廣闊，如上述勾股定理案例就是利用這個軟件進行試驗的；由美國Wolfram研究所開發(fā)的Mathematica雖然初衷是為大學(xué)和科研機構(gòu)服務(wù)，但它良好的表現(xiàn)使得它的在中學(xué)數(shù)學(xué)實驗中的應(yīng)用前景也比較樂觀。筆者對比三個軟件后認為：在平面幾何、解析幾何、立體幾何等方面，Z+Z智能教育平臺和幾何畫板以其應(yīng)用方便、表現(xiàn)形式多樣而具有明顯優(yōu)勢；而Mathematica在處理函數(shù)等代數(shù)問題方面則技高一籌，如：利用下面的命令組就可以方便地生成如圖所示的正弦函數(shù)的圖像，而這比用Z+Z智能教育平臺或幾何畫板生成同樣圖像的操作簡單得多。a=PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio-Auto

18、matic,AxesLabel-x,y,Ticks-Pi/2,Pi,(3Pi)/2,2Pi,-1,1,PlotPoints-500,DisplayFunction-Identity; b1=GraphicsDashing0.02,LinePi/2,0,Pi/2,1; b2=GraphicsDashing0.02,Line0,1,Pi/2,1; c1=GraphicsDashing0.02,Line3Pi/2,0, 3Pi/2,-1; c2=GraphicsDashing0.02,Line0,-1,3Pi/2,-1; d=GraphicsText0,-0.2,-0.2; e1=GraphicsRGBColor1,1,1,Disk0,0,0.05; f1=GraphicsCircle0,0,0.06; e2=GraphicsRGBColor1,1,1,Disk2Pi,0,0.05; f2=GraphicsCircle2Pi,0,0.06; Showa,b1,b2,c1,c2,d,e1,f1,e2,f2,DisplayFunction-$DisplayFunction;此外，還有諸如不依賴于計算機設(shè)備單獨使用、內(nèi)置了計算機代數(shù)系統(tǒng)和幾何畫板全部內(nèi)容的TI圖形計算器（美國德州儀器公司開發(fā)）等，這些軟件或設(shè)備各有特色和長處，我們在開展實驗教學(xué)時應(yīng)當(dāng)依據(jù)什么標準進行軟件平臺的選