數(shù)學(xué)文化及其應(yīng)用(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)文化及其應(yīng)用北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院教授張順燕數(shù)學(xué)既不嚴(yán)峻，也不遙遠(yuǎn)，它既和所有的人類活動有關(guān)，又對每一個(gè)真正感興趣的人有益。RCBuck數(shù)學(xué)的傳奇就是攀登智慧之山的傳奇。JNKapur詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣。出乎其外，故有高致。王國維數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。由于實(shí)際的需要，數(shù)學(xué)在古代就產(chǎn)生了，現(xiàn)在已發(fā)展成一個(gè)分支眾多的龐大系統(tǒng)。數(shù)學(xué)與其他科學(xué)一樣，反映了客觀世界的規(guī)律，并成為理解自然、改造自然的有力武器。對任何一門科學(xué)的理解，單有這門科學(xué)的具體知識是不夠的，那怕你

2、對這門科學(xué)的知識掌握得足夠豐富，還需要對這門學(xué)科的整體有正確的觀點(diǎn)，需要了解這門學(xué)科的本質(zhì)。我們的目的就是從歷史的、哲學(xué)的和文化的高度給出關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的一般概念。今從以下幾個(gè)方面來談這個(gè)問題。一、數(shù)學(xué)與美中國古代著名哲學(xué)家莊子說：“判天地之美，析萬物之理。”日本物理學(xué)家，諾貝爾獎得主湯川秀樹把這兩句話印在他的書的扉頁上，作為現(xiàn)代物理的指導(dǎo)思想及最高美學(xué)原則。這兩句話也是我們學(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想和最高美學(xué)原則。通過本講座，我們將展現(xiàn)數(shù)學(xué)精神的魅力，闡述數(shù)學(xué)推理之妙諦。但數(shù)學(xué)之美的面紗是慢慢揭開的，數(shù)學(xué)推理的妙諦是逐漸展現(xiàn)的。這涉及到科學(xué)與藝術(shù)的關(guān)系，而藝術(shù)與科學(xué)的聯(lián)系是天然的。實(shí)際上，一切科

3、學(xué)、哲學(xué)、數(shù)學(xué)和藝術(shù)的研究對象不外乎，天大宇宙；地，自然界及其中一切動植物中宇宙；人最精密、最完善的小宇宙。既然科學(xué)和藝術(shù)的研究對象是相同的，所以它們必然是相輔相成的兩個(gè)領(lǐng)域。著名物理學(xué)家李政道說得好：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的，正像一枚硬幣的兩面。它們共同的基礎(chǔ)是人類的創(chuàng)造力，它們追求的目標(biāo)都是真理的普遍性?！表槺阒赋?，數(shù)學(xué)本身就是美學(xué)的四大構(gòu)件之一。這四大構(gòu)件是，史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué)。因而數(shù)學(xué)教育是審美素質(zhì)教育的一部分。數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)是，從混沌中找出秩序，使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，將復(fù)雜還原為基本。所有這些都是美的標(biāo)志。但長期以來，我們忽視對數(shù)學(xué)的美的教育。講述數(shù)學(xué)之美有利于培養(yǎng)鑒

4、賞力。值得注意的是，在歷史上，重大課題的選擇與結(jié)果的評價(jià)，美學(xué)價(jià)值是一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)。例如，正電子的猜想便是狄拉克從數(shù)學(xué)對稱美的角度大膽預(yù)言出來的。他唯一的根據(jù)就是從電子運(yùn)動的方程得出正負(fù)兩個(gè)解。幾年之后，這個(gè)預(yù)言得到了物理學(xué)家的證實(shí)。狄拉克后來說：“理論物理學(xué)家把數(shù)學(xué)美的要求當(dāng)作信仰的行為，它沒有什么使人非信不可的理由，但過去已經(jīng)證明了這是有益的目標(biāo)?！睘槭裁窗衙揽吹眠@樣重要？因?yàn)槿祟惖纳媸前凑彰赖脑瓌t來構(gòu)建世界的。發(fā)現(xiàn)美、認(rèn)識美和運(yùn)用美，這是人類生存的要求。反過來，美又是人類進(jìn)步的動力。追求美的實(shí)質(zhì)就是追求自然界的數(shù)學(xué)美。人類一步一步地揭示自然界的數(shù)學(xué)規(guī)律，人類就越了解我們所處的宇宙的美。

5、希臘箴言說，美是真理的光輝。因而追求美就是追求真。英國詩人濟(jì)慈寫道：美就是真，真就是美這就是你所知道的，和你應(yīng)該知道的。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說：“數(shù)學(xué)家的美感猶如一個(gè)篩子，沒有它的人永遠(yuǎn)成不了數(shù)學(xué)家。”可見，數(shù)學(xué)美感和審美能力是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。那么，什么是美呢？美有兩條標(biāo)準(zhǔn)：一、一切絕妙的美都顯示出奇異的均衡關(guān)系（培根），二、“美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧?！保êＩぃ?。這是科學(xué)和藝術(shù)共同追求的東西。希爾伯特說：“我們無比熱愛的科學(xué)把我們團(tuán)結(jié)在一起。它像一座鮮花盛開的花園展現(xiàn)在我們眼前。在這個(gè)花園熟悉的小道上，你可以悠閑地觀賞，盡情地享受，不需費(fèi)多大力氣，與心領(lǐng)神會的

6、伙伴一起更是如此。但我們更喜歡尋找幽隱的小道，發(fā)現(xiàn)許多意想不到的令人愉快的美景；當(dāng)其中一條小道向我們顯示出這一美景時(shí)，我們會共同欣賞它，我們的歡樂也達(dá)到盡善盡美的境地。”對美的追求起源于古代。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，在相同張力作用下的弦，當(dāng)它們的長度成簡單的整數(shù)比時(shí)，饗曳齙納秈鵠詞嗆托車摹腔謖庵秩鮮叮洗鋦繢寡啥雋艘袈傘潮闃賦觶夜詮糯慘醞姆絞餃范艘袈傘饈僑死嗟諞淮穩(wěn)妨絲衫斫獾畝饔朊樂淶哪讜諏擔(dān)僑死嗬飛弦桓穌嬲卮蟮姆幀俚耐蠐幸劍蛩固溝鬧誓蘢還劍仁敲潰質(zhì)欽妗?/P> 數(shù)學(xué)的美表現(xiàn)在什么地方呢？表現(xiàn)在簡單、對稱、完備、統(tǒng)一和諧和奇異。為什么我們這樣重視美？并把它作為數(shù)學(xué)發(fā)展的動力與價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要因素

