歷屆1-24“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽八年級(jí)-真題及答案

1、希望杯第一屆（1990年）初中二年級(jí)第一試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1一個(gè)角等于它的余角的5倍，那么這個(gè)角是( )A45.B75.C55.D6522的平方的平方根是( )A2. B-2. C2.D43當(dāng)x=1時(shí)，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是( )A0Ba0. Ca1Da0-a1 4. ABC,若AB=,BC=1+,CA=,則下列式子成立的是( )AACB;BCBA;CBAC;DCAB5平面上有4條直線，它們的交點(diǎn)最多有( )A4個(gè)B5個(gè). C6個(gè).D76的立方根是 （A）. （B）.（C）. （D）.7把二

2、次根式化為最簡(jiǎn)二次根式是 (A) . (B). (C) . (D) 8如圖1在ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F(xiàn)不是AB，BC，CA的中點(diǎn)又AE，BF，CD分別交于M，N，P，如果把找出的三個(gè)全等三角形叫做一組全等三角形，那么從圖中能找出全等三角形( )A2組B3組.C4組D5組。9.已知 等于一個(gè)固定的值，則這個(gè)值是( )A0.B1. C2. D4. 把f1990化簡(jiǎn)后，等于( )A. B.1-x. C. D.x.二、填空題（每題1分，共10分）1.2.3.=_.4如圖2，A=60，1=2，則ABC的度數(shù)是_5如圖3,O是直線AB上一點(diǎn),AOD=117,BOC=12

3、3,則COD的度數(shù)是_度6ABC中，C=90，A的平分線與B的平分線交于O點(diǎn)，則AOB的度數(shù)是_度7計(jì)算下面的圖形的面積（長(zhǎng)度單位都是厘米）（見(jiàn)圖4）.答：_8方程x2+px+q=0，當(dāng)p0，q0時(shí)，它的正根的個(gè)數(shù)是_個(gè)9x，y，z適合方程組 則1989x-y+25z=_10已知3x2+4x-7=0，則6x4+11x3-7x2-3x-7=_答案與提示一、選擇題提示：1因?yàn)樗蠼?5(90-),解得=75故選(B)2因?yàn)?的平方是4，4的平方根有2個(gè)，就是2故選(C)3以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0故選(A)3，根據(jù)

4、大邊對(duì)大角，有CBA5如圖5，數(shù)一數(shù)即得又因原式中有一個(gè)負(fù)號(hào)所以也不可能是(D)，只能選(A)7a0，故選(C)8有ABE，ABM，ADP，ABF，AMF等五種類型選(D)9題目說(shuō)是一個(gè)固定的值，就是說(shuō)：不論x，y取何值，原式的值不變于是以x=y=0代入，得：故選(B)故選(A)二、填空題提示：4ADC=2+ADB=1+ADB=180-A=120所以ADC的度數(shù)是120度5COD度數(shù)的一半是30度8=p2-4qp29方程組可化簡(jiǎn)為：解得： x=1，y=-1，z=01989x-y+25z=1990106x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0

5、希望杯第一屆（1990）第二試試題一、選擇題:（每題1分，共5分） 1.等腰三角形周長(zhǎng)是24cm，一腰中線將周長(zhǎng)分成53的兩部分，那么這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)是 A7.5B12. C4.D12或42.已知P=，那么P的值是 A1987B1988. C1989D19903abc，xyz，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，則 AMPN且MQN. BNPM且NQMCPMQ且PNQ. DQMP且QNP4凸四邊形ABCD中，DAB=BCD=900, CDAABC=21,ADCB=1,則BDA= A30B45. C60. D不能確定5把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分

6、割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)邊長(zhǎng)大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割 A是不存在的. B恰有一種. C有有限多種，但不只是一種.D有無(wú)窮多種二、填空題:（每題1分，共5分）1 ABC中，CAB-B=90，C的平分線與AB交于L，C的外角平分線與BA的延長(zhǎng)線交于N已知CL=3，則CN=_2 若,那么的值是_.3 已知a，b，c滿足a+b+c=0，abc=8，則c的取值范圍是_4 ABC中, B=300,AB=,BC=,三個(gè)兩兩互相外切的圓全在ABC中，這三個(gè)圓面積之和的最大值的整數(shù)部分是_5 設(shè)a,b,c是非零整數(shù),那么的值等于_.三、解答題

