選修21數(shù)學(xué)知識點大全

1、選修2-1（邏輯用語·二次曲線·空間向量）教材深度反思作者：張建軍 我是河北人是我是中國人的什么條件？ 曲線與方程： 在適與適在 向量方法三部曲：轉(zhuǎn)化·運算·翻譯專題教學(xué)，步驟講解語言生動，寓教于樂重點解讀，難點突破思想方法，技巧規(guī)律 【專題一】學(xué)語文，還是學(xué)數(shù)學(xué) 談命題及其四種關(guān)系【探究一】語文中的句子是怎樣分類的？什么叫陳述句？ 答：按語氣用途分： 【探究二】什么叫命題？怎樣區(qū)分真假？答：一般地，在數(shù)學(xué)中，把可以判斷真假的陳述句叫做命題，【模式】：“誰，怎么樣”，動詞總在第二位。其中判斷為真的的語句叫做真命題：判斷為假的語句叫做假命題?！军c撥】:判斷

2、一個語句是不是命題，就要看它是否符合“是陳述句”“可以判斷真假”這兩個條件。【探究三】命題的標(biāo)準(zhǔn)形式是什么？四種命題及其關(guān)系有哪些？1.命題的標(biāo)準(zhǔn)形式是什么？【標(biāo)準(zhǔn)形式】“若p,則q”，其中p叫條件，q叫結(jié)論。2. 四種命題互化及其等價關(guān)系？（1）四種命題互化關(guān)系：語言轉(zhuǎn)化原命題逆命題否命題逆否命題自然語言符號語言【點撥】：一個命題不是“若p,則q”的形式，先要化為“若p,則q”的形式，才能進行四種變換。變換后條件和結(jié)論都是陳述句，且“主語相同，謂語可不同”。（2）四種命題等價關(guān)系：原命題“ 逆否命題“” 逆命題“” 否命題“”【點撥】：）原命題與逆否命題、逆命題與否命題互為逆否命題，數(shù)學(xué)上也

3、叫做等價命，它們具有相同的真假性。）當(dāng)原命題的證明較困難時，我們可以通過證明逆否命題而得到原命題的證明，這一思想在數(shù)學(xué)上叫等價轉(zhuǎn)化思想?！绢}型針對訓(xùn)練】1. 下列不是命題的是 是無限循環(huán)小數(shù) 當(dāng)=4時， 作垂直于同一直線的兩條直線平行嗎？ 一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)二次函數(shù)的圖像太美了！ 4是集合的元素2. 把下列命題寫成“若p,則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，且判斷真假：實數(shù)的平方是非負數(shù)。當(dāng)=2時，。等底等高的兩個三角形是全等三角形。3.命題的否命題是 。4.命題：已知均為銳角，若,寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，且判斷真假。5.寫出下列命題的逆命題，否命題，并判斷真

4、假：若,則。當(dāng).6.命題“一元二次方程，條件p: ,結(jié)論q: , 是 （填“真”或“假 ”）命題。 7.給出下列命題：在中，若A>B,則sinA>sinB函數(shù)函數(shù)若將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移個單位，則得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖象。其中正確命題的序號是 。8.已知命題甲：，命題乙：，命題丙：，命題?。喝艏渍鎰t乙為真 若乙真則丙為真 若丙真則丁為真 若丁真則甲為真說法正確的是 。【專題二】我是河北人，我是中國人？ 三種語言解讀充分、必要、充要條件【探究一】充分、必要、充要條件深度解讀：定義：p 是q的充分條件，q 是p的必要條件：（自然語言）“”為真命題（符號語言）（集合

5、語言）(已知)【探究二】三種語言轉(zhuǎn)化：1. 出現(xiàn)（真）命題怎么辦？【解讀】 “”為真命題，其中p為條件，q為結(jié)論，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件2. 出現(xiàn)“是”字怎么辦？【解讀】p 是q的充分條件:p在是的左邊，q在是的右邊，那么；p是q的必要條件，p在是的左邊，q在是的右邊，那么;p是q的充要條件，那么，即。3.出現(xiàn)“箭頭”（）怎么辦？【解讀】：p在箭頭左邊，q在箭頭右邊，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件；：出現(xiàn)雙箭頭，那么p與q互為充要條件。4.出現(xiàn)“范圍”怎么辦？【解讀】：A的范圍小，B的范圍大，那么p 是q的充分條件，q 是p的必要條件：A=B：范圍相等，那么p與

6、q互為充要條件。例如：我是河北人是我是中國人的充分條件；我是中國人是我是河北人的必要條件；【探究三】六種條件詳解：p 是q充分條件p 是q充分不必要條件p 是q必要條件p 是q必要不充分條件P是q的充要條件p 是q既不充分也不必要條件“若p,則q”為真命題“若p,則q”為真命題；“若q則p”為假命題“若q,則p” 為真命題若q,則p” 為真命題; “若p,則q” 為假命題“若p,則q”為真命題；“若q,則p” 為真命題“若p,則q”為假命題；“若q則p”為假命題且且且 （子集） （真子集） （子集） （真子集）A=B（相等）且【備注】解題原則：先化簡，后運算 用符號語言解題 注意三種語言的等價