7、呢？因?yàn)槿藗兂３：鲆曀Ｈ藗冎恢匾晫?shí)用方面、科學(xué)方面，而對于審美情趣、智力挑戰(zhàn)、心靈的愉悅諸方面，要么不予承認(rèn)，即使承認(rèn)，也認(rèn)為只不過是次要的因素。但事實(shí)上，實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和哲學(xué)的因素共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成。把這些作出貢獻(xiàn)、產(chǎn)生影響的因素除去任何一個(gè)，或抬高一個(gè)而貶低另一個(gè)都是違反數(shù)學(xué)發(fā)展史的。二、數(shù)學(xué)是什么給數(shù)學(xué)下定義是一個(gè)困難的問題。對任何事物下定義都遇到同樣的困難。因?yàn)楹茈y在一個(gè)定義中把事物的一切重要屬性都概括進(jìn)去?？紤]全面性與歷史發(fā)展，我們給數(shù)學(xué)下兩個(gè)定義。數(shù)學(xué)是數(shù)和形的學(xué)問。數(shù)學(xué)是一棵參天大樹。它的根深深地扎在我們的現(xiàn)實(shí)世界。它有兩個(gè)主干，一曰形幾何，一曰數(shù)代數(shù)。這棵樹是如此之

8、古老，它已有上萬年的歷史；這棵樹是如此之長新，它年年都在發(fā)新枝；這棵樹是如此之繁茂，它已深入到自然科學(xué)與社會科學(xué)的一切領(lǐng)域；這棵樹是如此之奇特，它同根異干，同干異枝，同枝異葉，同葉異花，同花異果。如果我們一輩子只停留在一個(gè)枝上，或只見一朵花，我們將永遠(yuǎn)見不到數(shù)學(xué)的多采和多姿。見不到數(shù)學(xué)整體的宏偉和諧調(diào)。我們先看數(shù)學(xué)大樹的兩大主干：幾何與代數(shù)。幾何：空間形式的科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺能力，培養(yǎng)洞察力；代數(shù)：數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理能力。記住，認(rèn)不清幾何與代數(shù)的基本特征，就是基本上沒有學(xué)懂它們。特別要注意到，這兩者相輔相成。沒有直覺就沒有發(fā)明，沒有邏輯就沒有證明。借助直覺

9、發(fā)明的命題，要借助邏輯加以證明。龐加萊說：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條路能引導(dǎo)我們達(dá)到目的地。為此必須從遠(yuǎn)處了望目標(biāo)，而數(shù)學(xué)教導(dǎo)我們，了望的本領(lǐng)是直覺。”英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞說：“幾何直覺乃是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)。”遺憾的是，在通常的數(shù)學(xué)教學(xué)中只講邏輯而很少講直覺。如果只研究數(shù)與形，那是靜態(tài)的，屬于常量數(shù)學(xué)的范圍。所以只研究數(shù)與形是不夠的，必須研究大小與形狀是如何改變的。這就產(chǎn)生了微積分。它的延伸是，無窮級數(shù)，微分方程，微分幾何等。那么，什么是數(shù)學(xué)呢？19世紀(jì)恩格斯給數(shù)學(xué)下了這樣的定義：“數(shù)學(xué)是關(guān)于空間形式

10、和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。”恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)的定義是經(jīng)典的，概括了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展，即使在目前也概括了數(shù)學(xué)的絕大部分。但是在19世紀(jì)末，數(shù)理邏輯誕生了。在數(shù)理邏輯中既沒有數(shù)也沒有形，很難歸入恩格斯的定義。于是人們又考慮數(shù)學(xué)的新定義數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和秩序的科學(xué)。我們生活在一個(gè)由諸多模式組成的世界中：春有花開，夏有驚雷，秋收冬藏，一年四季往復(fù)循環(huán)；球形的雨從云中飄落；繁星夜夜周而復(fù)始地從天空中劃過；世界上沒有兩片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人類的心智和文化為模式的識別、分類和利用建立了一套規(guī)范化的思想體系，它就是數(shù)學(xué)。通過數(shù)學(xué)建立模式可以使知識條理化，并揭示自然界的奧秘。模式和秩序的科學(xué)都是數(shù)學(xué)嗎

11、？物理學(xué)，力學(xué)似乎也符合這個(gè)定義，所以需要作出某些界定。物理學(xué)的基本元素：基本粒子。生物學(xué)的基本元素：細(xì)胞。數(shù)學(xué)呢？數(shù)，形，機(jī)會，算法與變化。數(shù)學(xué)的處理對象分成三組：數(shù)據(jù)，測量，觀察資料；推斷，演繹，證明：自然現(xiàn)象，人類行為，社會系統(tǒng)的各種模式。數(shù)學(xué)提供了有特色的思考方式：抽象化：選出為許多不同的現(xiàn)象所共有的性質(zhì)來進(jìn)行專門研究：符號化：把自然語言擴(kuò)充，深化，而變?yōu)榫o湊，簡明的符號語言。這是自然科學(xué)公有的思考方式，以數(shù)學(xué)為最。公理化：從前提，從數(shù)據(jù)，從圖形，從不完全和不一致的原始資料進(jìn)行推理。歸納與演繹并用。最優(yōu)化：考察所有的可能性，從中尋求最優(yōu)解。建立模型：對現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象進(jìn)行分析。從中找出數(shù)量關(guān)系

12、，并化為數(shù)學(xué)問題。應(yīng)用這些思考方式的經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成數(shù)學(xué)能力。這是當(dāng)今信息時(shí)代越來越重要的一種智力。它使人們能批判地閱讀，辨別謬誤，擺脫偏見，估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。數(shù)學(xué)能使我們更好地了解我們生活于其中的充滿信息的世界。三、數(shù)學(xué)的內(nèi)容大致說來，數(shù)學(xué)分為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)兩大部分。初等數(shù)學(xué)中主要包含兩部分：幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)。幾何學(xué)是研究空間形式的學(xué)科，而代數(shù)學(xué)則是研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。初等數(shù)學(xué)基本上是常量的數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)含有非常豐富的內(nèi)容，以大學(xué)本科所學(xué)為限，它主要包含：解析幾何：用代數(shù)方法研究幾何，其中平面解析幾何部分內(nèi)容已放到中學(xué)。線性代數(shù)：研究如何解線性方法組及有關(guān)的問題。高等代數(shù)：研究方程式的求根問題。微積分：研

13、究變速運(yùn)動及曲邊形的求積問題。作為微積分的延伸，物理類各系還要講授常微分方程與偏微分方程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：研究隨機(jī)現(xiàn)象，依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推理。所有這些學(xué)科構(gòu)成高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，在此基礎(chǔ)上建立了高等數(shù)學(xué)的宏偉大廈。四、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)區(qū)分于其它學(xué)科的明顯特點(diǎn)有三個(gè)：第一是它的抽象性，第二是它的精確性，第三是它的應(yīng)用的極端廣泛性。從中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中讀者已經(jīng)體會到數(shù)學(xué)的抽象性了。數(shù)本身就是一個(gè)抽象概念，幾何中的直線也是一個(gè)抽象概念，全部數(shù)學(xué)的概念都具有這一特征。整數(shù)的概念，幾何圖形的概念都屬于最原始的數(shù)學(xué)概念。在原始概念的基礎(chǔ)上又形成有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、微分、積分、維空間以至無窮維空間這樣

14、一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有這些抽象度更高的概念，都有非?，F(xiàn)實(shí)的背景。不過，抽象不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的特性，任何一門科學(xué)都具有這一特性。因此，單是數(shù)學(xué)概念的抽象性還不足以說盡數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于：第一，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的一般抽象；第三，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中。如果自然科學(xué)家為了證明自己的論斷常常求助于實(shí)驗(yàn)，那么數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計(jì)算。這就是說，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的、思辨的，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的、思辨的。數(shù)學(xué)的精