7、:（每題5分，共15分）1從自然數(shù)1，2，3，354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是1772平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的頂點(diǎn)A在正方形ABCD的中心當(dāng)正方形ABCD繞A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形的重合部分的面積必然是一個(gè)定值這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？證明你的判斷3用1，9，9，0四個(gè)數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個(gè)這樣的四位數(shù)與自然數(shù)n之和被7除余數(shù)都不為1，將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列n1n2n3n4，試求：n1n2之值答案與提示一、選擇題提示：1若底邊長(zhǎng)為12則其他二邊之和也是12，矛盾故不可能是(B)或(D)又：底為4時(shí)，腰長(zhǎng)是10

8、符合題意故選(C)=19882+31988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883只需選a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于這時(shí)M=2，N=-2，P=-1，Q=-1從而選(A)4由圖6可知：當(dāng)BDA=60時(shí)，CDB5如圖7按同心圓分成面積相等的四部分在最外面一部分中顯然可以找到三個(gè)點(diǎn)，組成邊長(zhǎng)大于1的正三角形如果三個(gè)圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四部分面積相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三個(gè)點(diǎn)，使得組成邊長(zhǎng)大于1的正三角形故選(D) 二、填空題提示：1如圖8：NLC=B+1=CAB-90+1=CAB-3=NNC=LC=35當(dāng)a，b

9、，c均為正時(shí)，值為7當(dāng)a，b，c不均為正時(shí)，值為-1三、解答題1證法一 把1到354的自然數(shù)分成177個(gè)組：(1，178)，(2，179)，(3，180)，(177，354)這樣的組中，任一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)之差為177從1354中任取178個(gè)數(shù)，即是從這177個(gè)組中取出178個(gè)數(shù)，因而至少有兩個(gè)數(shù)出自同一個(gè)組也即至少有兩個(gè)數(shù)之差是177從而證明了任取的178個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是177證法二 從1到354的自然數(shù)中，任取178個(gè)數(shù)由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0，1，2，176這177種之一因而178個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)a，b的余數(shù)相同，也即至少有兩個(gè)數(shù)a，b之差是177的倍數(shù)，即a-b

10、=k177又因1354中，任兩數(shù)之差小于2177=354所以兩個(gè)不相等的數(shù)a，b之差必為177即a-b=177從自然數(shù)1，2，3，354中任取178個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是1772如圖9，重合部分面積SAEBF是一個(gè)定值證明：連AB，AC，由A為正方形ABCD的中心，知ABE=ACF=45又，當(dāng)AB與AB重合時(shí)，必有AD與AC重合，故知EAB=FAC在AFC和AEB中，SAEBF=SABC兩個(gè)正方形的重合部分面積必然是一個(gè)定值3可能的四位數(shù)有9種：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190其中 1990=7284+2，1909=7272+5

11、1099=7157,9091=71298+5,9109=71301+2,9910=71415+5，9901=71414+3，9019=71288+3，9190=71312+6即它們被7除的余數(shù)分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6即余數(shù)只有0，2，3，5，6五種它們加1，2，3都可能有余1的情形出現(xiàn)如0+11，6+21，5+3(mod7)而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒(méi)有一個(gè)被7除余1，所以4是最小的n又：加5，6有：5+31，6+21(mod7)而加7之后成為7，9，10，12，13沒(méi)有一個(gè)被7除余1所以7是次小的n即 n1=4，n2=7 n1n2=47=28第二屆（1991年）初