7、轉(zhuǎn)化【針對訓(xùn)練】1.下列各題中p是q的什么條件：p:四邊形的對角線互相平分,q:四邊形是矩形p:x=1或x=2,q: p:在中，A，q:sinAp:m>0, q: 2.已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是 。s是q的充分條件 p是q充分不必要條件 r是q的必要不充分條件 r是s的充分不必要條件3.b=0是函數(shù)f(x)= 條件。4.a<0是方程至少有一個負數(shù)根的 條件。5.已知a,b都是實數(shù)，那么“”是a>b的 條件。6.若aR,則“a=2”是”“(a-1）(a-2)=0”的 條件?！緦ｎ}三】復(fù)合命題“或”、“且”、

8、“非”談簡單邏輯連接詞【探究一】命題的分類？按邏輯結(jié)構(gòu)【探究二】分類解讀：1.“或”（or）字命題:有“或此、或彼、或兼”三種意思。記作 ，讀作“p或q”。類比理解：）與集合中的并集()運算具有一致性。）與物理電學(xué)中的并聯(lián)電路閉合與斷開相對應(yīng)。真假判斷：（8字口訣記憶）“同假則假，有真則真”2.“且”(and)字命題：“既又”（同時成立）記作pq,讀作“p且q”。類比理解：）與集合中的交集()運算具有一致性。）與物理電學(xué)中的串聯(lián)電路閉合與斷開相對應(yīng)。真假判斷：（8字口訣記憶）“同真則真，有假則假”3.“非”（not）字命題：“不是、不對、不會”記作,讀作: “非p”或“p的否定” 真假判斷：“

9、一真一假，互為補集，去偽存真” 常用量詞的否定如下表：詞語是一定都是或=><任意的所有的詞語的否定不是一定不不都是且某個某些【探究三】“命題的否定”和否命題的區(qū)別： 命題的否定：只否定結(jié)論，不否定條件，不必寫成“若p,則q”的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接否定謂語動詞即可。 否命題：必須先寫成“若p,則q”的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后既否定條件，又否定結(jié)論?！九e例】寫出“對頂角相等“的否定形式和否命題：否定形式： 。否命題： ?！绢}型針對訓(xùn)練】1命題的否定是 。2.“a和b都是偶”的否定形式是（ ）Aa和b至少有一個是偶數(shù) B. a和b至多有一個是偶數(shù) C.a是偶數(shù)，b不是偶數(shù) D.a和b都是偶數(shù)3.某食品的

10、廣告詞為“幸福的人都擁有”初聽起來，似乎是贊美詞，然而它的實際意義等價于（ ）A不擁有的人不一定幸福 B.不擁有的人可能不幸福C擁有的人們不一定幸福 D.不用有的人們不幸福4.寫出下列命題的否定形式及否命題并判斷真假：若 若 若 若 ABC是等腰直角三角形矩形的對角線互相平分且相等 5.若命題p: ( )A. 6. 已知命題：函數(shù)的值域為；命題：函數(shù)在上是減函數(shù)。若是真命題，是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.7若命題“”為假，且“”為假，則（ ） A或為假 B假 C真 D不能判斷的真假8將原命題及其逆、否、逆否命題分別設(shè)為A，B，C，D，則下列說法錯誤的是( ).AA是B

11、成立的充分條件BB是C成立的必要條件CD是A成立的充要條件D若AB為真，則CD也為真9.若命題：關(guān)于的不等式的解集是，命題：關(guān)于的不等式 的解集是。則在命題“”“”“非”“非”中，是真命題的是 ?！緦ｎ}四】比較法學(xué)習(xí)全稱命題和特稱命題“有比較才有鑒別”，學(xué)習(xí)相似的東西若采取比較法，搞清區(qū)別和聯(lián)系，往往事半功倍，直達目的，關(guān)于全稱命題和特稱命題列表比較如下（表一）：比較項目全稱命題特稱命題量詞（）任意的、所有的、一切、每一個、任給、凡是、全體、所有的都是（）存在一個、至少有一個、有些、有一個、對某個、有的、存在一個不是命題格式對M中任意一個,有p()成立存在M中的元素，使p()成立關(guān)系互為否定，

12、一真一假，互為否定，一真一假，變換 真假判斷全稱命題舉反例特稱命題舉實例（表二）常用量詞的否定形式比對表：關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞等于不等于任意的（）存在一個（）大于不大于（或小于等于）存在不存在小于不小于（或大于等于）至多有一個至少有兩個是不是至多有n個至少有n+1個一定是一定不是至少有一個一個也沒有都是不都是（至少有一個不是）至少有n個至多有n-1個必有一個一個也沒有所有成立存在一個不成立【題型針對訓(xùn)練】1. 寫出下列命題的否定，并判斷真假 對任意實數(shù)，. 每個正方形都是平行四邊形. 2. 分別寫出由下列命題構(gòu)成的“”“ ”“”式的新命題，并判斷真假.（1）是無理數(shù).不是無理數(shù).（2）方程

