導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用誤區(qū)

1、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用誤區(qū)萬琨摘 要: 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容,它是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接點(diǎn),所以學(xué)好導(dǎo)數(shù)有利于高中畢業(yè)生進(jìn)入高等學(xué)府后的再教育。但是從每年的高考試題分析來看,相當(dāng)一部分的學(xué)生在有關(guān)導(dǎo)數(shù)的試題上失分較多，實(shí)際上這些試題并不太難.原因在哪里呢？本文試圖對(duì)近幾年出現(xiàn)的一些具體題型加以分析。關(guān)鍵詞: 導(dǎo)數(shù); 誤區(qū); 極值; 最值; 單調(diào)性1. 引言導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬為研究極值問題提出來的。微積分是數(shù)學(xué)的重要分支，導(dǎo)數(shù)是微積分的一個(gè)重要的組成部分。一方面，不但數(shù)學(xué)的許多分支以及物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、機(jī)械、建筑等領(lǐng)域?qū)⑽⒎e分視為基本數(shù)學(xué)工具，而且，在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中

2、也得到越來越廣泛的應(yīng)用。另一方面，微積分所反映的數(shù)學(xué)思想也是日常生活與工作中認(rèn)識(shí)問題、研究問題所難以或缺的。在上個(gè)世紀(jì)，導(dǎo)數(shù)曾經(jīng)編入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，但是由于教育改革，步入上個(gè)世紀(jì)九十年代，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中又刪去了。但是我們知道導(dǎo)數(shù)對(duì)于考察同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維有著其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容所無法替代的作用。因此隨著時(shí)代的發(fā)展，隨著經(jīng)建設(shè)的日益提高、隨著高校對(duì)人才的選拔需、隨著新課程改革的進(jìn)一步深入、隨著西方的現(xiàn)代教育思想的引如、隨著體現(xiàn)教育以人為本的思想、導(dǎo)數(shù)又重新選編入中學(xué)數(shù)學(xué)教材。它的選如恰似一股春風(fēng)吹如人的心田，使人清爽氣頤、它的選入猶如猶如長期處于黑暗之中的人見到光明一樣，心中充滿期待與高興，它的選

3、入猶如一股新鮮的血液注入人的體內(nèi)，使人精神煥發(fā)，朝氣蓬勃。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的紐帶，它有利于克服中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)脫節(jié)的現(xiàn)象，有利于克服中學(xué)尖子生進(jìn)入高校后對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭惡之感的現(xiàn)象，使進(jìn)入高校的新生不在對(duì)高等數(shù)學(xué)有畏懼的心理。導(dǎo)數(shù)作為新內(nèi)容引入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，使廣大師生、教研員、命題愛好者為之精神振奮。盡管它屬于高三選修的內(nèi)容，但因?yàn)樗鼘?duì)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有積極的推動(dòng)的作用，因此有關(guān)導(dǎo)數(shù)的一類新題型深受命題者的青睞?？梢赃@樣說要在高考取得優(yōu)異的成績，要想脫穎而出，必需學(xué)好導(dǎo)數(shù)。2. 具體的事例導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)極為方便，尤其是利用導(dǎo)數(shù)可以判別函數(shù)的單調(diào)性，求極值及

4、曲線的切線等等。但是在學(xué)習(xí)過程中由于對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解不清，理解不深刻而導(dǎo)致錯(cuò)誤的情形時(shí)有發(fā)生，學(xué)生在做高考試題時(shí)，時(shí)常出錯(cuò)，理不出頭緒。例1. 已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1) 若，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2) 若，且，試證:1。分析：本題是某省市高考理科試題倒數(shù)第3題，難度應(yīng)該不大。但是從當(dāng)年批閱得分的情況來看，有相當(dāng)?shù)囊徊糠謱W(xué)生只能做出第1小題，而對(duì)第2小題卻束手無策，實(shí)際上第2小題僅僅考查的是導(dǎo)數(shù)的定義，如能了解.則此題便迎刃而解。對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解不深入是同學(xué)們不能解決此題的關(guān)鍵。例2. 設(shè)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),如圖1所示, (1) 求的解析式； (2) 若對(duì)都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值。