12、中二年級(jí)第一試試題一、選擇題:（每題1分，共15分）1如圖1，已知AB=8，AP=5，OB=6，則OP的長(zhǎng)是 A2; B3; C4; D52方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是 A1，6 ;B2，3; C2，3;D1，63已知ABC是等腰三角形，則 AAB=AC;BAB=BC;CAB=AC或AB=BC;DAB=AC或AB=BC或AC=BC4.a=,則a,b,c的大小關(guān)系是 AabcBa=b=c Ca=cb Da=bc5.若ab,則(b-a)等于 A.; B.; C.; D.6已知x，y都是正整數(shù)，那么三邊是x，y和10的三角形有 A3個(gè)B4個(gè); C5個(gè)D無(wú)數(shù)多個(gè)7兩條直線相交所成的各角中， A必有

13、一個(gè)鈍角;B必有一個(gè)銳角;C必有一個(gè)不是鈍角;D必有兩個(gè)銳角8已知兩個(gè)角的和組成的角與這兩個(gè)角的差組成的角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角 A一個(gè)是銳角另一個(gè)是鈍角;B都是鈍角;C都是直角;D必有一個(gè)角是直角9方程x2+|x|+1=0有 個(gè)實(shí)數(shù)根A4; B2; C1; D010一個(gè)兩位數(shù)，用它的個(gè)位、十位上的兩個(gè)數(shù)之和的3倍減去-2，仍得原數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)是 A26;B28; C36;D3811若11個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1991，把這些數(shù)按大小順序排列起來(lái)，第六個(gè)數(shù)是 A179;B181; C183;D18512.如果那么等于 A2x+5B2x-5; C1 D113方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0

14、有一個(gè)實(shí)數(shù)根是 A.; B.; C.; D.14當(dāng)a-1時(shí)，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情況是 A兩負(fù)根;B一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大C一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值小;D沒(méi)有實(shí)數(shù)根15甲乙二人，從M地同時(shí)出發(fā)去N地甲用一半時(shí)間以每小時(shí)a公里的速度行走，另一半時(shí)間以每小時(shí)b公里的速度行走；乙以每小時(shí)a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小時(shí)b公里的速度行走若ab時(shí)，則 到達(dá)N地A 二人同時(shí); B甲先;C乙先; D若ab時(shí)，甲先到達(dá)，若ab時(shí)，乙先二、填空題:（每題1分，共15分）1一個(gè)角的補(bǔ)角減去這個(gè)角的余角，所得的角等于_度2.有理化分母:=_.3.方程的解

15、是x=_.4分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=_5若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是_6如果2x2-3x-1與a(x-1)2+b(x-1)+c是同一個(gè)多項(xiàng)式的不同形式,那么=_.7方程x2-y2=1991有_個(gè)整數(shù)解8當(dāng)m_時(shí)，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根9如圖2，在直角ABC中，AD平分A，且BDDC=21，則B等于_度 (2) (3) (4)10如圖3，在圓上有7個(gè)點(diǎn)，A，B，C，D，E，F(xiàn)，和G，連結(jié)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的線段共可作出_條11D，E分別是等邊ABC兩邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE，BE與CD交于F，則BFC等于_度

16、12如圖4，ABC中，AB=AC=9，BAC=120，AD是ABC的中線，AE是ABD的角平分線，DFAB交AE延長(zhǎng)線于F，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)13在ABC中，AB=5，AC=9，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)的取值范圍是_14等腰三角形的一腰上的高為10cm，這條高與底邊的夾角為45，則這個(gè)三角形的面積是_15已知方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，p，q是自然數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，這個(gè)方程的根是_答案與提示一、選擇題提示：1OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3選(B)2以2，3代入方程，適合故選(B)3有兩條邊相等的三角形是等腰三角形選(D)4a=1，b=-1，c=1選(C)6x