13、有兩個相等的實根. 方程兩根絕對值相等.3.用符號“”“”表示下列含有量詞的命題. (1) 自然數(shù)的平方大于零。 （2）圓上任一點到圓心距離是 （3）存在一對整數(shù)，使得。 （4）存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)。4.“”是“一元二次方程”有實根的 條件； 的必要不充分條件是 A B C D 5. 下列命題中，是真命題的是_ xR，x0；xR，x2x1<0；xR，|x|>x至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)；xx|x是無理數(shù)，是無理數(shù)6. 設(shè)命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.7設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x24ax3a2<0，其中a>0，命題q：實數(shù)x

14、滿足 (1)若a1，且pq為真，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍8.設(shè)有兩個命題：的解集為；是減函數(shù)。若這兩個命題有且只有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍?！緦ｎ}五】要敢于摘取皇冠上的明珠求參數(shù)的取值范圍題探幽俗話說，“成功一百九十半”。學(xué)習(xí)本章，若不會求參數(shù)的取值范圍，則相當(dāng)于放棄了皇冠上的明珠。由于本章聯(lián)系前后知識較多，希望大家溫故而知新，不斷復(fù)習(xí)舊知識，今從三個方面談一下這類題的解題方法。一【解題原則：】先化簡，后運算 (溫故而知新/不斷復(fù)習(xí)舊知識)用符號語言解題 （符號語言指數(shù)與式、函數(shù)、方程、不等式）注意三種語言的等價轉(zhuǎn)化（自然語言圖形語言符號語言）參

15、數(shù)的取值范圍求交還是求并（小心參數(shù)的原始范圍）二【出題角度】：【題型一】：1. 利用命題的等價關(guān)系及充分、必要條件解題：【解讀】命題的等價關(guān)系：原命題逆否命題；逆命題否命題命題與條件的轉(zhuǎn)化關(guān)系：若p，則q為真命題（自然語言）pq（符號語言） P是q的充分條件，q是P必要條件【特別提示】：.等價命題具有相同的真假性,當(dāng)原命題的判斷較困難時,我們可以通過判斷等價命題而得到原命題的真假性。（課本原話28頁）已知定義或自然語言都要轉(zhuǎn)化為符號語言解題，具有簡潔美。例題講解：1.設(shè)命題；命題；若是的充分不必要條件，求的范圍。解：由p得：，解之得： (先化簡)由q得：即（先化簡)由題得：，那么p的范圍是q的

16、范圍的真子集(口訣)故，即 ， 所以，的范圍為【題型二】：2. 利用p、q、非p、非q、pq、pq之間的真假關(guān)系解題： pq的真假由p、q決定：(口訣：同真則真，有假則假)【解讀】：）pq為真包括p真q真一種情況;）pq為假包括p真q假、p假q真、p假q假三種情況。 pq的真假由p、q決定：(口訣：同假則假，有真則真) 【解讀】：）pq為真包括p真q假、p假q真、p真q真三種情況，用自然語言可以說：“p,q至少有一個是真命題”，兩者等價。）pq為假包括p假q假一種情況。 非p的真假性由p決定：非p與p一真一假，互為補集，做題時要去偽存真，切記！切記！ 【特別注意】已知：“pq為真，pq為假”兩

17、個條件同時滿足時，共有9種情況，最終符合條件的有兩種即：p與q一真一假。分p真q假和p假q真兩種情況進行分類討論，結(jié)果取并集。用自然語言可以說：“p,q有且只有一個是真命題”， 兩者等價。例題講解.命題解集為。命題函數(shù)為增函數(shù). 已知“”與“ ”一真一假，求的范圍。解：由p得：<0(自然語言圖形語言符號語言)即，解之得： (先化簡)由q得：，解之得 (先化簡)由“”與“”一真一假，可知p與q一真一假。）當(dāng)p真q假時，有 ， 即）當(dāng)p假q真時，有， 即綜上所述：a的取值范圍是：。【題型三】：利用全稱命題和特稱命題之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 例題講解：已知命題1,2，命題，若命題pq為真命題

18、，求實數(shù)a的取值范圍。解：由pq為真命題，知p真q真，若p真，則，對于恒成立，所以，若q真，則關(guān)于的方程等價于：=即綜上所述a的取值范圍是：。（具體求參數(shù)取值范圍請參閱必修五第14頁）【高考指南】拋物線是高考熱點考察內(nèi)容之一，一般以選擇題為主，高考多拋物線的考察主要有（1）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的計算，（2）拋物線準(zhǔn)線的運用、焦點弦、最值、參數(shù)范圍等問題（3）拋物線與直線、圓錐曲線的綜合考察?！靖呖贾改稀繖E圓既是圓錐曲線的重要內(nèi)容，也是高考的重要內(nèi)容。高考中一般主觀題和客觀題都有考察，分值17分左右。高考對橢圓的考察主要有（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的計算，(2)求橢圓的離心率（3）橢圓與直線、圓錐曲線的綜合考