15、確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑與無可爭辯性。這點(diǎn)讀者從中學(xué)數(shù)學(xué)就已很好的懂得了。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性不是絕對的，一成不變的，而是相對的，發(fā)展著的，這正體現(xiàn)了人類認(rèn)識逐漸深化的過程。數(shù)學(xué)應(yīng)用的極其廣泛性也是它的特點(diǎn)之一。正像已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是出現(xiàn)”量”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量的關(guān)系，量的變化，量的變化關(guān)系，量的關(guān)系的變化等現(xiàn)象都少不了數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)之為用貫穿到一切科學(xué)部門的深處，而成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準(zhǔn)確地刻畫出客觀事物的變化，更不能由已知數(shù)

16、據(jù)推出其它數(shù)據(jù)，因而就減少了科學(xué)預(yù)見的可能性，或減弱了科學(xué)預(yù)見的精確度。五、關(guān)于中等教育為了為二十一世紀(jì)為我國培養(yǎng)一大批杰出的科學(xué)家，中學(xué)數(shù)學(xué)教育起著關(guān)鍵的作用。以下幾點(diǎn)應(yīng)當(dāng)受到注意：1將應(yīng)試教育轉(zhuǎn)為素養(yǎng)教育。要培養(yǎng)學(xué)生善于思考，有獨(dú)創(chuàng)精神，而不只是常于記憶，巧于應(yīng)考。這對我們民族的長遠(yuǎn)利益是極關(guān)重要的。2中學(xué)數(shù)學(xué)教育的中心應(yīng)實(shí)現(xiàn)三個(gè)轉(zhuǎn)變：從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，發(fā)展符號意識；從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變；從直觀描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變，建立嚴(yán)密的邏輯思維意識。3向?qū)W生提供數(shù)學(xué)主流的核心部分，為微積分，統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)作好準(zhǔn)備。4計(jì)算機(jī)教育應(yīng)盡早進(jìn)行。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)必將改變中等教育的方式與內(nèi)容。首

17、先，建立在計(jì)算機(jī)與人腦思維相結(jié)合之上的新教學(xué)法，將有利于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，理解力，以及數(shù)學(xué)直觀。其次，離散數(shù)學(xué)、圖論、進(jìn)位制系統(tǒng)、算法與函數(shù)迭代的部分內(nèi)容也將進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)?？茖W(xué)和技術(shù)已經(jīng)達(dá)到影響人類生活的所有方面的地步，數(shù)學(xué)也就成為教育議事日程上極其重要的問題。數(shù)學(xué)是科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)在決定國家的各級人才的實(shí)力方面起著日益重要的作用。六、數(shù)學(xué)與人類文明王國維在人間詞話中說：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣。出乎其外，故有高致。”只知入乎其內(nèi)，那是見木不見林，常常會迷失方向。所以還要輔助以出乎其外，站出來作高瞻遠(yuǎn)矚。不站出

18、來，就不知道數(shù)學(xué)的根在何處，不知道自己研究的最終目的與最終方向是什么。不站出來，就看不到數(shù)學(xué)與別的學(xué)科的密切聯(lián)系與相互影響。不站出來，就看不到數(shù)學(xué)對人類文明的巨大貢獻(xiàn)。整個(gè)人類文明的歷史就像長江的波浪一樣，一浪高過一浪，滾滾向前?？茖W(xué)巨人們站在時(shí)代的潮頭，以他們的勇氣、智慧和勤奮把人類的文明從一個(gè)高潮推向另一個(gè)高潮。我們認(rèn)為，整個(gè)人類文明可以分為三個(gè)鮮明的層次：（1）以鋤頭為代表的農(nóng)耕文明；（2）以大機(jī)器流水線作業(yè)為代表的工業(yè)文明；（3）以計(jì)算機(jī)為代表的信息文明。數(shù)學(xué)在這三個(gè)文明中都是深層次的動力。其作用一次比一次明顯。數(shù)學(xué)在人類文明中一直是一種主要的文化力量。它不僅在科學(xué)推理中具有重要的價(jià)值

19、，在科學(xué)研究中起著核心的作用，在工程設(shè)計(jì)中必不可少。而且，數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容和研究方法，摧毀和構(gòu)造了諸多宗教教義，為政治學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了依據(jù)，塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)。數(shù)學(xué)為我們回答人與宇宙的根本關(guān)系的問題提供了最好的答案。作為理性的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，并取而代之，成為其思想和行動的指南。這里，還需要指出，數(shù)學(xué)文化包含兩個(gè)方面。一是作為人類文化子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，它自身的發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律，以及它自身的結(jié)構(gòu)；一是它與其它文化的關(guān)系，與整個(gè)人類文明的關(guān)系。今天報(bào)告希望兼顧兩個(gè)方面，但重點(diǎn)放在第二個(gè)方面。我們必須認(rèn)識到，數(shù)學(xué)對

20、人類文化的影響有這樣一些特點(diǎn)：由小到大，由弱到強(qiáng)，由少到多，由隱到顯，由自然科學(xué)到社會科學(xué)。簡而言之，今天我們要唱一曲數(shù)學(xué)的贊歌，贊美數(shù)學(xué)思想的博大精深，贊美由數(shù)學(xué)文化引出的理性精神，以及在理性精神的指導(dǎo)下，人類文明的蓬勃發(fā)展。1古希臘的數(shù)學(xué)。古希臘人最了不起的貢獻(xiàn)是，他們認(rèn)識到，數(shù)學(xué)在人類文明中的基礎(chǔ)作用。這可以用畢達(dá)哥拉斯的一句話來概括：自然數(shù)是萬物之母。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)學(xué)的目的是企圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理。他們對周圍世界作了周密的觀察，發(fā)現(xiàn)了數(shù)與幾何圖形的關(guān)系，數(shù)與音樂的和諧，他們還發(fā)現(xiàn)數(shù)與天體的運(yùn)行都有密切關(guān)系。他們把整個(gè)學(xué)習(xí)過程分成四大部分：（1）數(shù)的絕對理論算術(shù)；

21、（2）靜止的量幾何；（3）運(yùn)動的量天文；（4）數(shù)的應(yīng)用音樂。合起來稱為四藝。他們得到結(jié)論：自然數(shù)是萬物之母。宇宙中的一切現(xiàn)象都以某種方式依賴于整數(shù)。但是當(dāng)他們利用畢達(dá)哥拉斯定理發(fā)現(xiàn)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比，即，不是有理數(shù)時(shí)，受到了極大的震動。這就爆發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第一次危機(jī)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑，它的產(chǎn)生與克服都具有重要的意義。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，當(dāng)時(shí)希臘的數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展到這樣的階段：證明進(jìn)入了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)已由經(jīng)驗(yàn)科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué)。中國，埃及，巴比倫，印度等國的數(shù)學(xué)沒有經(jīng)歷這樣的危機(jī)，因而一直停留在實(shí)驗(yàn)科學(xué)，即算術(shù)的階段。希臘則走上了完全不同的道路，形成了歐幾里得的”幾何原本”與亞里士