5、分析：此題得分也不理想.其原因在于同學(xué)們誤解了導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。部分考生認(rèn)為導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的單調(diào)性相同。而實(shí)際上導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)單調(diào)性沒有必然的聯(lián)系.我們?cè)谂袛嘣瘮?shù)的單調(diào)性的時(shí)候，主要看導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值與0的大小的關(guān)系,若導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值大于0, 則原函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),反之若導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值小于0, 則原函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。另一方面，對(duì)第2小題不會(huì)轉(zhuǎn)化為最值問題，也是失分較多的原因。例3已知函數(shù),(1) 設(shè)，討論的單調(diào)性；(2) 若對(duì)任意恒有，求的取值。分析：本題主要考察導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性與極值方面的應(yīng)用.從全國考試中心反饋的情況來看，此題得分并不理想。第1小題判別函

6、數(shù)的單調(diào)性，明顯應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)這一工具。第2小題給出函數(shù)滿足的不等式，應(yīng)想到是關(guān)于函數(shù)的極值與最值的問題，這樣便可利用導(dǎo)數(shù)作為解題的工具了，但是部分同學(xué)卻想不到這一點(diǎn)，以至失分。例4已知,討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。分析:該題本質(zhì)上是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用的問題，從考試的結(jié)果來看，這道題是較難的試題，學(xué)生的得分不高。此題出現(xiàn)的錯(cuò)誤有以下4個(gè)：(1) 不求導(dǎo),直接對(duì)原函數(shù)中的二次函數(shù)進(jìn)行討論;(2)求導(dǎo)公式記不正確,導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò),如, 等;(3) 求導(dǎo)之后不知道如何討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(4) 分類討論不。.3. 誤區(qū)原因解析導(dǎo)數(shù)如此的重要，就有必要對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用誤區(qū)做一些必要的剖析.它在哪些方面容易出錯(cuò)呢

7、？3.1 定義理解不透徹。導(dǎo)數(shù)的定義如下:設(shè)函數(shù)在處附近有定義,當(dāng)自變量在處有增量時(shí),則函數(shù)相應(yīng)地有增量,如果時(shí),與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作,即導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式有多種，常見的有以下兩種形式： 對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下四點(diǎn)：(1)增量的形式是多種多樣的,但不論選擇哪一種形式,相應(yīng)中也必須選擇對(duì)應(yīng)的形式;(2)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在;(3)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念,如果時(shí),有極限,那么函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微,才能得到在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo);(4)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念,它只與函數(shù)

8、在及其附近的函數(shù)值有關(guān),與無關(guān)。例5證明若在處可導(dǎo)，則.4誤證：.剖析：此題的證法表面上似乎無懈可擊,但是仔細(xì)分析證明的過程,它與定義不符合。該證法未能理解上述的四點(diǎn)(1)，未能理解中的應(yīng)當(dāng)如何變化。正解： =+ =.例6已知函數(shù)= ,則=_.誤解：, 故原式=.剖析：中的的增量為2,則分母也應(yīng)為2.正解：原式.3.2 幾何意義的應(yīng)用誤區(qū)一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線,，是曲上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí)，割線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)，即趨向于時(shí)，如果割線無限趨近于一個(gè)極限位置,那么直線叫做曲線在點(diǎn)處的切線。此時(shí),割線的斜率無限趨近于切線的斜率，也就是說，當(dāng)趨向于時(shí)，割線的斜率的極

9、限為。由此,可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下,求得切線方程為特別地，如果曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在,根據(jù)切線定義,可得切線方程為.導(dǎo)數(shù)的幾何意義指出：函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。但利用該幾何意義求曲線的切線方程時(shí)，要注意對(duì)切點(diǎn)位置的具體分析。3.2.1 要檢驗(yàn)“某點(diǎn)”是否在曲線上例7求曲線過點(diǎn)的切線方程。誤解：，所以切線方程為.剖析：此題中不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再解之.正解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：切線斜率為，所以=-(1)又點(diǎn)在曲線上，故-(

10、2)由(1)(2)聯(lián)立解之得：=，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以切線方程為或. 要注意區(qū)分“在點(diǎn)處”與“過點(diǎn)處”求曲線方程時(shí)的區(qū)別，其中在點(diǎn)處的點(diǎn)必為切點(diǎn)，過點(diǎn)處的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，在解題時(shí)要注意審題，加以區(qū)別。例8已知函數(shù)，試問:過點(diǎn)的曲線的切線有幾條?如果是一條，寫出該切線的方向向量；如果是兩條，求出兩直線的夾角；如果是三條，寫出直線方程。解：設(shè)切點(diǎn)為， ，切線斜率為過的切線方程為：.將代入得： ，.過的切線有兩條,切點(diǎn)為，斜率為，.3.3 導(dǎo)數(shù)與極值、最值的關(guān)系 誤把極值當(dāng)最值 函數(shù)的最值是比較整個(gè)給定范圍內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的。求最值時(shí)，只需把找出的可能是極值點(diǎn)