17、=y5的任何正整數(shù)，都可以和10作為三角形的三條邊選(D)7兩直線相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立選(C)8設(shè)兩個(gè)角為,.則(+)+(-)=180,即=90故選(D)9不論x為何實(shí)數(shù)，x2+|x|+1總是大于零的選(D)即7a=2b+2，可見(jiàn)a只能為偶數(shù)，b+1是7的倍數(shù)故取(A)11設(shè)這11個(gè)連續(xù)奇數(shù)為：2n+1，2n+3，2n+5，2n+21則(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+21)=1991即 11(2n+11)=1991解得n=85第六個(gè)數(shù)是285+11=181故選(B)選(A)13原方程可化為(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0即

18、(2x+1)(x4-10x2+1)=0即 x4-10x2+1=0故取(C)14a-1時(shí)，a3+10，a2+10，a+10而若方程的兩根為x1，x2，則有15設(shè)M，N兩地距離為S，甲需時(shí)間t1，乙需時(shí)間t2，則有t1t2，即甲先另外：設(shè)a=1，b=2，則甲走6小時(shí)，共走了9公里，這時(shí)乙走的時(shí)間為從這個(gè)計(jì)算中，可以看到，a，b的值互換，不影響結(jié)果故取(B)二、填空題提示：1設(shè)所求角為，則有(180-)-(90-)=904x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)5設(shè)二根為x1，-x1，

19、則x1+(-x1)=-(k2-9)即k2-9=0即k=3又，要有實(shí)數(shù)根，必須有0即 (k2-9)2-4(k+2)0顯然 k=3不適合上面的不等式，k=-36由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2項(xiàng)的系數(shù)相等，有a=2，這時(shí)再以x=0代入，得-1=a-b+c即b=17x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11181可以是9BDDC=21，故有ABAC=21，直角三角形斜邊與直角邊之比為21，則有B=3010從A出發(fā)可連6條，從B出發(fā)可連5條，（因?yàn)锽A就是AB），從C出發(fā)可連4條，從F出發(fā)可連一條共計(jì)1+2+3+4+5+6=21（條）

20、另法：每個(gè)點(diǎn)出發(fā)均可連6條，共有42條但每條都重復(fù)過(guò)一次，11如圖28F=1+A+2又：ADCCEB 1=3 F=3+A+2=B+A=12012ABC是等腰三角形，D為底邊的中點(diǎn)，故AD又是垂線，又是分角線，故BAD=60，ADB=90又：AE是分角線，故DAE=EAB=30又：DFAB，F(xiàn)=BAE=30在ADF中，DAF=F=30AD=DF而在ADB中，AB=9，B=30134BC14當(dāng)BC為4時(shí)，BD=CD=2，AD7當(dāng)BC=14時(shí)，BC=CD=7，有AD22AD714等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是45，則頂角是90，高就是腰，其長(zhǎng)為10cm15設(shè)兩根為x1，x2則x1+x2=-p x

21、1x2=q由題設(shè)及，可知，x1，x2均為負(fù)整數(shù)q為質(zhì)數(shù)，若q為奇數(shù)，則x1，x2均為奇數(shù)從而p為偶數(shù)，而偶質(zhì)數(shù)只有2，兩個(gè)負(fù)整數(shù)之和為-2，且不相等，這是不可能的若q為偶數(shù)（只能是2），兩個(gè)負(fù)整數(shù)之積為2，且不相等，只能是-1和-2方程的根是-1和-2希望杯第二屆（1991年）初中二年級(jí)第二試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1如圖29，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MNPQ等于( ) A1; B2; C3; D42兩個(gè)正數(shù)m，n的比是t(t1)若m+n=s，則m，n中較小的數(shù)可以表示為( ) A.ts; Bs-ts;

22、C.; D.3.y0時(shí),等于( ) A.-x; B.x; C.-x; D.x.4(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫(xiě)成( )Aabc. B(a-b)2+(b-c)2=0. Ccab. Da=bc5如圖30，AC=CD=DA=BC=DE則BAE是BAC的( )A4倍.B3倍. C2倍.D1倍6D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，則AD，BD，CD滿足關(guān)系式( )A.AD2=BD2+CD2. BAD2BD2+CD2. C2AD2=BD2+CD2. D2AD2BD2+CD2 7.方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為( )A4B3. C2D18.能使