22、多得的邏輯體系，而成為現(xiàn)代科學(xué)的始祖。2歐幾里得的“幾何原本”。歐幾里得(Euclid，約公元前330前275)的“幾何原本”的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的里程碑。從它剛問世起就受到人們的高度重視。在西方世界除了“圣經(jīng)”以外沒有其它著作的作用、研究、印行之廣泛能與“幾何原本”相比。自1482年第一個(gè)印刷本出版以后，至今已有一千多種版本。在我國，明朝時(shí)期意大利傳教士利瑪竇與我國的徐光啟合譯前6卷，于1607年出版。中譯本書名為“幾何原本”。徐光啟曾對這部著作給以高度評價(jià)。他說：“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。

23、有三至三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之至難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已?！薄皫缀卧尽钡膫魅雽ξ覈鴶?shù)學(xué)界影響頗大。歐幾里得的“幾何原本”稱為數(shù)學(xué)家的圣經(jīng)，在數(shù)學(xué)史，乃至人類科學(xué)史上具有無與倫比的崇高地位。它在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是什么呢？（1）成功地將零散的數(shù)學(xué)理論編為一個(gè)從基本假定到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。（2）對命題作了公理化演繹。從定義，公理，公設(shè)出發(fā)建立了幾何學(xué)的邏輯體系，成為其后所有數(shù)學(xué)的范本。（3）幾個(gè)世紀(jì)以來，已成為訓(xùn)練邏輯推理的最有力的教育手段。（4）演繹的思考首先出現(xiàn)在幾何學(xué)中，而不是在

24、代數(shù)學(xué)中，使幾何具有更加重要的地位。這種狀態(tài)一直保持到笛卡兒解析幾何的誕生。我們還應(yīng)當(dāng)注意到，它的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了數(shù)學(xué)以外，而對整個(gè)人類文明都帶來了巨大影響。它對人類的貢獻(xiàn)不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一種理性精神。人類的任何其它創(chuàng)造都不可能像歐幾里德的幾百條證明那樣，顯示出這么多的知識都僅僅是靠幾條公理推導(dǎo)出來的。這些大量深奧的演繹結(jié)果使得希臘人和以后的文明了解到理性的力量，從而增強(qiáng)了他們利用這種才能獲得成功的信心。受到這一成就的鼓舞，人們把理性運(yùn)用于其它領(lǐng)域。神學(xué)家、邏輯學(xué)家、哲學(xué)家、政治家、和所有真理的追求者都紛紛仿效歐幾里德的模式，來建立他們自己的理論。此外

25、歐氏幾何的重要性還表現(xiàn)在它的美學(xué)價(jià)值。隨著幾何學(xué)美妙結(jié)構(gòu)和精確推理的發(fā)展，數(shù)學(xué)變成了一門藝術(shù)。3希臘文化小結(jié)。古希臘的文化大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。古希臘數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論。他們所關(guān)心的并不是這些成果的實(shí)用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象推理，激發(fā)人們對理想與美的追求。因此，這個(gè)時(shí)代產(chǎn)生了后世很難超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑與雕刻。那位斷臂美人米洛的維納斯(公元前4世紀(jì))是那個(gè)時(shí)代最好的代表，是至善至美象征。正是由于數(shù)學(xué)文化的發(fā)展，使得希臘社會具有現(xiàn)代社會的一切胚胎。希臘文化給人類文明留下了什么樣的珍貴遺產(chǎn)呢？它留給后人四件寶。第一，它留給我

26、們一個(gè)堅(jiān)強(qiáng)的信念：自然數(shù)是萬物之母，即宇宙規(guī)律的核心是數(shù)學(xué)。這個(gè)信念鼓舞人們將宇宙間一切現(xiàn)象的終極原因找出來，并將它數(shù)量化。第二，它孕育了一種理性精神，這種精神現(xiàn)在已經(jīng)滲透的人類知識的一切領(lǐng)域。第三，它給出一個(gè)樣板歐幾里得幾何。這個(gè)樣板的光輝照亮了人類文化的每個(gè)角落。第四，它研究了圓錐曲線，為日后天文學(xué)的研究奠定了基礎(chǔ)。但是，令人痛惜的是，羅馬士兵一刀殺死了阿基米德這個(gè)科學(xué)巨人。這就宣布了一個(gè)光輝時(shí)代的結(jié)束。懷特海對此評論道：“阿基米德死于羅馬士兵之手是世界巨變的象征。務(wù)實(shí)的羅馬人取代了愛好理論的希臘人，領(lǐng)導(dǎo)了歐洲羅馬人是一個(gè)偉大的民族。但是受到了這樣的批評：講求實(shí)效，而無建樹。他們沒有改進(jìn)祖

27、先的知識，他們的進(jìn)步只限于工程上的技術(shù)細(xì)節(jié)。他們沒有夢想，得不出新觀點(diǎn)，因而不能對自然的力量得到新的控制。”此后是千余年的停滯。4歐幾里得幾何的影響。歐幾里得幾何是推理的典范，其特點(diǎn)是，以簡馭繁，以少勝多。這本書成為后人模仿的樣板。我們來舉幾個(gè)典型的例子。阿基米德不是通過用重物作實(shí)驗(yàn)，而是按歐幾里得的方式，從“相等的重物在離支點(diǎn)相等距離處處于平衡”這一公設(shè)出發(fā)證明了杠桿定律。牛頓稱著名的三定律為“公理或運(yùn)動定律”。從三定律和萬有引力定律出發(fā)，建立了他的力學(xué)體系。他的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理具有歐幾里得式的結(jié)構(gòu)。在馬爾薩斯1789年的人口論中，我們可以找到另一個(gè)例子。馬爾薩斯接受了歐幾里得的演繹模型。

28、他把下面兩個(gè)公設(shè)作為他的人口學(xué)的出發(fā)點(diǎn)：人需要食品；人需要繁衍后代。他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型簡潔，有說服力，對各國的人口政策有巨大影響。令人驚奇的是，歐幾里得的模式還推廣到了政治學(xué)。美國的獨(dú)立宣言是一個(gè)著名的例子。獨(dú)立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的。美國第三任總統(tǒng)杰斐遜(17431826)是這個(gè)宣言的主要起草人。他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正性和合理性深信不疑。”我們認(rèn)為這些真理是不證自明的”不僅所有的直角都相等，而且”所有的人生來都平等”。這些自明的真理包括，如果任何一屆政府不服從這些先決條件，那么”人民就有權(quán)更換或廢除

29、它”。宣言主要部分的開頭講，英國國王喬治的政府沒有滿足上述條件?！币虼?，我們宣布，這些聯(lián)合起來的殖民地是，而且按正當(dāng)權(quán)力應(yīng)該是，自由的和獨(dú)立的國家?！蔽覀冺槺阒赋?，杰斐遜愛好文學(xué)、數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和建筑藝術(shù)。相對論的誕生是另一個(gè)光輝的例子。相對論的公理只有兩條（1）相對性原理，任何自然定律對于一切直線運(yùn)動的觀測系統(tǒng)都有相同的形式；（2）光速不變原理，對于一切慣性系，光在真空中都以確定的速度傳播。愛因斯坦就是在這兩條公理的基礎(chǔ)上建立了他的相對論。關(guān)于建立一個(gè)理論體系，愛因斯坦認(rèn)為科學(xué)家的工作可以分為兩步。第一步是發(fā)現(xiàn)公理，第二步是從公理推出結(jié)論。哪一步更難呢？他認(rèn)為，如果研究人員在學(xué)校里已經(jīng)得到很