19、察。備考時注意注重“三基”訓(xùn)練，重點掌握定義和性質(zhì)，尋求合理的運算方案，得到簡化運算的基本途徑和方法?！绢}型針對訓(xùn)練】1.已知命題 為實數(shù)，命題，若命題至少有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍 。2.已知有兩個不等的負根。無實根。若一真一假，求的范圍。3.已知； 若是的充分不必要條件，求實數(shù)的范圍。4.命題甲：關(guān)于x的不等式：函數(shù)（1）.甲乙至少有一個是真命題。（2）.甲乙有且只有一個是真命題。分別求符合（1）(2)的實數(shù)a的取值范圍。5.設(shè)p: q: 若p是q的充分不必要條件，求a的取值 范圍。6.已知命題p:lg命題q: 若p是真命題，q是假命題，求實數(shù)的取值范圍。7. 已知命題p：函數(shù)f(x

20、)log2m(x1)是定義域上的增函數(shù)，命題q：xR，x2mx10.(1)寫出命題q的否定 q；并求出m的取值范圍，使得命題 q為真命題；(2)如果“pq”為真命題，“pq”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍8.已知a>0,且a1，設(shè)p:lg在（0，+）上單調(diào)遞減，q: 的圖像與x軸交于不同兩點，如果pq為真，pq為假，求a的取值范圍。9. 已知命題p：實數(shù)x滿足，q:實數(shù)x滿足10. 已知命題p: 命題q:恒成立，如果pq為真，pq為假，求a的取值范圍。11.已知集合, B=，若,求m的取值范圍。熟能生巧，百煉成鋼，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從提高計算能力開始！【專題六】曲線與方程的關(guān)系求曲線的方程之方法面面

21、觀【探究一】什么叫解析幾何？解析幾何研究問題的方法是什么？解析幾何研究那兩類問題？【答】解析幾何是用代數(shù)方法（坐標(biāo)法）來研究幾何問題的一門學(xué)科。解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程。（2）通過曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)?！咎骄慷壳€與方程的關(guān)系四字秘訣：符合以上兩點，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。【探究三】求曲線（軌跡）的方程常見六種方法：方法1直接法（也叫五步法) 建系設(shè)點p(x,y)(注意點的任意性) 等量找尋（注意用符號語言）坐標(biāo)代換（坐標(biāo)表示點，線段，曲線）整理化簡（得到標(biāo)準(zhǔn)形式）檢驗剔除（在適、適在檢驗，剔除不合題意的點）【點撥】本

22、方法是一般方法，適合所有題型，不論曲線已知還是未知。舉例：如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程方法2待定系數(shù)法： 設(shè)出方程，（設(shè)出已知曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意焦點位置，確定待定系數(shù)） 找等量關(guān)系（通過定義、定理、代入法、幾何關(guān)系,列出關(guān)于待定系數(shù)方程組）， 得出方程（解關(guān)于待定系數(shù)方程組，求出待定系數(shù)，代入方程,）【點撥】本方法僅適合已知曲線，設(shè)方程時要分清焦點的位置（x軸，y軸），還要注意巧妙的設(shè)出一些曲線系方程，其數(shù)學(xué)思想是方程思想，一定要注意：有幾個待定系數(shù)必須找出幾個獨立條件，列出幾個方程，才能求出對應(yīng)系數(shù)，一定要挖掘完條件。舉例：求中心在原點，且過兩點

23、(,2),(,-8)兩點 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。方法3定義法：【類型1】）如果能夠確定動點的軌跡滿足某一曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義，直接寫出方程。）如果動點的軌跡與圓錐曲線有關(guān)，則可運用圓錐曲線定義求出動點的軌跡方程。具體步驟如下：根據(jù)不同的曲線的定義（自然語言）找到定義中包含的幾何等量關(guān)系（符號語言）根據(jù)幾何等量關(guān)系確定基本量系數(shù)（a、b、c、r）代入系數(shù)得出標(biāo)準(zhǔn)方程（注意焦點位置對應(yīng)不同方程）舉例：1.已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。2. 已知定圓x2+y2-6x-55=0，動圓M和已知圓內(nèi)切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程