23、分式的值為112的x2、y2的值是( )A.x2=1+，y2=2+; B. x2=2+，y2=2-;C. x2=7+4，y2=7-4; D. x2=1+2，y2=2-.9在整數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y，完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)為z，合數(shù)的個(gè)數(shù)為u則x+y+z+u的值為( )A17B15. C13D1110兩個(gè)質(zhì)數(shù)a，b，恰好是x的整系數(shù)方程x2-21x+t=0的兩個(gè)根,則等于( ) A.2213; B.; C.; D.二、填空題（每題1分，共10分）1.198919911991-199119891988=_2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4

24、ac+5bc=_3.(a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)的平方根是_4邊數(shù)為a，b，c的三個(gè)正多邊形，若在每個(gè)正多邊形中取一個(gè)內(nèi)角,其和為1800,那么=_.5.方程組有正整數(shù)解,則正整數(shù)a=_.6.從一升酒精中倒出升,再加上等量的水,液體中還有酒精_升;攪勻后,再倒出升混合液,并加入等量的水, 攪勻后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,這時(shí),所得混合液中還有_升酒精.7如圖31，在四邊形ABCD中AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米且ABC=90，則四邊形ABCD的面積是_8如圖32，1+2+34+5+6=_9.的最小值的整

25、數(shù)部分是_.10已知兩數(shù)積ab1且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,則=_.三、解答題:（每題5分，共10分，要求：寫(xiě)出完整的推理、計(jì)算過(guò)程，語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明，字跡與繪圖力求清晰、工整）1. 已知兩個(gè)正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù)求證：這兩個(gè)數(shù)之和不大于22一塊四邊形的地（如圖33）(EOFK，OHKG)內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段水渠EOHGKF改成直的（即兩邊都是直線）但進(jìn)水口EF的寬度不能改變，新渠占地面積與原水渠面積相等，且要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時(shí)那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)怎么作？寫(xiě)出作法，并加以證明答案與提示一、選擇題提示：3由y0，可知x0

26、故選(C)4容易看到a=b=c時(shí)，原式成為3(x+a)2，是完全平方式故選(B)5ACD是等邊三角形,BCA和ADE均為等腰三角形.故知BAC=30,而B(niǎo)AE=120,所以選(A)6以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，有AD2BD2+CD2，當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時(shí)，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2BD2+CD2故選(D)故選(C)選(C)9x=4，y=5，z=4，u=4選(A)10由a+b=21，a，b質(zhì)數(shù)可知a，b必為2與19兩數(shù)二、填空題提示：1198919911991-199119891988=1989(1991104+1991)-1991(1989104+1988)=1989

27、1991-19911988=19912原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)3原式=(a+c)(a+b)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)平方根為(a+c)4正多邊形中，最小內(nèi)角為60，只有a，b，c均為3時(shí)，所取的內(nèi)角和才可能為1805兩式相加有(1+a)y=6，因?yàn)閍，y均為正整數(shù)，故a的可能值為5，這時(shí)y=1，這與y-x=1矛盾，舍去；可能值還有a=2，a=1，這時(shí)y=2，y=3與y-x=1無(wú)矛盾a=1

28、或27在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在ADC中，三邊長(zhǎng)分別是10，24，26，由勾股定理的逆定理可ADC為直角三角形從而有面積為81+2+3+4+5+6，正好是以2，3，5為3個(gè)內(nèi)角的四邊形的4個(gè)內(nèi)角之和和為36010由已知條件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個(gè)根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個(gè)根，后者還可以看成：三、解答題1設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為a，b則原題成為已知a3+b3=2，求證a+b2證明（反證法）：若a+b2由于a3+b3=2，必有一數(shù)小于或等于1，設(shè)為b1，a2-b，這個(gè)不等式兩邊均為正數(shù)，a3(2-b)3a38-12b+