30、好的基本理論、推理和數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，那么他在第二步時(shí)，只要“相當(dāng)勤奮和聰明，就一定能成功”。至于第一步，即找出所需要的公理，則具有完全不同的性質(zhì)，這里沒有一般的方法。愛因斯坦說：“科學(xué)家必須在龐雜的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中間抓住某些可用精密公式來表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理?！?選票分配問題。選票分配問題屬于民主政治的范疇。選票分配是否合理是選民最關(guān)心的熱點(diǎn)問題。這一問題早已引起西方政治家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并進(jìn)行了大量深入的研究。那么，選票分配的基本原則是什么呢？首先是公平合理。要做到公平合理，一個(gè)簡單的辦法是，選票按人數(shù)比例分配。但是會出現(xiàn)這樣的問題：人數(shù)的比例常常不是整數(shù)。怎么辦？一個(gè)簡單的辦法是

31、四舍五入。四舍五入的結(jié)果可能會出現(xiàn)名額多余，或名額不足的情況。因?yàn)橛羞@個(gè)缺點(diǎn)，美國喬治·華盛頓時(shí)代的財(cái)政部長亞歷山大·漢密爾頓在1790年提出一個(gè)解決名額分配的辦法，并于1792年為美國國會所通過。美國國會的議員是按州分配。假定美國的人口數(shù)是，各州的人口數(shù)分別是。再假定議員的總數(shù)是。記稱它為第i個(gè)州分配的份額。漢密爾頓方法的具體操作如下：(1)取各州份額的整數(shù)部分，讓第i個(gè)州先擁有個(gè)議員。(2)然后考慮各個(gè)的小數(shù)部分，按從大到小的順序?qū)⒂嘞碌拿~分配給相應(yīng)的州，直到名額分配完為止。漢密爾頓方法看起來十分合理，但是仍存在問題。按照常規(guī)，假定各州的人口比例不變，議員名額的總數(shù)由

32、于某種原因而增加的話，那么各州的議員名額數(shù)或者不變，或者增加，至少不應(yīng)該減少?？墒菨h密爾頓方法卻不能滿足這一常規(guī)。1880年，亞拉巴馬州曾面臨這種狀況。人們把漢密爾頓方法產(chǎn)生的這一矛盾叫作亞拉巴馬悖論。漢密爾頓方法侵犯了亞拉巴馬州的利益。其后，1890年，1900年人口普查后，緬因州和克羅拉多州也極力反對漢密爾頓方法。所以，從1880年起，美國國會就針對漢密爾頓方法的公正合理性展開了爭論。因此，必須改進(jìn)漢密爾頓方法，使之更加合理。新的方法不久就提出來了，并消除了亞拉巴馬悖論。但是新的方法引出新的問題，新的問題又需要消除。于是更新的方法，當(dāng)然是更加公正合理的方法又出現(xiàn)了。人們當(dāng)然會問，有沒有一種

33、一勞永逸的解決辦法呢？這個(gè)問題從誕生之日起，就一直吸引著眾多政治家和數(shù)學(xué)家取研究。這里要特別提出的是，1952年數(shù)學(xué)家阿羅證明了一個(gè)令人吃驚的定理阿羅不可能定理，即不可能找到一個(gè)公平合理的選舉系統(tǒng)這就是說，只有更合理，沒有最合理。原來世上無”公”。阿羅不可能定理是數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會科學(xué)的一個(gè)里程碑。阿羅不可能定理不僅是一項(xiàng)數(shù)學(xué)成果，也是十分重要的經(jīng)濟(jì)成果。因此，作為一名數(shù)學(xué)家，于1972年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎。選舉問題吸引經(jīng)濟(jì)學(xué)家的因素主要有兩個(gè)方面：策略與公平性。而策略的研究又引出了博奕論。6伽利略的規(guī)劃。歷史上向前一步的進(jìn)展，往往伴隨著向后一步的推本溯源。歐洲在千余年的沉寂后，迎來了偉大的文藝復(fù)

34、興。這是一個(gè)需要巨人，而且也產(chǎn)生了巨人的時(shí)代。1564年，伽利略誕生了，不獨(dú)有偶，同年莎士比亞也誕生了。文藝復(fù)興運(yùn)動為人們帶來了希臘的理性精神。伽利略是第一個(gè)舉起理性旗幟的科學(xué)家。他的工作成了現(xiàn)代科學(xué)的新起點(diǎn)。近代科學(xué)成功的密訣在何處呢？在于科學(xué)活動選擇了一個(gè)新目標(biāo)。這個(gè)目標(biāo)是伽利略提出的。希臘科學(xué)家曾致力于解釋現(xiàn)象發(fā)生的原因，例如亞里士多德曾花費(fèi)大量時(shí)間去解釋為什么空中的物體會落到地上。伽利略第一個(gè)認(rèn)識到關(guān)于事物原因與結(jié)果的玄想不能增進(jìn)科學(xué)知識，無助于人們找出揭示和控制自然的辦法。伽利略提出了一個(gè)科學(xué)規(guī)劃。這個(gè)規(guī)劃包含三個(gè)主要內(nèi)容：第一，找出物理現(xiàn)象的定量描述，即聯(lián)系它們的數(shù)學(xué)公式；第二，找

35、出最基本的物理量，這些就是公式中的變量；第三，在此基礎(chǔ)上建立演繹科學(xué)。規(guī)劃的核心就是尋求描述自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式。在這個(gè)思想的指導(dǎo)下，伽利略找出了自由落體下落的公式，還找出了力學(xué)第一定律和第二定律。所有這些成果和其它成果，伽利略都總結(jié)在關(guān)于兩門新科學(xué)的方法和數(shù)學(xué)證明一書中，此書耗費(fèi)了他30多年的心血。在這部著作中，伽利略開創(chuàng)了物理科學(xué)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程，建立了力學(xué)科學(xué)，設(shè)計(jì)和樹立了近代科學(xué)思維模式。現(xiàn)在方向已經(jīng)指明，航道已經(jīng)開通，科學(xué)將呈現(xiàn)一種加速發(fā)展的趨勢。但是，要前進(jìn)必須有新的數(shù)學(xué)工具。7解析幾何。解析幾何的誕生是數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)偉大的里程碑。他的創(chuàng)始人是笛卡兒和費(fèi)馬。他們都對歐氏幾何的局限性表示