24、3. 求與圓和圓都外切的圓的圓心軌跡方程。方法4相關(guān)點法：已知一動點A的運動軌跡，所求的動點p(x,y)隨著點A的運動而運動，則點A叫做點P的相關(guān)點，根據(jù)點A與點P的坐標(biāo)間的關(guān)系，用表示(x,y)，代入已知點A的軌跡，整理化簡，就可得到點P的軌跡方程。具體步驟如下： 設(shè)點坐標(biāo)（已知點設(shè)為，所求點設(shè)為(x,y)） 等量找尋（尋找坐標(biāo)與(x,y)之間的等量關(guān)系） 反解代換（用含(x,y)的式子表示） 代入（已知）軌跡 整理化簡（得到標(biāo)準(zhǔn)形式） 檢驗剔除（根據(jù)題意，剔除不合題意的點）舉例：在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？【點撥】【專題七】待定系數(shù)法求

25、方程【專題八】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)知識點大全一. 教學(xué)內(nèi)容：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 二. 本周學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，掌握橢圓的幾何性質(zhì)。了解橢圓的參數(shù)方程，能根據(jù)方程討論曲線的性質(zhì)，了解橢圓的一些實際應(yīng)用，掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法，能夠正確熟練地解決直線和橢圓的位置關(guān)系的一些問題。 三. 知識點精析（一）橢圓的定義1、第一定義：平面內(nèi)與兩個定點為F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。特別地，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡

26、。 （二）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)1、標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的標(biāo)準(zhǔn)位置的橢圓方程。 中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程參數(shù)方程為參數(shù))為參數(shù))圖 形  頂 點對稱軸軸，軸；短軸為，長軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，橢圓越扁）準(zhǔn) 線通 徑（為焦準(zhǔn)距）焦半徑焦點弦僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)僅與它的中點的縱坐標(biāo)有關(guān)焦準(zhǔn)距說明：方程中的兩個參數(shù)a與b，確定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定型條件，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，常數(shù)a，b，c都大于零，其中a最大且a=b+c2、橢圓焦點三角形：設(shè)P為橢圓上任意一

27、點，F(xiàn)，F(xiàn)為焦點且FPF，則PFF為焦點三角形，Sbtan。3、方程表示橢圓的充要條件是：ABC0，且A，B，C同號，AB。AB時，焦點在y軸上，AB時，焦點在x軸上。4、弦長公式：x，x分別為弦PQ的橫坐標(biāo)，弦PQ所在直線方程為y=kx+b，代入橢圓方程整理得Ax2+Bx+C=0，則，若y，y分別為弦PQ的縱坐標(biāo)，則，5、直線與橢圓的位置關(guān)系：設(shè)直線l的方程為：Ax+By+C=0，橢圓（ab0），組成方程組，消去y(或x)利用判別式的符號來確定。若>0則直線與橢圓有兩個交點，若=0則直線與橢圓有一個交點，若<0則直線與橢圓沒有交點。6、斜率為k的弦的中點軌跡方程：設(shè)弦PQ的端點為

28、P(x，y)，Q(x，y)，中點為M（x，y），把P，Q的坐標(biāo)代入橢圓方程后作差相減用中點公式和斜率公式可得（橢圓內(nèi)不含端點的線段）7、設(shè)P（x，y）是橢圓（ab0）上一點，則過P點的切線方程是：8、點P和橢圓（ab0）的關(guān)系：（1）點P（x，y）在橢圓外>1，（2）點P（x，y）在橢圓上1，（3）點P（x，y）在橢圓內(nèi)<19、橢圓（ab0）按（x，y）平移得（它的中心、對稱軸、焦點、準(zhǔn)線方程都按（x，y）作了相應(yīng)的平移。）考點指要在歷年的高考數(shù)學(xué)試題中，有關(guān)圓錐曲線的試題所占的比重約占試卷的15%左右，且題型，數(shù)量，難度保持相對穩(wěn)定：選擇題和填空題共2道題，解答題1道，選擇題和填

29、空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)等；解答題往往是以橢圓，雙曲線或拋物線為載體的有一定難度的綜合題，問題涉及函數(shù)，方程，不等式，三角函數(shù)，平面向量等諸多方面的知識，并蘊含著數(shù)學(xué)結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對考生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力及思維能力的考查要求較高。近幾年解答題注意了控制運算量，增加了思維容量，即邏輯思維，數(shù)學(xué)思維的考查容量有所增加，運算能力的考查略有下降。主要考查：圓錐曲線的概念和性質(zhì)；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；求曲線的方程；與圓錐曲線有關(guān)的定值問題，最值問題，對稱問題，范圍問題等。曲線的應(yīng)用問題，探索問題以及圓錐曲線與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的交匯問題也將是高考命題的熱點。 

30、;【專題九】雙曲線相關(guān)知識點講解大全 (一)雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1. 雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲 線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。 ()注意： (二)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.性質(zhì)焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點（,0） (,0)(0,) (0,)軸長實軸長為,虛軸長為焦點在實軸上，；焦距：離心率1)漸近線方程 (三)焦點三角形的面積 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程: xyAB (四)通徑 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程: (五) 離心率與漸近線之間的