29、6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+10(b-1)20 矛盾a+b2即本題的結(jié)論是正確的2本題以圖33為準(zhǔn)由圖34知OKAB，延長(zhǎng)EO和FK，即得所求新渠這時(shí)，HG=GM（都等于OK），且OKAB，故OHG的面積和KGM的面積相同即新渠占地面積與原渠面積相等而且只挖了KGM這么大的一塊地我們?cè)倏戳硪环N方法，如圖35作法：連結(jié)EH，F(xiàn)G過(guò)O作EH平行線交AB于N，過(guò)K作FG平行線交于AB于M連結(jié)EN和FM，則EN，F(xiàn)M就是新渠的兩條邊界線又：EHONEOH面積=FNH面積從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理，右半部分挖去和填出的地也一樣多即新渠面積與原渠

30、的面積相等由圖35可知，第二種作法用工較多（要挖的面積較大）故應(yīng)選第一種方法。希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第一試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1已知ab0，則有 A.a+b1; B.ab1; C.; D.a-b1.2已知三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為123,若這個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為,那么它的最長(zhǎng)邊等于 A.2; B.2; C.3; D.3.3.若,那么a2-ab+b2的值為 A.; B.; C.; D.4. 的值等于 A.; B.; C.; D.5ABC中，A=-，B=，C=+,090若BAC與BCA的平分線相交于P點(diǎn)，則APC= A90B105. C120D1506一個(gè)自然數(shù)的算

31、術(shù)平方根為a(a1)，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為 A.a-1,a+1; B.; C.; D. a2-1,a2+1.7.已知實(shí)數(shù)a滿足丨1992-a丨+=0,那么a-19922的值為 A1991.B1992. C1993.D1994.8正整數(shù)a被7除，得到余數(shù)4，則a3+5被7除，得到的余數(shù)是 A0.B2. C4.D6.9. 的值為 A.; B.; C.; D.1.10方程x2+667x+1992=0的較大的那個(gè)實(shí)根的負(fù)倒數(shù)等于 A.; B.; C.; D.二、填空題:（每題1分，共10分）1 一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的3倍，則這個(gè)角的度數(shù)等于_2 二次根式化為最簡(jiǎn)根式應(yīng)是_.3

32、 若(x-1)6=a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6，則a6=_4 若a、b、c為ABC的三邊的長(zhǎng),則=_.5如圖39，ABC中，BCA=90，BAC=60，BC=4在CA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使AD=AB，則D，B兩點(diǎn)之間的距離等于_6.的小數(shù)部分我們記作m,則m2+m+=_.7若abc0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的兩個(gè)實(shí)根中，較大的一個(gè)實(shí)根等于_8如圖40，1+2+3+4+5=_ 9一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后仍是一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，我們稱它為“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)”，則所有“無(wú)瑕質(zhì)數(shù)”之和等于_10若3x2+4y-10=0，則15x3+3

33、x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=_答案與提示一、選擇題提示：1用特殊值法，不妨設(shè)a=0.4，b=0.2，則a+b=0.61，可排除(A)；ab=0.081，可排除(B)；2根據(jù)三角形內(nèi)角和為180及三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為123，容易得出三個(gè)內(nèi)角為30，60，9030角對(duì)邊為最短邊，由題設(shè)知，5由A+B+C=180，即(-)+(+)=3=180，應(yīng)選(C)n-1=a2-1，n+1=a2+1，其算術(shù)平方根分別為7由題意知a-19930，因而a1993于是|1992-a|=a-1992從而a-1993=19922，故a-19922=1993應(yīng)選(C)8設(shè)a=7k+4(k為正整數(shù))，則a3

34、+5=(7k+4)3+5=(7k)3+3(7k)24+3(7k)42+43+5=7(72k3+37k24+3k42+9)+6因此，a3+5被7除余6，故應(yīng)選(D)x2+667x+1992=0不能有非負(fù)根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三個(gè)數(shù)中，最大者為-3，以-3代入原方程，恰好滿足方程，所以應(yīng)選(D)注：此題也可由方程化為(x+664)(x+3)=0，可知方程較大的實(shí)根為-二、填空題提示：1設(shè)所求角為，則有180-=3(90-)，從而解得=453令x=0，得(-1)6=-a6，a6=-14由條件可知a0，b0，c0，且ab+c，bc+a，ca+b，a-b-c0，b-c-