36、不滿：古代的幾何過于抽象，過多地依賴于圖形。他們對代數(shù)也提出了批評，因?yàn)榇鷶?shù)過于受法則和公式的約束，成為一種阻礙思想的技藝，而不是有益于發(fā)展思想的藝術(shù)。同時(shí)，他們都認(rèn)識到幾何學(xué)提供了有關(guān)真實(shí)世界的知識和真理，而代數(shù)學(xué)能用來對抽象的未知量進(jìn)行推理，是一門潛在的方法科學(xué)。因此，把代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)中一切精華的東西結(jié)合起來，可以取長補(bǔ)短。這樣一來，一門新的科學(xué)誕生了。笛卡兒的理論以兩個(gè)概念為基礎(chǔ)：坐標(biāo)概念和利用坐標(biāo)方法把兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的概念。因此，解析幾何是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，它在采用坐標(biāo)法的同時(shí)，運(yùn)用代數(shù)方法來研究幾何對象。解析幾何的偉大意義表現(xiàn)在什么地方呢？（1）數(shù)學(xué)的研

37、究方向發(fā)生了一次重大轉(zhuǎn)折：古代以幾何為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐源鷶?shù)和分析為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)。（2）以常量為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐宰兞繛橹鲗?dǎo)的數(shù)學(xué)，為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)。（3）使代數(shù)和幾何融合為一體，實(shí)現(xiàn)了幾何圖形的數(shù)字化，是數(shù)字化時(shí)代的先聲。（4）代數(shù)的幾何化和幾何的代數(shù)化，使人們擺脫了現(xiàn)實(shí)的束縛。它帶來了認(rèn)識新空間的需要。幫助人們從現(xiàn)實(shí)空間進(jìn)入虛擬空間：從三維空間進(jìn)入更高維的空間。解析幾何中的代數(shù)語言具有意想不到的作用，因?yàn)樗恍枰獜膸缀慰紤]也行?？紤]方程我們知道，它是一個(gè)圓。圓的完美形狀，對稱性，無終點(diǎn)等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，與對稱，等等。代數(shù)取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個(gè)代數(shù)方程的性

38、質(zhì)中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質(zhì)。這個(gè)事實(shí)使得數(shù)學(xué)家們通過幾何圖形的代數(shù)表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們?yōu)槭裁床荒芸紤]下述方程呢？以及形如的方程呢？這是一個(gè)偉大的進(jìn)步。僅僅靠類比，就從三維空間進(jìn)入高維空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實(shí)世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情??！用宋代著名哲學(xué)家程顥的詩句可以準(zhǔn)確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風(fēng)云變態(tài)中。（5）代數(shù)幾何的發(fā)祥。高次曲線的研究成為可能。8微積分。微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時(shí)期。解析幾何的誕生是新時(shí)代到來的序曲，但還不是新時(shí)代的開端。它對舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)和幾何融為一體，并引出變量的概念。變量，這

39、是一個(gè)全新的概念，它為研究運(yùn)動提供了基礎(chǔ)。恩格斯說：”數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了?！蓖茖?dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣的時(shí)代的到來，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茲、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學(xué)活動提供方法，指出方向的領(lǐng)袖。但也必須等待創(chuàng)立一個(gè)必不可少的工具微積分，沒有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的。在17世紀(jì)的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的。微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分是人類智力的偉大結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了

40、數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說：”在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里。”有了微積分，人類才有能力把握運(yùn)動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機(jī)，宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。數(shù)學(xué)一下子走到了前臺。數(shù)學(xué)在人類社會的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明顯多了。1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默默辭世。同年12月25日，一個(gè)孱弱的沒有了父親的早產(chǎn)兒誕生了，他就是牛頓。牛頓接過伽利略的事業(yè)繼續(xù)前進(jìn)。當(dāng)初伽利略用數(shù)學(xué)化的語言描

41、述自然界時(shí)，總是將運(yùn)動限制在地球表面或附近。他的同時(shí)代人開卜勒得到了關(guān)于天體運(yùn)動的三個(gè)數(shù)學(xué)定律。但是，科學(xué)的這兩個(gè)分支似乎是獨(dú)立的。找出它們之間的聯(lián)系是對當(dāng)時(shí)最偉大的科學(xué)家的挑戰(zhàn)。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個(gè)公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。這就是說，伽利略和牛頓建立的這些定律描述了從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動行為。宇宙中沒有哪一個(gè)角落不在這些定律的所包含的范圍內(nèi)。這是人類認(rèn)識史上的一次空前飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會影響。它強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。在伽利略規(guī)劃的指導(dǎo)下，借助微積

42、分的工具在尋求自然規(guī)律方面所取得的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了天文學(xué)的領(lǐng)域。人們把聲音當(dāng)作空氣分子的運(yùn)動而進(jìn)行研究，獲得了著名的數(shù)學(xué)定律。胡克研究了物體的振動。波意耳、馬略特、伽利略托里拆利和帕斯卡測出了液體、氣體的壓力和密度。范·海爾蒙特利用天平測量物質(zhì)，邁出了近代化學(xué)中重要的一步。黑爾斯開始用定量的方法研究生理學(xué)。哈維利用定量的方法證明了，流出心臟的血液在回到心臟前將在全身周流。定量研究也推廣到了植物學(xué)。所有這些僅僅是一場空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動的開端。到18世紀(jì)中葉，伽利略和牛頓研究自然的定量方法的無限優(yōu)越性，已經(jīng)完全確立了。著名哲學(xué)家康德說，自然科學(xué)的發(fā)展取決于其方法與內(nèi)容和數(shù)學(xué)

43、結(jié)合的程度，數(shù)學(xué)成為打開知識大門的金鑰匙，成為科學(xué)的皇后。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的聯(lián)盟所顯示出的驚人成果，使人們認(rèn)識到：（1）理性精神是獲取真理的最高源泉；（2）數(shù)學(xué)推理是一切思維中最純粹、最深刻、最有效的手段；（3）每一個(gè)領(lǐng)域都應(yīng)該探求相應(yīng)的自然和數(shù)學(xué)規(guī)律。特別是哲學(xué)、宗教、政治經(jīng)濟(jì)、倫理和美學(xué)中的概念和結(jié)論都要重新定義，否則它們將與那個(gè)領(lǐng)域里的規(guī)律不相符合。9數(shù)學(xué)與繪畫。在整個(gè)繪畫史上，繪畫的體系大致分為兩大類：觀念體系與光學(xué)體系。觀念體系就是按照某種觀念或原則去畫畫。例如，埃及的繪畫和浮雕作品大都遵從觀念體系。人物的大小不是依照寫實(shí)的原則，而是依據(jù)人物的政治地位或宗教地位來決定。法老經(jīng)常是最重要

44、的人物，他的尺寸最大，他的妻子比他小一些，仆人就小得可憐了。光學(xué)透視體系則試圖將圖形本身在眼睛中的映像表達(dá)出來。它是從西方繪畫藝術(shù)中發(fā)展起來的。早在希臘和羅馬時(shí)期，光學(xué)體系已經(jīng)有了發(fā)展。但是到了中世紀(jì)，基督教神秘主義的影響使藝術(shù)家們回到了觀念體系。畫家們所畫的背景和主題傾向于表現(xiàn)宗教題材，目的在于引導(dǎo)宗教感情，而不是表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中的真人真事。從中世紀(jì)末到文藝復(fù)興時(shí)期，繪畫藝術(shù)發(fā)生了質(zhì)的變化。其典型特征是，藝術(shù)家朝寫實(shí)方向前進(jìn)。在13世紀(jì)末，數(shù)學(xué)也進(jìn)入了藝術(shù)領(lǐng)域。到了13世紀(jì)的時(shí)候，通過翻譯阿拉伯和希臘的著作，使亞里士多德的著作廣泛為人們所知曉。西方的畫家們開始意識到，中世紀(jì)的繪畫是脫離現(xiàn)實(shí)和脫