11、的那些點(diǎn)處的函數(shù)值與給定范圍的端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)在給定范圍上最值了。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：(1)在內(nèi)求的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(2)計(jì)算在上述各點(diǎn)處的函數(shù)值并與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，即可得出函數(shù)在上的最大值與最小值。明白了上面的極值與最值的區(qū)別,我們來看下面的例題。例9求函數(shù)上的最值。誤解：因?yàn)?由解得,經(jīng)驗(yàn)證為極值點(diǎn),即為極大值.所以函數(shù)的最大值為2，最小值為.剖析：本題誤把極值當(dāng)最值,本題求出了極值,正確做法是還應(yīng)將它與端點(diǎn)值比較大小。正解：因?yàn)樗栽谏系淖畲笾禐?8,最小值為. 將駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)我們知道.對(duì)于滿足的點(diǎn)稱為駐點(diǎn),是為

12、的極大(小)值點(diǎn)的必要而非充分條件，把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn),容易導(dǎo)致失誤。例10導(dǎo)數(shù)=(的極值點(diǎn)為 。A. ； B. ； C. 或0； D. 誤解：由得，故選擇C.剖析：這三點(diǎn)都是駐點(diǎn),是不是都是極值點(diǎn)呢?正解：由知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 因此只有為極小值點(diǎn),而都不是極值點(diǎn)，從而應(yīng)選D。所以，在這里我們需明確，對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)而言，函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處導(dǎo)數(shù)必等于0；反之，若導(dǎo)數(shù)在某處值為零，則函數(shù)在該點(diǎn)不一定取得極值，還需進(jìn)一步檢驗(yàn)在=0的點(diǎn)的左右兩邊的符號(hào)變化。例11已知函數(shù),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍。誤解：，由得. 當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，故的范圍是. 剖析

13、：上述解法忽略了一個(gè)細(xì)節(jié),解題過程只用到了,即是的駐點(diǎn),那么它究竟是不是極值點(diǎn)呢?當(dāng)時(shí),如果,那么就只是拐點(diǎn)而非極值點(diǎn).因此的取值范圍是.3.4 求單調(diào)區(qū)間的不完整我們?cè)賮砜磶讉€(gè)例題以示說明例12求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間。誤解：,由得，由上式可知在內(nèi)當(dāng)時(shí),，于是此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增。剖析：上題解法雖然正確,但結(jié)論并不完美, 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，從而可把結(jié)論概括為在內(nèi)單調(diào)遞增。例13求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。誤解：由題知，令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.剖析：在解與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),一定要考慮函數(shù)的定義域,這里錯(cuò)在忽略了函數(shù)的定義域，顯然,當(dāng)時(shí),，原函

14、數(shù)無意義。正解： 由可以知道原函數(shù)的定義域?yàn)?，因此函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.3.5 判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略特殊情形例5給出：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在此區(qū)間內(nèi)，則在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);如果，則在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。那么反過來結(jié)論是否成立呢?例14已知函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。誤解:由題知道所以.剖析:當(dāng)在上成立時(shí),在上遞增,但反之并不一定成立.如是增函數(shù),但是恒大于0.正解：因此本題應(yīng)為在上恒大于或等于0,.4. 結(jié)論偉大的平民教育家陶行知說過:真教育是心心向印的活動(dòng).只有理解學(xué)生的心理才能走進(jìn)學(xué)生的心靈.同樣在數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)中,只有換位思考，舍身處地的為學(xué)生著想,才能取得良好的教學(xué)效果。而理解學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中所出現(xiàn)的問題是關(guān)鍵.學(xué)生會(huì)出現(xiàn)什么樣的問題呢?這就要求我們高中數(shù)學(xué)教師要急學(xué)生之所急,想學(xué)生之所想,從學(xué)生的角度來考慮問題,在那些方面容易出錯(cuò),從這些角度出發(fā),可以切實(shí)的解決問題。以上只是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中導(dǎo)數(shù)方面容易出現(xiàn)的誤區(qū),導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,學(xué)好它,有利于高中畢業(yè)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的順利過渡。只有高中學(xué)生理解掌握好導(dǎo)數(shù)才有可能通過高考進(jìn)入高等學(xué)府進(jìn)一步深造。我作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師,我將繼續(xù)努力,從學(xué)生的角度看問題