31、關(guān)系 （1） （2） （六）雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.(4)與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是(5)與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是（七）等軸雙曲線：離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；(八)直線與雙曲線的位置關(guān)系：直線： 雙曲線C：（0，0） （1) 當(dāng)，即時，直線與雙曲線的漸進線_平行_，直線與雙曲線C相交于一點； （2) 當(dāng)，即時，1 時，直時，直線與雙曲線相切，有且僅有一個公共點2 時，直線與雙曲線相離，無公共點（3

32、) 直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線必相切嗎?為什么?（不一定） （九）相交弦AB的弦長3 線與雙曲線相交，有兩個公共點直線： 雙曲線C：（0，0）1 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點坐標(biāo)為,，則有,以及，在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如弦長公式： （含x的方程） （含y的方程） （十）圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。 中點為的弦的斜率k的求法:設(shè)弦AB的端點為，把A,B的坐標(biāo)代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得: ，公式變形求。 斜率為k的弦的中點軌跡方程求法：:設(shè)弦AB的端點為，把A,B的坐標(biāo)代入雙曲線方程后，作差相減用

33、中點公式和斜率公式可得: .雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程: ，以為中點的弦所在直線的斜率雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程: ，以為中點的弦所在直線的斜率【針對訓(xùn)練】：1、已知F1,F2為定點，則動點A的軌跡是（） A.焦點為F1，F(xiàn)2的雙曲線B.不存在C.以F1，F(xiàn)2為端點且方向相反且無公共點的兩條射線D.以上都有可能2、已知動點P滿足|PA|-|PB|=8，其中A（0，-5），B（0，5）則P的軌跡方程是（ ） A. B. C.（x4） D.（y4）3、雙曲線的焦點坐標(biāo)為（ ）A（-5,0），（5,0） B（-6,0），（6,0） C.（0,-1），（0,1） D.（-,0），（,0）4、雙曲線過焦點F1的弦AB的長為m，

34、另一焦點為F2，則ABF2的周長為 （ ）A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 5、已知方程表示雙曲線，則k的取值范圍是（ ）A.-1<k<1B.k>0C.k0D.k>1或k<-16、雙曲線的焦距是（ ）A.10B.-1C.D. 27、雙曲線的焦距是（ ）A.4B.2C.8D.與有關(guān)8、焦點分別為，且經(jīng)過點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 9、雙曲線y2-4x2=64上一點P到它的一個焦點的距離等于1，則P到它的另一個焦點的距離等于為 10、已知定點A、B，且|AB|=4，動點P滿足|PA|-|PB|=3，則|PA|的最小值是 11、雙曲線和橢圓有共同的焦

35、點，則 12、雙曲線的一個焦點為，則的值為_ ?！緦ｎ}十】活用【定義法】巧解題【專題十一】登峰造極,唯我獨尊談直線和雙曲線的位置關(guān)系之（1）聯(lián)立方程法直線與雙曲線的位置關(guān)系題型包括判斷交點個數(shù)判斷相切、相交、相離三種位置關(guān)系求弦長及三角形面積等問題；用到的思想是數(shù)形結(jié)合思想，方法是聯(lián)立方程法，具體做法如下：a) 聯(lián)立方程： 直線： 雙曲線C：（0，0）消去y(或x) ，得到關(guān)于x(或y)的方程 b) 討論二次項系數(shù)為零和不為零兩種情況）為零，相交，且只有一個交點當(dāng)，即時，直線與雙曲線的漸進線_平行_，直線與雙曲線C相交于一點； ）不為零時，利用判別式來判斷當(dāng)，即時，時，直線與雙曲線相交，有兩個

36、公共點 時，直線與雙曲線相切，有且僅有一個公共點時，直線與雙曲線相離，無公共點【點撥】直線與雙曲線只有一個公共點,則直線與雙曲線必相切嗎?為什么? ?（不一定）直線與雙曲線相交，必有兩個公共點?（對嗎，為什么?）弦長公式： ） （含x的方程） ）（含y的方程）相交兩點時，首先，）若直線與雙曲線交與單支；）直線與雙曲線交與兩支；）若，且直線與雙曲線交于右單支；）若，且直線與雙曲線交于左單支?！踞槍τ?xùn)練】1. 過（4,0）的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的方程相切，求切線的方程相交，求斜率k的取值范圍。2. 已知雙曲線，直線l過右交點，且傾斜角為，與雙曲線交與A、B兩點，試問A、B兩點是否位于

37、雙曲線的同一支上？并求弦AB的長。3. 設(shè)雙曲線漸近線的直線與雙曲線交與點B，則AFB的面積為 。4.已知曲線C：及直線l: (1).若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍。（2）若l與C交與A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，且AOB面積為，求實數(shù)k的值。5.直線相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，（1）若，求a的值。（2）若A、B在雙曲線的左右兩支上，求a的取值范圍。6.(1)求直線與雙曲線(2)求直線被雙曲線截得的弦長。7.已知雙曲線C：（）的兩個焦點為（-2,0），(2,0),點P（3，）在曲線上，（1）求雙曲線的方程（2）記O為坐標(biāo)原點，過Q（0,2）的直線l 與雙曲線C相交于不同兩點E,F