45、離生活的，這種傾向應(yīng)當(dāng)糾正。實(shí)際上，從中世紀(jì)轉(zhuǎn)向文藝復(fù)興，首先是人性的覺醒。在中世紀(jì)，藝術(shù)只是為了“訓(xùn)導(dǎo)人”成為一個(gè)好的信徒。到了文藝復(fù)興時(shí)期，藝術(shù)則更多的是為了“豐富人”和“愉悅?cè)恕?。在中世紀(jì)嚴(yán)格的思想控制下，希臘、羅馬藝術(shù)中美麗的維納斯競被看作是“異教的女妖”，而遭到毀棄。到了文藝復(fù)興時(shí)期，向往古典文化的意大利人卻覺得這個(gè)從海里生起來的女神是新時(shí)代的信使，她把美帶到了人間。文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫與中世紀(jì)繪畫的本質(zhì)區(qū)別在于引入了第三維，也就是在繪畫中處理了空間、距離、體積、質(zhì)量和視覺印象。三維空間的畫面只有通過光學(xué)透視體系的表達(dá)方法才能得到。這方面的成就是在14世紀(jì)初由杜喬(Duccio，125

46、51319)和喬多(Giotto，12761336)取得的。在他們的作品中出現(xiàn)了幾種方法，而這些方法成為一種數(shù)學(xué)體系發(fā)展過程中的一個(gè)重要階段。毫無疑問，達(dá)·芬奇是15至16世紀(jì)的一位藝術(shù)大師和科學(xué)巨匠。文藝復(fù)興時(shí)期的傳記作家瓦薩里曾這樣贊美他：“上天有時(shí)候?qū)⒚利悺?yōu)雅、才能賦予一人之身，他之所為無不超群絕寰，顯示出他的天才來自上蒼而非人間之力，達(dá)·芬奇正是如此。他的優(yōu)雅與偉美無與倫比，他才智之高超使一切難題無不迎刃而解?！彼ㄟ^廣泛而深入地研究解剖學(xué)、透視學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)，為從事繪畫作好了充分的準(zhǔn)備。他對待透視學(xué)的態(tài)度可以在他的藝術(shù)哲學(xué)中看出來。他用一句話概括了他的

47、藝術(shù)專論的思想：“欣賞我的作品的人，沒有一個(gè)不是數(shù)學(xué)家”。達(dá)·芬奇堅(jiān)持認(rèn)為，繪畫的目的是再現(xiàn)自然界，而繪畫的價(jià)值就在于精確地再現(xiàn)。因此，繪畫是一門科學(xué)，和其它科學(xué)一樣，其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)。他指出，“任何人類的探究活動也不能成為科學(xué)，除非這種活動通過數(shù)學(xué)表達(dá)方式和經(jīng)過數(shù)學(xué)證明為自己開辟道路?！边_(dá)·芬奇創(chuàng)作了許多精美的透視學(xué)作品。這位真正富有科學(xué)思想和絕倫技術(shù)的天才，對每幅作品他都進(jìn)行過大量的精密研究。他最優(yōu)秀的杰作都是透視學(xué)的最好典范?！白詈蟮耐聿汀泵枥L出了真情實(shí)感，一眼看去，與真實(shí)生活一樣。觀眾似乎覺得達(dá)·芬奇就在畫中的房子里。墻、樓板和天花板上后退的光線不僅清晰地襯托

48、出了景深，而且經(jīng)仔細(xì)選擇的光線集中在基督頭上，從而使人們將注意力集中于基督。12個(gè)門徒分成3組，每組4人，對稱地分布在基督的兩邊?；奖救吮划嫵梢粋€(gè)等邊三角形，這樣的描繪目的在于，表達(dá)基督的情感和思考，并且身體處于一種平衡狀態(tài)。附圖中給出了原畫及它的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)圖。10從藝術(shù)中誕生的科學(xué)。數(shù)學(xué)對繪畫藝術(shù)作出了貢獻(xiàn)，繪畫藝術(shù)也給了數(shù)學(xué)以豐厚的回報(bào)。畫家們在發(fā)展聚焦透視體系的過程中引入了新的幾何思想，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新方向的發(fā)展，這就是射影幾何。在透視學(xué)的研究中產(chǎn)生的第一個(gè)思想是，人用手摸到的世界和用眼睛看到的世界并不是一回事。因而，相應(yīng)地應(yīng)該有兩種幾何，一種是觸覺幾何，一種是視覺幾何。歐氏幾何是

49、觸覺幾何，它與我們的觸覺一致，但與我們的視覺并不總一致。例如，歐幾里得的平行線只有用手摸才存在，用眼睛看它并不存在。這樣，歐氏幾何就為視覺幾何留下了廣闊的研究領(lǐng)域?，F(xiàn)在討論在透視學(xué)的研究中提出的第二個(gè)重要思想。畫家們搞出來的聚焦透視體系，其基本思想是投影和截面取景原理。人眼被看作一個(gè)點(diǎn)，由此出發(fā)來觀察景物。從景物上的每一點(diǎn)出發(fā)通過人眼的光線形成一個(gè)投影錐。根據(jù)這一體系，畫面本身必須含有投射錐的一個(gè)截景。從數(shù)學(xué)上看，這截景就是一張平面與投影錐相截的一部分截面。設(shè)人眼在O處(圖1)，今從O點(diǎn)觀察平面上的一個(gè)矩形ABCD。從O到矩形的四個(gè)邊上各點(diǎn)的連線形成一個(gè)投射棱錐，其中OA、OB、OC及OD是四

50、根棱線?，F(xiàn)在在人眼和矩形之間插入一平面，并在其上畫出截景四邊形。由于截景對人眼產(chǎn)生的視覺印象與原矩形一樣，所以人們自然要問：截景與原矩形有什么共同的性質(zhì)？要知道截景與原矩形既不重合，也不相似，它們也沒有相同的面積，甚至截景連矩形也不是。把問題提得更一般一些：設(shè)有兩個(gè)不同平面以任意角度與這個(gè)投射錐相截，得到兩個(gè)不同的截景，那么，這兩個(gè)截景有什么共同性質(zhì)呢？這個(gè)問題還可以進(jìn)一步推廣。設(shè)有矩形ABCD(圖2)，今從兩個(gè)不同的點(diǎn)O和O來觀察它。這時(shí)會出現(xiàn)兩個(gè)不同的投射錐。在每個(gè)錐里各取一個(gè)截景，由于每個(gè)截景都應(yīng)與原矩形有某些共同的幾何性質(zhì)，因此，這兩個(gè)矩形間也應(yīng)有某些共同的幾何性質(zhì)，17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們