35、a0，c-a-b0，5連結(jié)AD（如圖41）AD=AB，BDA=DBA=30因此，在直角三角形DBC中，BDC的對(duì)邊BC等于斜邊BD之半，而B(niǎo)C=4，所以BD=87由觀察知，x=1滿足方程，所以，方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有實(shí)根1又知a-b0，b-c0，若x1，則有(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0沒(méi)有大于1的實(shí)根，因此較大的一個(gè)實(shí)根等于18如圖42，6=7+4，7=2+5，但1+3+6=180，1+3+4+7=180，即1+2+3+4+5=1809根據(jù)題意，容易檢驗(yàn)，兩位“無(wú)

36、瑕質(zhì)數(shù)”分別是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共計(jì)9個(gè)，它們的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=42910因?yàn)?5x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)(5x+y+1)+10=10注：用因式分解的方法，湊出3x2+4y-10這個(gè)因子即可希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第二試題一、選擇題（:每題1分，共10分）173282-73252= A47249B45829. C43959D44969 2長(zhǎng)方形如圖43已知AB=2，BC=1，則長(zhǎng)方形的內(nèi)接三角形的面積總比數(shù)( )小或相等 A.; B.1; C.; D.

37、3當(dāng)x=6，y=8時(shí)，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A1200000-254000. B1020000-250400C1200000-250400. D1020000-2540004等腰三角形的周長(zhǎng)為a(cm)一腰的中線將周長(zhǎng)分成53，則三角形的底邊長(zhǎng)為 A.; B.; C. 或; D.5.適合方程+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值適合 A.;B.;C.;D. 6.四邊形如圖44,AB=,BC=1, A=B=C=300,則D點(diǎn)到AB的距離是 A.1; B.; C.; D.7在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到對(duì)應(yīng)的

38、值，在這些對(duì)應(yīng)值中，最小的值是 A1B2. C3D48一個(gè)等腰三角形如圖45頂角為A,作A的三等三分線AD，AE（即1=2=3），若BD=x，DE=y，EC=z，則有 AxyzBx=zy. Cx=zyDx=y=z9已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有兩個(gè)不同的實(shí)根，則a可以是 A5B9. C10D1110.正方形如圖46,AB=1,和都是以1為半徑的圓弧,則無(wú)陰影的兩部分的面積的差是 A.; B.; C.; D.二、填空題（每題1分，共10分）1.方程的所有根的和的值是_.2.已知a+b=,a-b=,那么ab=_. 3如圖47，在ABC中，ACB=60，BAC=75

39、，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則CHD=_4.已知x=,那么+1的值是_5如圖48，已知邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，那么BPD的面積的值是_6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么=_.7在正ABC中（如圖49），D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，BD，CE相交于P，若四邊形ADPE與BPC的面積相等，那么BPE=_8.已知方程x2-19x-150=0的一個(gè)正根為a,那么+=_.9某校男生若干名住校，若每間宿舍住4名，則還剩20名未住下；若每間宿舍住8名，則一部分宿舍未住滿，且無(wú)空房，該校共有住校男生_名10n是自然數(shù)，19n+14與10n+3都是

40、某個(gè)不等于1的自然數(shù)d的倍數(shù)，則d=_三、解答題（寫(xiě)出推理、運(yùn)算的過(guò)程及最后結(jié)果，每題5分，共10分）1 若a，b，c，d0，證明：在方程 ,中,至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根.2(1)能否把1，2，1992這1992個(gè)數(shù)分成八組，使得第二組各數(shù)之和比第一組各數(shù)之和多10，第三組各數(shù)之和比第二組各數(shù)之和多10，最后第八組各數(shù)之和比第七組各數(shù)之和也多10？請(qǐng)加以說(shuō)明(2)把上題中的“分成八組”改為“分成四組”，結(jié)論如何？請(qǐng)加以說(shuō)明如果能夠，請(qǐng)給出一種分組法答案與提示一、選擇題提示：5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡(jiǎn)為(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0，xy+1=0解之得x=-1