38、，若OEF的面積為，求直線l的方程。8.直線l: 與雙曲線C: 的右支交與不同的兩點A、B，（1）求實數(shù)k的取值范圍。（2）是否存在實數(shù)k,使得一AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點F？若存在，求出開的值，若不存在，說明理由。勤學(xué)苦練，善于總結(jié)，注重思維，講求方法【專題十二】九大區(qū)域定乾坤再談直線和雙曲線的位置關(guān)系之（2）數(shù)形結(jié)合法上節(jié)講到聯(lián)立方程法解決直線與雙曲線的位置關(guān)系，無疑是通解通法，但在操作過程中，由于計算量大，學(xué)生望而生畏。若適當(dāng)?shù)睦脠D形的幾何特征，采取數(shù)數(shù)形結(jié)合法，確定點所在的九大區(qū)域，順逆時針旋轉(zhuǎn)直線，觀察相交、相切、相離三大位置所顯示的數(shù)據(jù)特征，再借助于口訣，那么有助于簡化運算

39、，化解難點，九大區(qū)域及做題具體步驟如下：九大區(qū)域區(qū)域分類位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合法右內(nèi)1交于一點2.交于兩點（無相離、相切的位置關(guān)系）【步驟1】找出定點，確定區(qū)域。【步驟2】做出過定點且與漸近線平行的兩條直線。【步驟3】順逆時針旋轉(zhuǎn)直線， 觀 觀察相交、相切、相離時的區(qū)域,，用用陰影表示?！静襟E4】按要求求出邊緣直線的的斜率，并注意虛實。 【步驟5】利用口訣確定斜率范圍.（包含取兩邊，不含取中間）。左內(nèi)同上，只是左右相反右外1.交于一點2. 交于兩點3.相切4.相離（4種情況全有）左外同上同上，只是左右相反上外1.交于一點.2. 交于兩點3.相切4.相離（4種情況全有）下外同上，只是左右相反原點1.交

40、與兩點2.相離(無交于一點和相切的位置關(guān)系)右頂點1.交于一點.2. 交于兩點3.相切（無相離位置關(guān)系）左頂點同上，只是左右相反【點撥】：1.聯(lián)立方程得到的一元二次方程一定要考慮二次項系數(shù)為零和不為零兩種情況。2.相切、相交（一點或兩點）分為與左支和右支兩種情況，要具體問題具體分析。3.數(shù)形結(jié)合法和聯(lián)立方程法要結(jié)合使用，考慮問題要全面，結(jié)果要做到不重不漏。【高考展望】雙曲線是高考重點考察內(nèi)容之一，其中選擇題主要考察雙曲線的性質(zhì)，解答題考察與雙曲線有關(guān)的綜合問題。分值一般在12 分左右?！靖呖紝﹄p曲線的考察主要有】（1）求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求雙曲線的離心率（3）雙曲線的漸進線方程及有關(guān)計算

41、（4）雙曲線與直線、圓錐曲線的綜合?！纠}講解】例1：過原點的直線l與雙曲線有兩個交點，則直線l的斜率的取值范圍為（ ）A.（-1,1） B.( ,-1) (1, ) C.(-1,0) 90,1） D例2已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是 。例3：已知中心在原點的雙曲線C右焦點為（2,0），實軸長為，（1） 求雙曲線C的方程。（2） 若直線l：與雙曲線C左支交與A,B兩點，求k的取值范圍。【針對練習(xí)】1.過點P(3,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線l共有 條。2.斜率為2的直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分

42、別相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A.e< B. C D3.設(shè)雙曲線C：與直線l：相交于兩個不同的點A、B；求雙曲線C的離心率的取值范圍。4.已知雙曲線直線l：，討論直線與雙曲線公共點個數(shù)。5.已知直線與雙曲線，當(dāng)為何值時，直線與雙曲線：（1）.有兩個公共點 (2).有一個公共點。（3）沒有公共點。6.已知橢圓，雙曲線的左、右焦點分別是橢圓的左、右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點，（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B,且，（其中O為坐標(biāo)原點），求的取值范圍。【專題十三】“設(shè)而不求”為了求另辟蹊徑巧解題三談直線和雙曲線的位置關(guān)系之（3）設(shè)而不求法直

43、線與雙曲線的位置關(guān)系除了求斜率的取值范圍外還有求弦長求中點弦問題求與向量結(jié)合的綜合問題等,這些問題的共性是都得聯(lián)立方程,求交點的坐標(biāo)，但已知直線或雙曲線往往含有參數(shù),解方程計算量大。我們在求解這類問題時若采取“設(shè)而不求”思想，可以得到簡化計算量的目的，今從四個方面談一下：【問題1】求弦長：常規(guī)方法先聯(lián)立方程，再解方程求出交點坐標(biāo)，然后用兩點間距離公式d=求出弦長。若采用“設(shè)而不求”思想，利用“韋達定理”，變換一下公式，可以簡化運算，公式如下：弦長公式： （含x的方程）（含y的方程）【問題二】圓錐曲線的“中點弦”問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。題型1：已知中點為，求被點M的