51、開始尋找這些問題的答案。他們把所得到的方法和結(jié)果都看成歐氏幾何的一部分。誠然，這些方法和結(jié)果大大豐富了歐幾里得幾何的內(nèi)容，但其本身卻是幾何學(xué)的一個(gè)新的分支，到了19世紀(jì)，人們把幾何學(xué)的這一分支叫作射影幾何學(xué)。射影幾何集中表現(xiàn)了投影和截影的思想，論述了同一物體的相同射影或不同射影的截景所形成的幾何圖形的共同性質(zhì)。這門”誕生于藝術(shù)的科學(xué)”，今天成了最美的數(shù)學(xué)分支之一。11新幾何，新世界。眾所周知，歐幾里得幾何以五條公設(shè)為基礎(chǔ)，它們是(1)連接任何兩點(diǎn)可以作一直線段。(2)一直線段可以沿兩個(gè)方向無限延長而成為直線。(3)以任意點(diǎn)為中心，通過任意給定的另一點(diǎn)可以作一圓。(4)凡直角都相等。(5)如果在

52、同一平面內(nèi)，任一直線與另兩直線相交，同一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角，則這兩直線無限延長必在這一側(cè)相交。(5)等價(jià)于“過一直線外的已知點(diǎn)只能作一條直線平行于已知直線。”這些公設(shè)的真理性不證自明，沒有一位”神智健全”的人膽敢對此表示懷疑。從如此堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)過完美、嚴(yán)密的邏輯推理，產(chǎn)生出更多的定理，并為大家所接受。笛卡兒、牛頓的成功使這些定理的地位愈加鞏固，在兩千多年的應(yīng)用中達(dá)到了光輝的頂點(diǎn)。人們毫不遲疑地得到這樣的結(jié)論：歐氏幾何是真理；真理就是歐氏幾何。但是，從歐氏幾何誕生起就有少數(shù)人對它忐忑不安，其中包括歐幾里得本人。他們主要懷疑的是第五公設(shè)。因?yàn)橹挥械谖骞O(shè)涉及到無限，這是人們經(jīng)驗(yàn)之外的東

53、西。第五公設(shè)的研究在19世紀(jì)導(dǎo)致對數(shù)學(xué)發(fā)展極其重要的一些結(jié)果。19世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)史上有兩個(gè)很重要的轉(zhuǎn)折，一個(gè)是1829年左右發(fā)現(xiàn)的雙曲幾何，一個(gè)是1843年發(fā)現(xiàn)的非交換代數(shù)。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)是人類思想史上的一個(gè)重大事件。著名數(shù)學(xué)家凱塞說，歐幾里得的第五公設(shè)，“也許是科學(xué)史上最重要的一句話。”非歐幾何的發(fā)現(xiàn)過程，可以在有關(guān)的數(shù)學(xué)史的著作中查到，“數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用”一書中也有詳細(xì)介紹，這里不再論述。由于平行公設(shè)的不同而帶來了歐氐幾何與非歐幾何的一些本質(zhì)不同。都有哪些不同呢，我們稍作介紹。例如，在羅巴切夫斯基的幾何中三角形的內(nèi)角和總小于180°。半徑無限大的圓周的極限不是直線，而是一

54、種曲線，叫作極限圓。通過不在一條非歐直線上的三點(diǎn)，并不總能作一個(gè)非歐圓，而能做的或者是非歐圓，或者是極限圓，或者是等距線(即與一條非歐直線等距離的點(diǎn)組成的線)。不存在面積任意大的非歐三角形。兩個(gè)非歐三角形相似就全同。畢達(dá)哥拉斯定理不成立，等等。在黎曼的幾何中三角形的內(nèi)角和總大于180°。兩個(gè)三角形，面積較大者具有較大的內(nèi)角和。一條直線的所有垂線相交于一點(diǎn)。兩條直線圍成一個(gè)封閉區(qū)域。黎曼幾何具有真實(shí)的意義嗎？在這里答案是肯定的。如果將公理中的直線解釋為球面上的大圓，黎曼幾何的公理恰恰適用于球面上。球面上沒有平行線，因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)大圓都相交。事實(shí)上，它們不是相交一次，而是相交兩次。另一個(gè)定

55、理也容易推導(dǎo)出來：一條直線的所有垂線相交于一點(diǎn)。我們指出，黎曼幾何的每一條定理都能在球面上得到令人滿意的解釋和意義。換言之，自然界的幾何或?qū)嵱玫膸缀?，在一般?jīng)驗(yàn)意義上來說，就是黎曼幾何。幾千年來，這種幾何一直就在我們的腳下。但是，連最偉大的數(shù)學(xué)家也沒有想過通過檢驗(yàn)球的幾何性質(zhì)來攻擊平行線公理。我們生活在非歐平面上，卻把它當(dāng)成一個(gè)怪物，真是咄咄怪事！非歐幾何誕生的重要性與哥白尼的日心說，牛頓的引力定律，達(dá)爾文的進(jìn)化論一樣，對科學(xué)、哲學(xué)、宗教都產(chǎn)生了革命性的影響。遺憾的是，在一般思想史中沒有受到應(yīng)有的重視。它的重要影響是什么呢？（1）非歐幾何的創(chuàng)立使人們開始認(rèn)識到，數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的

56、區(qū)別。但最初人認(rèn)為這兩者是相同的。這種區(qū)別對理解1880年以來的數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展至關(guān)重要。（2）非歐幾何的創(chuàng)立掃蕩了整個(gè)真理王國。在古代社會，像宗教一樣，數(shù)學(xué)在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位。數(shù)學(xué)殿堂中匯集了所有真理，歐幾里得是殿堂中最高的神父。但是通過鮑耶、羅巴切夫斯基、黎曼等人的工作，這種信仰徹底被摧毀了。非歐幾何誕生之前，每個(gè)時(shí)代都堅(jiān)信存在著絕對真理，數(shù)學(xué)就是一個(gè)典范?，F(xiàn)在希望破滅了！歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)就是所有絕對真理的終結(jié)。（3）真理性的喪失，解決了關(guān)于數(shù)學(xué)自身本質(zhì)這一古老問題。數(shù)學(xué)是像高山、大海一樣獨(dú)立于人而存在，還是完全人的創(chuàng)造物呢？答案是，數(shù)學(xué)確實(shí)是人的思想產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人

57、的永恒世界的東西。（4）非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)獲得了自由。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問題，探索任何可能的公理體系，只要這種研究具有一定的意義。非歐幾何在思想史上具有無可比擬的重要性。它使邏輯思維發(fā)展到了頂峰。為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)不受實(shí)用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個(gè)理性的智慧拚棄感覺經(jīng)驗(yàn)的范例。七、數(shù)學(xué)的新用場1992年國際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會把2000年為世界數(shù)學(xué)年。其目的在于加強(qiáng)數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系，使更多人了解數(shù)學(xué)的作用。通常人們把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。純粹數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)本身提出的問題，如費(fèi)馬大定理，哥特巴赫猜想，幾何三大難題等。這些問題與生活無關(guān)，不用于技術(shù)，不能改善人類的生活條件。應(yīng)用數(shù)學(xué)卻不同，它直接應(yīng)用于技術(shù)。這種看法在二次世界大戰(zhàn)前具有相當(dāng)?shù)钠毡樾?。二次世界大?zhàn)后，情況發(fā)生很大變化。英國著名數(shù)學(xué)家哈代說，純粹數(shù)學(xué)是一門“無害而清