41、，y=1則x+y=0應(yīng)選(B)6由題設(shè)得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993將xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30n=7應(yīng)選(A)7由A=36，AB=AC，可得B=C=72ABD=CBD=36，BDC=72AD=BD=BC由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD應(yīng)選(B)8原方程化為(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2，或|x-1|=3x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4則x

42、1+x2+x3+x4=4應(yīng)選(D)9連結(jié)CB,AB=BB,SBBC=SABC=1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17應(yīng)選(D)10原方程為|3x|=ax+1(1)若a=3，則|3x|=3x+1當(dāng)x0時(shí)，3x=3x+1，不成立(2)若a3綜上所述，a3時(shí)，原方程的根是負(fù)數(shù)應(yīng)選(B)另解：（圖象解法）設(shè)y1=|3x|，y2=ax+1。分別畫(huà)出它們的圖象從圖87中看出，當(dāng)a3時(shí)，y1=|3x|的圖象直線y2=ax+1的交點(diǎn)在第二象限二、填空題提示：149=77，所求兩數(shù)的最大公約數(shù)為7，最小公倍數(shù)為42設(shè)a=7m，b=7

43、n，(mn)，其中(m，n)=1由ab=(a，b)a，b7m7n=742，故mn=6又(m，n)=1，m=2，n=3，故a=14，b=21經(jīng)檢驗(yàn)，142+212=637這兩個(gè)數(shù)為14，2121993=11993=(-1)(-1993)，(1993為質(zhì)數(shù))而x1x2=1993，且x1，x2為負(fù)整數(shù)根，x1=-1，x2=-1993或x1=-1993，x2=-1則4設(shè)SBOC=S，則SAOB=6-S，SCOD=10-S，SAOD=S-1由于S(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=46432=184919001936=442，又193619932025=452其他都不合適此時(shí)所求方程為14x2

44、-53x+14=08過(guò)E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE，EAAC，EHBCEA=EH，AEC=HECEHAD，HEC=AFE，AEF=AFEAE=AF，EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410設(shè)初一獲獎(jiǎng)人數(shù)為n+1人，初二獲獎(jiǎng)人數(shù)為m+1人(nm)依題意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1由于503+7n100，504+9m100得n=7，8，9，10，11，12，13m=6，7，8，9，10但滿足式的解為唯一解：n=13，m=10n+1=14，m+1=11獲獎(jiǎng)人數(shù)共有14+11=25（人）三、解答題1解：若不考

45、慮順序，所跑的路線有三條：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）其中OABCO的距離最短記d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分別為三條路線的距離在AC上截取AB=AB，連結(jié)OB則ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-ABBCBO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)0所以路線OABCO的距離最短因此x與-y是關(guān)于t的方程解二：由已知條件得兩邊加上a4+1，得顯然0a1，0a21希望杯第四屆（1

46、993年）初中二年級(jí)第一試試題一、選擇題:（每題1分，共15分）1如果ab0，那么在下列結(jié)論中正確的是 A.a+b-1; B.ab1; C.1.2已知四個(gè)命題：-1是1的平方根負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根. 無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù). 一定沒(méi)有意義.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 A1B2 C3D43.已知8個(gè)數(shù):,0.236,3.1416, 其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是 A3B4C5D64.若A=,則A的算術(shù)平方根是 Aa2+3B(a2+3)2. C(a2+9)2Da2+95下列各組數(shù)可以成為三角形的三邊長(zhǎng)度的是 A1，2，3. Ba+1，a+2，a+3，其中a0Ca，b，c，其中a+bc. D1，m，n，其中1-mn6方程x2+|x|-6=0的最大根與最小根的差是 A6B5. C4D37等腰三角形的某個(gè)內(nèi)角的外角是130，那么這個(gè)三角形的三