44、平分的弦的斜率及方程： 【方法】設(shè)弦PQ的端點為P(x，y)、Q(x，y)，把P，Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得: ，公式變形求k.然后利用點斜式求出方程?！咎貏e說明】若中點位置在九大區(qū)域中的、區(qū)域時，即漸近線和雙曲線所夾的“蝴蝶翅膀”區(qū)域（包括邊界）中時，這條直線不存在，但中點是原點時除外，這時有無數(shù)條。題型2：已知斜率為k的一系列平行弦的中點軌跡方程的求法：【方法】設(shè)中點為，弦PQ的端點為P(x，y)，Q(x，y)，把P，Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程后作差相減，用中點公式和斜率公式可得:.（直線）題型3：求過定點的直線被雙曲線截得的弦的中點的軌跡方程：【例題】求過定點

45、（0,1）的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程?！痉椒ㄒ粎?shù)法】 解設(shè)弦的端點為P(x，y)、Q(x，y)，中點為，弦的斜率為根據(jù)上面有結(jié)論： （1） 又由于（2） 由（1）、（2）消去參數(shù)得：?！痉椒ǘ椒ā拷饫霉郊矗骸！締栴}三】與圓錐曲線有關(guān)的向量問題：以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以向量為表達已知條件的主要形式，通過向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合“韋達定理”設(shè)而不求，解決問題?！境Ｒ婈P(guān)系有】若 【例題】橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，右焦點為F，直線與軸相交于點A，且，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。（1）求橢圓的方程及離心率。（2）若，求直線PQ的方程?！締栴}四】圓錐曲線中的對稱問

46、題：這類問題涉及“中點弦”，一定要充分運用“垂直平分”這兩個特征，此外還要注意“點差法”這一“設(shè)而不求”思想的運用?！纠}】已知雙曲線，雙曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩A、B,求實數(shù)的取值范圍。解當(dāng)=0時，顯然不成立。當(dāng)時，設(shè)，中點，根據(jù)，由于垂直，此時所以中點軌跡方程為，整理得： （1）中點又在與上， （1）與聯(lián)立解之得:中點為（，3）這條中點弦存在，點（，3）不能在、“蝴蝶翅膀”區(qū)域內(nèi)，那么有：） ）漸近線方程為：所以：綜合）、）取并集得：，由于所以的取值范圍為：?！咀兪骄殹?.已知雙曲線雙曲線上是否存在兩點關(guān)于直線對稱。2.已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關(guān)于

47、該直線對稱。【針對練習(xí)】（一）直線和雙曲線的位置關(guān)系1.直線與雙曲線有且只有一個交點，則k的取值范圍是（ ）（A）=±（B）=± （C）=±或=± （D）2.若直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍是（A）<< （B）<<1 （C）1<< （D）<或>3、已知曲線及直線. (1) 若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；(2) 若與交于兩點，是坐標(biāo)原點，且的面積為，求實數(shù)的值.（二）弦長公式1.等軸雙曲線中心在原點，焦點在軸上，與直線交于兩點，若，則其方程為（A） （B） （C） （D）2.過雙曲線的右焦

48、點作傾斜角為的弦AB，則|AB|等于 .【能力提高】1、 直線與雙曲線相交于A、B兩點，當(dāng)為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？2、垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長為，求直線的方程（三）中點弦1.過點A(3, 1)且被A點平分的雙曲線的弦所在的直線方程是 2.直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標(biāo)是（ ）（A）(1, 2) （B）(2, 1) （C）(1, 2) （D）(2, 1)3.雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且與直線相交所得弦的中點的橫坐標(biāo)是，求這個雙曲線方程.4.求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。5.已知雙曲線的方程，試問是否存在被點(1,

49、 1)所平分的弦？如果存在，求出所在直線；如果不存在，說明理由?！灸芰μ岣摺浚?）求直線被雙曲線截得的弦長；（2）在雙曲線上求一點，使到直線的距離最短。（3）直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.【專題十四】離心率求解三途徑【專題十五】雙曲線經(jīng)典例題、常見方法大觀【高考展望】雙曲線是高考重點考察內(nèi)容之一，其中選擇題主要考察雙曲線的性質(zhì)，解答題考察與雙曲線有關(guān)的綜合問題。分值一般在12 分左右。【高考對雙曲線的考察主要題型有】（1）求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求雙曲線的離心率（3）雙曲線的漸進線方程及有關(guān)計算（4）雙曲線與直線、圓錐曲線的綜合?！窘忸}技巧】熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；解題常用的思想方法有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化，設(shè)而不求